测量平差问题中必要观测数的确定

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测量平差

填空题１. 测量平差分类：条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差。

２. 已知ｎ、ｒ、ｔ，则条件平差条件方程、法方程分别为：ｒ＝ｎ－ｔ、ｒ；间接平差误差方程、法方程：ｎ、ｔ。

３. 水准网必要观测数的确定：自由水准网，网中水准点数减一；符合水准网，待定高程的个数。

４. 非线性方程线性化。

))(()()(00'0x x x f x f x f -+=（已省略二次项)５. 为什么选取近似值进行平差？对精度有何影响？６. 偶然误差的特性：有界性、聚中性、对称性、补偿性。

７. 依据条件方程、法方程，求PV V T。

W N K K QA V AA T 1,--== K W W N W K N K PV V T AA T AA T T -===-1 ８. 平差问题求解原则：最小二乘原理。

９. Ｆ为等精度观测，求ｆ的中误差。

2、已知)180(3ˆ -++=-=C B A W W A A，m m m m C B A ===，m m W 3=，则A m ˆ= A 。

A 、m 32B 、m 32C 、m 32 D 、m 23 4、A 、B 两点按双次观测得高差'i h 、"i h )8,,2,1( =i ，各高差之间相互独立，每一高差的中误差均为mm 2±，则全长高差算术中数的中误差为± B 。

A 、2mmB 、4mmC 、8mmD 、16mm １０.非线性误差方程式i t i i L x x xf v -=)ˆ,,ˆ,ˆ(21 的线性化形式为 i t i t ti i i i L x x x f x x f x x f x x f v -+∂∂++∂∂+∂∂=),,(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(002010202101 δδδ 。

未知参数的近似值越靠近平差值，线性化程度就越高；当线性化程度不高时，可以采用迭代法进行求解。

11.已知36=Pl l T，4=n ，法方程为024ˆˆ322421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x δδ，则PV V T = 32 ，μ= 4± ，1ˆx m = 6± ，2ˆx m = 22± 。

网平差中确定必要观测数的统一公式

从该网确定不了任何一待定点的绝对高程 , 只能确定点间
的高差 , 即点间相对关系。此时假设其中一点为已知点 , 然后确定其它四点的高程 , 所以必要观测数为 4。
以上是直观的分析 , 下面总结了适用于水准网确定必
要观测数的式子 , 公式如下 :
t = 1 ×m - 1 - c
(1)
其中 , m 为网中所有点数 (包括已知点和待定点 ) 。
模大且复杂时略显繁琐 , 所以总结了适用于确定测角网必
要观测数的公式 , 式子如下 :
t = 2 ×m - 4 - c
(2)
根据式 (2) 求图 2中各网的必要观测数。图 2a中 , m
= 6 , μ = 4 , 由于 4个起算数据全是必要的起算数据 , 所
以
μ 1
=4,
得
c
=μ
-
μ 1
=0,
所以该网必要观测数为
则
μ 1
<μ≤ b , c
=μ
-
μ 1
;
④网中总起算数据数大于必要起算数据数 , 即
μ
>
b, 若 μ个起算数据中包含了
b个必要起算数据 ,
则
μ 1
=
b
<μ,
c
=μ -
b
=μ
-
μ 1
;
⑤当 μ > b时 , 若 μ个起算
数据中没有完全包含
b个必要起算数据 ,
则
μ 1
< b <μ,
c
=μ
-
μ 1
。
尽管以上五类情况各不相同 , 其计算多余起算数据数
下必要观测数 t确定的一些公式。本文则对几种常见控制网 (水准网、测角网、测边网 /边角网和 GPS网 ) 中确定必要观测数进行分析 , 针对每种网分别总结出一个公式 , 然后将这四类网的公式进行概括 , 最后得到各类网平差中确定必要观测数的统一公式。

误差理论与测量平差四章

引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0

1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0

hh%%12

1
2
x

2 m in

1
nE(
1
2
)

