第7课时对 数 函 数

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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(3)若 2a＝5b＝10，则1a＋1b＝________． 答案 1 解析 ∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＝lg2，1b＝ lg5，∴1a＋1b＝lg2＋lg5＝1.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
logb（logba） (4)若 a>1，b>1，p＝ logba ，则 ap＝________． 答案 logba
答案 3
解析 ＝3.
因为 a23＝94(a>0)，所以 a＝(49)23＝(23)3，故 log2a＝log2(23)3
3
3
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)(2014·陕西)已知 4a＝2，lgx＝a，则 x＝________． 答案 10 解析 ∵4a＝22a＝2，∴a＝12.∵lgx＝21，∴x＝ 10.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
4．设 y＝loga(x＋2)(a>0 且 a≠1)，当 a∈________时 y 为减 函数；这时当 x∈________时，y<0.
答案 (0，1) (－1，＋∞)
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
1
5．(2015·北京)2－3，32，log25 三个数中最大的数是________． 答案 log25 解析 因为 2－3＝213＝18，312＝ 3≈1.732，而 log24<log25，即 log25>2，所以三个数中最大的数是 log25.
＋lg2)＋lg5＋lg2(lg2＋lg5)＝2＋lg5＋lg2＝3.
(2)原式＝log22－14·log5[9log9
32
5－(32)3＋7log73]
＝(－14)·log5( 5－3＋3)＝－41×21＝－18.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(3)∵14b＝5，∴log145＝b.又 log147＝a， 142
①logab·logba＝1． ③loganbn＝logab.
②logab·logbc＝logac． ④logambn＝mn logab．
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对数函数 (1)对数函数的概念． 函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数． (2)对数函数的图像．
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【答案】 略
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)当 0<x≤21时，4x<logax，则 a 的取值范围是(
)
A．(0，
2 2)
B．( 22，1)
C．(1， 2)
D．( 2，2)
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【解析】 易知 0<a<1，则函数 y＝4x 与 y＝logax 的大致图
【答案】 B
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
log2x，x>0，
(2)已知函数 f(x)＝
且关于 x 的方程 f(x)－a＝0
2x，x≤0，
有两个实根，求实数 a 的取值范围．
【答案】 0<a≤1
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题型三 对数函数的性质及应用(微专题)
微专题 1：比较大小
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答案
(1)－12
(2)0
(3)－1
(4)－157
2 (5)3
解析 (2)log53＋log513＝log51＝0；
(3)lg52＋2lg2－(21)－1＝lg25＋lg4－(21)－1＝lg10－2＝－1；
(4)lg5 1 000－823＝lg5 103－823＝lg1035－(23)23＝53－4＝－157.
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思考题 2 (1)(2017·河北冀州中学月考)函数 f(x)＝lg(|x| －1)的大致图像是( )
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【解析】 由函数值域为 R，可以排除 C，D，当 x>0 时， f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上递增，排除 A，选 B.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(3)设 x＝5lg30·(13)lg12＝5(1＋lg3)·3lg2， 则 lgx＝lg[5(1＋lg3)]＋lg3lg2＝(1＋lg3)·lg5＋lg2·lg3
＝ lg5 ＋ lg3lg5 ＋ lg2lg3 ＝ lg5 ＋ (lg5 ＋ lg2)·lg3 ＝ lg5 ＋ lg3 ＝
(2)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且 a≠1)是解决有关指数、对数问 题的有效方法，在运算中要注意互化．
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思考题 1 (1)若 logab·log3a＝4，则 b＝________． (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________． (3)5lg30·(13)lg12＝________．
lg15. ∴x＝15.
