第十四章因式分解期末复习
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点题库(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点题库单选题1、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A分析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q 相等.解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.2、下列分解因式正确的是（）A．a3−a=a(a2−1)B．x3+4x2y+4xy2=x(x+2y)2C．−x2+4xy−4y2=−(x+2y)2D．16x2+16x+4=(4x+2)2答案：B分析：根据分解因式的方法进行分解，同时分解到不能再分解为止；A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故该选项错误；B、x3+4x2y+4xy2=x(x2+4xy+4y2)=x(x+2y)2，故该选项正确；C、−x2+4xy−4y2=−(x2−4xy+4y2)=−(x−2y)2，故该选项错误；D、16x2+16x+4=4(4x2+4x+1)=4(2x+1)2，故该选项错误；故选：B．小提示：本题考查了因式分解，解决问题的关键是掌握因式分解的几种方法，注意因式分解要分解到不能再分解为止；3、若x 2+ax ＝（x +12）2+b ，则a ，b 的值为（ ） A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14 C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ， ∴a =1，14+b =0， ∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4、下列因式分解正确的是（ ）A ．a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）B ．x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2C ．x 2﹣2x ＋4＝（x ﹣2）2D ．x 2﹣4＝（x ＋4）（x ﹣4）答案：B分析：直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．解：A 、a 4b ﹣6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b （a 2﹣6a ＋9）＝a 2b （a ﹣3）2，故此选项错误；B 、x 2﹣x ＋14＝（x ﹣12）2，故此选项正确；C 、x 2﹣2x ＋4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；D 、x 2﹣4＝（x ＋2）（x ﹣2），故此选项错误；故选：B ．小提示：本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题．5、如下列试题，嘉淇的得分是（）姓名：嘉淇得分：将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）①2xy−4xyz=2xy(1−2z)；②−3x−6x2=−3x(1−2x)；③a2+2a+1=a(a+2)；④m2−4n2= (m−2n)2；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)A．40分B．60分C．80分D．100分答案：A分析：根据提公因式法及公式法分解即可．①2xy−4xyz=2xy(1−2z)，故该项正确；②−3x−6x2=−3x(1+2x)，故该项错误；③a2+2a+1=(a+1)2，故该项错误；④m2−4n2=(m+2n)(m−2n)，故该项错误；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)，故该项正确；正确的有：①与⑤共2道题，得40分，故选：A．小提示：此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．6、在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（）．A．−a2−9B．a2−9C．a2−4b D．a2+9答案：B分析：直接利用平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)，进而分解因式判断即可．A、−a2−9，无法分解因式，故此选项不合题意；B、a2−9=(a+3)(a−3)，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；C、a2−4b，无法分解因式，故此选项不合题意；D、a2+9，无法分解因式，故此选项不合题意．故选B．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．7、若2a+3b−3=0，则4a×23b的值为（）A．23B．24C．25D．26答案：A分析：先利用已知条件2a+3b−3=0，得2a+3b=3，再利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方将原式变形得出答案．解：∵2a+3b−3=0，∴2a+3b=3，∵4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b，∴原式=4a×23b=（22）a×23b=22×a×23b=22a+3b=23，故选：A．小提示：本题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方，正确将原式变形是解题关键．8、下列因式分解正确的是（）A．a2+b2＝(a+b)2B．a2+2ab+b2＝(a−b)2C．a2−a=a(a+1)D．a2−b2=(a+b)(a−b)答案：D分析：根据因式分解的方法，逐项分解即可．A. a2+b2，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；B. a2+2ab+b2＝(a+b)2故该选项不正确，不符合题意；C. a2−a=a(a−1)，故该选项不正确，不符合题意；D. a2−b2=(a+b)(a−b)，故该选项正确，符合题意．故选D．小提示：本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．9、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.10、已知2n=a，3n=b，12n=c，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）A．c=ab B．c=ab3C．c=a3b D．c=a2b答案：D分析：直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．A选项：ab=2n⋅3n=6n≠12n，即c≠ab，A错误；B选项：ab3=2n⋅(3n)3=2n⋅33n=2n⋅27n=54n≠12n，即c≠ab3，B错误；C选项：a3b=(2n)3⋅3n=8n⋅3n=24n≠12n，即c≠a3b，C错误；D选项：a2b=(2n)2⋅3n=4n⋅3n=12n=c，D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．填空题11、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.答案：√5+2分析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.12、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．答案：1##0.254分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4．所以答案是：14小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．13、已知x−y=3，xy=10，则(x+y)2=______．答案：49分析：根据（x+y）2=（x-y）2+4xy即可代入求解．解：（x+y）2=（x-y）2+4xy=9+40=49．所以答案是：49．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．14、分解因式：am+an−bm−bn=_________________答案：(m+n)(a−b)分析：利用分组分解法和提取公因式法进行分解因式即可得．解：原式=(am+an)−(bm+bn)=a(m+n)−b(m+n)=(m+n)(a−b)，所以答案是：(m+n)(a−b)．小提示：本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．15、若x−y−3=0，则代数式x2−y2−6y的值等于______．答案：9分析：先计算x-y的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将x-y的值代入化简计算，再代入计算即可求解．解：∵x−y−3=0，∴x−y=3，∴x2−y2−6y=(x+y)(x−y)−6y=3(x+y)−6y=3x+3y−6y=3(x−y)=9所以答案是：9．小提示：本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．解答题16、化简：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2．答案：2a2+2a-13分析：根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法．解：3（a﹣2）（a+2）﹣（a﹣1）2=3（a2-4）-（a2-2a+1）=3a2-12-a2+2a-1=2a2+2a-13．小提示：此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，正确掌握平方差公式和完全平方公式的计算法则是解题的关键．17、爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若a m=a n(a>0，且a≠1，m、n都是正整数），则m= n，例如：若5m=54，则m=4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果2×4x×32x=236，求x的值；(2)如果3x+2+3x+1=108，求x的值．