等差数列复习课
2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：等差数列
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列， 所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，， 解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0， 则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2， 所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一 次函数，且a1＝d2满足上式， 所以数列{an}是等差数列.
等差数列复习课课件(公开课)
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
高考数学复习知识点讲解教案第35讲 等差数列及其前n项和
2
2
二次函数
于的常数项为0的____________，它的图象是抛物线
=
孤立
标为正整数的均匀分布的一群_______的点.
2
2
+ 1 −
2
上横坐
常用结论
1.已知数列{ }的通项公式是 = + （其中，为常数），则数列{ }一定
是等差数列，且公差为.
2 + 9 = 1 + + 1 + 8 = 29,
[解析] 设等差数列{ }的公差为，由已知得ቊ
5 = 51 + 10 = 35,
1 = 1,
解得ቊ
∴ 8 = 81 + 28 = 8 + 28 × 3 = 92.故选B.
= 3,
（2） [2024·九省联考] 记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16= ( C )
−10
7.已知等差数列{ }的通项公式为 = 10 − ,则1 + 2 + ⋯ + 20 =______，
100
1 + 2 + ⋯ + 20 =______.
[解析] 设数列{ }的前项和为 ，
则20 = 1 + 2 + ⋯ + 20 =
20×[9+ 10−20 ]
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{ }的首项为1 ，公差是，前项和为 ，则
等差数列定义式
+1 − =
_________________（为常数）
等差中项
+
高中数学教学课例《等差数列复习课》课程思政核心素养教学设计及总结反思
【评析：这题比上一题略难，但方法是一样的。通
过刚才知识的整理，大多数学生很快解出，此时课堂气
氛融融，师生关系和谐】
六、小结：
师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下
本堂课的内容？
生：总结
（1）概念的复习和利用方程思想进行计算；
（2）利用等差数列通项公式求前 n 项和的最值；
(3)借助函数思想，利用等差数列前 n 项和公式求
解:由题知 a1=33＞0,d=-3＜ 0,an=33-3(n-1)=36-3n，等差数列单调递减，且易得 a11＞0，
a12=0,a13＜0,因此，前 11 或 12 项和最大。所以， Smax=S11=33×11+=165。
师：是否有其它方法？可否利用二次函数求最值？ 生：思考，探究... 师：巡视，并提示 生：讨论，动笔 最后，师生形成解法如下（投影仪展示）： 解：充分利用二次函数求最值（投影仪展示：函数 S（x）=-1.5x2+34.5x 的图像如下） S(x)=33x+=-1.5x2+34.5x,对称轴是 x=-=11.5， （Sn,n）为其上的散点。所以由图像知，当 n=11 或 12 时 Smax=S11=S12。 生：补充修正，心情很愉快，学习积极性高涨 【评析：这道题是与上题对比而设计的一题，它们 一个是 a1＜0,d＞0，一个是 a1＞0,d＜0，通过合作探 究问题，激发了学生学习的兴趣和欲望，树立了学生钻 研的精神，增强学生学好数学的信念，产生热爱数学的 情感,体验在学习中获得成功】 师：启发学生以后碰到这样的题怎么办？
等差数列复习课教案(公开课)
等差数列复习课教案(公开课)等差数列复习课宜良县职业高级中学董家金(一) 教学目标1．学问与技能：复习等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及相关性质.2．过程与办法：师生共同回忆复习，通过相关例题与练习加深同学的理解.3．情感与价值：培养同学观看、归纳的能力，培养同学的应用意识.(二) 教学重、难点重点：等差数列相关性质的理解。
难点：等差数列相关性质的应用。
(三) 教学办法师生共同探讨复习本课时的主要学问点，再通过例题、习题加深同学的应用意识，本节课采纳多媒体辅助教学。
(四) 课时支配1课时(五) 教具预备多媒体课件(六) 教学过程Ⅰ学问回顾1、等差数列定义普通地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
2、等差数列的通项公式假如等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=。
注重：等差数列的通项公式收拾后为)(1d a nd a n -+=，是关于n 的一次函数。
3、等差中项假如a,A,b 成等差数列，那么A 叫着a 与b 的等差中项。
即：2b a A +=，或b a A +=2。
4、等差数列的前n 项和公式等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则2)(1n n a a n S +==d n n na 2)1(1-+。
注重：1) 该公式收拾后为n d a n d s n )2(212-+=，是关于n 的二次函数，且常数项为0。
2) 等差数列的前n 项和公式推导过程中利用了“倒序相加求和法”。
3) 数列n a 与前n项和n s 的关系-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 5、等差数列的推断办法a) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。
b) 等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
2023年新教材高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列课件
[提速度]
1．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，
所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为
()
A．28
B．29
C．30
D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29， 故选B．
答案：B
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，2S2002200 －2S2001144 ＝6，则S2 023＝
b1＋2 b5＝192＋ 2 64＝128．故选C．
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为 ( )
A．1或－1
B．2
C．－2
D．2或－2
解析：由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两 实数根，解得aa19＝ ＝31，9 或aa19＝ ＝13，9， 所以公差d＝a9－8 a1＝2或－2．故选D． 答案：D
第二节 等差数列
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义；(2)探索并掌握等差数列的前n项 和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等差数列与一 元一次函数的关系．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
等差数列的判定与证明方法 方法
解读
适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N *)为同一常
数⇔{an}是等差数列
解答题中的
高三等差数列复习课件(第一课时).ppt
所以数列 { bn }是等差数列
二、【题型剖析】
【题型5】等差数列的判定与证明
练习：已知数列{an}的通项公式 a n pn2 3n ( p R)
当 p 满足什么条件时，数列{an}是等差数列。
解：设{an}是等差数列即，
an1an p(n 1)23(n 1) ( pn23n) 2 pn p 3
d
a-d+a+a+d=18
2 a2 a d 2
118
练习: (一题多解) 已知直角三角形三边 长成等差数列，试求其三边之比.
