第5章 债券价格的敏感性
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Ct (1 + r ) wt = P
t
P=
Cn C1 C2 + +⋯+ n (1 + r ) (1 + r )2 1+ r ) (
参见教材第75-76页示例 参见教材第75-76页示例 75
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特别地，对于零息债券，其久期计算如下： 特别地，对于零息债券，其久期计算如下：
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基于久期的债券（组合）的套期保值： 基于久期的债券（组合）的套期保值： 卖空：将本不拥有的金融工具卖出的行为。 卖空：将本不拥有的金融工具卖出的行为。 卖空机制是发达金融市场上的一种特殊交易制 它对市场价格的稳定具有重要的重要。 度，它对市场价格的稳定具有重要的重要。 买入债券的行为称为做多 做多， 买入债券的行为称为做多，因此买入并持 有的债券称为多头债券 多头债券； 有的债券称为多头债券；卖出债券的行为称为 做空，被卖出的债券称为空头债券 空头债券。 做空，被卖出的债券称为空头债券。
修正久期的估算方法： 修正久期的估算方法： 计算收益率上升和下降1bp（ 个基点） 计算收益率上升和下降1bp（1个基点）引 1bp 起债券价格的变化量（绝对值）的平均值， 起债券价格的变化量（绝对值）的平均值，再 计算这个平均值相对初始价格的比例（ 计算这个平均值相对初始价格的比例（此比例 也被称为基点价格），将此比例乘100即为修正 基点价格），将此比例乘100 也被称为基点价格），将此比例乘100即为修正 久期的估计值。 久期的估计值。
D* = D (1+ r )
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定义修正久期为麦考利久期的单期折现 值，它正好等于债券价格变化率与收益率变 化值之比（相反数）。 化值之比（相反数）。
D* = D (1 + r )
∆P ≈ − D* ⋅ ∆r P
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四、凸度 所谓凸度就是债券价格所谓凸度就是债券价格-收益率曲线的曲 率，用以反映债券价格受利率变动的整体影 响程度。 响程度。 根据曲率的数学定义， 根据曲率的数学定义，每年支付一次利 息的债券的凸度计算公式如下： 息的债券的凸度计算公式如下：
Cox = 1 P (1 + r )
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债券为息票债券，息票为8% 8%， 例5.1 A债券为息票债券，息票为8%，到 期期限为4 面值为100美元； 100美元 期期限为4年，面值为100美元；B债券为零息 债券，面值为100美元，到期期限也为4年。 债券，面值为100美元，到期期限也为4 100美元 如果约定每年计付息一次， ⑴如果约定每年计付息一次，在收益率 10%的条件下计算两种债券的麦考利久期 的条件下计算两种债券的麦考利久期。 为10%的条件下计算两种债券的麦考利久期。 如果每半年计付息一次， ⑵如果每半年计付息一次，重新计算两 种债券的麦考利久期。 种债券的麦考利久期。
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债券组合的（修正久期）： 债券组合的（修正久期）：
D* = ∑ wi Di* p
wi
组合中i --组合中i债券现值占债券组合现值的比例 D* --债券i的修正久期 债券i p --债券
参见教材第83页示例 参见教材第83页示例 83
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2 T
∑
t =1
Ct ⋅ t ⋅ (1 + t )
(1 + r )
t
参见教材第80页示例分析 参见教材第80页示例分析 80
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引入凸度以后， 引入凸度以后，利率的微小变化引起债券 价格的变化为： 价格的变化为：
∆P 1 2 = − D ⋅ ∆r + Cox ⋅ ( ∆r ) P 2
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债券市场的定律 麦考利久期 凸度
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一、债券市场的定律 回忆标准的债券定价公式： 回忆标准的债券定价公式：
R R R Par P= + +⋯+ + 2 n n 1 + r ) (1 + r ) ( (1 + r ) (1 + r )
