《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教案
一元二次方程根与系数的关系教案文章标题：深入探讨一元二次方程根与系数的关系一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种常见的代数方程，其解的求解过程在学生中常常引起困惑。
为了帮助学生更好地理解一元二次方程根与系数之间的关系，本文将进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章。
二、一元二次方程的定义与性质1.1 一元二次方程的定义一元二次方程一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0，x为未知数。
在解一元二次方程时，通常可以利用求根公式或配方法等方式进行。
1.2 一元二次方程根的性质一元二次方程在解的过程中会涉及到根的概念。
一元二次方程的根可以是实数根或复数根，其性质在数学中有着重要的意义。
三、一元二次方程根与系数的关系2.1 一元二次方程根的判别式一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac可以根据其大小判断一元二次方程的根的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程有共轭复数根。
2.2 一元二次方程根与系数的关系通过一元二次方程的根与系数的关系，可以得出许多有趣的结论。
一元二次方程的两个根的乘积等于常数项c与二次项系数a的比值，而两个根的和等于-b/a。
这种根与系数的关系不仅在数学中有着很好的应用，还可以帮助学生更深入地理解一元二次方程的性质。
四、个人观点与结论从深度和广度上来看，一元二次方程根与系数的关系是数学学科中一个重要而有趣的主题。
通过本文的全面评估，我们不仅可以更好地理解一元二次方程的性质，还能够在教学中更灵活地运用这些知识，并引发学生对数学的兴趣和探索欲望。
五、总结与回顾本文主要讨论了一元二次方程根与系数的关系，通过对一元二次方程的定义与性质、根的性质和与系数的关系进行探讨，帮助读者更好地理解了这一主题。
在教学中，我们应当注重引导学生深入探究，帮助他们建立起完整而灵活的数学知识体系。
在撰写本文的过程中，我对一元二次方程根与系数的关系有了更深入的理解，这也将有助于我在未来的教学工作中更好地帮助学生解决问题。
一元二次方程的根与系数的关系-人教版九年级数学上册教案
一元二次方程的根与系数的关系——人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解一元二次方程解的概念和性质，掌握求方程解的方法；2.学会熟练运用求根公式及应用一元二次方程解决实际问题；3.掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系；4.培养分析、解决实际问题的能力和兴趣。
二、教学重点与难点1.教学重点：掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系。
2.教学难点：能够运用一元二次方程解决实际问题。
三、教学过程1.复习回顾通过让学生进行口算或板书，回忆一元二次方程的定义和一些基本概念例如：二次项的系数、判别式等。
2.引入新知1.学生通过求解以下方程来感受一元二次方程根的划分：x2−2x+1=0，x2−2x+2=0，x2−2x+3=02.通过口算讨论发现，x2−2x+1=0这个方程有极特殊的一点，即方程的两根重合。
这便引出了一元二次方程解的概念和性质。
3.讨论不同的二次项系数对一元二次方程的根的影响。
4.讲解一元二次方程的解法，介绍求根公式并让学生观察、理解其含义。
3.例题讲解1.练习使用求根公式求解一元二次方程。
2.通过题目的加减乘除，让学生掌握如何将实际问题建立为一元二次方程，运用一元二次方程解决实际问题。
4.拓展练习通过配合精心设计的习题，引导学生总结一元二次方程根的数量和系数的关系。
5.归纳总结1.让学生回想本节课学过的知识点。
2.教师要求学生口头或书面介绍一元二次方程，比如：定义、图像、根的数量等方面的内容。
四、课后作业1.完成课本相关练习和拓展试题。
2.结合生活实际，自编3道一元二次方程及其解决实际问题的例题，写在作业本上。
五、教学反思在本节课的备课过程中，从实际出发，将一元二次方程的解和实际联系起来，让学生能够欣赏数学课程应用的实际面貌，从而激发学生的数学兴趣。
同时，在教学中也要注重实际情况的演示和练习，让学生能够充分接触到不同情境下使用一元二次方程等的运算过程，从而更加灵活地应用数学。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.培养学生的数学建模素养，通过运用根与系数的关系解决实际问题，使学生能够建立数学模型，感受数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的应用。
-重点内容：
-判别式Δ的物理意义及其与方程根的关系。
-根与系数的关系式x₁+x₂=-b/a和x₁x₂=c/a的推导和应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题，如求解二次方程的根、判断根的符号等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索一元二次方程的根与系数的关系，使学生能够运用逻辑推理分析问题，从而提高解决问题的能力。
2.培养学生的数学抽象素养，让学生从具体的方程实例中抽象出根与系数之间的关系，培养学生对数学规律的抽象概括能力。
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
《根与系数的关系》教案
《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对一元二次方程的解法及应用的理解。
二、教学内容1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 根的判别式：Δ= b^2 4ac。