2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L

测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型例引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34

hh%%56

0
0
0 1
X%
0

0
0
H
A

确定观测次数的方法

确定观测次数的方法
确定观测次数的方法有以下几种：
1. d2值法：通过计算d2值来确定观测次数，d2值是指观测数据与预测数据之间的差异的平方和与观测次数的比值，当d2值小于某个阈值时，可以认为观测数据与预测数据之间差异较小，观测次数可以减少。

2. 秒表计时法：通过使用秒表或其他计时工具，记录完成某项任务所需的时间，然后根据任务的重要性和紧急性来确定观测次数。

3. 通过作业周期确定观测次数法：根据作业的周期来确定观测次数，例如，如果作业周期为2小时，则每小时观测一次。

4. 误差界限法：根据误差界限来确定观测次数，误差界限是指观测数据与预测数据之间的最大允许误差范围，当观测数据与预测数据之间的差异超过误差界限时，需要增加观测次数。

这些方法可以帮助您确定合适的观测次数，以获得准确的结果。

测量平差问题中必要观测数的确定

3 2 1 4 5 6 7 4
n=15 t=3p-3=9
n=33 t=3p-3-3=15
1 3
2
P3
S0 为已知边, P1 , P2 ,P3 , P4 , P5 , P6 为待定点, ∠1～ ∠16 为观测角。 n=16 t = 2 p - 4 = 2 ×6 - 4 = 8
（2）当存在多余起算数据时
t=2p-4-q
A , B , C 为已知点, P1 ,P2 , P3 为待定点, ∠1～ ∠12 为观测角。
n=12; t=2p-4-2=6。
~ 为已知方位角,P1 , P2 , P3 , P4 , P5 为待定点, ~ 2 1 ∠1～ ∠13 为观测角。
n=13; t=2p-4-1=5。
~ 为已知方位角, P1 , P2 , P3 , P4 , A , B 为已知点, 0 P5 , P6 为待定点, ∠1～∠21 为观测角。
n=5 t=2p-3-q=2×4-5=3
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6为待定点, S1～ S3 为观测边。
t = 2 p - 3= 2 ×6 - 3 = 9。

GPS网
a=3,b=3。
（1）当起算数据<=必要起算数据，且无多余起算数据时 t=3p-3 （2）当存在多余起算数据时 t=3p-3-q

必要观测
为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数，称为必要观测。在测量中必要观测是指为确定模型中所有待定点值（高程值或坐标值）所需要的最少观测数。必要观测数对参数个数的选择、多余观测数的确定具有重要的意义。
必要观测数的确定
观测值个数：n；必要观测数：t；多余观测数：r；所有点个数：p；多余的起算数据：q；确定每一个待定点值所需观测数：a；必要起算数据个数（必要的起算基准）：b。

必要观测数确定(平差讲课用)

测量平差中必要观测数的确定方法一、控制网必要起算数据概述1.控制网必要起算数据的要求：见下表。

控制网种类必要起算数据个数必要起算数据种类水准网测角网测边网/边角网/导线网143一点高程两点坐标或一点坐标、一边长和一边方位角一点坐标和一边方位角2.平差计算时控制网的起算数据必须满足要求也就是说，确定必要观测数t时，控制网的起算数据一定已经满足了要求。