P 债券的价格与收益 率之间呈反向变化。 率之间呈反向变化。
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修正久期： 修正久期：
R R R Par P= + +⋯+ + 2 n n (1 + r ) (1 + r ) 1 + r ) (1 + r ) (
∆ (1 + r ) ∆P D = −D ⋅ ≈− ⋅ ∆r P (1 + r ) (1 + r )
∆P ← → ≈ − D * ⋅ ∆r P
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久期法则： 久期法则： ⑴零息债券的久期等于它的到期期限 到期期限不变时， ⑵到期期限不变时，债券的久期随着息票 利率的下降而延长 在息票利率不变时， ⑶在息票利率不变时，债券的久期通常随 着到期期限的延长而延长 在其他因素不变条件下， ⑷在其他因素不变条件下，息票债券的久 期随着其到期收益率的下降而延长 无限期限债券的久期等于1 ⑸无限期限债券的久期等于1加上到收益 率的倒数
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贡献战略与免疫战略： 贡献战略与免疫战略： 所谓贡献战略是指这样一种债券投资策 略：使得债券投资及其利息再投资收益在未 来某一时点的总价值为目标金额。 来某一时点的总价值为目标金额。 方法一： 方法一：选择对应到期期限的零息债券 无利率风险） （无利率风险） 方法二： 方法二：选择对应到期期限更长的息票 债券（存在利率风险） 债券（存在利率风险） 参见教材第84-85页示例分析 参见教材第84-85页示例分析 84
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所谓套期保值是指这样的交易组合： 所谓套期保值是指这样的交易组合：通过 套期保值是指这样的交易组合 做空债券交易的盈利来弥补持有债券所面临的 损失；同样，通过做多交易的盈利来弥补做空 损失；同样， 债券所面临的亏损。 债券所面临的亏损。 为了保证套期保值交易中的盈亏正好实现 相对冲销掉，两种交易的价值总额不一定相等， 相对冲销掉，两种交易的价值总额不一定相等， 而是必须是两种交易的（修正）久期相等。 而是必须是两种交易的（修正）久期相等。这 就是基于久期的套期保值策略。 就是基于久期的套期保值策略。 参见教材第87-88页示例分析 参见教材第87-88页示例分析 87
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凸度对套期保值策略的影响（ 凸度对套期保值策略的影响（参见教材 89页 第89页）。
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P 5年债券 20年债券 20年债券
100.00
r
10.00%
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债券定价律： 债券定价律： ⑴债券价格与收益率呈反向关系：当收 债券价格与收益率呈反向关系： 益率增加时，债券价格下降； 益率增加时，债券价格下降；当收益率下降 时，债券价格上升 相对而言， ⑵相对而言，长期债券的价格对收益率 更敏感： 更敏感：相同比例的收益率变化会使期限更 长债券的价格变化更大 ⑶债券价格对收益率下降更敏感：收益 债券价格对收益率下降更敏感： 率下降引起债券价格上升的幅度大于同比例 收益率上升引起的债券价格下降的幅度
10.00
10.01 10.02 10.03 10.04
100.0000
99.9614 99.9228 99.8843 99.8457
100wk.baidu.com0000
99.9143 99.8286 99.7431 99.6578
注：债券每半年付息一次，息票为10% 债券每半年付息一次，息票为10%
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针对方法二所面临的利率风险， 针对方法二所面临的利率风险，可以通过 专门选择修正久期正好等于目标期限的息票债 券进行投资来完全规避利率风险， 券进行投资来完全规避利率风险，这样的债券 免疫战略。 投资策略就是免疫战略 投资策略就是免疫战略。 参见教材第86页示例分析 参见教材第86页示例分析 86
Par
i
普通债券价格普通债券价格-收益率曲线
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r
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两种债券利率敏感性比较