答案：(1)x=5(2)x=2分析：（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．（1）因为2×4x×32x=236，所以2×22x×25x=236，即21+7x=236，所以1+7x=36，解得：x=5；（2）因为3x+2+3x+1=108，所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，即3x+1=33，所以x+1=3，解得：x=2．小提示：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．18、阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．答案：（1）③，忽略了a2−b2=0的情况；（2）见解析分析：（1）根据题意可直接进行求解；（2）由因式分解及勾股定理逆定理可直接进行求解．解：（1）由题意可得：从第③步开始错误，错的原因为：忽略了a2−b2=0的情况；故答案为③；忽略了a2−b2=0的情况；（2）正确的写法为：c2(a2−b2)＝(a2+b2)(a2−b2)c2(a2−b2)−(a2+b2)(a2−b2)＝0(a2−b2)[c2−(a2+b2)]＝0当a2−b2=0时，a=b；当a2−b2≠0时，a2+b2=c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．小提示：本题主要考查勾股定理逆定理及因式分解，熟练掌握勾股定理逆定理及因式分解是解题的关键．解析：解：因为a2c2−b2c2=a4−b4，①所以c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2)②所以c2=a2+b2③所以△ABC是直角三角形④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第______步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为______；（2）请你将正确的解答过程写下来．。
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
人教版第十四章因式分解复习题
初二第一学期期末复习—因式分解 因式分解的方法一：提公因式法1．因式分解是把一个____________化为 ____________________的形式．2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______； 6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______．4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1Ｂ．)11(22222xx x x +=+C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．－3xyB ．－3x 2yC ．－3x 2y 2D ．－3x 3y 3 6．x 4－x 3y 7．12ab ＋6b8．5x 2y ＋10xy 2－15xy9．3x （m －n ）＋2（m －n ）10．3（x －3）2－6（3－x ）11．应用简便方法计算：（1）2012－201（2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.812．把下列各式因式分解：（1）－16a 2b －8ab ＝____________；（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝_____________． 13．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ； （2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．因式分解的方法二：运用平方差公式1．因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）； （3）49a 2－4＝（ ）（ ）; （4）2b 2－2＝______（ ）（ ）．2．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．y 2－49x 2B ．4491x - C ．－m 4－n 2D ．9)(412-+q p3．下列因式分解错误．．的是（ ） A ．1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B ．x 3－x ＝x （x 2－1） C ．a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ） D ．)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 4．x 2－255．4a 2－9b 2 6．（a ＋b ）2－647．m 4－81n 48．12a 6－3a 2b 29．（2a －3b ）2－（b ＋a ）2方法一方法二10．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092；（2）3.14×512－3.14×492．11．因式分解下列各式：（1）m m +-3161＝___________________； （2）x 4－16＝_________________________； （3）11-+-m m a a＝_____________________；（4）x （x 2－1）－x 2＋1＝__________________． 12．把（3m ＋2n ）2－（3m －2n ）2分解因式，结果是（ ）A ．0B ．16n 2C ．36m 2D ．24mn 13．下列因式分解正确的是（ ）A ．－a 2＋9b 2＝（a ＋3b ）（a －3b ）B ．a 5－81ab 4＝a （a 2＋9b 2）（a 2－9b 2）C ．)21)(21(212212a a a -+=- D ．x 2－4y 2－3x －6y ＝（x －2y ）（x ＋2y －3）14．a 3－ab 215．m 2（x －y ）＋n 2（y －x ）16．2－2m 417．3（x ＋y ）2－2718．a 2（b －1）＋b 2－b 319．（3m 2－n 2）2－（m 2－3n 2）2 方法一方法二20．已知,4425,7522==y x 求（x ＋y ）2－（x －y ）2的值．1．在括号中填入适当的式子，使等式成立： （1）x 2＋6x ＋（ ）＝（ ）2； （2）x 2－（ ）＋4y 2＝（ ）2； （3）a 2－5a ＋（ ）＝（ ）2； （4）4m 2－12mn ＋（ ）＝（ ）2 2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）①9a 2－1； ②x 2＋4x ＋4；③m 2－4mn ＋n 2； ④－a 2－b 2＋2ab ； ⑤;913222n mn m +-⑥（x －y ）2－6z （x ＋y ）＋9z 2．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3．a 2－16a ＋644．－x 2－4y 2＋4xy 5．（a －b ）2－2（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）26．4x 3＋4x 2＋x7．计算：（1）2972 （2）10.328．若a 2＋2a ＋1＋b 2－6b ＋9＝0，求a 2－b 2的值．9．把下列各式因式分解：（1）49x 2－14xy ＋y 2＝_________________；（2）25（p ＋q ）2＋10（p ＋q ）＋1＝____________；（3）a n ＋1＋a n －1－2a n ＝________________； （4）（a ＋1）（a ＋5）＋4＝__________________． 10．如果x 2＋kxy ＋9y 2是一个完全平方式，那么k 是（ ）A ．6B ．－6C ．±6D ．18 11．x （x ＋4）＋412．2mx 2－4mxy ＋2my 213．x 3y ＋2x 2y 2＋xy 314．2341x x x -+15．若,31=+x x 求221xx +的值． 16．（m 2＋n 2）2－4m 2n 217．x 2＋2x ＋1－y 2 18．（a ＋1）2（2a －3）－2（a ＋1）（3－2a ）＋2a －319．x 2－2xy ＋y 2－2x ＋2y ＋120．已知x 3＋y 3＝（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）称为立方和公式，x 3－y 3＝（x －y ）（x 2＋xy ＋y 2）称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解：（1）a 3＋8 （2）27a 3－1因式分解的方法四：十字相乘法1．将下列各式因式分解：（1）x2－5x＋6＝______；（2）x2－5x－6＝______；（3）x2＋5x＋6＝______；（4）x2＋5x－6＝______；（5）x2－2x－8＝______；（6）x2＋14xy－32y2＝______．2．将a2＋10a＋16因式分解，结果是（）A．（a－2）（a＋8）B．（a＋2）（a－8）C．（a＋2）（a＋8）D．（a－2）（a－8）3．因式分解的结果是（x－3）（x－4）的多项式是（）A．x2－7x－12 B．x2－7x＋12C．x2＋7x＋12D．x2＋7x－12 4．若x2＋kx－36＝（x－12）（x＋3），则k的值为（）A．－9B．15C．－15 D．95．m2－12m＋206．x2＋xy－6y27．10－3a－a28．x2－10xy＋9y29．（x－1）（x＋4）－36 10．ma2－18ma－40m11．x3－5x2y－24xy212．因式分解x（x－20）＋64＝____________．13．（x2－2）2－（x2－2）－214．（x2＋4x）2－x2－4x－2015．因式分解：4a2－4ab＋b2－6a＋3b－4．16．观察下列各式：1×2×3×4＋1＝52；2×3×4×5＋1＝112；3×4×5×6＋1＝192；判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由．。
第十四章 整式的乘法与因式分解复习
结果是，依次写下十位数加1，再乘以十位数所得 的结果，以及两个个位数相乘所得的结果．
数学活动2
规律： 十位数加1，再乘以十位数的得数写在结果的千位 和百位，两个个位数相乘的得数写在结果的十位和个 位．
符号表示：
（ 10a b） （ 10a 10 b）=100（ a a 1） （ b 10 b） .
