新高考数学模拟试卷(附答案)

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新高考数学模拟卷(附答案)

新高考数学模拟卷（考试时长120分钟，总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若1i z =+，则2|2|z z -=A ．0B ．1CD ．22.已知集合{}31|3,|log 02A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A.122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B.112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C.{13}xx <<∣ D.1123xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 3. 已知a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，若a ⊥c ，则|c |＝A.34.已知,,a b ∈R 则“||1a ”是“||||1a b b -+”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 将函数2log (22)y x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x = A.2log (21)1x +- B.2log (21)1x ++ C.2log 1x - D.2log x6. 某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A 和歌唱类节目B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60D.757.已知拋物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与拋物线交于M ，N 两点，若3,PF MF =则||MN =( )A.163B.83C.2 8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为1；③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16；④点1B 到平面EGFH. 其中正确命题的序号为（） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．②③④二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若函数2(),f x x =设155151log 4,log ,2,3a b c ===则(),(),()f a f b f c 的大小关系不正确的是( )A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f c f a f b >>10.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊂⊥/，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥11.已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，ππ082f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在(0,π)上单调.下列说法不正确的是( ) A.12ω=B.π6282f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=-.下列命题正确的是( ) A.当0x <时，()e (1)x f x x =+ B.函数()f x 有5个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的范围是[(2),(2)]f f -D.对()()1221,,2x x f x f x ∀∈-<R 恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为____________.（用数字作答）.14.已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为_______. 15.巳知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，2AB =,则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为____________.16. 对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线ax ＋by ＋c ＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l ，记所有的点词l 的距离的最小值为d ，约定：d 1越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将P 1，P 2，P 3和P 4归为第I 组点，樽Q 1，Q 2，和Q 3归为第II 组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L 给出下列四个结论：①直线x ＝2.5比直线3x －y －5＝0的分类效果好； ②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；④如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。

2024年高考数学精选模拟试卷及答案

2024年高考数学精选模拟试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现要完成下列2项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；①东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）4．现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中,A B 两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（） A ．6B ．12C ．16D ．185．下列命题中正确的个数是①命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠; ①“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件; ①若p q ∧为假命题，则p ，q 为假命题;①若命题2000:,10p x R x x ∃∈++<,则:p x ⌝∀∈R ，210x x ++≥.二、多选题三、填空题四、解答题16．2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. （1）求该样本的中位数和方差；（2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.17．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18~68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[)1828，，[)2838，，[)3848，，[)4858，，[)5868，，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖概率.18．某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.(1)一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；(2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次､第2次取到的都是五仁月饼的概率；(3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.19．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的100名参赛选手成绩的60,70,80,90,90,100的频率构成等比数列.频率分布直方图如图所示，其中[)[)[](2)若试剂A在连续进行的三轮测试中，都有2X ，则认为该试剂对药品B的酸碱值检测效果是稳定的，求出出现这种现象的概率.参考答案：a4）中位数为81.5，方差为，x=9（2）。

2024年安徽省合肥市高考数学模拟试卷+答案解析

2024年安徽省合肥市高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数z 满足，则()A.5B. C.13D.3.已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为()A.B.C.D.4.已知抛物线C ：的焦点为F ，A 为x 轴上一点，若，且抛物线C 经过线段AF的中点，则()A.8B.C.4D.5.已知向量，，，若，，则在上的投影向量为()A.B.C.D.6.在长方体中，，过作平面，使得平面，若平面，则直线l 与所成角的余弦值为()A.B. C.D.7.已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为()A.3 B.4C.5D.68.已知椭圆的左顶点为A ，左焦点为F ，P 为该椭圆上一点且在第一象限，若射线AF 上存在一点Q ，使得，线段PQ 的垂直平分线与射线AF 交于点H ，则()A.1B.2C.aD.2a二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某校高一年级的某次月考中，甲、乙两个班前10名学生的物理成绩单位：分，满分100分如表所示，则甲班67727683858788888990乙班70777777818384899394A.甲班前10名学生物理成绩的众数是88B.乙班前10名学生物理成绩的极差是24C.甲班前10名学生物理成绩的平均数比乙班前10名学生物理成绩的平均数低D.乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是8410.已知函数其中，的部分图象如图所示，则()A.B.C.D.11.下列不等式中正确的是()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______.①定义在R上的函数不是常值函数；②；③对任意的，均存在，使得成立.13.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______.14.已知半径为的球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若正四面体ABCD的棱与球O 的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2024年高考数学“九省联考”全真模拟试卷1(新高考、新结构)(参考答案)

2024年高考数学“九省联考”全真模拟试卷1（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 CBADDBCD二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9 10 11 BCDBCDAD三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．8 13．14514．4三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤. 15．（13分）解：（1）样本中10个这种零件的横截面积的平均值0.520.05210x ==,（2分）样本中10个这种零件的耗材量的平均值 3.90.3910y ==,（4分）由此可估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积为20.052mm , 平均一个零件的耗材量为30.39mm ．（5分）（2）1014101022221110 1.49136101010i ii i i i i x y x yr x x y y =-==-=⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑1.150.94. 1.229136114=≈≈, 这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数为0.94.（9分）（3）设这种零件的总耗材量的估计值为3mm t , 又已知这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比, 0.0521820.39t∴=,解得31365mm t =, 故这种零件的总耗材量的估计值为31365mm ．（13分） 16．（15分）解：（1）如图,连接BD 与AC 相交于点O ,连接OE ． ∵//BC AD ,2AD BC =, ∴2OD OB =,又∵2DE PE =． ∴//OE BP ,（2分）∵//OE BP ,OE ⊂平面ACE ,BP ⊄平面ACE ． ∴//BP 平面ACE ；（5分）（2）在PAD 中,22222222102cos 2222AP AD DP PAD AP AD+-+-∠==⋅⨯⨯可得3π4PAD ∠=,由AB AD ⊥,平面PAD ⊥底面ABCD ,过点A 作底面ABCD 的垂线l ,垂线在平面PAD 内, 以A 为坐标原点,AB ,AD ,直线l 分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,（7分）有()0,0,0A ,()0,2,0D ．又由2AP =3π4PAD ∠=,可得点P 的坐标为()0,1,1-, 又由()1110,3,10,1,333PE PD ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭,有()120,1,10,1,0,0,33AE AP PE ⎛⎫⎛⎫=+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()0AB a a =>,可得点B 的坐标为(),0,0a ,点C 的坐标为(),1,0a ,（9分）设平面PAC 的法向量为(),,m x y z =．由(),1,0AC a =,()0,1,1AP =-,有00AC m ax y AP m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取=1x -,则y a =,z a =,可得平面PAC 的一个法向量为()1,,m a a =-,（10分）设平面EAC 的法向量为(),,n p q r =,由(),1,0AC a =,20,0,3AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,有023AC n ap q AE n r ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩,取1p =,则q a =-,0r =,可得平面ACE 的一个法向量为()1,,0n a =-．（12分）由21m n a ⋅=--,221m a =+21n a =+有()()2221cos 121a m n aa +⋅=++又由平面PAC 与平面EAC 15,()()222115121a aa +++,化简为225563a a +=+,解得2a =2a =．由上知2AB （15分） 17．（15分）解：（1）证明：当e a =时,()e eln e =--x f x x ,()x e f x e x '=-,（1分）()01f '=,(1)0f =,又易知()f x '在()0,+∞上为增函数,（2分）所以当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减；当1x >时,()0f x '>,()f x 单调递增,（4分）从而()()10f x f ≥=.（5分）（2）由题意知,函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()2e ln eln ln ln x xxa a f x a a x a x a-='=-, 设()2ln e x g x xa a =-,1a >,显然函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,()g x 与()f x '同号,（7分）①当e a >时,()0e 0g =-<,()21ln e 0g a a =->,所以函数()g x 在()0,1内有一个零点0x ,且()00,x x ∈,()0g x <,()0,x x ∈+∞,()0g x >, 故()f x 在()00,x 单调递减,在()0,x +∞单调递增；所以函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点；（9分）②当e a =时,由（1）知,函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点；（10分）③当1e a <<时,21ln 1a >,21ln 21e ln a g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为2ln 21ln 1ln ln ln 1aa aa a==>,所以21ln e a a >,2)1(0ln g a >, 又()21ln e 0g a a =-<,所以函数()g x 在2l 1(,n 1)a内有一个零点1x , 且()10,x x ∈,()0g x <,()1,x x ∈+∞,()0g x >, 故()f x 在()10,x 单调递减,在()1,x +∞单调递增；所以函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点；（14分）综上所述,函数()f x 在(0,)+∞上有且仅有一个极值点．（15分） 18．（17分）解：（1）先求椭圆上任意一点到左焦点的距离的最小值：设(),W u v ()a u a -≤≤是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,()1,0F c -是左焦点,则2222222222221,1u v u b v b b u a b a a ⎛⎫+==-=- ⎪⎝⎭, 所以()2222222122b WF u c v u cu c b u a=+++++-22222222122b c u cu a u cu a a a ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭二次函数22222cy u cu a a=++的开口向上,对称轴22222c a x a c ca =-=-<-, 所以二次函数在[],a a -上单调递增,所以1WF ()()()222222c a c a a a c a c a -+⨯-+-=-.（3分）由题意可得124a c c -=⋅,∴23a c =,椭圆的离心率为23c e a ==.（5分）（2）①由（1）可知2294a c =,2254b c =,∴3,02A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设椭圆方程为222244195x y c c +=,（6分）法一：由题意可知直线PQ 的斜率显然不为0,设直线PQ 方程为：x my c =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立222203645x y c x my c ⎧+=⎨=+⎩, 消去x 整理得()222203640250m y mcy c ++-=,由题意知0∆>恒成立,则1221059mc y y m -+=+,2122252036c y y m -=+, 则()2222121212115515142224APQm SAF y y c y y y y c +=⋅-=⋅+-,（9分）令21t m +则1t ≥,∴22275751445445APQ t S c c t t t =⋅=⋅++△, 因为45y t t=+在[)1,+∞上单调递增, 当1t =时,APQS有最大值,()2max751254543APQ Sc =⋅=+, ∴24c =,∴2c =,3a =,5b =椭圆方程为：22195x y +=．（11分）法二：当直线PQ 的斜率存在时,由题知,0k ≠, 此时,设PQ ：()y k x c =-,联立()222203645x y c y k x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,得()22222220367236450k x k cx k c c +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y ,由题意知0∆>恒成立,2122722036k c x x k +=+,22212236452036k c c x x k -⋅=+, ()2212121212115542224APQSAF y y c kx kx c x x x x =⋅⋅-=⨯⋅-=⋅+-222222222572364575144203620364k c k c c k c c k k k ⎛⎫-+=⋅-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭)22211750549k c k k +=≠+, 令2111t k =+,∴()2222275757514445445195APQc t c t c St t t t=⋅=⋅=⋅+-++,（9分）因为45y t t=+在()1,∞+上单调递增, ∴()4591t t t+>>, ∴222751751254449125APQ c c c S t t=⋅<⋅=+△,当直线PQ 的斜率不存在时,此时:PQ x c =,代入222244195x yc c+=中,得53cPQ =,∴22115525222312APQS AF PQ c c c =⋅⋅=⋅⋅=,∴APQ △面积的最大值为22525123c =,∴24c =,椭圆方程为22195x y +=.（11分）②法一：由（i ）知()3,0A -,()22,0F , ∴113AP y k x =+, 223AQ y k x =+,∴直线AP 的方程为：()1133y y x x =⋅++,直线AQ 的方程为：()2233yy x x =⋅++, ∴()11153,443y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭,()22153,443y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭,∴()121155,443y F M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,()222155,443y F N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,由2c =,得1222059my y m -+=+,1222559y y m -=+,2x my =+,（14分） ∴()()12221225225161633y y F M F N x x ⋅=+⋅++ ()()121225225161655y y my my =+⋅++ ()1221212252251616525y y m y y m y y =+⋅+++ 1222225225252016165255959y y m m m m m =+⋅--⋅+⋅+++252251016169⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭,（16分） ∴22F M F N ⊥,∴以MN 为直径的圆恒过右焦点．（17分）法二：由（i ）知()3,0A -,()22,0F ,当直线PQ 的斜率不存在时,有52,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,52,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线1:13AP y x =+,令34x =,得35,44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理35,44N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,此时225555,,04444F M F N ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当直线PQ 的斜率存在时,()2y k x =-, ∴113AP y k x =+,223AQ y k x =+,∴直线AP 的方程为：()1133y y x x =⋅++,直线AQ 的方程为：()2233yy x x =⋅++, ∴()11153,443y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭,()22153,443y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭,∴()121155,443y F M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,()222155,443y F N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭,由2c =,21223659k x x k+=+,2122364559k x x k -⋅=+,（14分） ∴()()()()()()21212221212222522525225161633161633k x x y y F M F N x x x x --⋅=+⋅=+⋅++++()()2222221212221212223645362424595925225252253645361616391616395959k k k k x x x x k k k k x x x x k k ⎡⎤--⋅+⎢⎥⎡⎤-++++⎣⎦⎣⎦=+⋅=+⋅-++++⋅+++ 222222222364572203625225252252501616364510845811616225k k k k k k k k k⎡⎤--++⎣⎦=+⋅=-⋅=-+++,（16分） ∴22F M F N ⊥,∴以MN 为直径的圆恒过右焦点．（17分）19．（17分）解：（1）由已知可得数列A 共有5项,所以5n =, 当1i =时,有15264a a +=-+=,当2i =时,有24224a a a +=+=,所以22a =, 当3i =时,有334a a +=,所以32a =.（4分）（2）数列A 具有性质0P ,且12,n a a a n <<<为奇数,令21n k =+,可得10k a +=, 设12212310k k k k k a a a a a a a ++++=<<<<<<<<,由于当(),01,i j a a i j n >≤≤时,存在正整数k ,使得j i k a a a -=, 所以324252212,,,k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++----这1k -项均为数列A 中的项,且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<-<-<-<-<,因此一定有3224235242122,,,,,k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++-=-=-=-=即3224324322122,,,,k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++-=-=-=-=,这说明：23421,,,,k k k k a a a a ++++为公差为2k a +的等差数列,再数列A 具有性质0P ,以及10k a +=可得,数列A 为等差数列；（10分）（3）当()42N n k k *=+∈时,设A ：1a ,2a ,3a ,4a ,212,k k a a -,212223244142,,,,,,k k k k k k a a a a a a ++++++由于数列具有性质c P ,且满足212k k a a m -+=, 由212k k a a m -+=和212k k c a a -=+,得c m =±,当c m =时,不妨设12a m a +=,此时：21a a m =-,411k a a +=,此时结论成立, 当c m =-时,同理可证,所以结论成立.当()4N n k k *=∈时,不妨设0,1c m ==,反例如下：2,21,22,23,,1,1,2,,23,22,21,2,k k k k k k k k ---+---+--+当()43N n k k *=+∈时,不妨设0,1c m ==,反例如下：()()()()()()()()12111,1,,1,0,1,2,11,1,11k kk k kk k k k k +---⋅+-⋅---⋅--⋅-⋅+综上所述,()42N n k k *=+∈符合题意. （17分）。

