函数的单调性与最值

函数的单调性与最值

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－

f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )

(2)函数y ＝1

x

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )

(3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)

(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( )

2. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A.y ＝x 1

2 B.y ＝2－x C.y ＝log 12x D.y ＝1

x

3. 函数y ＝x x －1

在区间[2，3]上的最大值是________.

4. 函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )

A.(－∞，－2)

B.(－∞，1)

C.(1，＋∞)

D.(4，＋∞)

5. 函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)

6. 函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x ≥1，－x 2

＋2，x <1

的最大值为________.

考点一 确定函数的单调性(区间)

【例1】 (1)函数y ＝log 12(－x 2

＋x ＋6)的单调增区间为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12

C.(－2，3)

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，＋∞

(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝ax x －1

(a ≠0)在(－1，1)上的单调性.

【训练1】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，

0，x ＝0，－1，x <0，

g (x )＝x 2

f (x －1)，则函数

g (x )的递减

区间是________.

考点二 求函数的最值

【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12

B.14

C.2

D.4

(2)(一题多解)(2020·惠州一中月考)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .

设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______.

【训练2】 (1)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( )

A.2

B.3

C.4

D.6

(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤1，

x ＋6

x －6，x >1，

则f (x )的最小值是________.

考点三 函数单调性的应用 多维探究

角度1 利用单调性比较大小

【例3－1】 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－

f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A.c >a >b

B.c >b >a

C.a >c >b

D.b >a >c

角度2 求解函数不等式

【例3－2】 设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x

，x ≤0，

1，x >0.

则满足f (x ＋1)

是( )

A.(－∞，－1]

B.(0，＋∞)

C.(－1，0)

D.(－∞，0)

角度3 求参数的值或取值范围

【例3－3】 如果函数f (x )＝⎩

⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，

a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有

f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.

【训练3】 (1)(角度2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x

，x ≤0，

－x 2－2x ＋1，x >0，

若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，1

(2) 设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )

A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32)>f (2－23)

B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23)>f (2－

32)

C.f (2－3

2)>f (2－2

3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314 D.f (2－23)>f (2－

32)>f ⎝

⎛⎭⎪⎫log 314

(3) 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2

＋12a －2，x ≤1，

a x

－a ，x >1，

若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.