收益率（ 收益率（%） 9.96 9.97 9.98 9.99 5年期 100.1546 100.1159 100.0773 100.0386 20年期 20年期 100.3441 100.2579 100.1718 100.0859
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⑷在收益率较低的水平下，债券价格的收 在收益率较低的水平下， 益率敏感性更强：债券价格益率敏感性更强：债券价格-收益率曲线在收 益较低区间更陡 ⑸债券价格的收益率敏感性随着到期日的 延长而呈减速递增： 延长而呈减速递增：到期期限延长引起的收益 率敏感性程度提高程度低于期限延长程度 低息票债券的价格的收益率敏感性更强： ⑹低息票债券的价格的收益率敏感性更强： 相同的收益率变化引起低息票债券价格的变化 幅度大于对高息票债券价格的变化幅度 前5条定律被称为马奇尔（Malkiel）定律。 条定律被称为马奇尔（Malkiel）定律。 马奇尔
P=
(1 + r )
Cn
n
Cn (1 + r ) wn = =1 P
n
D = wn ⋅ Tn = Tn
零息债券的久期正好等于其到期时间。 零息债券的久期正好等于其到期时间。 推论： 推论：货币市场上的金融工具的麦考利久 期等于其到期时间（或者剩余期限）； ）；现金的 期等于其到期时间（或者剩余期限）；现金的 麦考利久期为零。 麦考利久期为零。
*
凸度的作用：利率水平上升时，促进债券 凸度的作用：利率水平上升时， 价格上涨；利率水平下降时， 价格上涨；利率水平下降时，减缓债券价格下 降。 参见教材第80-81页示例分析 参见教材第80-81页示例分析 80
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对于相同到期期限且信用风险程度一样的 债券而言，回报率高的债券的凸度相对较小。 债券而言，回报率高的债券的凸度相对较小。 见教材第82页图5.4 82页图5.4。 见教材第82页图5.4。 债券凸度的实践估算方法：（参见教材第 债券凸度的实践估算方法：（参见教材第 ：（ 81页示例 页示例） 81页示例）
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二、麦考利久期 麦考利久期（ Duration） 麦考利久期（Macanlay’s Duration）是指 债券投资回收投资成本的加权平均年限， 债券投资回收投资成本的加权平均年限，其中 的权数是回收本息的折现值与这些折现值总和 的比值。 的比值。
D = ∑ wt ⋅ Tt
t
P=
Cn C1 C2 + +⋯+ n (1 + r ) (1 + r )2 1+ r ) (
参见教材第75-76页示例 参见教材第75-76页示例 75
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特别地，对于零息债券，其久期计算如下： 特别地，对于零息债券，其久期计算如下：
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基于久期的债券（组合）的套期保值： 基于久期的债券（组合）的套期保值： 卖空：将本不拥有的金融工具卖出的行为。 卖空：将本不拥有的金融工具卖出的行为。 卖空机制是发达金融市场上的一种特殊交易制 它对市场价格的稳定具有重要的重要。 度，它对市场价格的稳定具有重要的重要。 买入债券的行为称为做多 做多， 买入债券的行为称为做多，因此买入并持 有的债券称为多头债券 多头债券； 有的债券称为多头债券；卖出债券的行为称为 做空，被卖出的债券称为空头债券 空头债券。 做空，被卖出的债券称为空头债券。
修正久期的估算方法： 修正久期的估算方法： 计算收益率上升和下降1bp（ 个基点） 计算收益率上升和下降1bp（1个基点）引 1bp 起债券价格的变化量（绝对值）的平均值， 起债券价格的变化量（绝对值）的平均值，再 计算这个平均值相对初始价格的比例（ 计算这个平均值相对初始价格的比例（此比例 也被称为基点价格），将此比例乘100即为修正 基点价格），将此比例乘100 也被称为基点价格），将此比例乘100即为修正 久期的估计值。 久期的估计值。
D* = D (1+ r )
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定义修正久期为麦考利久期的单期折现 值，它正好等于债券价格变化率与收益率变 化值之比（相反数）。 化值之比（相反数）。
D* = D (1 + r )
∆P ≈ − D* ⋅ ∆r P
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四、凸度 所谓凸度就是债券价格所谓凸度就是债券价格-收益率曲线的曲 率，用以反映债券价格受利率变动的整体影 响程度。 响程度。 根据曲率的数学定义， 根据曲率的数学定义，每年支付一次利 息的债券的凸度计算公式如下： 息的债券的凸度计算公式如下：
