工程热力学 第七章 气体和蒸汽的流动
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7–1 稳定流动的基本方程式
一、简化
稳定 一维
可逆 绝热
参数取平均值
1
二、稳定流动基本方程 1. 质量守恒方程（连续性方程）(continuity equation)
p1
p2
qm1
A1cf 1 v1
qm2
A2cf 2 v2
T1 qm1 cf1
T2 qm2 cf2
qm
Acf v
dv dA dcf v A cf
qm f p2 / p0
qm A2
1
1
2 1
p0 v0
p2 p0
p2 p0
cf 2 0, qm 0
cr p2 / p0 1 p2 / p0 , cf 2 , qm
p2 / p0 cr p2 pcr , cf 2 c2 , qm2 qm,max
Ma2 1 0 dcf 0 dA 0 Ma2 1 0 dcf 0 dA 0
13
归纳：
1）压差是使气流加速的基本条件，几何形状是使流动可逆必 不可少的条件；
2）气流的焓火用 差（即技术功）为气流加速提供能量； 3）收缩喷管的出口截面上流速小于等于当地音速； 4）拉伐尔喷管喉部截面为临界截面，截面上流速达当地音速
p
s
v2 p v s
等熵过程中
dp dv 0
pv
p v s
p v
所以 c pv ？ RgT
5
注意：1）声速是状态参数，因此称当地声速。
如空气， 0 C
c 1.4 287 273.15 331.2m/s
喷管在非设计工况下运行，尤其是背压变化较大最终是造成动 能损失。
1.收缩喷管
背压pb' 出口截面压力p2'
运行工况
pb ' pb p2 ' pb '
pb ' pcr
pb ' pb p2 ' pb '
pb ' pcr p2 ' pcr
28
2. 缩放喷管 1）若pb‘<pb—膨胀不足 (under expansion)， 离开喷管后自由膨胀 (free expasion)
d dA dcf 0 A cf
2
2.过程方程
p1v1 p2v2 pv
dp dv 0
pv
注意，若水蒸气，则
cp
cV
且 T1v1 1 T2v2 1
3.稳定流动能量方程(steady-flow energy equation)
q
h
1 2
Ma2 1 dcf dA cf A
几何条件
9
讨论：
Ma2 1 dcf dA cf A
1）cf与A的关系还与Ma有关，对于喷管
a) Ma 1cf c dcf与dA异号，即cf A
Ma 1 Ma2 1, 据Ma2 dcf dv cf v
dcf dv ,而 dA dv dcf 0
cr
pcr p0
2
1
1
讨论：
1）
cr
2 1
1
cr f 随工质而变
理想气体 cp / cV or m Cpm / CVm
水蒸气 cp / cV
理想气体定比热双原子
cr 0.528
过热水蒸气 cr 0.546
qm A2
分析：
1
1
2
1
p0 v0
p2 p0
p2 p0
a） qm f A2,, p0,v0, p2 / p0 22
A2 , , p1, v1 确定
p2 / p0 1
qm f A2,, p0,v0, p2 / p0
2
1
p0v0
1
2 1
1
1
2 1
p0v0
2
1
RgT0
另：
ccr
RgTcr 与上式是否矛盾？
19
3.背压pb对流速的影响
a.收缩喷管
pb pcr pb pcr
b.缩放喷管
p2 pb
p2 pcr
（supersonic velocity） 6
7–2 促使流速改变的条件
一、力学条件
dcf cf
~
dp
p
流动可逆绝热
δq dh vdp
dex,H dh T0ds dh vdp
能量方程
dh cf dcf
vdp cf
d cf
p p
1
v0
RgT0 p0
变比热容
h0 T0 pr0 T1 pr1
p0
p1
pr 0 pr1
4
水蒸气：
h0
h1
1 2
cf21
s0 s1
其他状态参数
注意：高速飞行体需注意滞止后果，如飞机在–20℃ 的高空以 Ma = 2飞行，其t0= 182.6 ℃。
4.声速方程
c
vdp
cf2 cf
dcf
dp cf2 dcf p pv cf
