1977年普通高等学校招生考试(北京市)理科数学试题及答案

1977年普通高等学校招生考试理科(北京市)数学试题及答案

1．解方程.31x x -=- 解：将两边平方，得

x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2

2．计算1

212

2202

1-+

+

-

.122:+=原式解

3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45

解：lg 45=2

1

lg 21032⨯=0.8266

4．证明α

α

+=

α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立

证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭

⎫

⎝⎛αα+α=α+22

222

2

cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程

解：由 x+y-7=0

3x-y-1=0,解得x=2,y=5

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？ 解：七月份到十月份总产值为

100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100

=

)(8.5362

.00736

.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5

(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;

(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标

解：如图（列表，描点）略

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后

船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300

由正弦定理可得

9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 证：联接EC,在△ABD 和△AEC 中，

∠BAD=∠EAC ，∠ABD=∠AEC ， ∴△ABD ~△AEC, ∴AD ·AE=AC ·AB

A C

).(220212220B sin A sin AC CB 海里=⋅

=

⋅=

10.当m 取哪些值时，直线y=x+m 与椭圆19

162

2=+y x 有一个交点？有两

个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象

解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：

y=x+m ……………………………①

……………………………② 将①代入②得

.

,5025:.,5)

25(576)14416(254)32(,0)14416(3225,19

)(162222222

2这时直线与椭圆相割即的充要条件是直线与椭圆有两个交点这时直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆有一个交点其判别式为整理可得<>+-±=-=-⋅⋅-=∆=-++=++m m m m m m m mx x m x x 直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m 2+25<0,即|m|>5

19

y 16x 2

2=+

参考题

1．（1）求函数

(2)求椭圆122

22=+b

y a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积

解：（1）当x ≠0时，

2.(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x 0处连续的定义

（2）试证明：若f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0,则存在一个x 0的（x 0-δ，x 0+δ），在这个邻域内，处处有f(x)>0

（1）答：略（2）证：由已知f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0，所以，由定义，对于给定的ε= f(x 0)/2>0，必存在δ>0, 当|x- x 0|<δ时，有|f(x)- f(x 0)|< f(x 0)/2,从而f(x)> f(x 0)- f(x 0)/2= f(x 0)/2>0 即在（x 0-δ，x 0+δ）内处处有f(x)>0

⎪⎩⎪⎨⎧=≠π=.)0(0)0(sin )(2

的导数x x x

x x f ⎰⎰--→∆→∆→∆π=-π=π=⎪⎩⎪⎨⎧

=≠ππ-π='∴=∆π∆=∆-∆π∆=∆-+∆='=π

π-π=π-π+π='π='a

a a

a x x x a

b dx a

x b dx y V x x

x x x f x

x x x x x

f x f f x x

x x x x x x x x x x f .

34

)1()2(0)(x 0

)

0(.cos sin 2)(.

0sin lim 0

sin

lim

)

0()0(lim

)0(,0.

cos sin 2)(cos sin 2)sin ()(2222

2

0200222旋转体的体积时当