Cox = 1 P (1 + r )
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债券为息票债券，息票为8% 8%， 例5.1 A债券为息票债券，息票为8%，到 期期限为4 面值为100美元； 100美元 期期限为4年，面值为100美元；B债券为零息 债券，面值为100美元，到期期限也为4年。 债券，面值为100美元，到期期限也为4 100美元 如果约定每年计付息一次， ⑴如果约定每年计付息一次，在收益率 10%的条件下计算两种债券的麦考利久期 的条件下计算两种债券的麦考利久期。 为10%的条件下计算两种债券的麦考利久期。 如果每半年计付息一次， ⑵如果每半年计付息一次，重新计算两 种债券的麦考利久期。 种债券的麦考利久期。
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债券组合的（修正久期）： 债券组合的（修正久期）：
D* = ∑ wi Di* p
wi
组合中i --组合中i债券现值占债券组合现值的比例 D* --债券i的修正久期 债券i p --债券
参见教材第83页示例 参见教材第83页示例 83
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2 T
∑
t =1
Ct ⋅ t ⋅ (1 + t )
(1 + r )
t
参见教材第80页示例分析 参见教材第80页示例分析 80
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引入凸度以后， 引入凸度以后，利率的微小变化引起债券 价格的变化为： 价格的变化为：
∆P 1 2 = − D ⋅ ∆r + Cox ⋅ ( ∆r ) P 2
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债券市场的定律 麦考利久期 凸度
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一、债券市场的定律 回忆标准的债券定价公式： 回忆标准的债券定价公式：
R R R Par P= + +⋯+ + 2 n n 1 + r ) (1 + r ) ( (1 + r ) (1 + r )
P 债券的价格与收益 率之间呈反向变化。 率之间呈反向变化。
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修正久期： 修正久期：
R R R Par P= + +⋯+ + 2 n n (1 + r ) (1 + r ) 1 + r ) (1 + r ) (
∆ (1 + r ) ∆P D = −D ⋅ ≈− ⋅ ∆r P (1 + r ) (1 + r )
∆P ← → ≈ − D * ⋅ ∆r P
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久期法则： 久期法则： ⑴零息债券的久期等于它的到期期限 到期期限不变时， ⑵到期期限不变时，债券的久期随着息票 利率的下降而延长 在息票利率不变时， ⑶在息票利率不变时，债券的久期通常随 着到期期限的延长而延长 在其他因素不变条件下， ⑷在其他因素不变条件下，息票债券的久 期随着其到期收益率的下降而延长 无限期限债券的久期等于1 ⑸无限期限债券的久期等于1加上到收益 率的倒数
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贡献战略与免疫战略： 贡献战略与免疫战略： 所谓贡献战略是指这样一种债券投资策 略：使得债券投资及其利息再投资收益在未 来某一时点的总价值为目标金额。 来某一时点的总价值为目标金额。 方法一： 方法一：选择对应到期期限的零息债券 无利率风险） （无利率风险） 方法二： 方法二：选择对应到期期限更长的息票 债券（存在利率风险） 债券（存在利率风险） 参见教材第84-85页示例分析 参见教材第84-85页示例分析 84
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所谓套期保值是指这样的交易组合： 所谓套期保值是指这样的交易组合：通过 套期保值是指这样的交易组合 做空债券交易的盈利来弥补持有债券所面临的 损失；同样，通过做多交易的盈利来弥补做空 损失；同样， 债券所面临的亏损。 债券所面临的亏损。 为了保证套期保值交易中的盈亏正好实现 相对冲销掉，两种交易的价值总额不一定相等， 相对冲销掉，两种交易的价值总额不一定相等， 而是必须是两种交易的（修正）久期相等。 而是必须是两种交易的（修正）久期相等。这 就是基于久期的套期保值策略。 就是基于久期的套期保值策略。 参见教材第87-88页示例分析 参见教材第87-88页示例分析 87