3. 根与系数的关系：(1) 若有两个实数根，则根的值为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b √Δ) / (2a)。
(2) 若有两个相等的实数根，则根的值为：x1 = x2 = -b / (2a)。
(3) 若没有实数根，则方程无实数解。
三、教学重点与难点1. 教学重点：根与系数之间的关系。
2. 教学难点：理解根的判别式Δ的意义及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究根与系数的关系。
2. 通过实例分析，让学生感受数学知识在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。
五、教学准备1. 教学课件：展示一元二次方程的图像，直观地展示根与系数之间的关系。
2. 实例：准备一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题。
3. 练习题：设计一些有关根与系数关系的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习一元二次方程的一般形式和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解根与系数的关系：结合课件和实例，讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。
3. 互动环节：学生分组讨论，尝试解决实例中的问题，教师巡回指导。
4. 练习环节：学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和解析。
5. 总结与反思：学生分享学习心得，教师总结根与系数之间的关系及其应用。
七、教学拓展1. 探讨二元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 研究多项式方程的根与系数之间的关系。
3. 引导学生思考根与系数关系在实际问题中的应用，如线性规划、优化问题等。
八、课后作业1. 复习根与系数的关系，巩固所学知识。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标1、知识与技能目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系求出两根之和、两根之积2、过程与方法经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想.3、情感态度价值观通过探索一元二次方程的根与系数的关系，激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点：根与系数的关系及运用.三、教学难点：探究一元二次方程根与系数的关系的过程，运用一元一次方程的根与系数的关系解决问题四、教学过程1、导入新课（1）直接导入教师活动：回顾方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反应了根与系数的关系。
提问：那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？顺势引出课题：一元二次方程根与系数的关系（2）情景导入教师复习一元二次方程，当时，；当时，方程有两个相等的实数根，为时，方程没有实数根小明同学在做课外习题时遇到这样一个问题∶已知方程2x²-4x-1=0，不解方程，求出方程的两根之和与两根之积。
解方程一向熟练的小明纳闷了，不解方程怎么求两根之和与两根之积呢?同学们，你们愿意帮助他吗?当你学完今天的内容就可以帮助他了。
今天我们来探讨一元二次方程的根与系数的关系。
2、讲授新课环节一：二次项系数为1的一元二次方程教师活动：教师通过多媒体展示思考问题提问：从因式分解法可知，方程（x-x1）(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2,将方程化为x²+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系么？组织学生根据目标问题四人一组进行讨论或同桌之间交流，教师进行巡视指导，交流结束后，找学生回答，教师进行评价学生活动：根据问题探究出结论，将（x-x1）(x-x2)=0展开成x²-（x1+x2）x+x1x2=0得出x1+x2=-p,x1x2=q教师总结：关于x的方程x²+px+q=0（p,q为常数，p2-4q≥0）的两个根x1,x2与系数p,q的关系是环节二、二次项系数为a（a≠0）的一元二次方程教师活动：借助多媒体呈现课本思考题提问：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程，如果b2-4ac≥0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。
九年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案
C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝
解：另一根为 ，k＝3.
共育
课堂小结
．一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
课堂评价
本节课在学生已有的公式法知识基础上遵循循序渐进的原则
自育
例2(教材补充例题)已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
【思路点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．
【跟踪训练1】已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A)
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
(2)x1＋x2＝－ ，x1x2＝－3.