dp p
cf2 c2
dcf cf
dp Ma2 dcf
p
cf
力学条件
7
讨论：
dp Ma2 dcf
p
cf
1） 0 Ma2 0
dcf dp 异号 cf p
2） cf dc f vdp
p2 / p0 cr cf 2 c2 , qmBaidu Nhomakorabea qm,max
23
b）结合几何条件和质量守恒方程：
ab
图中
bc
收缩喷管 缩放喷管
且喷管初参数及p2确定后， 喷管各截面上qm相同，并 不随截面改变而改变。
24
三、喷管设计
初参数 p1，v1，T1
据 背压 pb
功率 P
喷管形状 几何尺寸
1. 外形选择 首先确定pcr与pb关系，然后选取恰当的形状
25
26
2. 几何尺寸计算
A1—往往已由其他因素确定
A2
qmv2 cf 2
A喉
qmvcr cfcr
l d 2 d min
2tg 2
太长—摩阻大
太短— dcf / dl 过大，产生涡流(eddy)
27
四、工作条件变化时喷管内流动过程简析
2. 初态参数对流速的影响：
为分析方便，取理想气体、定比热，但结论也定性适 用于实际气体。
15
cf 2h0 h
cf 2 2h0 h2 普适
cp
1 Rg
2cp T0 T2 理想气体、定比热容
2
Rg 1
T0
T2
pv RgT
分析：
cf 2 c2
cf 2 c2
Ma2 1 Ma2 1
pb pcr pb pcr
不属本课程范围
p2 pb
p喉 pcr
cf,喉 ccr cf 2 c2 Ma喉 1 Ma2 1
20
二、流量计算及分析
1. 计算式
qm
Acf v
Acf
通常
收缩喷管—出口截面
喷管 cf p 扩压管 p cf
cf
1 2
cf2
的能量来源
8
二、几何条件
dcf cf
~
dA
A
力学条件 过程方程
dp Ma2 dcf
p
cf
Ma2 dcf dv
dp dv
cf v
pv
连续性方程 dA dcf dv
A cf v
T0 T
p0 p
1
1
2 p0v0 1
1
p2 p0
cf f1 , p0,v0, p2 p0 ,而p0,v0取决于p1，v1，T1，所以
cf f2 , p1, v1, p2 p1 。所以对于确定的气体（确定），
20 C c 318.93m/s
20 C
c 343m/s
2）水蒸气当地声速
c
pv
RgT
and cp
cV
Ma 1 亚声速
（subsonic velocity）
3）
Ma cf 马赫数 c (Mach number)
Ma 1 声速
（sonic velocity）
Ma 1 超声速
12
3）背压(back pressure)pb是指喷管出口截面外工作环境 的压力。正确设计的喷管其出口截面上压力p2等于 背压pb，但非设计工况下p2未必等于 pb。
4）对扩压管(diffuser)，目的是 p上升，通过cf下降使动 能转变成压力势能，情况与喷管相反。
a) 当Ma 1时 b) 当Ma 1时
缩放喷管
喉部截面 出口截面
qm kg/s ; A m2; cf m/s; v m3/kg
21
2. 初参数对流量的影响
qm
A2cf 2 v2
cf 2
1
2 1
p0v0
1
p2 p1
v2
v0
p0 p2
pcr Tcr vcr 称临界压力(critical pressure)、临界温度
及临界比体积。
11
2）当促使流速改变的压力条件得到满足的前提下： a）收缩喷管(convergent nozzle)出口截面上流速 cf2,max=c2（出口截面上音速） b）以低于当地音速流入渐扩喷管(divergent nozzle) 不可能使气流可逆加速。 c）使气流从亚音速加速到超音速，必须采用渐缩 渐扩喷管(convergent- divergent nozzle)—拉伐尔 (Laval nozzle)喷管。
湿蒸汽 cr 0.577 18
2） pcr cr p0
3）几何条件
Ma2 1 dcf dA 约束，临界截面只可能 cf A
发生在dA= 0处，考虑到工程实际
收缩喷管—出口截面
缩放喷管—喉部截面
4）
cf,cr
2
1
p0v0
1
(
cr
) 1
确定的初参数（p1，v1确定），cf