【答案】
(1)81
5 (2)4
(3)15
【讲评】 遇到幂的乘积求值时，“取对数”也是一种有效
的方法．
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题型二 对数函数的图像
(1)作出函数 y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单 调区间，并说明它的图像可由函数 y＝log2x 的图像经过怎样的变 换而得到．
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第 课时 对 数 函 数
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课前自助餐
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对数 (1)对数的定义． 如果 a(a>0，a≠1)的 b 次幂等于 N，即 ab＝N，那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数，记作 logaN＝b． (2)对数恒等式． ①alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N>0)． ②logaab＝b(a>0 且 a≠1，b∈R)．
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(3)对数运算法则．(a>0 且 a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN． ②logaMN ＝logaM－logaN． ③logaMn＝nlogaM．
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(4)换底公式．
logbN＝llooggaaNb (a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1，N>0)． 推论：
4
ln6－ln2
(2)log2 28·log5[3log95－(3
2
3)3＋7 ln7 ]；
(3)若 log147＝a，14b＝5，则用 a，b 表示 log3528＝________．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【解析】 (1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋lg2)＋lg22＝2(lg5
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1．(课本习题改编)写出下列各式的值：
(1)log2 22＝________；
(2)log53＋log531＝________；
(3)lg52＋2lg2－(21)－1＝________；
5 (4)lg
1
2 000－83＝________；
(5)lloogg8293＝________．
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【解析】 (1)由 logab·log3a＝4 得llggba·llgg3a＝log3b＝4，所
以 b＝34＝81.
(2)
原
式
＝
(log32
＋
1 2
1 log32)·( 2
log23
＋
1 3
log23)
＝
35 log32 2·log2(312·313)＝2llgg32·6llgg23＝45.
答案 B 解析 方法一：因为 C1，C2 为增函数，可知它们的底数都大 于 1，又当 x>1 时，图像越靠近 x 轴，其底数越大，故 C1，C2 对应的 a 值分别为 2，3.又因为 C3，C4 为减函数，可知它们的底 数都小于 1，此时 x>1 时，图像越靠近 x 轴，其底数越小，所以 C3，C4 对应的 a 分别13，12.综上可得 C1，C2，C3，C4 的 a 值依次 为 2，3，31，21.
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方法二：可以画直线 y＝1，看交点的位置自左向右，底数由 小到大．
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授人以渔
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题型一 对数式的运算
计算下列各式：
(1)lg52＋32lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
D．①②④
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答案 C 解析 若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意 义，若 logaM2＝logaN2，则 M2＝N2，即|M|＝|N|，①③④不正确， ②正确．
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3．(1)已知 a23＝49(a>0)，则 log2a＝________． 3
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6．已知图中曲线 C1，C2，C3，C4 是函数 y＝logax 的图像， 则曲线 C1，C2，C3，C4 对应的 a 的值依次为( )
A．3，2，13，12 C．2，3，21，31
B．2，3，13，12 D．3，2，12，13
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像如图，则只需满足
lBiblioteka Baiduga12>2，解得
a>
22，∴
2 2 <a<1.
【答案】 B
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★状元笔记 利用对数函数的图像可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图像， 在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结 合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问 题，利用数形结合法求解．
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(3)对数函数的性质． ①定义域为(0，＋∞)，值域为 R． ②恒过定点(1，0)． ③a>1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上为增函数； 0<a<1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上为减函数．
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④当 a>1，x>1 时，logax>0； 当 a>1，0<x<1 时，logax<0； 当 0<a<1，0<x<1 时，logax>0； 当 0<a<1，x>1 时，logax<0.
比较下列各组数的大小：
(1)log23.4，log10.34；
2
(2)log67，log76；
(3)m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；
(4)若 0<a<b<1，试确定 logab，logba，log1a，log1b 的大小关
b
a
系．
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【解析】 作出函数 y＝log2x 的图像，将其关于 y 轴对称得 到函数 y＝log2|x|的图像，再将图像向左平移 1 个单位长度就得到 函数 y＝log2|x＋1|的图像(如图所示)．
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由图知，函数 y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增 区间为(－1，＋∞)．
∴log3528＝lloogg11442385＝log1lo45g＋14 l7og147＝2a＋－ba.
【答案】
(1)3
(2)－18
2-a (3)a+b
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★状元笔记 在对数运算中要注意的几个问题
(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变 形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数 运算法则化简合并．
【解析】 (1)log10.34＝log20.34－1＝log213040<log23<log23.4. 2
(2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1， ∴log67>log76.
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(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而 5.1>0，∴0<0.95.1<1，即 0<m<1. 又∵5.1>1，而 0.9>0，∴5.10.9>1，即 n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而 5.1>1，∴log0.95.1<0. 即 p<0.综上，p<m<n.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
2．对于 a>0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2.
A．①③
B．②④
C．②