1、多项式x2-4x+4、x2-4的公因式是_________
+mx 2、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则m=_____ 3、已知x2-8x+m是完全平方式，则m=_____ 4、已知x2-8x+m2是完全平方式，则m=_____ 5、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b=_____ 6、如果(a2 +b2 )(a2 +b2 -1)=20,2 因式分解： 2 2 （1） 25 x -16 y ；
（ 2） （a -b） （x-y）（ - b-a） （x+y）； 2 2 a 4 ab + 4 b ； （ 3） 2 4 + 12 （ x y ）（ + 9 x y ） ． （ 4）
分解因式：
3 2 （1）x 2 x x；
例2 因式分解： （ 1） 16 x 4 -1； 3 2 （2）a -10a + 25a； 2 m （3） - 4m-12．
典型例题
例3 化简求值． （ 1） （a- 2） （a+ 2）（ -a a- 2）,其中 a=-1 ； 2 2 2 2 （x+y）= 25，（x-y）=9 ，求 xy 和 x +y 的值． （2）已知
3.( 9)
最新八年级上册数学第14章复习知识点：因式分解
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因式分解
定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的方式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。
分解因式与整式乘法为相反变形。
同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤
1、因式分解与解高次方程有亲密的关系。
关于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。
在数学上可以证明，关于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。
只是由于公式过于复杂，在非专业范围没有引见。
关于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比拟复杂。
关于五次以上的普通多项式，曾经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。
2 、一切的三次和三次以上多项式都可以因式分解。
这看起来或许有点不可思议。
比如X^4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。
但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。
假设有兴味，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。
3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。
因式分解很多时分就是用来提公因式的。
寻觅公因式可以用辗转相除法来求得。
规范的辗转相除技艺关于中先生来说难度颇高，但是中学有时分要处置的多项式次数并不太高，所以重复应用多项式的除法也可以比拟笨，但是有效地处置找公因式的效果。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
新人教版八年级数学第十四章整式乘法与因式分解复习
学习必备 欢迎下载第14章整式的乘法与因式分解复习一、知识网络结构图同底数幂的乘法法则： a m ·a n ＝a m ＋ n (m ，n 都是正整数 ) 幂的运算法则幂的乘方法则： (am )n＝ amn(m ，n 是正整数 )积的乘方法则： (ab)n ＝ a n b n (n 是正整数 )整式的乘法整 式乘法公式的 乘除 与 因 式 公 整式的除法解单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加平方差公式： (a ＋b)(a － b)＝a 2－b2完全平方公式： (a ＋ b)2＝ a 2＋ 2ab ＋b 2，(a － b)2＝ a 2－ 2ab ＋b 2同底数幂的除法法则： mnm － na ÷ a ＝ a(a ≠0，m ，n 都是正整数且 m ＞n)零指数幂的意义： a 0＝1(a ≠ 0)单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式因式分解平方差公式： 方法公式法完全平方公式a 2－b 2＝ (a ＋ b)(a －b)2＋2ab ＋ b 22a ＝ (a ＋b) a 2 －2ab ＋ b 2＝ (a －b)2二、典型例题幂的运算法则及其逆运用例1 计算2 x3 · － x ２ ＝ ．( 3 )例 2 计算 [ a 4( a 4－4a) － ( － 3a 5) 2÷ ( a 2) 3] ÷( －2a 2 ) 2整式的混合运算例 3计算 [( a －2b)(2 a － b) －(2a ＋ b) 2＋ ( a ＋b)( a －b) － (3 a) 2 ] ÷ ( －2a) ．因式分解例 4 分解因式．3x ＋x ＋2－ ．(1) m － m ；(2)( 2)(3)＋ x4转化思想 例 5 分解因式 a 2－ 2ab ＋b 2－c 2整体思想例 6 (1) 已知 x ＋ y ＝ 7， xy ＝12，求 ( x －y) 2；(2) 已知 a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，求 ab 的值．8 2开放型题例 7 （ 2009·吉林中考）在三个整式 x 2 2xy, y 22xy, x 2 中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分 解 .规律探究题例 8 如图 15－ 5 所示，摆第 1 个“小屋子”需要 5 枚棋子，摆第 2 个需要枚棋子，摆第 3 个需枚棋子，按这种方式摆下去，摆第 n 个这样的 “小屋子”需要枚棋子．例 9 (1) 计算． ①( a － 1)( a ＋1) ；②( a － 1)( a 2＋ a ＋ 1) ；③( a － 1)( a 3＋ a 2 ＋a ＋1) ；④( a － 1)( a 4＋ a 3 ＋a 2＋a ＋1) ．(2) 根据 (1) 中的计算，你发现了什么规律 ?用字母表示出来．(3)根据 (2) 中的结论，直接写出下题的结果．①( a － 1)( a 9＋ a 8 ＋a 7＋a 6＋ a 5＋a 4＋a 3＋a 2 ＋a ＋ 1) ＝；②若 ( a －1) ·M ＝a 15－ ，则 M ＝；1③( a － b a 5＋ a 4 b ＋ a 3b 2 ＋a 2b 3＋ab 4＋b 5 )＝；x － )( x 4＋ x 3＋ x 2＋ x ＋④(2 1)(16 1) ＝；8 4 2三、训练题一、选择题1 ．计算 ( a 3)2 的结果是( )A ． a 5B ． a 6C ．a 8D ． a 92 ．下列运算正确的是( )A ． a 2· a 3 ＝a 4B ．( －a) 4 ＝a 4C ． a 2＋ a 3 ＝a 5－xD ．( a 2) 3＝a 53 ．已知 x － y ＝－ ，则＋ 3y 的值是 ( )3 35A ． 0B ．2C ．5D ．8．若 m ＋n ＝ ，则22 － 的值为4 m ＋ mn ＋ n6( )3 24 2A ． 12B ．6C ．3D ．05．如图 15－4 所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形( a ＞b ) ，把余下的部分拼成一个矩形， 根据两个图形中阴影部分的面积相等， 可以验证 ()A ． ( a ＋b) 2＝a 2＋2ab ＋ b 2B ． ( a －b) 2＝a 2－2ab ＋ b 2C ． a 2－ b 2 ＝( a ＋ b)( a － b)D ． ( a ＋2b)( a － b) ＝a 2＋ ab －2b 26 ．下列各式中，与 ( a － b) 2 一定相等的是 ( )A ． a 2＋ ab ＋b 2B ．a 2－b 22C ． a 2＋ b 2D ．a 2－ ab ＋ b 0．已知 x ＋ y ＝－ ，xy ＝ ，则 x 2＋ y 2 的值为 27( )5 6A ． 1B ．13C ．17D ．25 8 ．下列从左到右的变形是因式分解的是( )A ． ma ＋mb － c ＝ m a ＋ b － c()B ． ( a －b)( a 2＋ab ＋b 2) ＝a 3－b 3C ． a 2－ ab ＋b 2－ ＝ a a － b ＋(2b ＋1)(2 b －1)441 y ( x 4 ) yD ． x 2－ y 2＝(2 x ＋)(2－)4 25 5 59．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )A ．－ a 2＋b 2B ．－ a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．a 3－b 310 ．如果 ( x －2)( x － 3) ＝x 2＋ px ＋q ，那么 p ，q 的值是 ()A ． p ＝－ ，q ＝6B ．p ＝ ，q ＝－651C ． p ＝ ，q ＝6D ．