取决于
2
p2
p0 或 p2
p1。
16
a) p2/p0 1 即 p2 p0
p 0 cf 2 0 b) p2/p0 0 时, cf 2 cf ,max
cf ,max
2
1
p0v0
2 1 RgT0
摩擦
cf，max不可能达到
cfcr pcrvcr RgTcr
5）背压pb未必等于p2。
14
7–3 喷管计算
一、流速计算及分析
1. 计算式
cf 2h0 h 2h1 h cf21
注意： a）公式适用范围：绝热、不作功、任意工质；
b）式中h，J/kg，cf，m/s，但一般资料提供 h，kJ/kg。
2） pb‘>pb—过度膨胀 (over expansion)， 产生激波(shock wave)
29
例A4511661 例A451266 例A451377
c) p2 从1下降到0的过程中某点
p0
1
cf cfcr
2 p0v0 1
1
pcr p0
p2 0 v2 A2
17
为临界点，此点上压力pcr与p0之比称为临界压力比，νcr (critical pressure ratio; throat-to-stagnation of pressure)
cf2
g
z
ws
忽略 gz
q0
h1
1 2
cf21
h2
cf22
h
1 2
cf2
dh cf dcf 0
3
ws 0
绝热滞止(stagnation)
cf 0,
h
hmax
h1
1 2
cf21
h0
理想气体：
定比热容
T0
T1
cf21 2cp
p0
p1
T0 T1
c) Ma 1cf c cf dA 0
截面上Ma=1、cf=c，称临界截面(minimum cross-sectional area) [ 也称喉部(throat)截面]，临界截面上速度达当地音速(velocity of
sound)
cf c pcrvcr RgTcr
cf v
A v cf
渐缩喷管（convergent nozzle）
10
Ma2 1 dcf dA
b) Ma 1cf c dcf与dA同号,cf A
cf A
Ma 1 Ma2 1 据Ma2 dcf dv cf v
dcf dv cf v
dA dv dcf 0 A v cf
一、简化
稳定 一维
可逆 绝热
参数取平均值
1
二、稳定流动基本方程 1. 质量守恒方程（连续性方程）(continuity equation)
p1
p2
qm1
A1cf 1 v1
qm2
A2cf 2 v2
T1 qm1 cf1
T2 qm2 cf2
qm
Acf v
dv dA dcf v A cf
qm f p2 / p0
qm A2
1
1
2 1
p0 v0
p2 p0
p2 p0
cf 2 0, qm 0
cr p2 / p0 1 p2 / p0 , cf 2 , qm
p2 / p0 cr p2 pcr , cf 2 c2 , qm2 qm,max
Ma2 1 0 dcf 0 dA 0 Ma2 1 0 dcf 0 dA 0
13
归纳：
1）压差是使气流加速的基本条件，几何形状是使流动可逆必 不可少的条件；
2）气流的焓火用 差（即技术功）为气流加速提供能量； 3）收缩喷管的出口截面上流速小于等于当地音速； 4）拉伐尔喷管喉部截面为临界截面，截面上流速达当地音速
p
s
v2 p v s
等熵过程中
dp dv 0
pv
p v s
p v
所以 c pv ？ RgT
5
注意：1）声速是状态参数，因此称当地声速。
如空气， 0 C
c 1.4 287 273.15 331.2m/s
喷管在非设计工况下运行，尤其是背压变化较大最终是造成动 能损失。
1.收缩喷管
背压pb' 出口截面压力p2'
运行工况
pb ' pb p2 ' pb '
pb ' pcr
pb ' pb p2 ' pb '
pb ' pcr p2 ' pcr
28
2. 缩放喷管 1）若pb‘<pb—膨胀不足 (under expansion)， 离开喷管后自由膨胀 (free expasion)
d dA dcf 0 A cf
2
2.过程方程
p1v1 p2v2 pv
dp dv 0
pv
注意，若水蒸气，则
cp
cV
且 T1v1 1 T2v2 1