(方法1) 解: 设直角三角形三边长分别为：
a,a+d,a+2d(a>0,d>0)， 由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0， ∴a=3d(a=-d舍去)， ∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d， ∴它们的比为3:4:5.
解：由等差数列性质易知：
a2 + a11 = a3 + a10 = a5+ a8 ∴a2+ a3 + a10+ a11 = 2（a5+ a8）=36 ∴ a5+ a8 =18
【题型4】等差数列性质的灵活应用
练习：已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9 项和S9等于 （ C ）
A.18
na1
n(n 1) 2
d
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数
项的二次函数。Ｓn = An２+Bｎ (A∈R)
等差数列综合复习(教案+例题+习题)
一、等差数列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414-，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。
解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1)n n n -+。
点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。
如（1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ； 解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n∴a n =2n －1（n ∈N ）又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
备战高考数学复习知识点讲解课件44---等差数列
|跟踪训练|
1．(2022·福州市质量检测)已知在数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列a1n为等 差数列，则 a9＝( )
1 A.2
5 B.4
√C.45
D.－45
解析：因为数列a1n为等差数列，a3＝2，a7＝1，
所以数列a1n的公差 d＝a177－－a313＝71－－123＝18，所以a19＝a17＋(9－7)×18＝54，所以
二、易错纠偏
1．(多选)(不会判断项的符号致误)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，
且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )
√A．d＜0 √B．a7＝0
C．S9＞S5
√D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6
所以 Sn＋kn＝ 2n2＝ 2n， 当 n≥2 时， 2n－ 2(n－1)＝ 2，则 d 为常数， 所以数列{ Sn＋kn}为等差数列． 故存在常数 k＝1，使得数列{ Sn＋kn}为等差数列．
(1)等差数列的判定与证明的常用方法 ①定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*， n≥2)⇔{an}为等差数列． ②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． ③通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． ④前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列． (2)根据数列的条件证明或判断等差数列，进而利用等差数列的公式解题， 体现了逻辑推理的核心素养．
常用结论
1．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at.特别地，若p＋q＝2m，则2am＝ap＋aq(p， q，s，t，m∈N*)．
新高考数学等差数列及其前n项和精品复习资料
[解析]设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20==-10, |a1|+|a2|+…+|a20|=(a1+a2+…+a10)-(a11+a12+…+a20)=S10-(S20-S10)=2S10-S20 =2×-(-10)=100.
例1 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
课堂考点探究
[思路点拨]利用等差数列的通项公式及其性质即可求解.[解析] ∵a3+a6+a8+a11=12,∴4a7=12,解得a7=3.设等差数列{an}的公差为d,则a4-3a6=a1+3d-3(a1+5d)=-2(a1+6d)=-2a7=-6.故选A.
A
[总结反思](1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个.(2)解决等差数列问题的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d,有时为简化运算可不直接求a1,而是求出等差数列中与已知条件有关的某一项即可.
(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,已知=,则+= .
4
[总结反思]运用等差数列的性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,等差数列的性质是解题的重要工具.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,2·(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=( )A.66 B.55 C.44 D.33
【课件】 等差数列复习课 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
公式1：
Sn
n(a1 an ) 2
公式2：
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1、 d、 an、 n 、 sn,
公式3：
Sn
=
d 2
n2
+
(a1
-
d) 2
n
说明：1)当 an= c，Sn = n c ；
2)公式中五个量 a1, d, an, n, Sn,, (知三求二),
已知其中三个量，可以求其余两个.