p ＝ ，q ＝－615二、填空题mn3m ＋ 2n ＝．11．已知 10 ＝2，10 ＝3，则 10x －y 12 ．当 x ＝ ，y ＝1时，代数式( x ＋ y)( ) ＋y 2的值是．．若 a － 3b －b ＝ ，ab ＝－ ，则(a ＋1)(1) ＝．13123．14．分解因式： 2m －8m ＝．已知 y＝ 1 x － ，那么 1 x 2－ xy ＋ y 2 － 2 的值为 ．153132316 ．计算： 5752×12－ 4252×12＝．17．若 (9 n ) 2 ＝38，那么 n ＝．k 的值为18．如果 x 2 ＋ kx ＋81是一个完全平方式，那么．219．多项式x 2＋1加上一个单项式后， 使它成为一个整式的完全平方式， ．那9么加上的单项式是．( 填一个你认为正确的即可 )20．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，222我们可以得到两数和的平方公式： （ a+b ） =a +2ab+b ．你根据图乙能得到的数学公式是 _________________三、解答题21．化简． (1)－( m －2n) ＋ 5( m ＋4n) －2( －4m － 2n) ；(2)3(2x ＋1)(2 x － 1) －4(3 x ＋2)(3 x －2) ；(3)20002－1999×2001．22 ．分解因式．22－ mn n －m ； (1)mn m － n() 4 ()(2)( x ＋ y) 2＋64－16( x ＋y) ．23．已知 a，b 是有理数，试说明 a2＋ b2－2a－4b＋8 的值是正数．24．先化简，再求值： ( a＋b)( a－b) ＋ (4 ab3－8a2 b2) ÷4ab，其中 a＝ 2， b＝ 1．25．给出三个多项式：1x2 2 x 1 ，1x24x 1，1x22x ．请选择你最喜欢222的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．26．如图15－ 6所示，有一个形如四边形的点阵，第l 层每边有两个点，第 2 层每边有三个点，第 3 层每边有四个点，以此类推．(1)填写下表；层数123456各层对应的点数所有层的总点数(2)写出第 n 层对应的点数；(3)写出 n 层的四边形点阵的总点数；(4)如果某一层共有 96 个点，你知道是第几层吗 ?(5)有没有一层点数为 100?。
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点
八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。
三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。
方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。
五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。
在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。
熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。
掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。
人教版八年级数学上册作业课件 第十四章 整式的乘法与因式分解 章末复习(四) 整式的乘法与因式分解
17．已知a－b＝5，ab＝3，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值. 解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2.当a－b＝5，ab＝3 时，原式＝3×52＝75 18．已知x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值． 解：∵x2－y2＝12，∴(x＋y)(x－y)＝12. 又x＋y＝3，∴x－y＝4.∴2x＝7. ∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
【核心素养】 19．【数形结合思想】数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示 的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形， C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图②的大正方形．
(1)观察图②，请你写出下列三个代数式：(a＋b)2，a2＋b2，ab之间的等 量关系_(_a_＋__b_)_2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_；
知识点二 整式的乘除运算 6．下列运算正确的是( D ) A．x·2x2y2＝2x2y2 B．(a－2)2＝a2－4
C．(－2a2)3÷(a2 )2＝－16a D．(2a2－a)2÷a2＝4a2－4a＋1
7．(河北中考)墨迹覆盖了等式“x3 x＝x2(x≠0)”中的运算符号，则覆盖 的是( D ) A．＋ B．－ C．× D．÷
(2)若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的矩形，则需要A种纸片1张，B种：
①已知：a＋b＝5，a2＋b2＝11，求ab的值； ②已知(x－2 018)2＋(x－2 020)2＝20，求x－2 019的值．
解：(3)①∵a＋b＝5， ∴(a＋b)2＝25，即a2＋b2＋2ab＝25. 又∵a2＋b2＝11，∴ab＝7 ②设x－2 019＝a，则x－2 018＝a＋1，x－2 020＝a－1. ∵(x－2 018)2＋(x－2 020)2＝20， ∴(a＋1)2＋(a－1)2＝20， 整理得a2＝9，即(x－2 019)2＝9. ∴x－2 019＝±3
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳超级精简版(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳超级精简版单选题1、如果（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（）A．5，6B．1，﹣6C．﹣1，6D．5，﹣6答案：B分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值．解：∵(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2+mx+n，∴m=1，n=−6．故选：B．小提示：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式法则．2、已知（x－2021）2+（x－2023）2＝50，则（x－2022）2的值为（）A．24B．23C．22D．无法确定答案：A分析：先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，∴（x-2022）2=24．故选：A．小提示：此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．3、不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x−4y+7的值（）．A．可为任何实数B．不小于7C．不小于2D．可能为负数答案：C分析：要把代数式x2+y2+2x−4y+7进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围．具体如下：x 2+y 2+2x −4y +7＝（x 2＋2x ＋1）＋（y 2−4y ＋4）＋2＝（x ＋1）2＋（y−2）2＋2， ∵（x ＋1）2≥0，（y−2）2≥0， ∴（x ＋1）2＋（y−2）2＋2≥2， ∴x 2+y 2+2x −4y +7≥2．故选：C ．小提示：主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值的范围．要求掌握完全平方公式，并会熟练运用．4、若M =√20212×20232+4044×2022−202243，则（ ）A ．M <−1B ．M =1C ．−1<M <1D ．M >1答案：B分析：根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解．解：∵ 20212×20232+4044×2022−20224=((2022+1)×(2022−1))2+2022×2×2022−(20222)2=(20222−1)2+2×2022×2022−(20222)2=20224−2×20222+1−(20222)2+2×20222=1,∴M =√13=1,故选:B.小提示：本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键．5、计算（﹣4a 2+12a 3b ）÷（﹣4a 2）的结果是（ ）A ．1﹣3abB ．﹣3abC ．1+3abD ．﹣1﹣3ab答案：A分析：直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．