3.稳定流动能量方程(steady-flow energy equation)
q
h
1 2
Ma2 1 dcf dA cf A
几何条件
9
讨论：
Ma2 1 dcf dA cf A
1）cf与A的关系还与Ma有关，对于喷管
a) Ma 1cf c dcf与dA异号，即cf A
Ma 1 Ma2 1, 据Ma2 dcf dv cf v
dcf dv ,而 dA dv dcf 0
cr
pcr p0
2
1
1
讨论：
1）
cr
2 1
1
cr f 随工质而变
理想气体 cp / cV or m Cpm / CVm
水蒸气 cp / cV
理想气体定比热双原子
cr 0.528
过热水蒸气 cr 0.546
qm A2
分析：
1
1
2
1
p0 v0
p2 p0
p2 p0
a） qm f A2,, p0,v0, p2 / p0 22
A2 , , p1, v1 确定
p2 / p0 1
qm f A2,, p0,v0, p2 / p0
2
1
p0v0
1
2 1
1
1
2 1
p0v0
2
1
RgT0
另：
ccr
RgTcr 与上式是否矛盾？
19
3.背压pb对流速的影响
a.收缩喷管
pb pcr pb pcr
b.缩放喷管
p2 pb
p2 pcr
（supersonic velocity） 6
7–2 促使流速改变的条件
一、力学条件
dcf cf
~
dp
p
流动可逆绝热
δq dh vdp
dex,H dh T0ds dh vdp
能量方程
dh cf dcf
vdp cf
d cf
p p
1
v0
RgT0 p0
变比热容
h0 T0 pr0 T1 pr1
p0
p1
pr 0 pr1
4
水蒸气：
h0
h1
1 2
cf21
s0 s1
其他状态参数
注意：高速飞行体需注意滞止后果，如飞机在–20℃ 的高空以 Ma = 2飞行，其t0= 182.6 ℃。
4.声速方程
c
vdp
cf2 cf
dcf
dp cf2 dcf p pv cf
dp p
cf2 c2
dcf cf
dp Ma2 dcf
p
cf
力学条件
7
讨论：
dp Ma2 dcf
p
cf
1） 0 Ma2 0
dcf dp 异号 cf p
2） cf dc f vdp
p2 / p0 cr cf 2 c2 , qmBaidu Nhomakorabea qm,max
23
b）结合几何条件和质量守恒方程：
ab
图中
bc
收缩喷管 缩放喷管
且喷管初参数及p2确定后， 喷管各截面上qm相同，并 不随截面改变而改变。
24
三、喷管设计
初参数 p1，v1，T1
据 背压 pb
功率 P
喷管形状 几何尺寸
1. 外形选择 首先确定pcr与pb关系，然后选取恰当的形状
25
26
2. 几何尺寸计算
A1—往往已由其他因素确定
A2
qmv2 cf 2
A喉
qmvcr cfcr
l d 2 d min
2tg 2
太长—摩阻大
太短— dcf / dl 过大，产生涡流(eddy)
27
四、工作条件变化时喷管内流动过程简析
2. 初态参数对流速的影响：
为分析方便，取理想气体、定比热，但结论也定性适 用于实际气体。
15
cf 2h0 h
cf 2 2h0 h2 普适
cp
1 Rg
2cp T0 T2 理想气体、定比热容
2
Rg 1
T0
T2
pv RgT
分析：
cf 2 c2
cf 2 c2
Ma2 1 Ma2 1
pb pcr pb pcr
不属本课程范围
p2 pb
p喉 pcr
cf,喉 ccr cf 2 c2 Ma喉 1 Ma2 1
20
二、流量计算及分析
1. 计算式
qm
Acf v
Acf
通常
收缩喷管—出口截面
喷管 cf p 扩压管 p cf
cf
1 2
cf2
的能量来源
8
二、几何条件
dcf cf
~
dA
A
力学条件 过程方程
dp Ma2 dcf
p
cf
Ma2 dcf dv
dp dv
cf v
pv
连续性方程 dA dcf dv
A cf v
T0 T
p0 p
1
1
2 p0v0 1
1
p2 p0
cf f1 , p0,v0, p2 p0 ,而p0,v0取决于p1，v1，T1，所以
cf f2 , p1, v1, p2 p1 。所以对于确定的气体（确定），