(3)x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
【点拨】先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝
②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
自育
共育
3．利用求根公式推导根与系数的关系：
ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝ ，x2＝ ．
则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ．
共育
类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积
例1(教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2）学生口答：2(40).2b b ac x b ac a-±=-≥2.如何用判别式b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？学生口答：对一元二次方程：ax 2+bx+c=0(a≠0).b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b 2-4ac<0时,方程无实数根.想一想：方程的两根x 1和x 2与系数a、b、c 还有其他关系吗？（二）探索新知探究根与系数的关系填表，观察、猜想（出示课件4）方程x 1,x 2x 1+x 2x 1·x 2x 2-2x +1=0x 2+3x -10=0x 2+5x +4=0你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.出示课件5：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？教师引导：归纳结论：（出示课件6）如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则:x1+x2=-p,x1·x2=q.教师问：如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7）方程x1,x2x1+x2x1·x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.师生共同归纳：（出示课件8）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=-ba ,x1·x2=ca.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.请同学用求根公式证明.（一生板演）教师问：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？强调：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.出示课件9,10：例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.学生思考后，共同解答如下：解：⑴这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1·x2=6.⑵这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=32,x1·x2=-1.出示课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积：①x2+3x-1=0；②2x2-4x+1=0.学生自主思考并解答.解：⑴x1+x2=-3,x1·x2=-1.⑵原方程可化为：2122=+-xxx1+x2=2,x1·x2=1 2 .出示课件12：例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.学生思考后，共同解答如下：解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=6, 5-即：x2=3, 5-由于x1+x2=2+3 ()5-=,5k-得：k=－7.答：方程的另一个根是3,5-k=－7.出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.学生自主思考并解答.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.由根与系数关系，得x1·2＝3k,即2x1＝－6.∴x 1＝－3.答：方程的另一个根是－3,k 的值是－2.出示课件14：例3不解方程，求方程2x 2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x 1+x 2和x 1·x 2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.师生共同解答如下：解：根据根与系数的关系可知：121231,.22+=-⋅=-x x x x ()()22212112212,∵+=++x x x x x x ∴()2221212122+=+-x x x x x x 21331;4222⎛⎫⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121132.2312+⎛⎫⎛⎫+==-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭x x x x x x 出示课件15：设x 1,x 2为方程x 2-4x+1=0的两个根，则:⑴x 1+x 2=,(2)x 1·x 2=,(3)=-221)(x x ,(4)=+2221x x .学生自主解答后，口答：⑴4；⑵1；⑶12；⑷14.出示课件16：例4设x 1，x 2是方程x 2-2(k-1)x+k 2=0的两个实数根，且x 12+x 22=4，求k 的值.教师分析：将x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2，代入x 12+x 22=4可求出k 值.此时需用Δ=b 2-4ac 来判断k 的取值，这是本例的关键.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k -1）2-4k 2≥0即-8k +4≥0.∴.21≤k 由根与系数的关系得x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(k -1)2-2k 2=2k 2-8k +4.由x 12+x 22=4，得2k 2-8k+4=4,解得k 1=0,k 2=4.经检验，k 2=4不合题意，舍去.师生共同总结归纳如下：（出示课件17）12111.x x +=1212;x x x x +2221212122.()2;x x x x x x +=+-12213.x x x x +221212x x x x +=2121212()2;x x x x x x +-=124.