2024年高考数学全真模拟试卷六(新高考、新结构)(全解全析)

2024年高考数学全真模拟试卷六（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【答案】A【解析】因为3i (i)i 1i a b b -=-=+，所以1,3a b ==-.故选A2．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去），故选B.3．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.15【答案】D【解析】由题意知7.5602515C λλ=⨯=⨯，所以410325607.515λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg2lg 23λ=，所以2lg 220.301 1.151lg310.477λ⨯=≈≈--，故选D.4．已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】C【解析】由已知||2,2a b == ，所以()22224222cos ,44a ba b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选C.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,0,1,0,A B P -为圆22:(3)(3)1C x y -+-=上动点，则22PA PB +的最小值为（）A ．34B ．40C ．44D ．48【答案】B【解析】设(),P x y ，则()()222222223122410PA PB x y x y x y x +=+++-+=+++()22218x y ⎡⎤=+++⎣⎦，即22PA PB +等价于点P 到点()1,0Q -的距离的平方的两倍加8，又1PQ QC PC ≥-=514=-=，即22224840PA PB +≥⨯+=.故选B.6．如图，四棱锥A BCDE -是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，则下列结论错误的是（）A ．点,,,ABC F 共面B ．平面ABE 平面CDF C ．FG CD ⊥D ．FG ⊥平面ACD【答案】D【解析】选项A ：如图，取CD 中点H ，连接GH ，FH ，AG ，AH ，因为A BCDE -是正四棱锥，A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，所以CD GH ⊥，CD AH ⊥，CD FH ⊥，因为GH AH H = ，,GH AH ⊂平面AGH ，所以CD ⊥平面AGH ，因为AH FH H = ，,AH FH ⊂平面AFH ，所以CD ⊥平面AFH ，所以,,,A G H F 四点共面，由题意知3AG HF ==2GH AF ==，所以四边形AGHF是平行四边形，所以GH AF ∥，因为BC GH ∥，所以BC AF ∥，所以,,,A B C F 四点共面，故A 说法正确；选项B ：由选项A 知AG FH ∥，又AG ⊄平面CDF ，FH ⊂平面CDF ，所以AG 平面CDF ，因为CD BE ∥，且BE ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，所以BE 平面CDF ，又AG ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，且AG BE G = ，所以平面ABE 平面CDF ，故B 说法正确；C 选项：由选项A 可得CD ⊥平面AGHF ，又FG ⊂平面AGHF ，所以FG CD ⊥，故C 说法正确；D 选项：假设FG ⊥平面ACD ，因为AH ⊂平面ACD ，则FG AH ⊥，由选项A 知四边形AGHF 是平行四边形，所以四边形AGHF 是菱形，与3AG =2GH =矛盾，故D 说法错误;故选D7．甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得1-分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令i P 表示在甲的累计得分为i 时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则1P =（）A ．555535-B ．666535-C ．5662553⨯-D ．677553-【答案】C【解析】由题意可知：i 的取值集合为{}0,1,2,3,4,5,6，且060,1P P ==，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为20.5P ，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为10.2P ，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为00.3P ，根据全概率公式可得12100.50.20.3P P P P =++，整理得2108355P P P =-，变形得()211035P P P P -=-，因为100P P ->，则211035P P P P -=-，同理可得324354652132435435P P P P P P P P P P P P P P P P ----====----，所以{}()10,1,2,,5i i P P i +-= 是公比为35的等比数列，所以()()11030,1,2,,55i i i P P P P i +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ ，各项求和得()()551101135i i i i i P P P P +==⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，则()661103355315P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-⋅-，即61133551315P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=⋅-，解得51662553P ⨯=-．故选C.8．已知0,2a b c <<>，且12212,e (1),2ln2bab c c a==+=，则（）A ．b a c <-<B ．a b c -<<C ．c a b <-<D ．b c a<<-【答案】B 【解析】令1t a=，则22t t =，令()22,0t f t t t =-<，则()2ln 220t f t t '=->在(),0t ∈-∞上恒成立，故()22t f t t =-在(),0t ∈-∞上单调递增，且()11102f -=-<，110224f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故112t -<<-，故()1,2a -∈，令()()2e 1x g x x =-+，0x >，则()()e 21x g x x '=-+，令()()e 21x q x x =-+，则()e 2x q x '=-，令()0q x '>得ln 2x >，令()0q x '<得0ln 2x <<，故()()e 21xq x x =-+在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，则()()ln 222ln 210q =-+<，()22e 60q =->，由零点存在性定理可得，存在()0ln 2,2x ∈，使得()00q x =，且()()2e 1x g x x =-+在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()00g =，故()()000g x g <=，又()22e 90g =-<，()33e 160g =->，故()2,3b ∈，令()2ln 2,2h x x x x =->，则()21h x x'=-，当2x >时，()0h x '>，故()2ln 2h x x x =-在()2,+∞上单调递增，又因为()446ln 20h =-<，()552ln100h =->，故()4,5c ∈，综上，a b c -<<.故选B二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知()()1,1,2,1AB AC =-= ,则下列结论正确的是（）A ．()3,0BC =B ．()25AB BC AC ⋅-=C．cos ,AB AC = D ．若()3,1AB AC λμμλ+=+,则2μλ-=【答案】ACD【解析】对于A ，()3,0BC AC AB =-= ,故A 正确;对于B ，因为()24,1BC AC -=-,所以()25AB BC AC ⋅-=- ,故B 错误;对于C，因为1,AB AC AB AC ⋅=-==所以cos ,10AB AC ==,故C 正确;对于D ，()()2,3,1AB AC λμμλμλμλ+=-+=+ ,所以231μλμμλλ-=⎧⎨+=+⎩,解得1,1λμ=-=,则2μλ-=,故D 正确.故选ACD.10．关于方程[]()22cos 10,πx y αα+=∈表示的曲线Γ，下列说法正确的是（）A ．Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2B ．若Γ为双曲线，则α为钝角C ．若α为锐角，则Γ为焦点在y 轴上的椭圆D ．若Γ为椭圆，P 为椭圆Γ上不与长轴顶点,A B 重合的点，则cos PA PB k k α⋅=-【答案】AD【解析】对于A 项，当cos 0α=，即π2α=时，方程为21y =，解得1y =±，因此Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A 选项正确；对于B 项，若Γ为双曲线，则cos 0α<，即ππ2α<≤，故α为钝角或平角，故B 选项错误；对于C 项，若α为锐角，则0cos 1α<<，即11cos α>.将原方程化为标准方程为2211cos x y α+=⎛⎫⎪⎝⎭，因此Γ为焦点在x 轴上的椭圆，故C 选项错误；对于D 项，若Γ为椭圆，则α为锐角，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则221,1cos a b α==，不妨设()()()00,0,,0,,A a B a P x y -，将点P 的坐标代入椭圆方程得2200cos 1x y α+=，即22001cos y x α=-，故22000022200001cos cos 1cos PA PBy y y x k k x a x a x a x ααα-⋅=⋅===-+---，故D 选项正确.故选AD ．11．对于集合A 中的任意两个元素,x y ，若实数(),d x y 同时满足以下三个条件：①“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”；②()(),,d x y d y x =；③z A ∀∈，都有()()(),,,d x y d x z d y z ≤+．则称(),d x y 为集合A 上的距离，记为A d ．则下列说法正确的是（）A ．(),d x y x y =-为d RB ．(),sin sin d x y x y =-为d RC ．若()0,A =+∞，则(),ln ln d x y x y =-为Ad D ．若d 为R d ，则1e d -也为R d （e 为自然对数的底数）【答案】AC【解析】对于A ，(),d x y x y =-，即x y =，①，(),0d x y =，即(),0d x y x y =-=，即x y =，若x y =，则(),0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),,d x y x y y x d y x =-=-=，成立，③，,,R x y z ∀∈，()()x y x z z y x z z y -=-+-≤-+-，故A 正确；对于B ，(),sin sin d x y x y =-，①，(),0d x y =，即(),sin sin 0d x y x y =-=，即sin sin x y =，此时若0,πx y ==，则x y ≠，故B 错误；对于C ，(),ln ln d x y x y =-，①，(),0d x y =即ln ln ln0xx y y-==，即1x y =，得x y =，若x y =，则(),ln ln ln ln 0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),ln ln ln ln ,d x y x y y x d y x =-=-=，成立；③，()()(),ln ln ln ln ln ln d x y x y x z z y =-=-+-()()ln ln ln ln ,,x z z y d x z d y z ≤-+-=+，故成立，故C 正确；对于D ，设,x y ∀∈R ，(),d x y x y =-，则()1,1e e x y d x y ---=，①,若(),0d x y =，则0x y -=，即x y =，111e e 0x y d e ----==≠，故D 错误.故选AC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .【答案】38【解析】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，且26EF AB ==．则这个几何体的外接球的体积为．【答案】36π【解析】连接BD ，分别取EF 、BD 、AD 中点G 、H 、I ，连接GH 、HI 、EI ，由底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，故//EG IH ，GH ⊥底面ABCD ，又26EF AB ==，故3EG AD AB ===，则22EI AD ==，故2GH ==，由H 为底面正方形中心，HG IH ⊥，故羡除ABCDEF 外接球球心O 在直线GH 上，连接OI 、OE 、OA ，设半径为r ，OH a =，则==OA OE r ,由GH ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故GH AD ⊥，又AD IH ⊥，IH 、GH Ì平面IOH ，故AD ⊥平面IOH ，又IO ⊂平面IOH ，故AD IO ⊥，故2222232IO r AI r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又222223+2IO OH IH a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故有222233+22r a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即229+2r a =，又2222227322EO r a a ⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，故有22279+22a a -+=，解得2a =，故22999+9222r a ==+=，即3r =，则这个几何体的外接球的体积为34π36π3V r ==.14．