中南大学机械振动2012试题及答案

0.414 1 0.414
0 0m
广义坐标下的质量矩阵为：
M1

u
T
M
u
=
u1T uu23TT
M M M
u1 u1 u1
u1T M u2 u2 T M u2 u3T M u2
u1 T
3）（3 分） 振型矩阵可以使微分方程解耦，使主坐标下的质量矩阵[M 1 ] [u]T [M ][u] 、刚度矩阵、
[K1] [u]T [K ][u] 、 阻尼矩阵[C1 ] [u]T [C][u] 成为对角矩阵
2.5 1）（3 分）在随机振动中，随时间改变的物理量是无法准确预知其变化的，但其变化规律服从统计规律。
2.4 1) （3 分）， 一个振型表示系统各个自由度在某个单一频率下的振动状态；系统的一个振型也是 n 维
向量空间的一个向量， 振型之间相互正交。n 个振型构成了 n 维向量空间中的一个基，即系统 n 个振型 构成了与实际物理坐标不同的广义坐标，又称为主坐标。
2) （2 分） 振型矩阵有由 n 个振型组合而成，即[u] [{u1},[{u2},{un}]
随机过程的主要特点。
三、计算题（45 分）
3.1 （8 分）质量为 m 的质点由长度为 l、质量为 m1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图 3
所示。求系统的固有频率
(已知：杆关于铰点的转动惯量 I

1 3
m1l
2
)。
图4
图3
3.2 （9 分） 图 4 是车辆振动简化模型。 1）选取适当的坐标，求出系统动能、势能与耗散函数； 2）求出系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵； 3）写出系统自由振动微分方程。
k
即： (3 2 m )2 (2 2 m ) 2(3 2 m ) 0
k
k
k
2）（5 分）根据上式求出的固有频率为：
12 (2
2) k m
<

2 2

3
k m
<
32 (2
2) k m
3）（5 分）将各固有频率分别代入广义特征值方程求出u1, u2, u3 ，绘制振型图
中南大学考试试卷
2012 - 2013 学年上学期
时间 110 分钟
《机械振动基础》 课程 32 学时 1.5 学分 考试形式：闭 卷
专业年级： 机械 10 级 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
一、填空题（本题 15 分，每空 1 分）
1.1 图 1 为小阻尼微振系统，右图为该系统与
N t (kx)2 (cx )2 kA H 1 c / k 2 cos t
3 推导：（4 分）
c c c cc 2 km 2mn
c 2mn
c / k 2 / n
kA H 1 c / k 2 kA H 1 2 / n 2
2
由 d(ET+U)=0 可得广义质量与广义刚度：因此：
n2

k1a2 k2l 2 k3b2 I0 m1a2 m2l 2
3.4 答案：
1）（5 分）求出质量、刚度矩阵后得频率方程：
32 m k
( 2 ) k 1
0
1 2 2 2 m
k 1
0
1 0 32 m
mglx2

1 4
m1glx2

1 4
2m

m1 glx 2
n
32m m1g 23m m1l
3.2 解：(该题选取不同坐标时，答案有所区别，由阅卷者掌握) 1） （4 分）按四个自由度选取坐标并说明，求出动能函数，势能函数与耗散函数 2） （3 分）求出三个矩阵 3） （2 分）写出矩阵微分方程
使之远离激励频率ω，从而降低放大因子…；
2.2
1）（2 分）弹簧力 FS t kx(t ) kA H () cos t , 阻尼力 Fd t cx(t) cA H () sint
2）（2 分）由 cA H () sint cA H () cos t 2 ，求出其相位差为π/2，
3.3 解： 系统动能为：
Leabharlann Baidu
ET

1 2
I
0
2

1 2
m1
a
2

1 2
m2
l
2
1 2
I0 m1a 2 m2l 2 2
系统动能为：
U

1 2
k1 a 2

1 2
k2 l 2

1 2
k3 b2

1 2
k1a 2 k2l 2 k3b2
图6
《机械振动基础》答案和评分细则：
一、填空题（本题 15 分，每空 1 分）
1.1
1) mx F t kx cx
牛顿定理；
2）F(t)； x(t)
3）ω(或激振力频率) ； n
m k
4) 单位脉冲响应； 5）卷积积分（或脉冲积分）；傅立叶变换；拉普拉斯变换。
1.2 1）3； [M]{x”} +[C]{x’}+[K]{x}={F(t)} 2）{0, F(t) , 0}T；{x1,x2,x3}T； 3) 弹性
2 1 1 1 2 0.414 1 0.414
4）得到振型矩阵：
u