(1)(1)x x ++=1212()1;x x x x +++125.x x -==教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.出示课件18：当k 为何值时，方程2x 2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.学生自主思考并解答.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，由根与系数的关系得x1+x2=12k+，x1x2=32k+.∴（12k+）2-4×32k+=1.解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.（三）课堂练习（出示课件19-25）1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2B．1C．2D．02.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=,q=.4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2).2112xxxx+7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.参考答案：1.D2.32；-33.1；-24.解：将x =1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x 1,则：1×x 1=16.3c a =∴x 1=16.35.解：(1)根据根与系数的关系12,x x k +=-121.2k x x -=得(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=1()14,2k k -+-+=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以127,x x +=12 4.x x =-则：222121212()()474(4)65.x x x x x x -=+-=-⨯-=6.解:根据根与系数的关系得：12124, 1.3b c x x x x a a +=-=-⋅==-（1）(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=44(-1)1;33-++=-（2）222211212121212123492x x x x x x x x x x x x x x +++===-（）-.7.解：设方程两根分别为x 1,x 2(x 1>x 2)，则x 1-x 2=1,由根与系数的关系，得,221k x x =+,2121=∙x x ∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1,∴1,21422=⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∴3,22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k ∵△＞0,∴=±k 8.解：(1)方程有实数根，24b acD =-＝（-2m ）2-4m （m -2）22448m m m=-+＝8m ≠0∴m 的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x 1,x 2，∴.22,2121mm x x x x -=⋅=+∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，∴1.2422=-⨯-m m 解得m=8.经检验m=8是原方程的解．（四）课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；
《根与系数的关系》教案
一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系,掌握一元二次方程的求根公式。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学学科的兴趣和自信心。
二、教学内容1. 根与系数的关系。
2. 一元二次方程的求根公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点:根与系数的关系,一元二次方程的求根公式。
2. 教学难点:根与系数的关系在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生通过探索和发现来掌握知识。
2. 利用多媒体课件,生动形象地展示根与系数的关系。
3. 创设情境,让学生在解决实际问题中运用所学知识。
五、教学过程1. 导入新课:通过展示一些实际问题,引导学生思考根与系数的关系。
2. 讲解新课:讲解根与系数的关系,让学生掌握一元二次方程的求根公式。
3. 课堂练习:让学生通过练习,巩固所学知识。
4. 情境创设:让学生运用所学知识解决实际问题。
5. 总结反思:让学生总结本节课所学内容,反思自己的学习过程。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，评估学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况评价：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决评价：评估学生在情境创设环节中解决问题的能力，以及对根与系数关系在实际问题中的应用。
七、教学资源1. 多媒体课件：通过生动形象的方式展示根与系数的关系，帮助学生更好地理解概念。
2. 实际问题案例：提供一些与生活实际相关的问题，让学生能够将所学知识应用于解决实际问题。
3. 练习题库：准备一系列练习题，帮助学生巩固知识，并提供及时反馈。
八、教学进度安排1. 课时安排：本节课计划安排2课时，每课时40分钟。
2. 教学环节时间分配：导入新课（10分钟），讲解新课（15分钟），课堂练习（10分钟），情境创设（5分钟），总结反思（5分钟）。
九、教学拓展1. 深入了解一元二次方程的求根公式的推导过程，进一步探究根与系数之间的关系。
初中数学初三数学下册《一元二次方程的根与系数关系》教案、教学设计
（1）已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为α和β。请证明：若α + β为定值，当a > 0时，αβ的最大值为(b^2 - 4ac) / (4a)。
（2）已知抛物线y = ax^2 + bx + c与x轴的交点为（α，0）和（β，0）。请证明：当a > 0时，线段[α，β]的长度为2√[(α + β)^2 - 4αβ]。
3.学会运用韦达定理求解一元二次方程的根，并能解决实际问题中涉及一元二次方程根的计算问题。
4.能够运用一元二次方程的根与系数关系分析解决几何问题，提高学生的几何思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下过程与方法提高数学素养：
1.通过自主探究、合作学习等方式，发现一元二次方程根与系数之间的关系，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.重点：培养学生合作学习的意识和能力，通过小组讨论和互助学习，提高学生的问题解决能力。