已知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为．【答案】371115(3)(][7]2222,,, 【解析】由题意知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，故函数的最小正周期πππ2ππ082444T ,,ωω≥-=∴≥∴<≤,又ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ44424x ωωω-<-<-，而πππ7π4444ω-<-≤，当ππππ4442ω-<-<时，即03ω<<时，需有πππ3π2242ω<-≤，即3722ω<≤，此时3(3)2,ω∈；当πππ442ω-=时，即3ω=时，ππ5π244ω-=，此时函数在π5π(,24)上无零点，不合题意；当πππ3π2442ω<-<时，即37ω<<时，需有3πππ5π2242ω<-≤，即71122ω<≤，此时711(]22,ω∈；当ππ3π442ω-=时，即7ω=时，ππ13π244ω-=，此时函数在3π13π(,)24上有一零点5π2，符合题意；当3πππ7π2444ω<-≤时，即78ω<≤时，需有5πππ7π2242ω<-≤，即111522ω<≤，此时15(7]2,ω∈；综合上述，得ω的取值范围为371115(3)(][7]2222,,, 三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15.（13分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：成绩[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100高一学生人数1551515高二学生人数10102010试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：记学生得分为x ，当70x <时，奖励该学生10元食堂代金券；当7090x ≤<时，奖励该学生25元食堂代金券；当90x ≥时，奖励该学生35元食堂代金券；方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？解：（1）设高一年级学生竞赛成绩的平均数为x ，方差为21s .高二年级学生竞赛成绩的平均数为y ，方差为22s .则6515755851595158150x ⨯+⨯+⨯+⨯==，（1分）2222211[15(6581)5(7581)15(8581)15(9581)]144,50s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=（3分）1(6510751085209510)8150y =⨯+⨯+⨯+⨯=，（4分）2222221[10(6581)10(7581)20(8581)10(9581)]161.650s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，（6分）因x y =2212s s <，故高一年级学生这次竞赛成绩比较稳定集中，成绩更好；（7分）（2）按照方案一，高一年级学生获得奖励为：1510(515)2515351175⨯++⨯+⨯=元，而高二年级学生获得奖励为：1010(1020)2510351200⨯++⨯+⨯=元，即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二；（9分）按照方案二，依题意，所抽取的100名参加竞赛学生的成绩中位数为90806801082357-+⨯=，则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为682807155152410-++⨯≈人，则高一年级获得奖励为：241026301020⨯+⨯=元；高二年级学生成绩低于中位数的人数约为6828071010202610-++⨯≈人，则高二年级获得奖励为：26102430980⨯+⨯=元.（11分）因1020980>，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二.故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二.（13分）16．（15分）已知在四边形ABCD 中，ABD △为锐角三角形，对角线AC 与BD 相交于点O，π2,4,4AD AC BD ABD ∠====．(1)求AB ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）由余弦定理可得2222πcos 42AB BD AD AB BD +-=⋅，化简为220AB -+=，解得1AB =1，（4分）当1=AB时，因为2146cos 0BAD +-∠=<，与ABD △为锐角三角形不符合，故1AB =.（7分）（2）作,AE CF 垂直BD 于,E F ，设1AOB ∠=∠，（9分）则()1111sin 1sin 1sin 12222ABCD ABD CBD S S S BD AE BD CF BD AO CO BD AC =+=⋅+⋅=∠+∠=⋅∠ ，当sin 11190AC BD ∠=⇒∠=︒⇒⊥，四边形面积最大，最大面积为146262⨯=（15分）17．（15分）如图，在几何体111B C D ABCD -中，平面111//B C D 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11D DCC 为菱形，112,22,120,DC AC D DC E ︒==∠=为棱11C D 的中点，点F 在棱1CC 上，//AE 平面BDF .(1)证明DE ⊥平面ABCD ；(2)求平面1AB D 与平面BDF 夹角的余弦值.解：（1）如图，连接DC 1，因为四边形11D DCC 为菱形，1120︒∠=D DC ，所以160DCC ︒∠=，所以12DC =，因为12,22AD DC AC ===22211AD DC AC +=，所以1AD DC ⊥，又11,,,AD DC DC DC D DC DC ⊂⊥= 平面11CDD C ，所以AD ⊥平面11CDD C ，所以,AD DE AD DC ⊥⊥，（3分）因为四边形11D DCC 为菱形，且1120︒∠=D DC ，所以1111DD DC D C ==，因为E 为棱11C D 的中点，所以11DE C D ⊥，又11//C D CD ，所以DE CD ⊥，（5分）因为,,,DE AD AD DC D AD DC ⊥=⊂ 平面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD .（7分）（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DE分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.易知3DE =所以()0,0,0,(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),3)D A B C E ，113),(0,3)C D -，所以1(0,3),(0,2,0),(2,0,3),(2,2,0),(2,0,0)CC DC AE DB DA =-==-== ，1(0,3)DD -= ，设()10,3(01)CF tCC t t t ==-≤≤ ，则(0,2,3)DF DC CF t t =+=- ，（9分）因为//AE 平面BDF ，所以存在唯一的,R λμ∈，使得(2,2,0)(0,2,3)(2,22,3)AE DB DF t t t λμλμλλμμμ=+=+-=+- .所以22,220,33t t λλμμμ=-+-==23t =，所以111114230,,,(2,1,3)33DF DB DD D B DD DB ⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，（11分）设平面BDF 的法向量为()111,,x n y z = ，则00DF n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111423033220y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，取13y =-，则113,23x z ==，故(3,3,23)n =- ，设平面1AB D 的法向量为()222,,m x y z = ，则100DA m DB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取23y =，则220,3x z ==-(0,3,3)m =- ，（13分）设平面1AB D 与平面BDF 的夹角为θ，则10cos cos ,43023m n m n m nθ⋅=〈〉===⨯ ，故平面1AB D 与平面BDF 104（15分）18．（17分）已知抛物线C ：()2205y px p =<<上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.(1)求抛物线C 的方程：(2)过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若3412S S S S λ=，求实数λ的取值范围.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，（2分）解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.（4分）（2）如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m ∈R ，0m ≠），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y=，（6分）∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.（8分）联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（10分）同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==.（13分）由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，（15分）∴2123422S S m S S +==，得2212m λ=<+，故λ的取值范围为()0,1.（17分）19．（17分）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville ）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：11100n n n n a x a x a x a --++++= （0a ，1a ，…，n a ∈Z ，0n a ≠）．数学家证明了自然对数的底数e 与圆周率π是超越数．回答下列问题：已知函数()e x n n n f x b x =-（*n ∈N ）只有一个正零点．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程00n n a x a +=，证明：若N m ∈，则e m 为有理数当且仅当0m =．（ⅱ）数列{}n b 中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．解：（1）若()e x n n n f x b x =-只有一个正零点，可得e ,e 1,x n n x n n b x b x -==（1分）令()e n x g x x -=，()11()e e e n x n x n x g x nx x x n x -----=-=-'，令()0g x '<，(,)x n ∈+∞，令()0g x '>，(0,)x n ∈，故()g x 在(0,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减，可得()g x 在x n =处取得最大值，且最大值为()e n n g n x -=，（4分）而当0x →时，()0g x →，当x →+∞时，()0g x →，由题意得，当()g x 最大时，符合题意，故e 1n n n b n -=，即e n n n b n -=⋅.（6分）（2）（ⅰ）若0m =，则e 1m =为有理数；若m 正整数，假设e m 为有理数，则e ,,,0m p y p q q q==∈≠Z ，则方程0q y p ⋅-=的根中有有理数，又在方程0m q x p ⋅-=中，发现e x =是它的根，（8分）而已知e 是超越数，故e 不是方程的根，与0q y p ⋅-=矛盾，即e m 不为有理数；综上所述：m ∈N ，e m 为有理数当且仅当0m =；（10分）（ⅱ）若数列{}n b 中存在不同的三项构成等比数列，则()2e e e e m m n n l l m n ---⋅⋅⋅=⋅，可得22e m n l m n l m n l +--=⋅⋅，由方程右边是有理数知左边是有理数，由上问知当且仅当2m n l +=时成立，故2m n l m n m n l l l ⋅==⋅，则()()1m n m n l l ⋅=，设1m x l-=，则(1)m l x =-，(1)n l x =+，则()()111m n x x -⋅+=，将(1)m l x =-，(1)n l x =+代入进行化简，可得()()(1)111l x l x x x -+-⋅+=，故()()11111l x x x x -+⎡⎤-⋅+=⎣⎦，故()()11111x x x x -+-⋅+=，（14分）构造函数()()()()()1ln 11ln 1f x x x x x =--+++，而()()2ln 10f x x ='-<，知()f x 在其定义域内单调递减，又()00f =，故若()()11111x x x x -+-⋅+=，则有0x =，即2m n l m n l ⋅=成立，当且仅当m n l ==时成立.即数列{}n b 中不存在不同的三项构成等比数列.（17分）。