1
0
1



1
0
1


2 1
1
1
2

0.414
1 0.414
0.414 1 0.414
m0 0
由于
uT


1
0
1

M 0 2m 0
求解随机振动就是获得随机激励数字特征、随机响应的数字特征及系统三者之间的关系。 2）（2 分）随机过程基本的数字特征有：均值、方差、自相关函数、互相关函数、自谱、互谱。 3）（3 分）各态历遍历程主要的特点是：随机过程 X(t)的任一个样本函数 xr(t)在时域的统计值与该随机 过程在任一时刻 tl 的状态 X(t1)的统计值相等。
簧力 FS(t)，阻尼力 Fd(t)，分析二者的相位差，证明合力的峰值为 kA H 1 2 / n 2 。
2.3 （8 分）当系统受非简谐周期激励作用时，简述系统响应的求解方法，分析该类激励引起系统共振 的特点。
2.4 （8 分）简述振型的物理含义，振型矩阵的构成方法，振型矩阵的作用。 2.5 （8 分）简述随机振动与确定性振动求解方法的区别，随机过程有那些基本的数字特征，各态遍历
5）如果 F(t)为非周期激励，可以采用（
）、（
）或（
）等方法求系统响应。
图2
1.2 图 2 是多自由度线性振动系统，根据图 2 填空：
1） 该系统有（ ）个自由度，如果已知[M],[K],[C]，系统运动的矩阵微分方程通式是（
）。
2） 如果 F(t)作用在第二个自由度上，则微分方程中系统的激励向量是（ ），对应的响应向量是
2.3 1）（4 分）将激励函数展开为傅立叶级数，也就是将周期激励分解成频率分别为ω，2ω，3ω…nω的
n 个简谐激励，分别求出各个谐波谐波对应的稳态响应（激励的每个谐波只引起与自身频率相同的稳态响 应），根据叠加原理，这些稳态响应是可以求和的，求和结果依然是一傅立叶级数。
2）（4 分）在非简谐周期激励时，只要系统固有频率与激励中某一谐波频率接近就会发生共振。因此， 周期激励时要避开共振区就比简谐激励时要困难。通常用适当增加系统阻尼的方法来减振。
三、 计算题
3.1 解： 系统的动能为： 则有： 系统的势能为：
利用 d(ET+U)=0 可得：
ET

1 mxl2
2

1 Ix 2 2
ET

1 ml 2 x 2 2

1 6
m1l
2
x
2

1 6
3m

m1
l
2
x
2
U

mgl1
cos
x
m1g

l 2
1
cos
x

1 2
M
u3


u2 u3
T T
M M
u3 u3

5）（5 分）只要证明上述矩阵对角线以上（或以下）的三项等于 0，
uu11TT
M M
u2 u3


0 0
u2T M u3 0
即检验出不同固有频率的振型以质量矩阵为（加）权正交。
激励、响应三者之间的关系图，根据图 1 填空：
1）图 1 所示的系统运动微分方程为
（
），用力分析方法建立该微分
方程是依据（
）定理。
2）在时域内该系统的激励是（
），
与之对应的响应是（
）。
图1
3）如果 F(t)=kA cosωt，则该系统稳态响应的频率为（
），而系统的固有频率为（
）
4）如果 F(t) 为 t=0 时刻的单位脉冲力，则系统的响应 h(t)称为（ ）。
（ ）；
3） 如果系统的刚度矩阵为非对角矩阵，则微分方程存在（ ）耦合，求解微分方程需要解耦。
二、简答题（本题 40 分，每小题 8 分） 2.1（8 分）在图 1 中，若 F(t)是频率为ω的简谐激励，写出系统放大因子计算公式，分析抑制系统共振的 方法；
2.2 （8 分）在图 1 中，如果已知 x(t) A H () cos t ， 分析系统（在垂直方向）作用在基础上的弹
3.3 （8 分）如图 5 所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为 I0，求系统的固有频率。 图5
3.4 （20 分）根据如图 7 所示微振系统， 1）（5 分）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； 2）（5 分）求出系统的固有频率； 3）（5 分）绘制系统的振型图； 4）（5 分）根据求出的振型，检验不同振型以质量矩阵为权正交。
二、 简答题（本题 40 分，,5 小题，每小题 8 分）
2.1
1）（3 分）写出放大因子表达式 H ( )
1
，
[1 ( / n ) 2 ] 2 ( 2 / n ) 2
2）（5 分）根据 H(ω)公式，正确分析各参数对共振的影响：通过增大ξ；增大 m，降低ωn=（k/m）1/2