难点：如何在小组合作中平衡学生的参与度，确保每个学生都能在合作中收获知识和技能。
（二）教学设想
1.引入：通过一个实际问题的情景引入，如设计一个与一元二次方程相关的实际情境，让学生感受到数学知识在解决现实问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.判别式的概念：讲解判别式的定义，引导学生理解判别式元二次方程的根与系数之间的关系，并总结规律。
3.韦达定理：介绍韦达定理，并用实例讲解其应用方法。
4.数形结合：利用几何图形，如抛物线与x轴的交点，形象地展示一元二次方程的根与系数关系。
二、学情分析
针对初三学生的年龄特点和认知水平，他们对一元二次方程已有一定的了解，具备了一定的数学基础。在此基础上，学生对本章节内容的掌握程度有以下特点：
初中数学初二数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的根的概念，了解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.学会使用根的判别式来判断一元二次方程的根的情况，并能根据判别式的值来确定方程的根的性质。
3.掌握一元二次方程的求解公式，能够运用公式法求解一元二次方程，并解决实际问题。
-激发学生的学习兴趣，通过表扬和鼓励，增强学生的学习信心。
-关注学习困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服学习中的困难。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：通过一个关于抛物线的实际例子，如“一个篮球在抛出后，其运动轨迹形成一个抛物线，假设我们知道篮球的初始速度和抛出角度，如何确定篮球落地的时间？”来引入一元二次方程的根与系数的关系。
-讲解：在学生探究的基础上，教师进行总结讲解，强调重难点，并配合典型例题进行解释。
-练习：设计梯度明显的练习题，让学生在课堂上即时巩固所学知识，并及时给予反馈。
-应用：结合实际生活情境，设计综合应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高学生的数学应用能力。
3.教学评价：
-过程评价：关注学生在课堂上的参与度、合作探究能力和解决问题的策略。
-利用多媒体辅助教学，通过动态演示和图形展示，帮助学生形象地理解抽象的数学概念。
-实施分层次教学，针对不同水平的学生设计不同难度的练习题，使每个学生都能在课堂上得到有效的训练。
2.教学过程：
-导入：通过一个实际问题引入本节课的内容，激发学生的好奇心和学习兴趣。
-探索：引导学生通过小组合作、讨论的方式，探究一元二次方程根与系数的关系，总结根的判别式的使用方法。
4.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力。
一元二次方程根与系数的关系教案华东师大版
4.应用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题，如：面积问题、距离问题等。
教学重点：一元二次方程的解法、根与系数的关系及其应用。
三、学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经学习了初中数学的前置知识，对一元一次方程、函数等概念有了一定的了解。在学习本节课之前，他们已经掌握了代数式的基本运算、因式分解等知识，这为一元二次方程的学习奠定了基础。
1.知识层次分析：学生在学习一元二次方程时，需要掌握方程的一般形式、解法、根与系数的关系等知识点。根据华东师大版教材的安排，这些知识点分布在多个章节中，学生需要将这些知识点贯穿起来，形成系统的一元二次方程知识结构。
2.教学手段
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示一元二次方程的解法、根与系数关系等知识点，提高学生的学习兴趣和理解程度。
（2）教学软件：教师运用教学软件，进行实时讲解、解题演示等，使学生更直观地理解一元二次方程的解法和应用。
（3）网络资源：教师引导学生利用网络资源，查找与一元二次方程相关的实际问题，培养学生的自主学习能力和数据分析能力。
内容逻辑关系
本节课的教学内容来自华东师大版八年级上册数学教材，章节为“二次方程的解法与应用”。具体内容包括：
1.理解一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0；
2.掌握一元二次方程的解法（求根公式）：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)；
3.探究一元二次方程根与系数的关系，即：若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两根分别为x1、x2，则有x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a；
一元二次方程根与系数的关系教案(完美版)
一元二次方程根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．在线分享文档设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． 练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ （1）x 2-2x ＋1＝0；（2）x 2-9x ＋10＝0； （3）2x 2-9x ＋5＝0；（4）4x 2-7x ＋1＝0；（5）2x 2-5x ＝0；（6）x 2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．在线分享文档验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。
初中数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案