2024_年普通高等学校招生全国统一考试数学新高考Ⅰ卷模拟试卷

２０２４年普通高等学校招生全国统一考试数学新高考Ⅰ卷模拟试卷李昌成(乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００９４－１０收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:李昌成ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本大题共８小题ꎬ共４０.０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设集合Ｕ＝ＲꎬＡ＝ｘ１<ｘ<３{}ꎬＢ＝ｘｘ<２{}ꎬ则图１中阴影部分表示的集合为(㊀㊀).㊀Ａ.{ｘ｜ｘȡ２}㊀㊀㊀㊀Ｂ.{ｘ｜ｘɤ２}Ｃ.ｘ１<ｘɤ２{}Ｄ.{ｘ｜２ɤｘ<３}图１㊀第１题图２.已知复数ｚ满足２ｚ－ｚ＝１＋３ｉꎬ则ｚｉ＝(㊀㊀).Ａ.－１＋ｉ㊀Ｂ.１－ｉ㊀Ｃ.１＋ｉ㊀Ｄ.－１－ｉ３.正方形ＡＢＣＤ中ꎬＭꎬＮ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ若ＡＣң＝λＡＭң＋μＢＮңꎬ则λ＋μ＝(㊀㊀).Ａ.６５㊀㊀㊀Ｂ.８５㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀㊀Ｄ.８３４.已知三棱台ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬ三棱锥Ａ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积为４ꎬ三棱锥Ａ１－ＡＢＣ的体积为８ꎬ则该三棱台的体积为(㊀㊀).Ａ.１２＋３３㊀㊀㊀Ｂ.１２＋４２Ｃ.１２＋４３Ｄ.１２＋４７５.从装有３个红球㊁２个白球的袋中任取２个球ꎬ则所取的２个球中至少有１个白球的概率是(㊀㊀).Ａ.１１０㊀㊀㊀Ｂ.３１０㊀㊀㊀Ｃ.７１０㊀㊀㊀Ｄ.３５６.已知函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ－π<φ<０)的部分图象如图２所示ꎬ则下列判断错误的是(㊀㊀).Ａ.函数ｆ(ｘ)的最小正周期为２Ｂ.函数ｆ(ｘ)的值域为[－４ꎬ４]Ｃ.函数ｆ(ｘ)的图象关于点(１０３ꎬ０)中心对称Ｄ.函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π３个单位长度后得到ｙ＝Ａｓｉｎωｘ的图象图２㊀第６题图４９７.若ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ则下列结论正确的是(㊀㊀).Ａ.ａｃ<ｂｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ａｌｏｇｂｃ<ｂｌｏｇａｃＣ.ａｂｃ<ｂａｃＤ.ｌｏｇａｃ<ｌｏｇｂｃ８.某四棱锥的底面为正方形ꎬ顶点在底面的射影为正方形中心ꎬ该四棱锥内有一个半径为１的球ꎬ则该四棱锥的表面积的最小值是(㊀㊀).Ａ.１６㊀㊀Ｂ.８㊀㊀Ｃ.３２㊀㊀Ｄ.２４二㊁多选题:本大题共４小题ꎬ共２０.０分.在每小题有多项符合题目要求.９.如图３ꎬ在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬ点Ｐ是线段ＡＤ１上的动点ꎬ则下列命题正确的是(㊀㊀).Ａ.异面直线Ｃ１Ｐ与ＣＢ１所成角的大小为定值Ｂ.三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１的体积是定值Ｃ.直线ＣＰ和平面ＡＢＣ１Ｄ１所成的角的大小是定值Ｄ.若点Ｑ是线段ＢＤ上动点ꎬ则直线ＰＱ与Ａ１Ｃ不可能平行图３㊀第９题图１０.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－ｘ＋１ꎬｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ａｘ(ａɪＲ)ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴有三个交点Ｃ.点(０ꎬ１)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｄ.若ｇ(ｘ)存在单调递减区间ꎬ则ａȡ－１１１.已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｙ的焦点为Ｆꎬ准线为ｌꎬＡꎬＢ是Ｃ上的两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｌ的方程为ｙ＝－１Ｂ.若ＡＦ＝３２ꎬ则әＡＯＦ的面积为２４Ｃ.若ＯＡң ＯＢң＝０ꎬ则ＯＡＯＢȡ８Ｄ.若øＡＦＢ＝１２０ʎꎬ过ＡＢ的中点Ｄ作ＤＥʅｌ于点Ｅꎬ则ＡＢȡ５ＤＥ１２.设函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘꎬｇ(ｘ)＝１２ｘ２ꎬ给定下列命题ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.若方程ｆ(ｘ)＝ｋ有两个不同的实数根ꎬ则ｋɪ(－１ｅꎬ０)Ｂ.若方程ｋｆ(ｘ)＝ｘ２恰好只有一个实数根ꎬ则ｋ<０㊀Ｃ.若ｘ１>ｘ２>０ꎬ总有ｍ[ｇ(ｘ１)－ｇ(ｘ２)]>ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ则ｍȡ１Ｄ.若函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－２ａｇ(ｘ)有两个极值点ꎬ则实数ａɪ(０ꎬ１２)三㊁填空题:本大题共４小题ꎬ共２０.０分１３.(ｘ２－ｘ＋２)５的展开式中ｘ３的系数为.１４.已知圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬ点Ｐ是直线ｙ＝４上的动点ꎬ过Ｐ作圆的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ则ＡＢ的最小值为.１５.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ｍｘꎬ若ｆ(ｅｘ)ȡｆ(ｘ＋１)对ｘɪＲ恒成立ꎬ则实数ｍ的取值范围为.１６.已知椭圆Ｅ:ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬ椭圆的左右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ点Ａ(ｍꎬｎ)为椭圆上一点且ｍ>０ꎬｎ>０ꎬ过Ａ作椭圆Ｅ的切线ｌꎬ分别交ｘ＝２ꎬｘ＝－２于点ＣꎬＤ.连接ＣＦ１ꎬＤＦ２ꎬＣＦ１与ＤＦ２交于点Ｇꎬ并连接ＡＧ.若直线ｌꎬＡＧ的斜率之和为３２ꎬ则点Ａ坐标为.四㊁解答题:本大题共６小题ꎬ共７０.０分.解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤.１７.已知数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａｎ＋２ꎬ数列ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ且Ｓｎ＝２－ｂｎ.(１)求数列ａｎ{}ꎬｂｎ{}的通项公式ꎻ５９(２)设ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎꎬ求数列ｃｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.已知әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣｃ＋ｂ－ａ＝ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＡａ－ｂꎬ且ａ＝１３.(１)求әＡＢＣ外接圆的半径ꎻ(２)若ｃ＝３ꎬ求әＡＢＣ的面积.１９.如图４ꎬ直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＡ１＝ＡＢ＝ＡＣ＝１ꎬＥꎬＦ分别是ＣＣ１ꎬＢＣ的中点ꎬＡＥʅＡ１Ｂ１ꎬＤ为棱Ａ１Ｂ１上的点.图４㊀第１９题图(１)证明:ＤＦʅＡＥꎻ(２)是否存在一点Ｄꎬ使得平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ的夹角的余弦值为１４１４若存在ꎬ说明点Ｄ的位置ꎬ若不存在ꎬ说明理由.２０.某剧场的座位数量是固定的ꎬ管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价ｘｉ(单位:元)和上座率ｙｉ(上座人数与总座位数的比值)的数据ꎬ其中ｉ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ并根据统计数据得到如图５的散点图:图５㊀第２０题图(１)由散点图判断ｙ＝ｂｘ＋ａ与ｙ＝ｃｌｎｘ＋ｄ哪个模型能更好地对ｙ与ｘ的关系进行拟合(给出判断即可ꎬ不必说明理由)ꎬ并根据你的判断结果求回归方程ꎻ(２)根据(１)所求的回归方程ꎬ预测票价为多少时ꎬ剧场的门票收入最多.参考数据:ｘ＝２４０ꎬｙ＝０.５ꎬð５ｉ＝１ｘ２ｉ＝３６５０００ꎬð５ｉ＝１ｘｉｙｉ＝４５７.５ꎻ设ｚｉ＝ｌｎｘｉꎬ则ð５ｉ＝１ｚｉʈ２７ꎬð５ｉ＝１ｚ２ｉʈ１４７.４ꎬð５ｉ＝１ｚｉｙｉʈ１２.７ꎻｅ５.２ʈ１８０ꎬｅ５.４ʈ２２０ꎬｅ６.４ʈ６００.参考公式:对于一组数据(ｕ１｜ｖ１)ꎬ(ｕ２｜ｖ２)ꎬ ꎬ(ｕｎ｜ｖｎ)ꎬ其回归直线ｖ︿＝α︿＋β︿ｕ的斜率和截距的最小二乘估计分别为:β＝ðｎｉ＝１ｕｉｖｉ－ｎｕｖðｎｉ＝１ｕ２ｉ－ｎｕ＝ðｎｉ＝１(ｕｉ－ｕ)(ｖｉ－ｖ)ðｎｉ＝１(ｕｉ－ｕ)２ꎬα︿＝ｖ－β︿ｕ.２１.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)经过点Ｐ(４ꎬ２)ꎬ双曲线Ｃ的右焦点Ｆ到其渐近线的距离为２.(１)求双曲线Ｃ的方程ꎻ(２)已知Ｑ(０ꎬ－２)ꎬＤ为ＰＱ的中点ꎬ作ＰＱ的平行线ｌ与双曲线Ｃ交于不同的两点ＡꎬＢꎬ直线ＡＱ与双曲线Ｃ交于另一点Ｍꎬ直线ＢＱ与双曲线Ｃ交于另一点Ｎꎬ证明:ＭꎬＮꎬＤ三点共线.２２.已知函数ｆ(ｘ)＝ａｌｎ(ｘ＋１)－ｓｉｎｘ.(１)若ｙ＝ｆ(ｘ)在[π４ꎬπ２]上单调递减ꎬ求ａ的取值范围ꎻ(２)证明:当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)在(π２ꎬ＋ɕ)上有且仅有一个零点.参考答案１.由Ｖｅｎｎ图可知ꎬ阴影部分的元素由属于集合Ａ但不属于集合Ｂ的元素构成ꎬ所以阴影部分表示的集合为Ａɘ(∁ＵＢ).因为集合Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜１<ｘ<３}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ<２}ꎬ所以∁ＵＢ＝{ｘ｜ｘȡ２}.所以Ａɘ(∁ＵＢ)＝{ｘ｜２ɤｘ<３}.所以图中阴影部分表示６９的集合为{ｘ｜２ɤｘ<３}.故选Ｄ.２.设ｚ＝ａ＋ｂｉ(ａꎬｂɪＲ)ꎬ则２ｚ－ｚ－＝２(ａ＋ｂｉ)－(ａ－ｂｉ)＝ａ＋３ｂｉ＝１＋３ｉ.所以ａ＝１ꎬ３ｂ＝３ꎬ{即ａ＝１ꎬｂ＝１.所以ｚ＝１＋ｉ.所以ｚｉ＝１＋ｉｉ＝(１＋ｉ)(－ｉ)ｉ(－ｉ)＝１－ｉ.故选Ｂ.３.以ＡＢꎬＡＤ为坐标轴建立平面直角坐标系ꎬ如图６ꎬ设正方形边长为１ꎬＭꎬＮ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ所以ＡＭң＝(１ꎬ１２)ꎬＢＮң＝(－１２ꎬ１)ꎬＡＣң＝(１ꎬ１).图６㊀第３题解析图因为ＡＣң＝λＡＭң＋μＢＮңꎬ所以λ－１２μ＝１ꎬ１２λ＋μ＝１.ìîíïïïï所以λ＝６５ꎬμ＝２５.所以λ＋μ＝８５.故选Ｂ.４.设ＳәＡＢＣ＝Ｓ１ꎬＳәＡ１Ｂ１Ｃ１＝Ｓ２ꎬ棱台的高为ｈꎬ由已知ꎬ得ＶＡ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝１３Ｓ２ｈ＝４ꎬ得Ｓ２＝１２ｈꎬＶＡ１－ＡＢＣ＝１３Ｓ１ｈ＝８ꎬ则Ｓ１＝２４ｈ.所以三棱台ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积Ｖ＝１３ｈ(Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ１Ｓ２)＝１３ｈ(１２ｈ＋２４ｈ２＋１２ˑ２４ｈ２)＝１２＋４２.故选Ｂ.５.