（-4a 2+12a 3b ）÷（-4a 2）=1-3ab ．故选A ．小提示：此题主要考查了整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．6、分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）答案：C分析：按照平方差公式进行因式分解即可.解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．故选：C．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．7、66是63的（）A．2倍B．36倍C．3倍D．216倍答案：D分析：把问题转化为同底数幂的除法计算即可．∵66÷63=63=216，故选D．小提示：本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2答案：D分析：先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c﹣2）2＝0，∴b+c＝2，故选：D．小提示：本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.9、已知（x-m）（x+n）=x2-3x-4，则m-n的值为( )A．1B．-3C．-2D．3答案：D分析：把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m-n的值．（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D．小提示：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．10、计算：(a⋅a3)2＝a2⋅(a3)2＝a2⋅a6＝a8，其中，第一步运算的依据是（）A．同底数幂的乘法法则B．幂的乘方法则C．乘法分配律D．积的乘方法则答案：D分析：根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积．解：计算：(a⋅a3)2＝a2⋅(a3)2＝a2⋅a6＝a8，其中，第一步运算的依据是积的乘方法则．故选：D．小提示：本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．填空题11、已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示(0<m<0.5)，甲、乙的面积分别为S1，S2．则S1与S2的大小关系为：S1___________ S2；（用“＞”、“＜”、“=”填空）答案：＜分析：利用多项式乘多项式求出长方形的面积，两者作差，即可比较S 1与S 2的大小．解：由题意可知：S 1=(m +1)(m +7)=m 2+8m +7，S 2=(m +2)(m +4)=m 2+6m +8∴S 1−S 2=2m −1∵0<m <0.5，∴−1＜2m −1＜0，即S 1＜S 2．所以答案是：＜小提示：本题考查多项式乘多项式，以及不等式的性质，解题的关键是求出S 1−S 2=2m −1，并利用m 的取值范围确定S 1＜S 2．12、已知a 2−6a +√b −2=−9，且√c 3=−1，则3a −2b +c 的算术平方根是________．答案：2分析：先对已知等式进行变形，再利用偶次方和算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后利用立方根求出c 的值，最后代入求值，计算算术平方根即可得．a 2−6a +√b −2=−9，a 2−6a +9+√b −2=0，(a −3)2+√b −2=0，则{a −3=0b −2=0 ，解得{a =3b =2， 由√c 3=−1得：c =−1，则3a −2b +c 的算术平方根是√3a −2b +c =√3×3−2×2+(−1)=√4=2，所以答案是：2．小提示：本题考查了偶次方和算术平方根的非负性、算术平方根与立方根、完全平方公式，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．13、已知长方形的面积为4a 2-4b 2,如果它的一边长为a +b ，则它的周长为______．答案：10a -6b分析：直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案．∵4a2−4b2=4(a2−b2)=4(a+b)(a−b)，长方形的一边长为a+b∴长方形的另一边长为4(a+b)=4a+4b∴该长方形的周长为：（4a-4b+a+b）×2=10a-6b，所以答案是：10a-6b小提示：本题主要考查因式分解，掌握利用公式分解因式是解题关键．14、计算：(a−b)3⋅(b−a)4=______．（结果用幂的形式表示）答案：(a−b)7##−(b−a)7分析：本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．(a−b)3⋅(b−a)4=(a−b)3⋅(a−b)4=(a−b)7所以答案是：(a−b)7小提示：本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键．15、计算：（x+3）（x+5）＝_____．答案：x2+8x+15分析：根据多项式与多项式相乘的法则计算．解：（x+3）（x+5）＝x2+5x+3x+15＝x2+8x+15所以答案是：x2+8x+15．小提示：本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．解答题16、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2−4y2−2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
初中数学八年级上册《第14章 整式的乘法与因式分解》复习
《第14章整式的乘法与因式分解》复习复习目标：1.了解非负整数指数幂的意义和基本性质.2.会进行简单的整式乘法运算.3.会推导乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2；(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算.4.会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).复习指导：记住本章的各个公式，明辨各个公式间的异同和特征，这是正确进行整式运算和因式分解的前提.抓住知识间的联系，如整式乘除间的互逆关系、整式乘法与乘法公式的一般与特殊的关系、整式乘法与因式分解的相反过程关系等等.这样能沟通知识，解题时可达到事半功倍的效果.一、知识体系建构二、夯实基础知识点1 幂的运算性质1.同底数幂的乘法: ;2.幂的乘方， ;3.同底数幂的除法， ;4.积的乘方，.跟踪训练：5.下列计算正确的是()A .(a 3)2=a 5B .a 3+a 2=a 5C .(a 3-a )÷a=a 2D .a 3÷a 3=16.y 3n+1可写成( )A .(y 3)n+1B .(y n )3+1C .y ·y 3nD .(y n )n+17.计算:(a 3b 5)2÷a 5b 6·a 2b 2知识点2 乘法公式对于乘法公式要分清其结构特征，如平方差公式左边是两个数的和乘这两个数的差，右边是这两个数的平方差.完全平方公式左边是两个数的和(差)的平方，右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(差).用式子表示下列乘法法则：8.单项式的乘法： .9. 单项式乘以多项式： .10.多项式乘以多项式： .11.乘法公式：(1)平方差公式： .(2)完全平方公式： . 跟踪训练：12.若x=1，y=21，则x 2+4xy+4y 2的值是( ) A .2 B .4 C .23 D .21 13.化简:(a+2)(a-2)-a (a+1).14.已知x-1(x+1)2-4(x+1)+4的值.知识点2 整式的运算整式的化简涉及乘法公式，单项式的加、减、乘、除运算.要熟练掌握各种运算法则及添括号法则.运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先计算括号里面的，注意乘法公式的运用以及简化运算.15.单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的______，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的______.16.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 .跟踪训练：17.下列计算正确的是( )A .(a-b )2=a 2-b 2B .(-a 2)3=-a 6C .x 2+x 2=x 4D .3a 3·2a 2=6a 6 18.计算:(2a 2)3·a 4= .19.先化简，再求值: [(x-y )2+(x-y )(x+y )]÷x ，其中x=-1，y=21.专题四 因式分解因式分解先考虑提取公因式，若有必须先提取.提取完公因式后，从形式看有两项，两项都能写成平方的形式，且符号相反，则利用平方差公式;提取完公因式后，从形式看有三项，这三项通过调整后符合完全平方式，则利用完全平方公式.