等差数列的概念与通项公式 (1)

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2.2.1等差数列的概念与通项公式

学习目标: 1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式．

2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念

的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力．

3．情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．

学习重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；

学习难点: 理解等差数列“等差”的特点及通项公式含义；等差数列的通项公式的推导过程． 学习过程：

一、新课导学:请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 10，12，14，16，…

③ 5，5，5，5，5，… ④ 101，100，99，98，97，96，95，… 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________ 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__________

共同点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ______.

1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它前一项的差等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示。

思考1：等差数列的递推公式为：

思考2：上面的四个数列都是等差数列，公差依次是______,______,______,______.

思考3：一个等差数列至少有几项，中间项与前一项、后一项有什么关系？

2.等差中项的概念：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列是最简单的等差数列，这时数A 叫做数a 和b 的 等差中项，用等式表示为A =

3.等差数列的通项公式：

思考4：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

思考5：如果等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，你能否根据等差数列的递推公式得出通项公式

公式推导： 若一等差数列}{n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 方法一（归纳法）：21a a -= ，即：21a a =+ ，

32a a -= ， 即：321a a d a =+=+

4

3a a -= ，即：431a a d a =+=+ ，

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：d a a n ____1+=.

方法二（累加法）：____,

___,___,......

_____,

_____,_____,12132342312=-=-=-=-=-=------n n n n n n a a a a a a a a a a a a 累加得：

结论：如果等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则数列的通项公式为：d a a n ____1+= 反思：（1）从方程的角度考虑，等差数列通项公式未知量有 个，知三求一； （2）从函数的角度考虑：n a 是有关n 的_______函数，有2 个待定系数_____

（3）从单调性来考虑：①当d ＞0时，｛n a ｝为 数列；②当d ＜0时，｛n a ｝为 数列； ③当0,d =｛n a ｝为 数列。 三．典型例题与练习： 题型1：求等差数列的通项公式

例1：（1）求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项。

（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项。如果是，是第几项？

变式1：（1）求等差数列3，7，11，……的通项公式和第10项.

（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

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题型2：等差数列的判断与证明

例2、已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中q p ,为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？证明你的结论，如果是，写出首项和公差。

变式2：已知数列的通项公式为61n a n =-，那么这个数列一定是等差数列吗？证明你的结论，如果是，

写出首项和公差。

题型3：等差数列中量的求解

例3：（1）已知在等差数列中，31,1074==a a ，求n a ；（2）已知2,21,31===d a a n ，求n.

练习3：在等差数列{an}中，(1)已知,2,185=-=a a ，求n a ；(2)已知7,12571==+a a a ，求n a .

四、学习小结

1. 等差数列定义式： 1n n a a d

--= (n ≥2)； 递推公式：1(2)n n a a d n -=+≥；

通项公式：1(1)n

a a n d =+-； 等差中项：2

2

1

+++=n n n a a a

2.等差数列的通项公式，为关于n 的一次函数，能熟练解决“1,,,n a a n d 知二求二”的问题

五．课后作业：

1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________.

2. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是________.

3．如果,,1)()1(*

∈+=+N n n f n f 且,2)1(=f 则=)100(f ________ 4. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则B ＝ .

5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .

6. 在等差数列{}n a 中，

⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； （2）已知39129,3,a a a ==求 （3）已知158a =，6023a =，求n a .

7已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，数列{}n b 中 34n n b a b =+，证明：数列{}n b 也是等差数列，写出首项和公差。

8、等差数列}{n a 的首项为a ，公差为d ；等差数列}{n b 的首项为b ，公差为e ，如果数列}{n c 满足n n n b a c +=，

（1）求证：}{n c 是等差数列；（2）若8,421==c c ，求数列}{n c 的通项公式。

9.已知数列{an}的通项公式qn pn a n +=2

(p 、q 为常数)，当p 、q 满足什么条件时，数列}{n a 为等差数列．