由题意 2000 an 2100 ,
394 n 484
76
76
5 14 n 6 28
76
76
n N* n 6
则 2000 76n 1606 2100
a6 1682 76 5 2062
394 76n 484
预计雷彗星本世纪将于2062年回归.
16
综合应用p25：
a1及
an
；
则：a1 15 1 2= 10
3 a1 =
5，d = 6
1 6
，Sn
5, 求
n及
an
4 d =2，n=15，an = 10，求 a1及Sn.
等差数列 {an}前n项和
；
a1 = 38
Sn
na1
2
an
15 38
2
10
360
1
Sn
=
n(a1 + 2
an )
综上 a1 38, Sn 360.
n+1 n 2
22
数列
Sn n
为等差数列.
数列
Sn n
为等差数列.
19
综合应用p25：
等差数列复习课件
即Sn = an &结构特征
关于n的二次函数且无常数项： 0)
应用举例： 应用举例：等差数列 {an } ，前10项的 10项的 中 100项的和 和 S10 = 100 ，前100项的和 S100 = 10 ，求前 110项的和 110项的和 S110 = 110 .
知识点4 知识点4：
等差中项： 等差中项： a, b, c成等差数列 Û a + c = 2b 若
am , an , a p 是等差数列 {an } 中项, 中项,若 m + n = 2 p ，
则 am + an = 2a p 等差中项应用举例： 等差中项应用举例： 等差数列 {a } 的前 n 项和为 Sn ，已知 2 am- 1 + am+ 1 - am = 0, S 2 m- 1 = 38 ，求 m .
等差数列1 等差数列1
讲课人 讲课人：魏忠华
知识点1 知识点1：
等差数列的定义：an+ 1 - an = d (d 是常数) 等差数列的定义： 应用举例： 应用举例：数列 {an }满足 an+ 1 差数列 。
2an = 3 2
n- 1
，
an 求证： 设数列 cn = n ，求证：数列 {cn }为等 2
3.已知等差数列 { n }, { n } a b 的前n项和 Sn a11 2n 分别为S n , Tn , 若 = ,求 . Tn 3n + 1 b11
谢谢
求数列 {an }的通项公式。 的通项公式。
知识点3 知识点3：
等差数列的前 n 项和： 项和：
n(a1 + an ) n(n - 1) Sn = d 或S n = na1 + 2 2 n(a1 + an ) Sn = 的推导方法： 倒序相加 2
等差数列复习教案
等差数列复习教案教案标题：等差数列复习教案教学目标：1. 理解等差数列的概念和性质。
2. 能够识别等差数列中的公差和首项。
3. 掌握等差数列的通项公式和求和公式。
4. 能够应用等差数列的知识解决问题。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教学课件、教学素材、练习题。
2. 学生准备：课本、笔记本、笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等差数列概念：回顾上一节课学习的内容，提问学生对等差数列的理解和特点。
2. 引导学生思考：列举几个实际生活中的等差数列例子，让学生发现等差数列的应用。
二、概念解释和性质讲解（10分钟）1. 教师通过教学课件或板书，给出等差数列的定义和符号表示。
2. 解释等差数列的公差和首项的含义，并强调它们在等差数列中的作用。
3. 讲解等差数列的性质，如相邻项之差相等等。
三、求解等差数列的公式（15分钟）1. 教师通过示例和解题步骤，引导学生推导等差数列的通项公式和求和公式。
2. 强调公式的应用方法和注意事项，如确定已知条件、代入公式计算等。
四、练习与巩固（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成练习。
2. 教师巡视指导学生解题过程，及时纠正错误和解答疑惑。
3. 收集学生的练习答案，进行讲解和订正。
五、拓展与应用（10分钟）1. 提供一些拓展题目，让学生运用等差数列的知识解决问题。
2. 鼓励学生思考等差数列在实际生活中的应用场景，并展示他们的解决方案。
六、总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，强调等差数列的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑，教师进行解答和引导。
教学延伸：1. 鼓励学生通过自主学习和合作学习，进一步巩固和拓展等差数列的知识。
2. 提供更多的练习题和挑战题，让学生在解决问题中发现等差数列的应用。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括参与度、合作与思考能力等。
2. 教师收集学生完成的练习题和拓展题答案，进行评价和订正。
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等差数列中解决和求和问题，通常利用 Sn是n 等差数列的性质或基本量法．
【互动探究】 1 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 6S5－5S3＝5，则a4=
__3__.
考点 3 等差数列性质的应用 例 3：(1)已知Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a6＝100，则 S11＝________； (2)若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且
(4)若等差数列{an}的前 n 项和 Sn，则Snn是等差数列，Sk、 S2k－Sk、S3k－S2k、S4k－S3k 是等差数列．
(5)当项数为 2n(n∈N*)，则 S 偶－S 奇＝nd，SS偶奇＝aan＋n1； 当项数为 2n－1(n∈N*)，则 S 奇－S 偶＝an，SS偶奇＝n－n 1.