教学设计二、合作探究 探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( ) A ．－1 B.12 C ．－12D ．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n ＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( ) A ．x 2－6x ＋8＝0 B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x－20＝0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解(2014·云南曲靖)已知x ＝4是一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决．【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数(2014·山东烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－1【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用 已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a )2－4×a (a －6)＝24a ≥0.解得a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6.由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝aa －6的解．即存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立．(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a 为负整数，则6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a ＝7或8，9，12.。
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《一元二次方程根与系数的关系》教案
教学目标：
1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：
一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：
一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：
教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。
【设计意图】：
本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】：
1、方程：X 2+3X –4=0
（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。
（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。
（3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数
一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中
（）二次项系数
常数项= 2、方程3 X 2+X-2=0 （1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。
（3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数
一次项系数=- 比一比，你发现了什么呢：__________________________________
(4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数
常数项= 比一比，你发现了什么呢：__________________________________
3、方程X 2-2X=
（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。
（3）由你发现的规律可知:
X 1+X 2=（）（=-________)(________) X 1·X 2=（）=)
(_________)(_________ 二、合作求证 生成新知（每小题10分，共20分）（合作完成，交换检查）
【师生活动】：
教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点
拨；鼓励学生参与合作学习，调动学生合作交流的主动性和积极性。
学生小组合作完成导学案，通过推导证明前面的结论；实现一元
二次方程的根与系数的关系感性认识到理性认识的转变；小组长检查
小组成员完成情况后，两小组交换检查推导过程；分小组汇报合作学
习成果。
【设计意图】：
本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的证明过程，即理
性认识过程。
让学生自己发现问题、探求规律，两从理论角度加以验证，经历从特殊到一般的科学探索过程，培养学生科学、严谨的求学态度，团队精神和合作意识，促进学生的相互交流、学习。
【学案内容】：
（1）根据以上规律，若aX2+bX+c=0 (a≠0) 的两个根为X1和X2，则X1+X2=_______，X1·X2=_______。
（2）这是不是一个普遍规律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？请用一元二次方程的一般形式证明：(b2-4ac≧0)
∵X1=
a ac
b b
2
4 2-
+
-
X2=
a ac
b b
2
4 2-
-
-
∴X1+X2=
∴X1·X2=
三、交流展示目标达成（每小题10分，共40分）（合作完成，分组展示）【师生活动】：
教师巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并适时点拨、强调；充分利用现有设施设备，为学生搭建电子白板、实物投影、黑板等不同的展示自我的平台；适时评价、鼓励学生能多种方法解决问题，促进发散思维的培养。
导学案【目标1】：学生先独立完成，组长检查，后组内交流，全班汇报、评价。
（学生利用一体机白板演示解题过程）
导学案【目标2】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。
（学生利用实物投影展示解题过程）
导学案【目标3】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。
（学生利用黑板展示解题过程）
【设计意图】：
本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的实践过程，即教学目标的达成、检测过程。
设计了三个不同难度且有梯度的“目标”，让学生由易到难、由浅入深，加深对一元二次方程的根与系数的关系
的理解和应用，强调学生对科学的严谨性和书写的规范性，培养学生
对所学知识的应用意识和应用能力，以及合作学习意识与数学语言的
表述能力。
【学案内容】：
【目标1】不解方程，求下列方程的两根的和与两根的积各是多少？
（1）x 2-3x+1=0; （2）3x 2-2x=2;
【目标2】已知方程X 2-4X+M=0的一个根是-2，求方程的另一个根及M 的值。
【目标3】已知X 1 ，X 2 是方程2X 2-4X-1=0的两个实数根，求
的值。
四、查漏补缺 总结提高（共10分）（自主完成，集体分享）
【师生活动】：
教师鼓励学生谈所学所想所获，集体分享学习成果，归纳课堂所学知
识点，解决学习中仍然存在的问题和困惑。
【设计意图】：
本环节为本节课的总结提高过程。
目的是帮助所有学生总结回顾、查
漏补缺，形成知识体系，培养学生及时小结、善于归纳梳理的学习习
惯，提高学生运用数学语言的能力和口头表达能力。
【学案内容】：
22
12x x
请你谈谈本节课的收获或存在的问题。
__________________。