分解因式的结果必须是几个整式的乘积的形式，分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.20.因式分解的基本方法：提公因式法：形如ma mb mc m a b c ++=++()(1)公因式的定义及确定公因式：①公因式：②确定公因式：.(2)提公因式法的概念和步骤：①概念：②提取公因式的依据：___________.③提取公因式的步骤：“一定”：确定公因式.“二提”：将各项的公因式提出来并确定另一个因式，提取过程实际是用原多项式除以公因式的过程.(3)用提公因式法分解因式时要注意的几点：①因式分解要_________，要分解到__________________.②当多项式第一项的系数是负数时，通常提出“－”号，使括号内第一项的系数变为正数，在提出“－”号后，多项式都要变号.公式法(4)运用平方差公式因式分解：①平方差公式：__________________②公式左边特点：__________________________公式右边特点：______________________(5)运用完全平方公式因式分解：①完全平方公式_________________________ ②公式左边特点：____________________________________________________； 公式右边特点：___________________________________________________.(6)运用平方差公式和完全平方公式因式分解：①根据多项式的项数选择公式，二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式. ②运用公式的关键是将多项式改写成符合公式特征的形式.(7)注意：形如()2n m -与()2m n -可以写成同一个形式；而对于()2n m -与()3m n -，在化成同一个形式时要注意符号的变化.分组分解法：(1)分组后直接提公因式；(2)分组后直接运用公式；十字相乘法：x 2+(p+q )x+pq 型式子因式分解，即：x 2+(p+q )x+pq=x 2+px+qx+pq=(x 2+px )+(qx+pq )=x (x+p )+q (x+p )=(x+q )(x+p )；21.因式分解的一般步骤：一提（取公因式），二用（公式），三分组，四其它，五检查. 跟踪训练：22.把多项式x 3-2x 2+x 分解因式，结果正确的是( )A .x (x 2-2x )B .x 2(x-2)C .x (x+1)(x-1)D .x (x-1)223.把代数式mx 2-6mx+9m 分解因式，下列结果中正确的是( )A .m (x+3)2B .m (x+3)(x-3)C .m (x-4)2D .m (x-3)224.若代数式x 2-6x+b 可化为(x-a )2-1，则b-a 的值是 .我的疑惑：三、课堂互动典型题型1 幂的性质的计算25.计算:[(-y 3)4]2÷[(y 2)4·y 5·(-y )2].典型题型2 利用公式简便计算26.化简:(1)(2a+3b-2)(2a-3b+2)； (2)(5a+3b )2(5a-3b )2.典型题型2 求与整式相关的代数式的值27.先化简，再计算:[(xy+2)(xy-2)-2(x 2y 2-2)]÷xy ，其中x=10，y=251-.方法总结：典型题型3 因式分解28.给出三个多项式:12212-+x x ，14212++x x ，x x 2212-.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解.方法总结：四、总结归纳1.你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2.你还有哪些疑惑？3.你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4.在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.下列计算正确的是()A.(x3)3=x6B.a6·a4=a24C.(-bc)4÷(-bc)2=b2c2D.x6÷x3=x22.若a-b=1，ab=-2，则(a+1)(b-1)= .3.比较550与2425的大小.4.先化简，再求值:2b 2+(a+b )(a-b )- (a-b )2，其中a=-3，b =21. 《第14章 整式的乘法与因式分解》复习二、夯实基础1.底数不变,指数相加2.底数不变,指数相乘3.底数不变,指数相减4.等于积中各因式分别乘方再相乘.5.D6.C7.解:原式=a 6b 10÷a 5b 6·a 2b 2=a 3b 6.8.单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.9.:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.10.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一个项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.11.(1)(a+b )(a-b )=a 2-b 2 (2)(a+b )2=a 2+2ab +b 2;(a-b )2=a 2-2ab +b 2 12.B13.解:原式=a 2-4-a 2-a=-a-4.14.解:原式=(x+1-2)2=(x-1)2.当x-1=2=3.15.因式；一个因式 16.相加 17.B 18.8a 1019.解:原式=(x 2-2xy+y 2+x 2-y 2)÷x=(2x 2-2xy )÷x=2x-2y .当x=-1,y=时,原式=2x-2y=2×(-1)-2×=-3.20.(1)①一个多项式各项都含有的公共的因式，叫这个多项式的公因式.；②系数，取各项整数系数的最大公约数；字母，取各项的相同字母；指数，取各相同字母的最低次数（2）①如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法；②乘法分配律 (3)①先提公因式,不能分解为止 (4)①a 2-b 2=(a+b )(a-b )②两个数（式子）的平方差;两数和与两数差的积 (5)①222)(2b a b ab a ±=+±②完全平方式；_两数和（差）的平方22.D 23.D 24.525.解:原式=(y 12)2÷(y 8·y 5·y 2)=y 24÷y 15=y 24-15=y 9.26.解:(1)原式=[2a+(3b-2)][2a-(3b-2)]=4a 2-(3b-2)2=4a 2-9b 2+12b-4.(2)原式=[(5a+3b )(5a-3b )]2=(25a 2-9b 2)2=625a 4-450a 2b 2+81b 4.27.解:原式=(x2y2-4-2x2y2+4)÷xy=-x2y2÷xy=-xy.当x=10,y=-125时,原式=-10×12-255⎛⎫=⎪⎝⎭.28.解:情况一: x2+2x-1+x2+4x+1=x2+6x=x(x+6)；情况二: x2+2x-1+x2-2x=x2-1=(x+1)(x-1)；情况三: x2+4x+1+x2-2x=x2+2x+1=(x+1)2.五、达标检测1.C2.-43.解:∵550=(52)25=2525>2425，∴550>2425.4.解:原式=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab.当a=-3，b=时,原式=2×(-3)×=-3.。
第十四章整式的乘法与因式分解复习--ppt课件精选全文
提：提公因式 提负号
套 二项式：套平方差 三项式：套完全平方与十字相乘法
看： 看是否分解完
3、因式分解应用：
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1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1
B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2
C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)
D. 2a2 - 1 （2 a2 - 1） （2 a 1）(a 1)
2
4
22
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10
2.下列各式是完全平方式的有( D )
① x2 2x 4 ③x2 2xy y2
② x2 x 1 4
④ 1 x2 - 2 xy y2 93
A.①②③ C. ①②④
B.②③④ D.②④
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a0=1(a≠0) 3、幂的乘方: (am )n = amn 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项:
解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆
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3
1、若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.
