八年级数学下册梯形导学案

八年级数学下册导学案（二十七）
杨成超
八年级数学下册——梯形导学案
【教学目标】：
1．掌握梯形的概念以及等腰梯形的性质。

2．会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些特殊的图形问题。

3．培养学生观察、类比、实验、分析、概括的能力。

4．培养学生化归的思想和添加辅助线的能力。

【教学重难点】：
等腰梯形的性质，梯形辅助线的添加
【自学指导】：
学生看P109---P110注意以下问题：
✧梯形的判定方法有哪些？
✧梯形的相关概念？有哪几种特殊梯形？
✧等腰梯形有什么性质？
✧今天我们在研究梯形问题时，可以用哪些方法将梯形问题转化成其他图形问
题？
【自学检测】：
1. 等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是。

2. 一个等腰梯形的中位线长为L，且对角线互相垂直，则这
个梯形的高为。

3.已知等腰梯形的一条对角线平分锐角，这条对角线又将中
位线分成10厘米和18厘米两段，则这个梯形的周长为
厘米。

4.如图15-90，已知等腰梯形ABCD的上底CD等于一腰长，
下底等于对角线AC的长，则等腰梯形的各个内角
为。

5.如图15-91，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=4，
AD=3， BC=7，求∠B。

6.已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC⊥BD，
垂足为O，AD=5，BC=9，求梯形ABCD的面积。

7.已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，CD=1cm,BD=3cm,AC=4cm，求梯形ABCD的面积。

8.已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=6，BC=3，CD=1，DA=4，求梯形ABCD的面积。

【师生共同探究，总结】：．
✓：解决梯形的证明或计算问题，常用以下方法添置辅助线：
✓特殊梯形：
✓两腰相等的梯形是等腰梯形
同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形
两条对角线相等的梯形为等腰梯形
对角互补的梯形是等腰梯形
✓梯形的有关概念
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

一些基本概念（如图）：底、腰、高。

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

✓（1）过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形
（2）过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中
（3）延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形
（4）从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，就可将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形
（5）旋转由梯形一底和一腰中点构成的三角形，可使梯形转化为三角形
（6）已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

既可轻松解决计算问题，也可以在证明中将梯形转化为三角形
直角梯形
梯形
等腰梯形
两腰相等
有一个角是直角
腰腰
底
底
高
(1) (2) (3)
【提高练习】：
1. 等腰梯形上底为6cm,下底为8 cm,高为3cm,则腰长为_______________.
2. 若等腰梯形的锐角为60°,它的两底分别为11 cm, 35 cm, 则它的腰长为______ cm.
3. 若直角梯形的一腰长为18 cm,这条腰和一个底所成的角是30°,则另一条腰长是______.
4. 同一底上两个角相等的梯形是________形.
5. 如图4.5-1,五边形ABCDE 是正五边形,AC, AD, BD, BE, CE 是对角线,则图形中共有等腰梯形_____________个.
6. 如图4.5-2,在梯形ABCD 中,DC ∥AB,AC 平分∠DAB, ∠DAB=∠CBA=60°,若梯形周长为80 cm,则AD=___________.
7. 梯形ABCD 中,对角线AC=BD,则ABCD 是_________形,若延长两腰BA, CD 相交于E,则△EBC 是_________
形.
D
C
B
A
图4.5-1 图4.5-2
【作业及其教学反思】：
1. （2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AB ＝AD ＝DC ,∠B ＝60º. (1)求证：AB ⊥AC ；
(2)若DC ＝6,求梯形ABCD 的面积 .
23题图
2. （2009年北京市）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90 ,∠C =45
, AD =1,BC =4,E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ,求EF 的长
.
3.（2009仙桃）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．
(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；
(2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
4.（2009年桂林市、百色市）如图：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ．
（1）图中共有 对全等三角形；
（2）写出你认
为全等的一对三角形，并证明．
5. (2009年上海市)21．如图4，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB =DC =8,∠B =60°，BC =12,联结AC ．
（1）求tan ACB 的值；
（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．
6.（2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ． （1）求证：AF =BE ；
A
D
O
C
B
A
D
C
图4
B
（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论．
7.（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AB =BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD 。