20 C c 318.93m/s
20 C
c 343m/s
2）水蒸气当地声速
c
pv
RgT
and cp
cV
Ma 1 亚声速
（subsonic velocity）
3）
Ma cf 马赫数 c (Mach number)
Ma 1 声速
（sonic velocity）
Ma 1 超声速
12
3）背压(back pressure)pb是指喷管出口截面外工作环境 的压力。正确设计的喷管其出口截面上压力p2等于 背压pb，但非设计工况下p2未必等于 pb。
4）对扩压管(diffuser)，目的是 p上升，通过cf下降使动 能转变成压力势能，情况与喷管相反。
a) 当Ma 1时 b) 当Ma 1时
缩放喷管
喉部截面 出口截面
qm kg/s ; A m2; cf m/s; v m3/kg
21
2. 初参数对流量的影响
qm
A2cf 2 v2
cf 2
1
2 1
p0v0
1
p2 p1
v2
v0
p0 p2
pcr Tcr vcr 称临界压力(critical pressure)、临界温度
及临界比体积。
11
2）当促使流速改变的压力条件得到满足的前提下： a）收缩喷管(convergent nozzle)出口截面上流速 cf2,max=c2（出口截面上音速） b）以低于当地音速流入渐扩喷管(divergent nozzle) 不可能使气流可逆加速。 c）使气流从亚音速加速到超音速，必须采用渐缩 渐扩喷管(convergent- divergent nozzle)—拉伐尔 (Laval nozzle)喷管。
湿蒸汽 cr 0.577 18
2） pcr cr p0
3）几何条件
Ma2 1 dcf dA 约束，临界截面只可能 cf A
发生在dA= 0处，考虑到工程实际
收缩喷管—出口截面
缩放喷管—喉部截面
4）
cf,cr
2
1
p0v0
1
(
cr
) 1
确定的初参数（p1，v1确定），cf
取决于
2
p2
p0 或 p2
p1。
16
a) p2/p0 1 即 p2 p0
p 0 cf 2 0 b) p2/p0 0 时, cf 2 cf ,max
cf ,max
2
1
p0v0
2 1 RgT0
摩擦
cf，max不可能达到
cfcr pcrvcr RgTcr
5）背压pb未必等于p2。
14
7–3 喷管计算
一、流速计算及分析
1. 计算式
cf 2h0 h 2h1 h cf21
注意： a）公式适用范围：绝热、不作功、任意工质；
b）式中h，J/kg，cf，m/s，但一般资料提供 h，kJ/kg。
2） pb‘>pb—过度膨胀 (over expansion)， 产生激波(shock wave)
29
例A4511661 例A451266 例A451377
c) p2 从1下降到0的过程中某点
p0
1
cf cfcr
2 p0v0 1
1
pcr p0
p2 0 v2 A2
17
为临界点，此点上压力pcr与p0之比称为临界压力比，νcr (critical pressure ratio; throat-to-stagnation of pressure)
cf2
g
z
ws
忽略 gz
q0
h1
1 2
cf21
h2
cf22
h
1 2
cf2
dh cf dcf 0
3
ws 0
绝热滞止(stagnation)
cf 0,
h
hmax
h1
1 2
cf21
h0
理想气体：
定比热容
T0
T1
cf21 2cp
p0
p1
T0 T1
c) Ma 1cf c cf dA 0
截面上Ma=1、cf=c，称临界截面(minimum cross-sectional area) [ 也称喉部(throat)截面]，临界截面上速度达当地音速(velocity of
sound)
cf c pcrvcr RgTcr
cf v
A v cf
渐缩喷管（convergent nozzle）
10
Ma2 1 dcf dA
b) Ma 1cf c dcf与dA同号,cf A
cf A
Ma 1 Ma2 1 据Ma2 dcf dv cf v
dcf dv cf v
dA dv dcf 0 A v cf