2、计算：0.251000×（-2）2001
注意点：
3.(9)1004 ( 1 )670 27
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1 、已知a+b=5 ，ab= -2，
求（1） a2+b2 （2）a-b
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
2、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x-y的值；
3、已知 x 3 1 求x2-2x-3的值
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
考点二 整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆 运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.
第14章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级上册 第十四章 章末复习
(3)xy2－x＝__x_(y_＋__1_)_(y_－__1_)__.
8．若x2＋kx－10＝(x－5)(x＋2)，则k的值为____－__3____．
9．已知m＋3n＝5，则2m＋6n＋2＝___1_2____．
第十四章 章末复习
10．计算： (1)(2a＋3b)(2a－b)； (2)(12x3＋6x2 )÷3x. 解：(1)原式＝4a2－2ab＋6ab－3b2
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
第十四章 章末复习
3.计算： (1)x3y·3y2＝___3_x_3_y_3 ___； (2)2x(3x2－x)＝__6_x_3－__2_x_2__； (3)8a5b3÷(－4a2b)＝__－__2_a_3_b_2 __．
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第十四章 章末复习
4．计算： (1)2a2·ab2＋ab·(－a2b)； (2)(3x－4y)(x＋2y)； (3)(6m4－8m2n2)÷2m2.
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基础练习
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第十四章 章末复习
1．(2023吉林)下列各式运算结果为a5的是( B )
A．a2＋a3
B．a2·a3
C．(a2)3
D．a10÷a2
2．(2023赤峰)下列运算正确的是( A )
A．(a2b3)2＝a4b6
B．3ab－2ab＝1
C．(－a)3·a＝a4
D．(a＋b)2＝a2＋b2
解：(1)原式＝2a3b2－a3b2＝a3b2. (2)原式＝3x2＋6xy－4xy－8y2＝3x2＋2xy－8y2. (3)原式＝6m4÷2m2－8m2n2÷2m2＝3m2－4n2.
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第十四章 章末复习
乘法公式 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解复习课件
课程标准
本章知识梳理
1.能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和
一次式与二次式的乘法).
2.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公
式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.
3.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过两次)进行因式
分解(指数是正整数).
知识导航
同底数幂的乘法：am·an=am+n（m,n都是正整数） 幂的乘方：(am)n=amn（m,n都是正整数） 整式的 积的乘方：(ab)n=anbn（n是正整数） 乘法 单项式与单项式相乘：ambn·ab=am+1bn+1(m,n都是正整数) 单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc 多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
＝(4+x2)(2+x)(2-x).
易错典例
易错点7：错误运用整体思想分解因式 【例7】分解因式：(m+n)2－4(m+n)+4. 错解：许多同学对此题束手无策，或误解为原式=(m+n)(m+n－ 4)+4. 错解分析：公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式.要 避免把公式中的字母看成一个数的局限性.此题可以把m+n看作一 个整体. 正解：原式=(m+n－2)2.
续表
提公因式法:ma+mb=m(a+b)
因式分解
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) 公式法
完全平方公式法：a2±2ab+b2=(a±b)2
十四章因式分解全章复习.doc
二、学习与应用整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提高） —、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数!学习目标：• 掌握正整数养的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项 式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；•会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的儿何意义，能利用公式进行乘法运算； •掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，井能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； • 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过 两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.学习策略：•理解整式乘法与因式分解的々:逆关系; • 牢记公式，灵活运用，提高计算能力.“凡事预则立，不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 性.我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记.知识回顾 复习 4金学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？1. 籍的运算包括： _______ 、 _________ 、 ________ 、 ________ 、 _______ .2. 整式的乘法有哪几类： _______ 、 _________ 、 _________ .3. _________________________ 平方差公式： ________________________ 、完全平方公式： .4. 因式分解的方法有： 、 、 、 ^要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习.课堂笔记或者其它补充填在右栏.预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID ：#35159#401230要点一、幕的运算1. .......................................................... 同底数环的乘法：a m - a"= （其中〃2, 〃都是正整数）.即同底数环相乘,底数..... ，指数…….2. ......................................... 吊的乘方：............................ （"?，〃为正整数）；搴的乘方，底数，指数…….3. ......................................... 积的乘方：（。
人教版八上数学第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)课件
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
填空：
(1)(a __3_)2 a2 6a _9__ (2)(2x _5__)2 4x2 _2_0x_ 25 (3)a2 b2 (a b)2 __2a_b__ (4)(x y)2 __4_x_y__ (x y)2
(2) 先化简，再求值:
(a2 -2b2) (a+2b) -2ab(a-b)
其中
a=1,b=
1 2
.