4．已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝π4，则 tan(a2 3
＋a12)＝__3___.
5．已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1＝1，a4＝7，Sn ＝100，则 n＝__1_0_.
1．等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，_每__一__项__与__它__前__一__项__的__差___等于同 一个常数 d，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的_公__ _差__． 2．通项公式与前 n 项和公式
3．(1)通项公式 _a_n_＝__a_1_＋__(n_－__1_)_d__，a1 为首项，d 为公差．
(2)前 n 项和公式_S_n＝__n__a_1_2＋__a_n_ 或__S_n＝__n_a_1_＋__12_n_(_n_－__1_)d____.
3．等差中项 如果_a_,A__,b____成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． 即：A 是 a 与 b 的等差中项⇔_2_A_＝__a_＋__b_⇔a、A、b 成等差数列．
等差数列复习课 (第一课时)
1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知a2＝3，a6＝11， 则 S7 等于( C )
A．13
B．35
C．49
D. 63
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＝8，S4＝10，则a6 等于( B )
A．4
B．－8
C．12
D．16
3．已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和，a4＝9，a9＝－6， Sn＝63，则 n＝_6__或__7__.
解题思路：利用方程的思想将Sn表示成关于a1、d 的方程， 或利用等差数列的性质．
解析：方法一：设等差数列的公差为 d，
则11000a1a＋1＋445d9＝501d0＝0 10 ⇒ad1＝＝－11510010909
∴S110＝110a1＋12×110×109d＝－110. 方法二：∵{an}为等差数列，∴可设 Sn＝An2＋Bn，
{an}是等差数列．
考点 1 等差数列的基本量运算
例 1：等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知 a10＝20，S10 ＝155.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 Sn＝410，求 n.
解析：(1)由S10＝
a1＋a10×n＝a1＋20×10＝155，
2
2
得：a1＝11，a10＝a1＋9d⇒20＝11＋9d⇒d＝1，
等差数列的常用性质： (1)数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}、{pan}(p 是常数) 都是等差数列． (2)an＝am＋(n－m)d，an＝an＋b(a、b 是常数)，Sn＝an2＋ bn(a、b 是常数，a≠0)． (3)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
所有项的和为 780，则这个数列的项数 n＝________.
解题思路：(1)利用等差数列的有关性质求解．(2)利用等差 数列的前4项和及后4项和求出a1＋an，代入Sn 可求项数n.
解析：(1)S11＝11a12＋a11＝11×2 2a6＝11a6＝1 100.
(2)∵a1＋a2＋a3＋a4＝36，an＋an-1＋an-2＋an-3＝124， a1＋an＝a2＋an-1＝a3＋an-2＝a4＋an-3， ∴4(a1＋an)＝160⇒a1＋an＝40， ∴Sn＝ na1＋2 an＝780⇒20n＝780⇒n＝39.
则1100002AA＋＋1100B0＝B＝10100 ⇒AB＝ ＝1－110111010
，
∴S110＝1102A＋110B＝－110. 方法三：∵S100－S10＝90a112＋a100＝－90⇒a11＋a100＝－2， ∴S110＝110a12＋a110＝110a112＋a100＝－110.
方法四：∵{an}为等差数列，∴Snn为等差数列， ∴10，S1100，100，1S01000，110，S111100三点共线， ∴1S10100000－－S111000＝1S11111000－ －11S0010000⇒110－ 9010＝S1111001－0 110 ⇒S110＝－110.
an＝a1＋(n－1)d＝10＋n. (2)Sn＝na1＋nn－2 1d＝11n＋nn2－1＝410
⇒n2＋21n－820＝0，解得：n＝20 或n＝－41(舍去)．
【互动探究】
1．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前 11 项的平均值为 5，若从中抽去一项，余下的 10 项的平均值为 4.6，则抽去的是
( B) A．a6
B．a8
C．a10
D．a11
解析：已知S11＝55，即11a1＋ 11×2 10d＝55，又a1＝－5，
∴d＝2，由已知an＝55－46＝9，即－5＋(n－1)×2＝9，解得 n ＝8.
考点 2 求等差数列的前 n 项和
例 2：已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和，S10＝100，S100 ＝10，求 S110.