自动控制原理复习资料 卢京潮版

第二章：控制系统的数学模型

§2.1 引言

·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。

·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法

·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程

§2.2控制系统时域数学模型

1、线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络

11c

c c r R u u u u L LC LC

'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况 由 A 1A i 1x k )x x (k =-

解出01

2

i A x k k x x -

= 代入B 等式：02001

2

i x k )x x k k x f(=--

&&& 得：()i 1021021x fk x k k x k k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程

（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：i C M m m ⋅=┈安培

力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω& ┈牛顿

变量关系：m m

b a

M E i u ω-

---

消去中间变量有：

（4）X-Y 记录仪（不加内电路）

消去中间变量得：

a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程

即：a m

m 321m m 4321m u T k k k k l T k k k k k l T 1l =++&&&

2、线性系统特性──满足齐次性、可加性 线性系统便于分析研究。

在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。

非线性元部件微分方程的线性化。

例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程

解：在0αα

=处线性化展开，只取线性项：

令 ()()0y -y y αα=∆ 得 αα∆⋅-=∆00sin E y 3、用拉氏变换解微分方程 a u l

l l 222=++&&& （初条件为0）

复习拉普拉斯变换的有关内容

1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+=

（2）复数模、相角 （3）复数的共轭

（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。 2 拉氏变换定义

3 几种常见函数的拉氏变换

1. 单位阶跃：()⎩⎨⎧≥<=0 t 10

t 0t 1

2. 指数函数：⎩⎨⎧≥<=0

t e 0

t 0)t (f at

3. 正弦函数：⎩⎨⎧≥<=0t t sin 0 t

0)t (f ω

4 拉氏变换的几个重要定理

（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -⋅='

()

()()()()()()()()n n-2n 1n n-1n-2

L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0-⎡⎤'=-----⎣

⎦

L 进一步： 零初

始条件下有：()()[]

()s F s t f L n n ⋅= 例1：求()[]t L δ 例2：求[]t cos L ω

解：[]2

222s s

s s 1

t n si L 1

t cos ω

ωωω

ωωω+=+⋅

⋅=

'=

Θ （3）积分定理：()[]

()()()0f s

1

s F s 1dt t f L 1-+⋅=⎰ （证略）

零初始条件下有：()[]

()s F s 1

dt t f L ⋅=⎰

进一步有： 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ⎰=Θ

例4：求⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2t L 2

解：⎰=tdt 2

t 2

Θ （4）位移定理

实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=-ττ

例5：()()s F

0 t 01 t 0 10 t 0t f 求⎪⎩

⎪

⎨⎧><<<= 解：)1t (1)t (1)t (f --=

虚位移定理：()[]

()a -s F t f e L at =⋅ （证略）

例6：求[]

at e L

例7：[]

()

2

2

3

s s 2

23t -5

3s 3

s 5s s cos5t e L +++=

+=

⋅+→

例8：⎭⎬⎫⎩

⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡

-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t 2t ππ

（5）终值定理（极限确实存在时）

证明：由微分定理()()()0f s sF dt e t f st 0

-='-∞

⎰

取极限：()()()0f s sF lim dt e t f lim 0

s st 0

s -='→-∞

→⎰

∴有：()() s sF lim f 0

s →=∞证毕

例9：()()()

b s a s s 1

s F ++=

求()f ∞

例10：()0s s

lim t sin f 2

20

s t =+≠=∞→∞→ωω

ω 拉氏变换附加作业 一．已知f(t),求F(s)=? 二．已知F(s),求f(t)=? 5.拉氏反变换

(1) 反变换公式：⎰∞+∞

-=

j j st

ds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 微分方程一般形式：

)s (F 的一般表达式为：