根据题意ꎬ首先分析从５个球中任取２个球ꎬ设３个红球为ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬꎬ２个白球为ｂ１ꎬｂ２ꎬ所以样本空间Ω＝{ａ１ａ２ꎬａ１ａ３ꎬａ１ｂ１ꎬａ１ｂ２ꎬａ２ａ３ꎬａ２ｂ１ꎬａ２ｂ２ꎬａ３ｂ１ꎬａ３ｂ２ꎬｂ１ｂ２}ꎬ共１０个等可能的样本点.设事件Ａ＝所取的２个球中至少有１个白球 ꎬ则事件Ａ＝所取的２个球中没有白球 ꎬＡ＝{ａ１ａ２ꎬａ１ａ３ꎬａ２ａ３}ꎬ则Ｐ(Ａ)＝３１０ꎬＰ(Ａ)＝１－３１０＝７１０.则所取的３个球中至少有１个白球的概率是７１０.故选Ｃ.６.根据题意可得ꎬ１２Ｔ＝４３－１３ꎬ解得Ｔ＝２ꎬ故函数ｆ(ｘ)的最小正周期为２ꎬＡ正确.所以ω＝２πＴ＝π.又因为函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ－π<φ<０)的图象过点(１３ꎬ０)ꎬ所以Ａｓｉｎ(π３＋φ)＝０ꎬ解得φ＝ｋπ－π３ꎬｋɪＺ.又因为－π<φ<０ꎬ所以φ＝－π３.而函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)的图象过点(０ꎬ－２３)ꎬ所以Ａｓｉｎ(πˑ０－π３)＝－２３ꎬ解得Ａ＝４ꎬ即ｆ(ｘ)的值域为[－４ꎬ４]ꎬ故Ｂ正确.所以ｆ(ｘ)＝４ｓｉｎ(πｘ－π３).令πｘ－π３＝ｋπꎬ解得ｘ＝ｋ＋１３ꎬｋɪＺꎬ其中一个对称中心为(１０３ꎬ０)ꎬＣ正确.所以ｆ(ｘ)的图象向左移１３个单位长度后得到ｙ＝４ｓｉｎπｘꎬＤ错误.故选Ｄ.７.因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａｃ>ｂｃꎬ故Ａ错误.ａｌｏｇｂｃ＝ａｌｏｇｃｃｌｏｇｃｂ＝ａｌｏｇｃｂꎬ７９ｂｌｏｇａｃ＝ｂｌｏｇｃｃｌｏｇｃａ＝ｂｌｏｇｃａꎬａｌｏｇｃｂ－ｂｌｏｇｃａ＝ｌｏｇｃ(ａａ/ｂｂ)ｌｏｇｃａｌｏｇｃｂꎬ因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａａ>ｂａ>ｂｂ.即ａａｂｂ>１.所以ｌｏｇｃａａｂｂ<０ꎬｌｏｇｃａ<０ꎬｌｏｇｃｂ<０.所以ａｌｏｇｃｂ<ｂｌｏｇｃａ.即ａｌｏｇｂｃ<ｂｌｏｇａｃꎬ故Ｂ正确.ａｂｃｂａｃ＝(ａｂ)１－ｃꎬ因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａｂ>１ꎬ１－ｃ>０.㊀所以(ａｂ)１－ｃ>(ａｂ)０＝１.所以ａｂｃｂａｃ>１.即ａｂｃ>ｂａｃꎬ故Ｃ错误.因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ｌｏｇａｃ>ｌｏｇｂｃꎬ故Ｄ错误.故选Ｂ.８.因为四棱锥的底面为正方形ꎬ顶点在底面的射影为正方形中心ꎬ所以该四棱锥是正四棱锥ꎬ设正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤꎬ当半径为１的球是正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的内切球时ꎬ该四棱锥的表面积最小ꎬ设正方形ＡＢＣＤ的边长为２ａꎬ设ＡＣɘＢＤ＝Ｏꎬ连接ＰＯꎬ则ＰＯʅ面ＡＢＣＤꎬ所以正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的高为ＰＯꎬ设ＰＯ＝ｈꎬ正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的表面积为Ｓꎬ由Ｖ＝１３ＳＡＢＣＤＰＯ＝１３(４ＳәＰＡＢ＋Ｓ四边形ＡＢＣＤ)ˑ１＝１３Ｓꎬ即为１３ˑ２ａˑ２ａｈ＝１３(４ˑ１２ˑ２ａˑａ２＋ｈ２＋２ａˑ２ａ)ˑ１ꎬ整理可得:ａ(ｈ－１)＝ａ２＋ｈ２.所以ａ２(ｈ－１)２＝ａ２＋ｈ２ꎬ可得ａ２＝ｈ２ｈ２－２ｈ.所以正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ体积为Ｖ＝１３ˑ４ａ２ｈ.则Ｓ＝３Ｖ＝３ˑ１３ˑ４ａ２ˑｈ＝４ａ２ｈ＝４ａ３ｈ２－２ｈ＝４ｈ２ｈ－２(ｈ>２).设ｔ＝ｈ－２>０ꎬ可得ｈ＝ｔ＋２.所以Ｓ＝４(ｔ＋２)２ｔ＝４(ｔ＋４ｔ＋４)ȡ４(２ｔ４ｔ＋４)＝３２ꎬ当且仅当ｔ＝４ｔ即ｔ＝２ꎬｈ＝４时ꎬ等号成立.该四棱锥的表面积最小值是３２.故选Ｃ.９.因为ＣＢ１ʅＢＣ１ꎬＣＢ１ʅＡＢꎬＢＣ１ɘＡＢ＝Ｂꎬ所以ＣＢ１ʅ平面ＡＢＣ１Ｄ１.又Ｃ１Ｐ⊂平面ＡＢＣ１Ｄ１ꎬ得ＣＢ１ʅＣ１Ｐꎬ所以异面直线Ｃ１Ｐ与ＣＢ１垂直ꎬ选项Ａ正确.三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１以ＢＤＣ１为底面ꎬ因为ＡＤ１ʊ平面ＢＤＣ１ꎬ所以点Ｐ到平面ＢＤＣ１的距离为定值ꎬ故三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１的体积是定值ꎬ选项Ｂ正确.点Ｃ在平面ＡＢＣ１Ｄ１的射影是定点(ＢＣ１与Ｂ１Ｃ的交点)ꎬ线段ＣＰ长度显然随位置变化而变化ꎬ故直线ＣＰ和平面ＡＢＣ１Ｄ１所成的角的正弦在变化ꎬ角的大小不是定值ꎬ选项Ｃ错误.以点Ｄ为原点ꎬＤＡꎬＤＣꎬＤＤ１所在的直线分别为ｘꎬｙꎬｚ轴ꎬ建立如图７所示空间直角坐标系ꎬ则ＣＡ１ң＝(１ꎬ－１ꎬ１)ꎬ点Ｐ坐标取(２３ꎬ０ꎬ１３)ꎬ点Ｑ坐标取(１３ꎬ１３ꎬ０)时ꎬＰＱң＝(－１３ꎬ１３ꎬ－１３)ꎬＰＱ//Ａ１Ｃ成立ꎬ选项Ｄ错误.故选ＡＢ.图７㊀第９题解析图８９１０.已知ｆ(ｘ)＝ｘ３－ｘ＋１ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－１.由ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ得ｘ<－３３或ｘ>３３ꎻ由ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ得－３３<ｘ<３３ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ－３３)ꎬ(３３ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ在(－３３ꎬ３３)上单调递减.则当ｘ＝－３３时ꎬ函数ｆ(ｘ)取得极大值ꎬ当ｘ＝３３时ꎬ函数ｆ(ｘ)取得极小值ꎬ故Ａ项正确.而ｆ(－３３)＝１＋２３９>０ꎬｆ(３３)＝１－２３９>０ꎬ得函数ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴有一个交点ꎬ故Ｂ项错误.㊀令ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－１＝ｈ(ｘ)ꎬ得ｈᶄ(ｘ)＝６ｘ＝０ꎬ得ｘ＝０ꎬ此时ｆ(０)＝１ꎬ得曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心为(０ꎬ１)ꎬ故Ｃ项正确.由ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ａｘꎬ得ｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)－ａ＝３ｘ２－１－ａꎬ若ｇ(ｘ)存在单调递减区间ꎬ即ｇᶄ(ｘ)<０有解ꎬ得ａ>３ｘ２－１有解ꎬ等价于ａ>(３ｘ２－１)ｍｉｎꎬ则ａ>－１ꎬ故Ｄ项错误.故选ＡＣ.１１.Ａ选项:ｌ的方程为ｙ＝－１２ꎬ错误ꎻＢ选项:因为｜ＡＦ｜＝３２ꎬ可得ｙＡ＝１ꎬ｜ｘＡ｜＝２ꎬＳәＡＯＦ＝１２｜ＯＦ｜｜ｘＡ｜＝２４ꎬ正确ꎻＣ选项:设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ＯＡң ＯＢң＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０ꎬ即ｘ１ｘ２＝－ｙ１ｙ２ꎬ而ｙ１ｙ２＝(ｘ１ｘ２２)２＝－ｘ１ｘ２ꎬ解得ｘ１ｘ２＝－４ꎬｙ１ｙ２＝４ꎬ(｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜)２＝(ｘ２１＋ｙ２１)(ｘ２２＋ｙ２２)＝３２＋ｘ２１ｙ２２＋ｘ２２ｙ２１ȡ３２＋２｜ｘ１ｘ２｜｜ｙ１ｙ２｜＝６４ꎬ所以｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜ȡ８ꎬ正确ꎻＤ选项:如图８ꎬ过点Ａ作ＡＡ１ʅｌ于点Ａ１ꎬ过点Ｂ作ＢＢ１ʅｌ于点Ｂ１ꎬ设｜ＡＦ｜＝ａꎬ｜ＢＦ｜＝ｂꎬ所以｜ＤＥ｜＝１２(ａ＋ｂ).因为｜ＡＢ｜２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓøＡＦＢ＝ａ２＋ｂ２＋ａｂ＝(ａ＋ｂ)２－ａｂȡ(ａ＋ｂ)２－(ａ＋ｂ２)２＝３ (ａ＋ｂ２)２＝３｜ＤＥ｜２ꎬ所以｜ＡＢ｜ȡ３｜ＤＥ｜ꎬ错误.故选ＢＣ.图８㊀第１１题解析图１２.对于Ａꎬｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ＋ɕ)ꎬｆᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬ令ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ得到ｘ>１ｅꎬ令ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ得到０<ｘ<１ｅ.所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ１ｅ)上单调递减ꎬ在(１ｅꎬ＋ɕ)上单调递增.所以[ｆ(ｘ)]ｍｉｎ＝ｆ(１ｅ)＝－１ｅꎬ且当ｘң０时ꎬｆ(ｘ)ң０.又ｆ(１)＝０ꎬ从而要使方程ｆ(ｘ)＝ｋ有两个不同的实根ꎬ即ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝ｋ有两个不同的交点ꎬ所以ｋɪ(－１ｅꎬ０)ꎬ故Ａ正确.对于Ｂꎬ易知ｘ＝１不是该方程的根ꎬ当ｘʂ１时ꎬｆ(ｘ)ʂ０ꎬ方程ｋｆ(ｘ)＝ｘ２有且只有一个实数根ꎬ等价于ｙ＝ｋ和ｙ＝ｘｌｎｘ只有一个交点ꎬｙᶄ＝ｌｎｘ－１(ｌｎｘ)２ꎬ又ｘ>０且ｘʂ１ꎬ令ｙᶄ>０ꎬ有ｘ>ｅꎬ令ｙᶄ<０ꎬ有０<ｘ<１或１<ｘ<ｅꎬ所以函数ｙ＝ｘｌｎｘ在(０ꎬ１)和(１ꎬｅ)单调递减ꎬ在(ｅꎬ＋ɕ)单调递增ꎬｘ＝１是一条渐近线ꎬ极小值为ｅ.由ｙ＝ｘｌｎｘ的大致图象(如图９)可知ｋ<９９０或ｋ＝ｅꎬ故Ｂ错.图９㊀第１２题解析图对于Ｃꎬ当ｘ１>ｘ２>０时ꎬｍ[ｇ(ｘ１)－ｇ(ｘ２)]>ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ等价于ｍｇ(ｘ１)－ｆ(ｘ１)>ｍｇ(ｘ２)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ即函数ｙ＝ｍｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ所以ｙᶄ＝ｍｇᶄ(ｘ)－ｆᶄ(ｘ)＝ｍｘ－ｌｎｘ－１ȡ０恒成立ꎬ即ｍȡｌｎｘ＋１ｘ在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.令ｒ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ｘꎬ则ｒᶄ(ｘ)＝－ｌｎｘｘ２.令ｒᶄ(ｘ)>０得０<ｘ<１ꎬ令ｒᶄ(ｘ)<０得ｘ>１ꎬ从而ｒ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递增ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ则ｒ(ｘ)ｍａｘ＝ｒ(１)＝１ꎬ于是ｍȡ１ꎬ故Ｃ正确.对于Ｄꎬ函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－２ａｇ(ｘ)有两个极值点ꎬ即Ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ－ａｘ２(ｘ>０)有两个不同极值点ꎬ等价于Ｆᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１－２ａｘ＝０有两个不同的正根ꎬ即方程２ａ＝ｌｎｘ＋１ｘ有两个不同的正根ꎬ由Ｃ可知ꎬ０<２ａ<１ꎬ即０<ａ<１２ꎬ则Ｄ正确.故选ＡＣＤ.１３.式子(ｘ２－ｘ＋２)５＝[(ｘ２－ｘ)＋２]５的展开式的通项公式为Ｔｒ＋１＝Ｃｒ５ (ｘ２－ｘ)５－ｒ２ｒꎬ对于(ｘ２－ｘ)５－ｒꎬ它的通项公式为Ｔｒᶄ＋１＝(－１)ｒᶄ Ｃｒᶄ５－ｒｘ１０－２ｒ－ｒᶄꎬ其中ꎬ０ɤｒᶄɤ５－ｒꎬ０ɤｒɤ５ꎬｒꎬｒᶄ都是自然数.