（1） 求证：BE =AD ；
（2）
求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；
（3） △DBC 是等腰三角形吗？并说明理由。

8.（2009江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.
①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN
△的周长；若改变，请说明理由；
②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
9.（2009年烟台市）如图，直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，90BCD ∠=°，且
2t a n 2C D A D A B C =∠=，，过点D 作AB DE ∥，交BCD ∠的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC CD =；
（2）将BCE △绕点C ，顺时针旋转90°得到DCG △，连接EG.．
求证：CD 垂直平分EG .
D
E
F
P
B
A
（第22题）
C A
D E
B F C
图4（备用） A
D
E B
F C 图5（备用） A D E B
F C
图1
图2 A D E
B
F C P
N
M 图3 A D E
B
F
C
P
N
M （第25题）
A D
C
B E
（3）延长BE 交CD 于点P ． 求证：P 是CD 的中点．
10.【2009南宁市】如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．
（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？ 11.（2009年益阳市）如图9，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，CD =2cm .
(1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.
12．（2009年漳州）如图，在等腰梯形ABCD 中，E 为底BC 的中点，连结AE 、DE ．求证：ABE DCE △≌△．
13.（2009年益阳市）如图9，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，CD =2cm . (1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.
14. （2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AB ＝AD ＝DC ,∠B ＝60º.
A
B
C
图9
D
60°
A
B
C
图9
D
60°
A D G E
C B
(1)求证：AB ⊥AC ；
(2)若DC ＝6,求梯形ABCD 的面积 .
15．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．
（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推
理过程；
（2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；
（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程． 16．（09湖南邵阳）如图（七），在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD DC ==，AC AB ⊥，将CB 延长至点F ，使BF CD =． （1）求ABC ∠的度数；
（2）求证：CAF △为等腰三角形．
17．（2009年黄石市）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，
D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于
E BC ，交x 轴负半轴于
F ，1OE =，抛物线
24y ax bx =+-过A D F 、、三点．
（1）求抛物线的解析式；）
23题图
D
A
F B C
图七
（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所
在直线于N ，若3
2
FQN AFQM S S =
△四边形，则判断四边形AFQM 的形状； （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．
18．（2009年山西省）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD ，AD BC EF ∥，为水库的水面，点E 在DC 上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB 的
长为12米，迎水坡上DE 的长为2米，135120BAD ADC ∠=∠=°，°，求水深．（精确到
0.1米，2 1.41 1.73==，3）
19.（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．
（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）．
（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
20．（2009年邵阳市）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,AB ＝AD ＝DC ,AC ⊥AB ,延长CB 至F ，使BF ＝CD .
(1)求∠ABC 的度数
O y x
B E A
D
C
F A
B
C
D
E
F 水深
图2 图3
图1 H M
F E A B C D M N F E A B C D M
N F E A B C D (N)
(2)求证：△CAF 为等腰三角形。

21.（2009青海）如图9，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，P 为梯形ABCD 外一点，PA PD 、分别交线段BC 于点E F 、，且PA PD =．
（1）图中除了ABE DCF △≌△外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）．
（2）求证：ABE DCF △≌△．
22．（2009眉山）在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，∠A ＝60°，AB ＝2CD ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，连结E F 、EC 、B F 、C F 。

⑴判断四边形AECD 的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。

⑶若CD ＝2，求四边形BC F E 的面积。

本节的教学重点等腰梯形的性质及“转化”思想。

教学难点是通
过添加辅助线把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的基本方法和转化的思想。

等腰梯形的性质在小学学生已经初步认识过，对梯形的题型中辅助线的添加(用的是”割补法”)已有了初步的认识，因此在教学设计中通过探索并证明梯形的性质这些重要结论，从学生已有的知识水平出发，通过在同一梯形中不同类型辅助线的添加，不仅让学生理解等腰梯形的性质，又让学生感觉通过添加辅助线，将梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体现所学知识与已学知识的密切联系。

同时也让学生体验一题多解的乐趣，开阔学生的视野，提高解题的能力。

F
D
C
B
A
D C
F E
A B P。