满足要求的起算数据不仅种类满足要求，且其个数一定等于或大于其必要起算数据的个数。

起算数据满足要求有两种情况：一是控制网的起算数据本身就满足要求；另一是控制网的起算数据本身不满足要求，经假定或实测补足后满足要求。

补充的起算数据也视为已知。

二、控制网必要观测数的计算方法起算数据可分为两类：一类是点位起算数据，如坐标、高程等；另一类是非点位起算数据，常见为平面控制网中的方位角、边长等。

水准网中无此类起算数据。

下面分别就这两种情况来讨论必要观测数t的确定。

1.起算数据只含点位起算数据，不含非点位起算数据。

显然，水准网的必要观测数t就是此类未知点（高程）的个数；而平面控制网的必要观测数就是此类未知点坐标的个数，也即为点数的2倍。

若以P表示控制网中未知点的个数，则此种情况下必要观测数t的计算方法为水准网：t=P平面控制网：t=2P2.起算数据既含有点位起算数据，又包含非点位起算数据。

包含非点位起算数据只有平面控制网。

这类数据都对应着一条边——有两个端点。

根据该边与控制网的连接情况，非点位起算数据又分为两类：一类是两端点都包含在控制网内部，如图5中的S0、α1、α2，图7中的α0，图9中的α1等，称为第一类非点位起算数据。

另一类是一端与控制网相连，一端自由，该边好像悬挂于控制网上，一般为已知方位角，如图6中的α0，图9中的αA、αB、αC等，称为第二类非点位起算数据或悬挂边。

如果假设非点位起算数据未知，也即网中只有点位起算数据。

则可看出：第一类非点位起算数据与确定未知点坐标有关：确定未知点坐标需要测定方位角、距离。

测量平差中必要观测数的确立

测量平差中必要观测数的确立摘要：测量平差中，为确定必要观测数，针对常见的四类控制网分别列出公式，最后作了归纳。

关键词：平差；必要观测；控制网Abstract：surveying adjustment, in order to determine the necessary number of observations, formulas for four kinds of common control networks are listed and summarized.Adjustment：necessary observation; control network.1引言测量平差是依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。

平差的函数模型有四类：条件平差模型、附有参数的条件平差函数模型、间接平差和附有限制条件的间接平差。

其中，除条件平差没设定参数外，其它模型均设定了参数，参数的个数与必要观测具有特定的关系，本文针对不同观测条件、不同图形条件下必要观测数的确定讨论一些公式。

2多余观测数的计算及必要观测数下面是对涉及的几个相关概念、文中的一些符号规定以及多余起算数据的计算问题做的说明和简析[1-5]。

必要观测元素和必要观测数：能够唯一确定一个几何模型所必要的元素，称为必要元素。

必要元素的个数称为必要观测个数或必要观测数，用t表示。

多余观测元素和多余观测数：从总观测元素中去掉必要观测元素后，剩下的观测元素称为多余观测元素或多余观测数据。

多余观测元素的个数，称为多余观测数，用r表示，且r=n-t。

N:为待定点个数。

n：所有测点观测数据的总数，包括已知点和待定点。

图中未知点符号：用圆圈o表示。

图中已知点符号：用⊕或△表示。

位置基准：包含任意一点的坐标x0,y0。

方位基准：包含任意一条边的方位角α0。

长度基准：包含任意一条边的变长s0。

3 必要观测数的确定3.1 水准网中必要观测数的确立水准网分为有已知点和无已知点两类，要确定各点的高程，需要1个高程基准。

必要观测个数

由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。

因此，问题的关键是判定必要观测数t。

1.网中有2个或2个以上已知点的情况三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数据。

无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。

也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。

t = 2 ·p(3-4-1)(1) 测角网图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p =6。

如果三角网中观测量全部是角度时。

总观测值个数：n = 23必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 11(2) 测边网在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：总观测值个数：n = 14必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 2(3) 边角同测网在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：总观测值个数：n = 37必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 252. 网中已知点少于2个的情况有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。