令１０－２ｒ－ｒᶄ＝３ꎬ可得ｒ＝２ꎬｒᶄ＝３{或ｒ＝３ꎬｒᶄ＝１.{故ｘ３项的系数为Ｃ２５２２(－Ｃ３３)＋Ｃ３５２３(－Ｃ１２)＝－２００ꎬ故答案为－２００.１４.圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬ即(ｘ－２)２＋(ｙ－１)２＝４.图１０㊀第１４题解析图如图１０ꎬ由于ＰＡꎬＰＢ分别切圆Ｃ于点ＡꎬＢꎬ则ＰＡ＝ＰＢꎬＣＡʅＰＡꎬＣＢʅＰＢꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝２ＳәＡＣＰ＝ＣＡＰＡ.因为ＣＡ＝ＣＢ＝ｒ＝２ꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝２ＰＡ.又ＰＣʅＡＢꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝１２ＡＢＣＰ.所以ＰＡ＝１４ＡＢＣＰ.即ＡＢ＝４ＰＡＣＰ＝４１－４ＣＰ２.所以ＡＢ最短时ꎬＣＰ最短ꎬ点Ｃ到直线ｙ＝４的距离即为ＣＰ的最小值ꎬ所以ＣＰｍｉｎ＝３.所以ＡＢ的最小值为４１－４９＝４５３.故答案为４５３.１５.令ｙ＝ｅｘ－(ｘ＋１)ꎬ所以ｙᶄ＝ｅｘ－１.显然当ｘ>０时ꎬｙᶄ>０ꎬ则ｙ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当ｘ<０时ꎬｙᶄ<０ꎬ则ｙ在(－ɕꎬ０)上单调递减.即ｘ＝０时取得最小值ｙｍｉｎ＝０ꎬ故ｅｘȡｘ＋１恒成立.若ｆ(ｅｘ)ȡｆ(ｘ＋１)对ｘɪＲ恒成立ꎬ则ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎬ则ｆᶄ(ｘ)ȡ０恒成立ꎬｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋ｍȡ０ꎬｍȡ－３ｘ２ꎬ又(－３ｘ２)ｍａｘ＝０ꎬ故ｍȡ０.故答案为[０ꎬ＋ɕ).１６.设直线ｌ的方程ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ由ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬｘ２４＋ｙ２＝１{得００１(１＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｂｘ＋４ｂ２－４＝０.如图１１ꎬ因为直线ｌ与椭圆Ｅ相切ꎬ所以ә＝(８ｋｂ)２－４(４ｋ２＋１)(４ｂ２－４)＝０ꎬ解得４ｋ２＝ｂ２－１.因为ｍ＝－４ｋｂ１＋４ｋ２ꎬｎ＝ｋｍ＋ｂꎬ所以ｎ＝ｂ１＋４ｋ２.所以ｍｎ＝－４ｋꎬ即ｋ＝－ｍ４ｎꎬｂ＝１ｎ.所以直线ｌ的方程为ｍｘ４＋ｎｙ＝１.图１１㊀第１６题解析图分别令ｘ＝２和ｘ＝－２ꎬ得Ｃ(２ꎬ１ｎ(１－ｍ２))ꎬＤ(－２ꎬ１ｎ(１＋ｍ２))ꎬ所以直线ＤＦ２方程为ｙ＝－(１/ｎ)(１＋ｍ/２)２＋３(ｘ－３)ꎬ直线ＣＦ１方程为ｙ＝(１/ｎ)(１－ｍ/２)２＋３(ｘ＋３).联立得ＤＦ２与ＣＦ１交点Ｇ(３２ｍꎬ(２３－３)ｎ).因为ｋＡＥ＝(２３－４)ｎ３ｍ/２－ｍ＝４ｎｍꎬ所以ｋＡＧｋｌ＝４ｎｍ.(－ｍ４ｎ)＝－１.所以由ｋＡＧｋｌ＝－１ꎬｋＡＧ＋ｋｌ＝３２ꎬ得ｋｌ＝－ｍ４ｎ＝－１２ꎬｋＡＧ＝２.即ｍ＝２ｎ.又ｍ２４＋ｎ２＝１ꎬ则ｍ＝２ꎬｎ＝２２ꎬ即Ａ(２ꎬ２２).１７.(１)由题知ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋１－ａｎ＝２ꎬ所以数列{ａｎ}是首项为１ꎬ公差为２的等差数列.所以ａｎ＝１＋(ｎ－１)ˑ２＝２ｎ－１.当ｎ＝１时ꎬｂ１＝Ｓ１＝２－ｂ１ꎬ所以ｂ１＝１.当ｎȡ２时ꎬＳｎ＝２－ｂｎꎬ①Ｓｎ－１＝２－ｂｎ－１.②由①－②ꎬ得ｂｎ＝－ｂｎ＋ｂｎ－１.即ｂｎｂｎ－１＝１２(ｎȡ２).所以数列{ｂｎ}是首项为１ꎬ公比为１２的等比数列ꎬ故ｂｎ＝(１２)ｎ－１.(２)由(１)知ꎬｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ＝２ｎ－１＋(１２)ｎ－１.利用分组求和可得ꎬＴｎ＝ｎ(１＋２ｎ－１)２＋１－(１/２)ｎ１－１/２＝ｎ２＋２－(１２)ｎ－１.１８.(１)依题意ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＡ＝ｃ＋ｂ－ａａ－ｂ.即ｂｃ＋ａ＝ｃ＋ｂ－ａａ－ｂ＝ｃａ－ｂ－１.整理ꎬ得ｂ２＋ｃ２－ａ２＝－ｂｃ.所以ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝－１２.因为０<Ａ<πꎬ所以Ａ＝２π３.故所求外接圆半径ｒ＝ａ２ｓｉｎＡ＝１３３＝３９３.(２)因为ａ＝１３ꎬｃ＝３ꎬＡ＝２π３ꎬ所以由余弦定理ꎬ得１３＝ｂ２＋９－２ˑ３ˑｂˑｃｏｓ２π３.解得ｂ＝１或ｂ＝－４(舍).则ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ˑ１ˑ３ˑ３２＝３３４.１９.(１)因为ＡＥʅＡ１Ｂ１ꎬＡ１Ｂ１ʊＡＢꎬ１０１所以ＡＥʅＡＢ.又因为ＡＡ１ʅ平面ＡＢＣꎬＡＢ⊂平面ＡＢＣꎬ所以ＡＡ１ʅＡＢ.又ＡＡ１ɘＡＥ＝ＡꎬＡＡ１ꎬＡＥ⊂平面Ａ１ＡＣＣ１ꎬ所以ＡＢʅ平面Ａ１ＡＣＣ１.图１２㊀第１９题解析图又因为ＡＣ⊂平面Ａ１ＡＣＣ１ꎬ所以ＡＢʅＡＣ.所以ＡＢꎬＡＣꎬＡＡ１两两垂直.以Ａ为原点建立如图１２所示的空间直角坐标系Ａ－ｘｙｚꎬ则有Ａ(０ꎬ０ꎬ０)ꎬＥ(０ꎬ１ꎬ１２)ꎬＦ(１２ꎬ１２ꎬ０)ꎬＡ１(０ꎬ０ꎬ１)ꎬＢ１(１ꎬ０ꎬ１)ꎬ设Ｄ(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬＡ１Ｄң＝λＡ１Ｂ１ңꎬ且λɪ[０ꎬ１]ꎬ即(ｘꎬｙꎬｚ－１)＝λ(１ꎬ０ꎬ０).则Ｄ(λꎬ０ꎬ１)ꎬＤＦң＝(１２－λꎬ１２ꎬ－１).因为ＡＥң＝(０ꎬ１ꎬ１２)ꎬ所以ＤＦң ＡＥң＝０.所以ＤＦʅＡＥ.(２)存在一点Ｄ且Ｄ为Ａ１Ｂ１的中点ꎬ使平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为１４１４.理由如下:由题可知面ＡＢＣ的法向量ｍ＝(０ꎬ０ꎬ１)ꎬ设面ＤＥＦ的法向量为ｎ＝(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ则ｎＦＥң＝０ꎬｎＤＦң＝０.{则－ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ꎬ(１－２λ)ｘ＋ｙ－２ｚ＝０.{令ｘ＝３ꎬ则ｙ＝１＋２λꎬｚ＝２(１－λ).则ｎ＝(３ꎬ１＋２λꎬ２(１－λ)).因为平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为１４１４ꎬ所以｜ｃｏｓ<ｍꎬｎ>｜＝｜ｍｎ｜ｍ｜｜ｎ｜｜＝１４１４.即｜２(１－λ)｜９＋(１＋２λ)２＋４(１－λ)２＝１４１４.解得λ＝１２或λ＝７４(舍).所以当Ｄ为Ａ１Ｂ１中点时满足要求.２０.(１)ｙ＝ｃｌｎｘ＋ｄ能更好地对ｙ与ｘ的关系进行拟合.设ｚ＝ｌｎｘꎬ先求ｙ关于ｚ的线性回归方程.由已知得ｚ＝１５ð５ｉ＝１ｚｉʈ２７５＝５.４ꎬ所以ｃ＝ð５ｉ＝１ｚｉｙｉ－５ｚｙð５ｉ＝１ｚ２ｉ－５ｚ２ʈ１２.７－５ˑ５.４ˑ０.５１４７.４－５ˑ５.４２＝１２.７－１３.５１４７.４－１４５.８＝－０.８１.６＝－０.５ꎬｄ＝ｙ－ｃｚ＝０.５－(－０.５)ˑ５.４＝３.２ꎬ所以ｙ关于ｚ的线性回归方程为ｙ＝－０.５ｚ＋３.２.所以ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝－０.５ｌｎｘ＋３.２.(２)设该剧场的总座位数为Ｍꎬ由题意得门票收入为Ｍ(－０.５ｘｌｎｘ＋３.２ｘ)ꎬ设函数ｆ(ｘ)＝－０.５ｘｌｎｘ＋３.２ｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝－０.５ｌｎｘ＋２.７ꎬ当ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ即ｘ>ｅ５.４时ꎬ函数单调递减ꎬ当ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ即０<ｘ<ｅ５.４时ꎬ函数单调递增ꎬ所以ｆ(ｘ)在ｘ＝ｅ５.４ʈ２２０处取最大值.故预测票价为２２０元时ꎬ剧场的门票收入最多.２１.(１)因为双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ所以双曲线Ｃ的右焦点Ｆ到其渐近线的距离为ｂｃａ２＋ｂ２＝ｂ＝２.因为双曲线Ｃ经过点Ｐ(４ꎬ２)ꎬ所以１６ａ２－４２２＝１ꎬ解得ａ２＝８.故双曲线Ｃ的方程为ｘ２８－ｙ２４＝１.(２)因为Ｐ(４ꎬ２)ꎬＱ(０ꎬ－２)ꎬＤ为ＰＱ的中点ꎬ所以Ｄ(２ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝１.设直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ＋ｍꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭ(ｘＭꎬｙＭ)ꎬＮ(ｘＮꎬｙＮ)ꎬ２０１所以ｋＡＱ＝ｙ１＋２ｘ１ꎬｋＢＱ＝ｙ２＋２ｘ２.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ１＋２ｘ１ｘ－２ꎬ直线ＢＱ的方程为ｙ＝ｙ２＋２ｘ２ｘ－２.联立ｙ＝ｙ１＋２ｘ１ｘ－２ꎬｘ２８－ｙ２４＝１ꎬìîíïïïï可得[１－２(ｙ１＋２)２ｘ２１]ｘ２＋８(ｙ１＋２)ｘ１ｘ－１６＝０.所以ｘ１＋ｘＭ＝－８(ｙ１＋２)/ｘ１１－２(ｙ１＋２)２/ｘ２１＝－８ｘ１(ｙ１＋２)ｘ１２－２(ｙ１＋２)２.又因为ｘ２１８－ｙ２１４＝１ꎬ所以ｘ１＋ｘＭ＝ｘ１＋２ｘ１ｙ１.则ｘＭ＝２ｘ１ｙ１ꎬｙＭ＝ｙ１＋２ｘ１ｘＭ－２＝４ｙ１.同理可得ｘＮ＝２ｘ２ｙ２ꎬｙＮ＝４ｙ２.ｋＭＮ＝４/ｙ１－４/ｙ２２ｘ１/ｙ１－２ｘ２/ｙ２＝２ˑｙ２－ｙ１ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝２ˑｘ２－ｘ１ｘ１(ｘ２＋ｍ)－ｘ２(ｘ１＋ｍ)＝－２ｍꎬｋＭＤ＝４/ｙ１－０２ｘ１/ｙ１－２＝２ｘ１－ｙ１＝－２ｍꎬ所以ｋＭＮ＝ｋＭＤ.故ＭꎬＮꎬＤ三点共线.２２.(１)由题意得:函数定义域为(－１ꎬ＋ɕ).ｆᶄ(ｘ)＝ａｘ＋１－ｃｏｓｘ.若ｆ(ｘ)在[π４ꎬπ２]上单调递减ꎬ则ｆᶄ(ｘ)ɤ０在[π４ꎬπ２]上恒成立.所以ａɤ(ｘ＋１)ｃｏｓｘ在[π４ꎬπ２]上恒成立.令ｇ(ｘ)＝(ｘ＋１)ｃｏｓｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－(ｘ＋１)ｓｉｎｘ.当ｘɪ[π４ꎬπ２)时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ[１－(ｘ＋１) ｔａｎｘ].因为当ｘɪ[π４ꎬπ２)时ꎬｃｏｓｘ>０ꎬｘ＋１>１ꎬｔａｎｘ>１ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)<０.所以ｇ(ｘ)在[π４ꎬπ２)上单调递减ꎬ所以当ｘɪ[π４ꎬπ２]时ꎬｇ(ｘ)ȡｇ(π２)＝(π２＋１)ｃｏｓπ２＝０.所以ａɤ[ｇ(ｘ)]ｍｉｎ＝０.即ａ的取值范围为(－ɕꎬ０].(２)当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋１)－ｓｉｎｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋１－ｃｏｓｘ.当ｘ>ｅ－１时ꎬｌｎ(ｘ＋１)>ｌｎｅ＝１ȡｓｉｎｘꎬ所以ｆ(ｘ)>０在(ｅ－１ꎬ＋ɕ)上恒成立.所以只需证ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上有且仅有一个零点.因为ｅ－１<πꎬ所以当ｘɪ(π２ꎬｅ－１]时ꎬｃｏｓｘ<０ꎬ１ｘ＋１>０.所以ｆᶄ(ｘ)>０在(π２ꎬｅ－１]上恒成立.所以ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上单调递增.又ｆ(π２)＝ｌｎ(π２＋１)－ｓｉｎπ２＝ｌｎ(π２＋１)－１<０ꎬｆ(ｅ－１)＝１－ｓｉｎ(ｅ－１)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上有且仅有一个零点.即ｆ(ｘ)在(π２ꎬ＋ɕ)上有且仅有一个零点.[责任编辑:李㊀璟]３０１。