公式的 反向使用
amn am n an m
已知10a＝4，1 0b＝7，求下列各式的值 （1）1 02a3b （2）1 02a 103b
公式的 反向使用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
= abc mmm
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
例题
例题解析
例3 计算：
（2）原式= =
xy2 (1 xy)
2
2 y
(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c) =a8b4c2
(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2 =4x2y2
幂的乘方
a a ( m ) n = mn
整 式
积的乘方
( ab
n
)=
an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
单项式与多项式相乘 m(a+b)= ma+mb
多项式的乘法(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
八年级数学上册第十四章整式的乘法因式分解复习课件
然后进行因式分解。
30% Option 3
56% Option 2
完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，用于将 三项式因式分解。
分组分解法
概念
分组分解法是把多项式中的项 按照某种规则分成几组，然后 分别进行因式分解，最后再将 各组的结果整合起来。
乘法公式及其应用
80%
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，用于 计算两个数的平方差。
100%
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，用 于计算一个二项式的平方。
80%
举例
利用平方差公式计算 $(x+3)(x3)=x^2-9$；利用完全平方公式计 算 $(x+2)^2=x^2+4x+4$。
05
课堂小结与知 识点梳理
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
整章知识点回顾总结
掌握单项式与单项式、单项式与多项 式、多项式与多项式的乘法法则，并 能熟练进行运算。
整式的乘法
理解并掌握平方差公式和完全平方公 式，能运用公式进行简单的计算。
乘法公式
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值 例题1 例题2 例题3 已知多项式$f(x)=x^2+px+q$，且$f(1)=0$， $f(2)=0$，求$f(x)$的解析式 已知$x^2+y^2=10$，$xy=3$，求$(x+y)^2$和 $(x-y)^2$的值
第14章 整式的乘法与因式分解 章末综合训练 八年级上册数学人教版课后习题(含答案)
章末综合训练一、填空题1.若多项式x2+kx+16是一个完全平方式,则k的值是.2.设a=192×918,b=8882-302,c=1 0532-7472,则a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是 .3.若a+3b-2=0,则3a·27b的值是 .4.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成|a b c d|,定义|a b c d|=ad-bc.若|-5 3x2+5x2-3|=6,则11x2-5= .2 二、选择题5.下列计算正确的是( )A.(a3)2=a5B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4D.2x12÷x6=2x66.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)7.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),则a,b的值分别是( )A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3D.a=2,b=-38.(x n+1)2(x2)n-1=( )A.x4nB.x4n+3C.x4n+1D.x4n-19.把多项式x3-2x2+x分解因式正确的是( )A.x(x2-2x)B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1)D.x(x-1)210.计算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)等于( )A.-8x2y2+4xy-1B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1D.-8x2y2+4xy11.如图①,一个长方形的长为2m,宽为2n(m>n),用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图②那样拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是( )A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2D.m2-n212.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( )A.2,3,7B.3,7,2C.2,5,3D.2,5,7三、解答题13.计算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化简再求值:(1)2x-23y-(x-y)2―23xy,其中x=1,y=9;(2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.在三个整式x2+2xy,y2+2xy,x2中,请你任意选出两个进行加(或减)运算,使所得整式可以因式分解,并进行因式分解.16.观察下列三个算式的特点:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)请你再写两个具有同样规律的算式;(2)用文字写出反映上述算式的规律;(3)验证这个规律的正确性.章末综合训练一、填空题1.±82.a<c<b 因为a=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)(888+30)=858×918,c=10532-7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=600×918,所以a<c<b.3.94.-6 由新定义知,|-5 3x 2+52 x 2-3|=-5(x 2-3)-2(3x 2+5)=-5x 2+15-6x 2-10=-11x 2+5.因为|-5 3x 2+52 x 2-3|=6,所以-11x 2+5=6.故11x 2-5=-(-11x 2+5)=-6.二、选择题5.D6.D7.B ∵(x+1)(x-3)=x 2-2x-3,∴x 2+ax+b=x 2-2x-3.∴a=-2,b=-3.8.A 9.D 10.A11.C 拼成的正方形的边长为(m+n ),它的面积为(m+n )2=m 2+2mn+n 2.原长方形的面积为4mn ,故中间空白部分的面积为m 2+2mn+n 2-4mn=m 2-2mn+n 2=(m-n )2.12.A 长为(a+3b ),宽为(2a+b )的大长方形的面积为(a+3b )(2a+b )=2a 2+7ab+3b 2.因为一张A 类卡片的面积为a 2,一张B 类卡片的面积为b 2,一张C 类卡片的面积为ab ,所以需要A 类卡片2张,B 类卡片3张,C 类卡片7张.故选A .三、解答题13.解(1)原式=2a 5·a 2-7a 6·a=2a 7-7a 7=-5a 7.(2)原式=(2x 2+3xy-8xy-12y 2)-(x 2-xy+2xy-2y 2)=2x 2-5xy-12y 2-x 2-xy+2y 2=x 2-6xy-10y 2.14.解(1)原式=2x -23y -x +y2―23xy =x +13y 2―23xy=x 2+19y 2+23xy-23xy=x 2+19y 2.当x=1,y=9时,原式=12+19×92=1+9=10.(2)原式=(3x-y+2x+y )(3x-y-2x-y )-5x 2+5xy=5x ·(x-2y )-5x 2+5xy=5x 2-10xy-5x 2+5xy=-5xy.当x=2,y=1时,原式=-5×2×1=-10.15.解(x 2+2xy )+x 2=2x 2+2xy=2x (x+y );或(y 2+2xy )+x 2=(x+y )2;或(x 2+2xy )-(y 2+2xy )=x 2-y 2=(x+y )(x-y );或(y 2+2xy )-(x 2+2xy )=y 2-x 2=(y+x )(y-x ).16.解(1)答案不唯一,如112-52=8×12,152-72=8×22.(2)规律:任意两个奇数的平方差等于8的倍数.(3)验证:设m ,n 均为整数,两个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n )(m+n+1).当m ,n 同是奇数或偶数时,m-n 一定是偶数,所以4(m-n )一定是8的倍数;当m ,n 为一奇一偶时,m+n+1一定为偶数,4(m+n+1)一定是8的倍数.因此,任意两个奇数的平方差是8的倍数.。
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第十四章:整式的乘法与因式分解期末复习
第五中学初二数学教研组编制(2013.12.6)
一．知识精要：
1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数 ，指数 。
用字母表示：
2.幂的乘方：底数 ，指数 。
用字母表示：
3.积的乘方：等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 。
用字母表示：
4.同底数幂相除，底数 ，指数 。
用字母表示： 。
5．任何不等于 的0次幂都等于1。
用字母表示： 。
6.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式。
7. .单项式相除，把 、 分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 作为商的一个因式
8.乘法公式：（1）平方差公式：两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 。
用字母表示： 。
（2）完全平方公式：两个数的 （或 ）的平方，等于它们的平方 ，加上（或 ）它们的积的 倍。
用字母表示： 。
9.因式分解的定义：把一个 化成几个 ，这样的式子变形叫做多项式的因式分解。
10. 因式分解的基本方法有 、 。
11. 因式分解的公式：（1）平方差公式：两个数的平方差，等于 。
用字母表示： 。
（2）完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积2倍，等于 。
用字母表示： 。
12.把形如 和 的式子叫做完全平方式。
二．基本题型：
1计算：43)21x -）（（ 2992）（ )52)(523---b b ）（（
2
)4b a --）（（ )5)(14)(5(y y -- 22258758)6(- )3)(6(7--x x ）（
2.先化简，再求值：2
1,31),2)(2()32(2-==
-+-+y x y x y x y x 其中
3.分解因式：
（1）1164-x （2）32296y y x y x -- （3）ab b a 8)2+-。