但是，不管怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。

如果没有已知点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方向的方位角为某一假定值。

这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。

(1) 测角网三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了所有的角度。

测量平差原理

间接平差：选定t个独立的参数，将每个观测值分别表示成这t个独立参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法就是间接平差。
其数学模型为：
L B X d
n1 nt t1 n1
D
nn
2 0
Q
nn
P 2
1
0 nn
间接平差的数学模型
观测三角形内角，选择t=2个独立
参数A和B为平差参数，设为X1 、X2 则n=3个观测方程为：
针对偶然误差的测量平差中，利用最小二乘法求得的估计量是最优估计量，具有以下性质：
（1）一致性；（2）无偏性；（3）有效性
数学模型：用数学关系描述几何模型的几何关系和内在联系。
函数模型：几何关系，描述观测量之间或观测量与待定量之间的数学函数关系式。
随机模型：内在联系，是描述观测量及其相互间的统计相关性质。实际上，测量平差中所谓的随机模型，就是观测值向量的权阵。
方程式不能由其他方程式线性组合得到）（3）形式简单
列方程依据：角度、边长、高差等几何关系
条件平差的函数模型举例 (1)
r=2
条件平差的函数模型举例 (2)
S1
1
A
C
已知点：A、B
观测值如图
3
S2
2 B
r=3
条件平差的函数模型举例 (3)
C
D
L3 L4
L6
已知点：A、B
L1
A
L2
L5
B
观测值： L1- L6
必要观测、多余观测
确定平面三角形的形状
观测三个内角的任意两个即可,称其必要
元素个数为2，必要元素有 C32种选择
确定平面三角形的形状与大小

平差第四章

第4章平差数学模型与最小二乘原理测量———确定模型确定模型的必要元素(量、数据），其个数为t m个。

•必要元素的个数T只取决于模型本身•所有的必要元素都是彼此函数独立的量•模型中所有的量都是必要元素的函数•一个模型中函数独立的量最多只有T个•模型中作为必要元素的“量”不是唯一的必要元素分必要观测量(t 个）和必要起算数据(t o 个）。

一个测量问题中的总观测个数(n 个），则多余观测个数(r 个）相应的有总起算数据个数和多余起算数据个数。

必要观测数据个数：m o t t t =--多余起算数据个数控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型水准网点数t=1一个点的高程测角三角网点数×2t=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n =t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。

n＞t时，通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。

4-2函数模型由于只能求出真误差的估值，即真值的估值，函数模型应为：ˆ0AL A +=平差值条件：0()AV W W AL A +==+改正数条件选择t 个函数独立的参数：，这些参数刚好能够确定模型。

则函数模型为：12(,,,)t X X X1()n L F X ⨯=线性情况下111n n t t n L B X d⨯⨯⨯⨯=+ 误差方程：111111()n t t n n n n n V B X l l d L ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=- o o1111()n t n t n n V B x ll BX d L L L ⨯⨯⨯⨯⨯=+=+-=-附有参数的条件平差法模型在具体平差问题中，观测次数n ，必要观测次数t ，则多余观测次数r ，再增加u 个独立参数，且0 ＜u ＜t ，则总共有r +u = c 个条件方程，一般形式是：线性情况下01111c n n c u u c c A L B X A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++=改正数条件方程：01111()c n c u n u c c A V B x W W AL BX A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++==++1(,)0c F L X ⨯=具有约束条件的间接平差法的函数模型选择u 个参数：，u＞t ，且包含t 个函数独立的参数。

论测量平差中必要观测数的确定

1 计算必要观测数的新方法
控制测量的目的，就是要确定控制网中未知点的坐标或（和）高程。为此，控制网必须具有一定种类及数量的起算数据，以便确定控制点在坐标系统或高程系统中的位置。各种控制网的必要起算数据如表1。
表 1 控制网必要起算数据的个数和种类
第一种情况：起算数据只含点位起算数据，
不含非点位起算数据。由前述讨论可知，此时的
必要观测数〖完全由未知点个数确定。显然，于
水准网的必要观测数〖就是未知点（高程）的个
数；而平面控制网的必要观测数就是未知点坐标
和控制网中未知点数有关外，还与起算数据及其种类有关。本文通过分析必要观测与各类起算数据之间的内
在联系，给出了确定必要观测数的一种新方法，并列举了不同种类的控制网实例验证了该方法的正确性。与已有方法相比，新方法推导思路简洁，容易理解，且计算公式简单、便于记忆和使用，对测量平差教学有一定的帮助。
第 32卷第 1 期
付新启：论测量平差中必要观测数的确定
41
据。满足要求后的起算数据可分为两类：一类是
点位起算数据，如坐标、高程等；另一类是非点位
起算数据，常见为方位角、边长等，也可以是高
差。下面就起算数据的这两种情况来分别讨论
必要观测数〖的计算方法。
[ 关键词 ] 控制网；测量平差；必要观测；必要起算数据