全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题及答案

全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（）. A ．复数z 为实数 B ．2024i i = C ．复数z 为纯虚数D ．6i z =−2．已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（）. A ．2A −∈ B ．2023A ∉ C ．231k A +∉D ．35A −∉3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为上，则该球的表面积为（） A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π4．若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（）A ．4B ．8C ．D ．5．神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（）. A ．39200B ．129200C ．12950D ．39506．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（）.A ．18B 4C ．78D ．147．若直线π4x =是πsin()4y x ω=−(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,]12上不单调，则ω的最小值为（）A ．9B ．7C ．11D ．38．设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x −=+，()()77f x f x −=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023−，上根的个数为（）. A ．806 B ．810 C ．807 D ．811二、多选题9．如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（）.A ．B ．C ．D ．10．已知直线2:0l mx ny r +−=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（）.A ．若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离B ．若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C相交C ．若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切D ．若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（）. A ．2019 B ．2023 C ．2029 D ．2033三、填空题12．已知向量a 与b 相互垂直，且3a =，2b =，则()()a b a b +⋅−= . 13．已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx→=；②1lim(1)e xx x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos lim x x xx→= ；1sin cos 0lim(1sin 2)x xx x →+= .14．已知函数()2e e e x x xg x x x =−−，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题15．当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示.(1)根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；(2)求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：相关系数公式：()()nniii it t y y t y nt yr−−−==∑∑.0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==−=−∑∑，a y bx =−. 2.91≈. 16．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n−=. (1)证明：数列{}n b 也为等差数列；(2)若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥.17．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．已知1(2,0)F −，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF −=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.(1)无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值；(2)在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值.19．已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πx f x =，()sin g x x =，()h x x =.(1)证明：()()()f x g x h x ＜＜； (2)已知()()()0f x g x h x −−＜，证明：()π()2πh x g x −＞（π可近似于3.14）.参考答案：1．A【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】()()1012101220242i i 11==−=，故6z =，故A 正确，B 、C 、D 错误. 故选：A. 2．A【分析】令31k +分别为选项中不同值，求出k 的值进行判定. 【详解】当1k =−时，2x =−，所以2A −∈，故A 正确；当674k =时，367412023x =⨯+=，所以2023A ∈，故B 错误；当1k =或0k =时，23131k k +=+，所以231k A +∈，故C 错误；当12k =−时，123135x =−⨯+=−，所以35A −∈，故D 错误. 故选：A 3．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =故121d d −=或121d d +=，1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．4．A【分析】将1ab =代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．【详解】若a ，b 都是正数，且1ab =∴11888422222b a a b a b a b a b a b +++=++=+=+++≥，当且仅当4a b +=时等号成立，故选：A. 5．D【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可. 【详解】若u 和v 两位同学答对4道题，则其概率为224395425⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若u 和v 两位同学答对3道题，则其概率为22143134212255444550⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为92139255050+=. 故选：D. 6．C【分析】根据题意得到,,M A B 的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于,a b 的齐次方程，从而得解.【详解】由题可得(),0M a −，设()()0000,,,A x y B x y −.则20002200018AM BMy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+−−，又222222000022222118x y y a x b a b b a a −+=⇒=⇒=，则22222287a b c a b b ==−=,. 则222227788c b e a b ===. 故选：C 7．C【分析】根据给定条件求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=−含0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是πsin (0)4y x ωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则ππππ,Z 442k k ω−=+∈，即43,Z k k ω=+∈，由πππ242x ω−≤−≤，得π3π44x ωω−≤≤，则πsin()4y x ω=−在π3π[,]44ωω−上单调递增，而πsin()4y x ω=−在区间π[0,]12上不单调，则3ππ412ω<，解得9ω>，综上，ω的最小值为11. 故选：C 8．B【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间[]20232023−，上根的个数. 【详解】因为()()22f x f x −=+，所以()()4f x f x −=+，又()()77f x f x −=+，所以()()14f x f x −=+，所以()()414f x f x +=+，即()()10f x f x =+，所以函数()f x 的周期为10，在区间[]07，上只有()()130f f ==，所以()0f x =在(]4,7上无解，则()70f x −=在(]0,3上无解，又()()77f x f x −=+，所以()70f x +=在(]0,3上无解，，即()0f x =在(]7,10上无解，即一个周期[]0,10内，方程的根只有1,3，闭区间[]20202020−，上含有404个周期，此时有4042808⨯=个根，在区间(]20202023，内，()()()()202110,202330,f f f f ==== 对于区间[)2023,2020−−，根据周期等价于区间[)7,10，该区间上无解，故方程()0f x =在闭区间[]20232023−，上根的个数为810. 故选：B. 9．CD【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2，对A ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =−−=−−，则2020MN OP ⋅=+−=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故A 错误；对B ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =−=−，则2020MN OP ⋅=+−=，所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故B 错误；对C ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0),(0,0,2),(2,1,2),(1,1,0)M N P O ，可得(0,2,2),(1,0,2)MN OP =−=，则0040MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，故C 正确；对D ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1),(1,1,0)M N P O ，可得(2,2,0),(1,1,1)MN OP =−=−，则2200MN OP ⋅=++≠，所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，故D 正确.故选：CD. 10．AB【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可. 【详解】对于A ，因为点(),P m n 在圆C 外，所以222m n r +>，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ==<，所以直线l 与圆C 相交，故命题A 是假命题；对于B ，因为点(),P m n 在圆C 内，所以222m n r +<，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ==>，所以直线l 与圆C 相离，故命题B 是假命题；对于C ，因为点(),P m n 在圆C 上，所以222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ===，所以直线l 与圆C 相切，故命题C 是真命题；对于D ，因为点(),P m n 在直线l 上，所以2220m n r +=−，即222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ===，所以直线l 与圆C 相切，故命题D 是真命题；故选：AB. 11．AC【分析】先利用二项式定理化简得223a =；再利用二项式定理将()11221139101==−展开可得到a 除以10所得的余数是9，进而可求解.【详解】因为()22012222222222222222C C 2C 2C 2123a =+⋅+⋅++⋅=+=()()112211011110101101019101111111111111139101C 10C 10C 10C 10C 10C 10C 19==−=⨯−⨯++⨯−=⨯−⨯++−+所以a 除以10所得的余数是9. 又因为a ≡b （mod 10）所以b 除以10所得的余数是9.而2019201109=⨯+，2023202103=⨯+，2029202109=⨯+，2033203103=⨯+ 故选：AC. 12．5【分析】根据向量的数量积运算法则即可求解.【详解】()()2222325a b a b a a b b a b +⋅−=⋅−⋅=−=−=，故答案为：5 13． 1 2e【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①0sin lim1x xx→=；②10lim(1)e x x x →+=，因为sin cos sin 22x x x x x =，sin 2t x =，可得sin 2sin 2x tx t=，则00sin cos sin limlim 1x t x x tx t→→==；又因为12sin cos sin 2(1sin 2)(1sin 2)x x x x x +=+，令sin 2t x =，可得22sin 2(1sin 2)(1)x t x t +=+，所以12122sin cos 0lim(1sin 2)lim(1)lim (1e [)]x xt t x t t x t t →→→+=+=+=.故答案为：1；2e . 14．()20,5e−【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，在()2e e e x x x g x x x =−−中，()()2e 2x g x x x '=+−，当()0g x '=时，解得2x =−或1，当()0g x '<即2<<1x −时，()g x 单调递减，当()0g x '>即<2x −，1x >时，()g x 单调递增，∵()()()2222222e 2e e 5e g −−−−−=−−−−=，()1111e e e e g =−−=−，当()()22,1e 0xx g x x x −=−−，方程()g x k =有三个不同的实根， ∴()02k g <<−即205e k −<<，故答案为：()20,5e−.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略()()22,1e 0xx g x x x −=−−这个条件.15．(1)0.962r ≈−，y 与t 具有很强的线性相关关系(2)0.28 3.12y t =−+，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析【分析】（1）直接套公式求出y 与t 之间的线性相关系数，即可判断；（2）套公式求出系数b 、a ，即可得到回归方程，并求出10月份的收入. 【详解】（1）（1）由5月至9月的数据可知1234535t ++++==，3 2.4 2.22 1.82.285y ++++==，51132 2.43 2.2425 1.831.4i i i t y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410i i t t=−=++++=∑，()522222210.720.120.080.280.480.848ii y y =−=++++=∑，所以所求线性相关系数为550.962i it y t yr −===≈−∑.因为相关系数的绝对值0.9620.9620.75r =−=>，所以认为y 与t 具有很强的线性相关关系.（2）由题得522222211234555i i t ==++++=∑，51522215 3.1453 2.28 2.80.285553105i ii i i t y t yb t t==−−⨯⨯−====−−⨯−∑∑，所以()2.280.283 3.12a y bt =−=−−⨯=，所以y 关于t 的回归直线方程为0.28 3.12y t =−+. 当6t =时，0.286 3.12 1.44y =−⨯+=，因为144 15<．．，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）通过计算1n n b b +−为定值可证明等差数列；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求n T ，根据n T 的结构即可证明不等式.【详解】（1）∵2n na b n−=， ∴2n n b a n =−，∴()()1112122n n n n n n b b a n a n a a +++⎡⎤−=−+−−=−−⎣⎦，又∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∴1n n a a d +−=， ∴12n n b b d +−=−，∴数列{}n b 是以2d −为公差的等差数列；（2）∵13a d ==，∴112321b a =−=−=，2321d −=−=， ∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴1(1)1n b n n =+−⨯=，∴数列{}n c 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴11122n n n c −−=⨯=，∴1·2n n n b c n −=， ∴1121112222n n T n −−−=⨯+⨯++⨯①，∴2n T =()21112122n n n n −−⨯+++⨯⨯−②，∴②−①得，11222n n n T n n −=−−−−⨯+⨯()11222n n n n −=−+++⨯+⨯12212n n n −=−+⋅−122n n n =−+⋅()121n n =−+，∵1n ≥且n 为正整数， ∴10n −≥，20n ＞，∴()1211nn T n =−+≥（当1n =时取等）.17．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C 可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NKMK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NKMN N =，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯. 若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面11ABB A ，故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n BA θ===⨯.18．(1)1m =−(2)9【分析】（1）由双曲线定义即可得点P 的轨迹方程，设出直线l 方程，联立双曲线方程可得与x 有关韦达定理，借助向量垂直数量积为0可计算出M 点坐标；（2）借助弦长公式与点到直线的距离公式可表示出面积，再借助换元法计算即可得解. 【详解】（1）由12122PF PF F F −=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支，设轨迹E 的方程为22221(1)x y x a b−=≥，0a >，0b >，2c =，22a =，23b ∴=，故轨迹E 的方程为221(1)3y x x −=≥，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =−，()11,P x y ，()22,Q x y ，与双曲线方程联立2213(2)y x y k x ⎧−=⎪⎨⎪=−⎩，可得()222234430k x k x k −−++=，有()()24222122212230Δ16434304034303k k k k k x x k k x x k ⎧−≠⎪=−−+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪−⎪+⎪⋅=>⎪−⎩，解得23k >， ()()()12121MP MQ x m x m y y x m ⋅=−−+=−.()()()221222x m k x x −+−−()()()22221212124k x x k m x x m k =+−++++()()()222222214342433k k k kmmk k k +++=−++−−2223(45)3m k m k −+=+− ()()222245313m m k m k −−+−=−MP MQ ⊥，0MP MQ ∴⋅=，故得()()22231450m k m m −+−−=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧−=∴⎨−−=⎩解得1m =−，∴当1m =−时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，可得(2,3)P ，则(2,3)Q −，此时有()()3312121−⋅=−−−−−，即此时结论也成立，综上，当1m =−时，MP MQ ⊥；（2）由（1）知(1,0)M −，当直线l的斜率存在时，()2122613k PQ x k +=−=−，点M 到直线PQ 的距离为d，则d =1||2MPQSPQ d ∴===令23(0)k t t−=>，则MPQS=10t>，9MPQS ∴=>，当直线l 的斜率不存在时，13692MPQS =⨯⨯=，综上可知，MPQS的最小值为9.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=−=−∈ ⎪⎝⎭，，求导得到函数单调性，得到sin x x >，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πx x ＜，构造πsin 2()x G x x =−，π(0)2x ∈，，二次求导得到单调性，得到π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，证明出()(),(0)π2f x g x x ∈＜，，证明出不等式；（2）变形得到0ππ(2)sin x x −−<，两边同时除以(2)s πin 0x −<得到：πsin 2πx x −＞，证明出不等式.【详解】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=−=−∈ ⎪⎝⎭，，∴()1cos 0F x x =−>'在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，∴()F x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴()(0)0F x F =＞， ∴sin x x >，∴π()(),(0)2g x h x x ∈＜，，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πxx ＜， ∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴只需证2sin πxx＜，令πsin 2()x G x x =−，π(0)2x ∈，，∴2cos sin ()x x x G x x −'=，∴22cos tan cos cos ()(tan )x x x x xG x x x x x−'==−，令()tan M x x x =−，π(0)2x ∈，，∴2221cos 1()1cos cos x M x x x −'=−=，又∵当π(0)2x ∈，时，20cos 1x ＜＜，∴当π(0)2x ∈，时，()0M x '＜，∴()M x 在(0)π2，上单调递减，∴()(0)0M x M =＜，∴当π(0)2x ∈，时，()0G x '＜，∴()G x 在(0)π2，上单调递减∴π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴2sin πx x ＜， ∴()(),(0)π2f xg x x ∈＜，，∴综上所述，当π(0)2x ∈，时，()()()f x g x h x ＜＜，证毕.（2）∵当π(0)2x ∈，时，()()()0f x g x h x −−＜，∴2sin 0πxx x −−＜， ∴2sin 0πππx x x−−＜，∴0ππ2)i π(s n x x−−＜，①将①式两边同时乘以π得到：0ππ(2)sin x x −−<，② ∵20π−＜，但当π(0)2x ∈，时，sin 0x >，∴(2)s πin 0x −<，将②式两边同时除以(2)s πin 0x −<得到：(2)sin 0(2)n ππsi πx xx−−>−，∴0πsin 2πx x −>−， ∴πsin 2πx x −＞， ∴当π(0)2x ∈，时，()π()2πh x g x −＞，证毕. 【点睛】方法点睛:证明不等式或比较两函数大小，需构造函数，并根据导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值得到结论.。

备战2024年高考数学模拟卷(新高考Ⅰ卷专用)含解析

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）黄金卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要A．51 62 a b+C．51 63 a b+【答案】CA ．242B ．24【答案】B【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD -连接OP ，则底面边长32AB =，对角线又5BP =，故高224OP BP BO =-=故该正四棱锥体积为()21323V =⨯⨯故选：B5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果可以表示为两个素数的和身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于将APQ △翻折后，PQ A Q '⊥，PQ BQ ⊥，又平面平面A PQ ' 平面BCPQ PQ =，A Q '⊂平面A PQ '，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q '⊥平面显然A P '，BP 的中点D ，E 分别为A PQ ' ，四边形BCPQ 则DO ⊥平面A PQ '，EO ⊥平面BCPQ ，因此//DO BQ 取PQ 的中点F ，连接,DF FE 则有////EF BQ DO ，DF 四边形EFDO 为矩形，设A Q x '=且023x <<，DO 设球O 的半径R ，有22223324A P R DO x x '⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭当23x =时，()22R =，所以球O 表面积的最小值为故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

A ．正方体11ABCD A B C -B ．两条异面直线1D C 和C ．直线BC 与平面ABC D ．点D 到面1ACD 的距离为【答案】BC【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定的角的大小即为直线1D C 和进而求得直线BC 与平面ABC 判定D 错误.【详解】对于A 中，正方体所以内切球的半径12R =，所以对于B 中，如图所示，连接因为11//AB C D 且11AB C D =所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即为直线又因为112AC AD D C ===对于C 中，如图所示，连接B 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C 又因为1AB BC B =I ，AB ⊂所以1B C ⊥平面11ABC D ，所以直线所以C 正确；对于D 中，如图所示，设点D 所以111πsin 23ACD S AC AD =⨯⨯V 又因为12ACD S AD CD =⨯⨯=V 即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯ 故选：BC.10．已知函数321()3f x x x =-A ．()f x 为奇函数C ．()f x 在[1,)-+∞上单调递增【答案】BC【分析】根据奇函数的定义判断12．已知函数()f x 及其导函数f 则（）A ．(1)(4)f f -=B ．g ⎛- ⎝【答案】ABD【分析】由题意分析得到()f x 关于直线【详解】因为3(2)2f x -为偶函数，所以所以()f x 关于直线32x =对称，令因为33()()22f x f x -=+，所以f '所以()()21g x g x +=--，因为所以()()21g x g x -=--，即(g 则()g x 的一个周期为2.因为(f x 所以33022g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，所以g 因为()()1g x g x +=-，所以(2g 设()()h x f x c =+（c 为常数），定义域为3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f ⎛ ⎝显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然()0f 的值不确定，故C 错误.故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考第一次模拟考试——数学(新高考Ⅰ卷01)(全解全析)

2024年高考数学第一次模拟考试数学（新高考I卷）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是，再根据共轭复数定义即可得结果．．．．【答案】C【分析】根据奇偶性和赋值即可判断选项【详解】由2()sin ln f x x x f -=-⋅=-()x 是奇函数，且定义域为{BD ；π时，()2πsinπln π0f =⋅=，排除C．已知n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列}n a 的前n 项和，设甲：数列*N n ∈，均有0n S >，则（．甲是乙的充分条件但不是必要条件．甲是乙的必要条件但不是充分条件．甲是乙的充要条件．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】利用定义法直接判断符合数列7．已知tan(+)αβ，tan(α-A ．2-B ．-【答案】D【分析】由题意可求出tan(α()()2ααβαβ=++-，2β式求值即可.【详解】因为tan(+)αβ，tan(所以tan(+)+tan()=a b a b --因为()()sin sin 2cos 2cos αβαβαβ++⎡⎣=+-⎡⎣()()()()tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++-=++⋅-故选：D8．已知91ln ,,e 89a b c -===A ．a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)