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凸度对套期保值策略的影响（ 凸度对套期保值策略的影响（参见教材 89页 第89页）。
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债券定价律： 债券定价律： ⑴债券价格与收益率呈反向关系：当收 债券价格与收益率呈反向关系： 益率增加时，债券价格下降； 益率增加时，债券价格下降；当收益率下降 时，债券价格上升 相对而言， ⑵相对而言，长期债券的价格对收益率 更敏感： 更敏感：相同比例的收益率变化会使期限更 长债券的价格变化更大 ⑶债券价格对收益率下降更敏感：收益 债券价格对收益率下降更敏感： 率下降引起债券价格上升的幅度大于同比例 收益率上升引起的债券价格下降的幅度
10.00
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100.0000
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100wk.baidu.com0000
99.9143 99.8286 99.7431 99.6578
注：债券每半年付息一次，息票为10% 债券每半年付息一次，息票为10%
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针对方法二所面临的利率风险， 针对方法二所面临的利率风险，可以通过 专门选择修正久期正好等于目标期限的息票债 券进行投资来完全规避利率风险， 券进行投资来完全规避利率风险，这样的债券 免疫战略。 投资策略就是免疫战略 投资策略就是免疫战略。 参见教材第86页示例分析 参见教材第86页示例分析 86
Par
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普通债券价格普通债券价格-收益率曲线
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两种债券利率敏感性比较
收益率（ 收益率（%） 9.96 9.97 9.98 9.99 5年期 100.1546 100.1159 100.0773 100.0386 20年期 20年期 100.3441 100.2579 100.1718 100.0859
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⑷在收益率较低的水平下，债券价格的收 在收益率较低的水平下， 益率敏感性更强：债券价格益率敏感性更强：债券价格-收益率曲线在收 益较低区间更陡 ⑸债券价格的收益率敏感性随着到期日的 延长而呈减速递增： 延长而呈减速递增：到期期限延长引起的收益 率敏感性程度提高程度低于期限延长程度 低息票债券的价格的收益率敏感性更强： ⑹低息票债券的价格的收益率敏感性更强： 相同的收益率变化引起低息票债券价格的变化 幅度大于对高息票债券价格的变化幅度 前5条定律被称为马奇尔（Malkiel）定律。 条定律被称为马奇尔（Malkiel）定律。 马奇尔
P=
(1 + r )
Cn
n
Cn (1 + r ) wn = =1 P
n
D = wn ⋅ Tn = Tn
零息债券的久期正好等于其到期时间。 零息债券的久期正好等于其到期时间。 推论： 推论：货币市场上的金融工具的麦考利久 期等于其到期时间（或者剩余期限）； ）；现金的 期等于其到期时间（或者剩余期限）；现金的 麦考利久期为零。 麦考利久期为零。
*
凸度的作用：利率水平上升时，促进债券 凸度的作用：利率水平上升时， 价格上涨；利率水平下降时， 价格上涨；利率水平下降时，减缓债券价格下 降。 参见教材第80-81页示例分析 参见教材第80-81页示例分析 80
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对于相同到期期限且信用风险程度一样的 债券而言，回报率高的债券的凸度相对较小。 债券而言，回报率高的债券的凸度相对较小。 见教材第82页图5.4 82页图5.4。 见教材第82页图5.4。 债券凸度的实践估算方法：（参见教材第 债券凸度的实践估算方法：（参见教材第 ：（ 81页示例 页示例） 81页示例）
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二、麦考利久期 麦考利久期（ Duration） 麦考利久期（Macanlay’s Duration）是指 债券投资回收投资成本的加权平均年限， 债券投资回收投资成本的加权平均年限，其中 的权数是回收本息的折现值与这些折现值总和 的比值。 的比值。
D = ∑ wt ⋅ Tt