测量平差

条件方程（一）、水准网1、水准网的分类及水准网的基准分为有已知点和无已知点两类。

要确定各点的高程，需要1个高程基准。

2.水准网中必要观测数t的确定有已知点：t等于待定点个数无已知点：t等于总点数减一3、水准网中条件方程的列立方法列条件方程的原则：1、足数； 2、独立；3、最简（1）、先列附合条件，再列闭合条件（2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一（3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简原则。

边角网条件方程单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件纵坐标条件为所以纵坐标条件方程为：纵坐标条件方程的最终形式为：GPS基线向量网三维无约束条件平差1.GPS基线向量网的观测值2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立GIS数字化数据采集中，折角均为90°的N边形的条件方程直角条件：小结：一、条件平差及其目的二、条件平差的原理三、总结了条件平差的步骤（1）根据具体问题列条件方程式；（2）组成法方程式，（3）解法方程；（4）计算改正数V，（5）求观测值的平差值（6）检核（7）精度评定附有参数的条件平差小结1、为了某种需要，选择参数；2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u 个参数，就增加u 个条件方程；3、条件方程的总数c=r+u ；4、单位权中误差的计算公式不变；5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。

间接平差三、选取参数的个数和原则1、所选取t个待估参数必须相互独立；2、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。

四、不同情况下的误差方程1、水准网误差方程2、方位角误差方程测方位坐标平差函数模型测角网函数模型3、测边网误差方程4、GPS网误差方程。

测量平差中条件方程类型确定的分析

测量平差中条件方程类型确定的分析作者：泥立丽王永来源：《商情》2020年第33期【摘要】给出了测量平差问题中各类条件方程的确定方法。

在测角三角网的平差中，正确无误地确定各类条件方程是一个难点问题。

文中通过精选的四个测角三角网，从如何确定几何模型的类型、如何确定布网的目的、如何确定起算数据以及如何确定必要观测数等几个方面，分步骤地进行了详细的分析，并给出了思路。

文中给出的方法，简单易行，不容易出错，适合于大多数的初学者和普通测量工作者。

【关键词】几何模型;起算数据;必要观测数;条件方程在测量平差的教学工作中，对于一个几何模型，当确定了必要观测数后，就可以确定多余观测数并依此列出各种条件方程了。

条件方程的类型非常多，包括图形条件、圆周条件、极条件以及坐标方位角条件等。

如何正确地列出相应的条件方程是学生学习的一个难点，本文中，作者结合教学的实际精选了四个测角三角网，并给出了一些分析思路。

1 算例如图1至图4所示，为四个测角三角网，求下列各测角三角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数，其中Pi为待定点，i为已知边，i为已知方位角，i取非负整数。

2 分析思路2.1大体分析思路（1）确定几何模型的类型即根据三角网的观测值来确定它是测角三角网、测边三角网还是边角网。

如图1至图4均为测角三角网。

（2）确定布设三角网的目的即布设三角网是为了确定网的形状还是待定点的坐标。

如图1中，其已知数据包括两个已知点坐标、一个已知方位角，可知该网是为了确定待定点的坐标;图2中，没有已知点，但包括两条已知边长，因此该网是为了确定形状和大小，由于大小固定的网是形状不变时的一种特例，因此该网的最终目的是为了确定形状。

图3中，没有已知点，仅包括一条已知边长和两个坐标方位角，因此该网是为了确定形状。

图4中，包括3个已知点，因此该网最终目的是为了确定待定点的坐标。

（3）判断已知数据是否为起算数据已知数据未必是起算数据。

在观测网中，为了实现布网的最终目的，已知数据是否起作用需要进行判断。