2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+，数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

2024年高考新课标全国Ⅰ卷数学模拟试卷与答案

2024年高考新课标全国Ⅰ卷数学模拟试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，在其定义域上单调递减的是A.x x f ln )(=B.πtan )(-=x f C.3)(x x f = D.xx f -=e )(2.4)32(+x 的展开式中，x 的系数为A.96B.144C.180D.2163.设等比数列}{n a 的前n 项积为n T ，若25625731==a a a a ，则=n T A.n na B.n n a )( C.1-n n a D.1)(-n n a 4.已知某3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为A.6 B.8 C.10 D.125.若413sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+65cos παA.41 B.41-C.41±D.4156.已知三棱柱111C B A ABC -满足1·1221=+-BA BC BA BB ，31=BA ，31=AC ，则异面直线1BA 与1AC 所成角的余弦值为A.33B.63 C.93 D.1237.已知方程22222=++-b ax x 在实数范围内有解，则22b a +的最小值为A.21 B.41 C.22 D.428.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，过点F 作斜率不为0的直线l 交C 于A ，B 两点，并与以F 为圆心，半径为1的圆交于C ，D 两点.若AB AC +3的最小值为6，则F 到准线的距离为A.2B.4C.22 D.24二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。

9.现有分别标有2024,2021,2028,2023,2020,2022数字的6张卡片，下列说法正确的是A.卡片数字的第80百分位数为2024B.从中随机抽取两张，共有30种不同的组合C.从中随机抽取一张，抽到偶数的概率比奇数大D.从中随机抽取一张，抽到质数是不可能事件10.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E ，F ，G 分别是边AB ，AC ，CD的中点.下列说法正确的是A.GC EF 1⊥B.四棱锥BEGF C -1的体积为1C.三棱锥EFG A -1的表面积为441πD.以1A 为球心，半径为22的球面与侧面11C CDD 的交线长为πA 1B 1D 1C 1A D EG11.已知函数)(x f 的定义域为R ，设)()(x f x g '=，)()(x g x h '=，且0)0(>g ，若)1()1()1(3++=+y g x g xy g ，)2(2)2(g h =，则A.0)1(=f B.0)1(=g C.0)1(=h D.)(20242024=∑-=i i h 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

(2024新题型)备战2024年高考数学模拟卷(新题型地区专用) 及答案

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要【解析】如上图正方体中，设平面1ABB 11D C 为β，CD 为m ，β，//m α，此时//m β，故，因为n α⊥，n β⊥，α、β是不同的平面，则必有正确；，如上图正方体中，设平面ABB【解析】：()222210x y a b a b+=>>的图象，则)0y ，()0,B y ，则(02,AF c x =- )00,c x y --，()1,BF c y =-- ，x a 223F B ，得(223322F F c B A ==- 00332232c x y -，得005332x c y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1BF 得()()110AF BF c x c ⋅=---+000yy +=即222053032c c y +-=2021=，得2222511639c c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，又42255090e e -+=，又椭圆离心率15，得55e =.二、多项选择题：本题共3小题，每小题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得1z ，2z 为复数，则下列说法正确的是（∈R ，则11z z =312⎝⎭A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿【答案】ACD【解析】令()(sin f x x ω=+由图可知：π23A x k ωϕ+=+所以1π3C B BC x x ω⎛=-=-+ ⎝所以π12π33BC AB ω⎛=-=- ⎝所以()()sin 4f x x ϕ=+，由所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，4π因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确.故选：ACD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(新高考)数学试题及答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。

2024年新高考数学模拟卷A卷(解析版)

2024年新高考数学模拟卷A 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}2468M =，，，，{}2|280N x x x =--≤，则M N ⋂=（）A ．{}2,4B ．{}2,4,6C ．{}2,4,6,8D ．[]24，【答案】A【详解】由题意{}2|280{|24}N x x x x x =--≤=-≤≤，∴{2,4}M N ⋂=．故选：A ．2．复数2(2)i z i-=i 为虚数单位，则A ．25B ．C ．5D ．【答案】C【详解】()()()223443,1i i i z i i--⨯-===--()()2243 5.z -+-=3．已知()1,3a =-，()2,1b =- ，且()()2//a b ka b +-，则实数k =（）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】D【详解】 (1,3)=- a ，()2,1b =- ，(1ka b k ∴-= ，3)(2---，1)(2k =+，13)k --，2(3,1)a b +=--，()//(2)ka b a b +-，(2)3(13)k k ∴-+=---，∴解得：12k =-．故选：D ．4．已知函数2,(1)()4,(1)x a x ax x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，若()y f x =在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．()2,4C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】A【详解】()f x 在(),-∞+∞上单调递增；∴2112211414aa a a a a a a⎧≥⎪≥⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪≤⎩⎪-++≤⎩，解得24a ≤≤；所以实数a 的取值范围为[]2,4．故选：A ．5．若椭圆X ：()22211x y a a +=>与双曲线H ：2213x y -=的离心率之和为736，则=a （）A ．2B 3C 2D ．1【答案】A【详解】椭圆X ：()22210x y aa +=>H ：2213x y -==，=2a=.故选：A.6．设过点(0,P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．19BC ．19-D ．【答案】A【详解】解法1：如图，圆22410x yx +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r ，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，得2sin 3APC APC ∠∠=，则221cos cos sin 09APB APC APC∠=∠-∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，所以1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选A.解法2：如图，圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =，过点(0,P 作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB .因为3PC =，则2PA PB ==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB+-⋅∠=+-⋅∠，且πACB APB ∠=-∠，则448cos 5510cos APB ACB +-∠=+-∠，即44cos 55cos APB ACB -∠=-∠，解得1cos 09APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，且α为锐角，则1cos cos(π)9APB α=-∠=.故选：A.解法3：圆22410x y x +--=，即22(2)5x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径r =线方程为0x=，则圆心到切点的距离2d r =<，不合题意；若切线斜率存在，则设切线方程为y kx =，即0kx y -=，则圆心到切线的距离d =120,k k ==-1212sin tan 1cos k k k k ααα-==+，又α为锐角，由22sin cos 1αα+=解得1cos 9α=.故选：A.7．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为常数，n ∈N ，1n ≥），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（）．A ．甲是乙的充分非必要条件B ．甲是乙的必要非充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既非充分也非必要条件【答案】B【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()222112n n n n a a q p a a ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，p 为常数，所以{}2n a 成等比数列，即{}n a 是等方比数列，故必要性满足.若{}n a 是等方比数列，即{}2n a 成等比数列，则{}n a 不一定为等比数列，例如23452,2,2,2,2,...--，有()221224n na a +=±=，满足{}n a 是等方比数列，但{}n a 不是等比数列，充分性不满足.故选：B8．若ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan αβ+=（）A ．－1B ．1C ．－2D ．2【答案】A【详解】解法一：由题得()()2sin sin cos 2222βαααβαβ⎫-=-+-⎪⎪⎝⎭，所以2sin sin 2cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=-++，即sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ++-=，即()()sin cos 0αβαβ+++=，显然()cos 0αβ+≠，故()tan 1αβ+=-.解法二：令π4αθ-=，则π4αθ=+，所以ππ2sin sin sin 44βααβ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为π2sin sin sin 2βθθβ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin sin cos βθθβ=-，所以2sin sin cos cos sin sin βθθβθβ=+，即cos cos sin sin 0θβθβ-=，所以()cos 0θβ+=，则ππ2k θβ+=+，k ∈Z ，所以()πππ3πtan tan tan πtan 14424k αβθβ⎛⎫⎛⎫+=++=++==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈Z .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2024年山东省新高考数学模拟训练试卷(四)

2024年山东省新高考数学模拟训练试卷（四）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)(5分)已知复数z=(2-i)+t(1+i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数t=()A．-2B．-1C．0D．12．(★)(5分)“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0， 10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位某小区居民，他们的幸福感指数分别为6， 7， 7， 8， 9， 8，则这组数据的第80百分位数是()A．7B．8C．8.5D．93．(★)(5分)甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件互斥的是()A．“甲站排头”与“乙站排尾”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”4．(★)(5分)在△ABC中，若点D满足，则()A．B．C．D．5．(★)(5分)给定一组数据5， 5， 4， 3， 3， 3， 2， 2， 2， 1，则这组数据()A．众数为2B．平均数为2.5C．方差为1.6D．标准差为46．(★★)(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱CD的中点，则异面直线AE与BC1所成角的正弦值为()A．B．C．D．7．(★)(5分)已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率p.先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0， 1， 2，3， 4， 5表示击中目标， 6， 7， 8， 9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169 966 151 525 271 937 592 408 569 683471 257 333 027 554 488 730 863 537 039据此估计p的值为()A．0.6B．0.65C．0.7D．0.758．(★★★)(5分)如图①所示，在平面四边形ABCD中， AD⊥CD， AC⊥BC，∠B=60°，AD=CD=．现将△ACD沿AC折起，并连接BD，如图②，则当三棱锥D-ABC的体积最大时，其外接球的体积为()A．B．4πC．D．16π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

江苏省南京市南京师范大学附属中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

江苏省南京市南京师范大学附属中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．210B ．2613C ．1313D 13 2．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（） A ．4B ．6C ．3D ．83．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了4．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（）A ．221111a b <++ B 33a bC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+5．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-6．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 7．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（） A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC + D ．2133AB AC + 8．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）9．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（） A ．2B ．4C ．12D ．810．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m的取值范围是（）A ．1,2e -⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]11．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．212．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题一(新课标全国Ⅰ卷)数学试题

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题一（新课标全国Ⅰ卷）数学试卷类型：A 本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{22}Ax x =−≤≤∣，{(3)0}B x x x =−<∣，则()R A B = （） A ．{2xx ≤∣或3}x ≥ B ．{20}xx −≤≤∣ C ．{23}xx ≤≤∣ D ．{2xx ≤−∣或3}x ≥3．已知函数()2,056,0x x x f x x x +≥= +< ，若()6f a =，则=a （）5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()31f x f x −=+，则()6f =（）A ．B ．C ．D ．7．已知()f x 是定义域为R 的单调递增的函数，n ∀∈N ，()f n ∈N ，且(())3f f n n =，则(28)f =（） A ．54B ．55C ．56D ．578．在三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面90ABC AB AC BAC =∠= ，，，且6AB PA +=，当三棱锥−P ABC 的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（） A ．27πB ．36πC ．54πD ．72π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=−，且函数(1)=−y f x 为奇函数，则（） A ．函数()y f x =是周期函数 B ．函数()y f x =为R 上的偶函数C ．函数()y f x =为R 上的单调函数D ．函数()y f x =的图像关于点(21,0)(Z)k k +∈对称12．如图，已知直线12l l //，点A 是1l ，2l 之间的一个定点，点A 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，0GA GB GC ++=，则（）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若a ，0b >，且223a b ab +=+，则ab 的最大值为． 14．设随机变量X 服从正态分布()22,N σ，若()10.2P X ≤=，则()3P X <= ． 15．函数tan cot y x x =−的最小正周期为 . 16．若函数()()33e 2023R xf x ax a =−+∈有且仅有一个极值点，则a 的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD ∥平面PAC ； (2)求证：1BD AC ⊥；(3)求二面角1B AC P −−的余弦值.2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题一（新课标全国Ⅰ卷）参考答案。

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新高考数学模拟试卷(附答案)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 3．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭4．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上（） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值05．已知函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,)e +∞B ．2(,2)e eC ．2(2,)e +∞D ．22(,2)(2,)e e e +∞6．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -. 7．设集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．8．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（） A ．1B ．﹣2C ．6D ．29．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>10．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（） A ．22B ．1C ．2D ．211．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 12．在[0,2]π内，不等式3sin 2x <-的解集是（） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .16．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．17．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．18．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．19．已知1OA =，3OB =0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 20．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____．三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围. 24．已知函数2()sin()sin 32f x x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期和最大值； (2)求()f x 在2[,]63ππ上的单调区间25．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】【分析】找到从上往下看所得到的图形即可．【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．B解析：B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.3．C解析：C 【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．D【解析】【分析】【详解】因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0，所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.5．C解析：C 【解析】【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.6．D解析：D【解析】【分析】用向量的加法和数乘法则运算。

【详解】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴11122323EF ED DA AB BF AB AD AB AD AB AD =+++=--++=-。

故选：D。

【点睛】本题考查向量的线性运算，解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得。

7．B解析：B【解析】试题分析：集合，故选B.考点：集合的交集运算.8．C解析：C【解析】试题分析：通过选项a的值回代验证，判断集合中有3个元素即可．解：当a=1时，由a2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A，A中含有2个元素，当a=﹣2时，由a2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A，A中含有1个元素，当a=6时，由a2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A，A中含有3个元素，当a=2时，由a2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A，A中含有2个元素，故选C．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．9．C解析：C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误；选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误；选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．10．C解析：C 【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为 e ca==，故选C ．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.11．C解析：C 【解析】【分析】【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=，所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+考点：样本平均数12．C解析：C 【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论．【详解】解：在[0，2π]内，若sin x 32-＜，则43π＜x 53π＜，即不等式的解集为（43π，53π），故选：C ．【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．14．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 15．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为解析：423【解析】【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值．【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =，因此,此圆锥的高2222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:23．【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．16．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查解析：80π【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。