(完整版)北师大数学七年级上册第四章多边形和圆的初步认识

多边形和圆的初步认识知识讲解
【学习目标】
1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；
2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；
3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；
4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n 边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
要点诠释：
(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为
(3)
2
n n
．
(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．要点二、圆及扇形
1. 圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的
图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA 叫做半径.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二
者缺一不可.
②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB ，读作“圆弧AB”
或“弧AB”. 如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA ，OB 所组成的
图形叫做扇形.
要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB 是圆的一个圆心角，也是扇形
OAB 的圆心角.
【典型例题】
类型一、多边形及正多边形
1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出
来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.
【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4. E A B C
F D
【总结升华】
(1)n边形有n个顶点,n条边,n个内角.
(2)过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共
(3)
2
n n
条对角线.
(3)n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n－2）个三角形. 举一反三：
【变式】（2016春•荣成市期中）从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个n边形分割成三角形个数是（）
A．3个B．（n﹣1）个C．5个D．（n﹣2）个
【答案】D
2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?
【答案与解析】
解：这个问题，我们可以用图来说明．
按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．
按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．
按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．
答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．
【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．
举一反三：
【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】C.
3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助
点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .
【答案】
根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，
即可知：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
类型二、圆
4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．
【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．
【答案】80°．
【解析】
解：∵OM=ON，
∴∠N=∠M=50°，
∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，
故答案为80°．
【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．
【变式】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
【答案】
类型三、扇形
5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么
【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．
【答案与解析】
解：这三个圆心角的度数分别为： °°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234
⨯=++. 圆的面积29r ππ=，
这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360
ππ⨯=．
这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4． 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．
【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比， 即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．
6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？
【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个正方形的边长，即r 2＝边长2＝120平方厘米．
【答案与解析】
解：设扇形所在圆的半径为r，则216
r=，则：
扇形的面积为：
120
3.141616.75
360
⨯⨯≈（平方厘米）.
答：这个扇形的面积为16.75平方厘米．
【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法．
【巩固练习】
一、选择题
1.下列几何图形中，平面图形的个数为（）个.
①三角形，②圆，③圆柱，④圆锥，⑤正方体，⑥扇形.
A.4
B.5
C.3
D.6
2．从n边形的一个顶点出发共有对角线() .
A．(n-2)条B．(n-3)条C．(n-1)条D．(n-4)条
3．如图，图中四边形有() .
A．3个B．5个C．2个D．6个
4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
5（2016•重庆校级一模）从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线，则它的边数是（）
A．6 B．7 C．8 D．9
6 （2015•重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线．
A．27 B．35 C．40 D．44
二、填空题
7．（2015春•龙口市期中）从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为边形．
8. 已知圆的半径，可以画____个圆；已知圆心，可以画____个圆；已知圆心和半径可以画_____个圆.
9.一个圆的圆心决定这个圆的_________，圆的半径决定这个圆的_________．
10.（2016•哈尔滨）一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为cm．
11.一个七边形的边数减少1，则它的对角线条数减少________，n边形的边数增加2，则对角线增加______．
12.平面内到定点A的距离等于3cm的点组成的图形是 .
三、解答题
13.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
14．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
15. （2014秋•腾冲县校级期末）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系）
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】①⑥②为平面图形.
2. 【答案】B；
3. 【答案】A；
【解析】四边形有：四边形ABCD,四边形ABOD，四边形ABCO.
4. 【答案】A；
【解析】以定点为圆心，定长为半径作圆，只能作一个，故选A.
5. 【答案】D；
【解析】设多边形有n条边，则n﹣3=6，解得n=9．
6. 【答案】B
二、填空题
7. 【答案】九
【解析】由题意可知，n﹣2=7，解得n=9．则这个多边形的边数为9，多边形为九边形．8. 【答案】无数；无数；1；
【解析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可．
9. 【答案】位置，大小；
10．【答案】6；
【解析】设该扇形的半径为R ，则212012360ππR ⨯= ，解得R =6． 11.【答案】5，2n －1；
【解析】七边形的对角线条数为：
7(73)142⨯-=（条），七边形的边数减少1，即六边形的对角线条数为6(63)92
⨯-=（条），相减得5条，所以一个七边形的边数减少1，它的对角线条数减少5条；同理n 边形的边数增加2，则对角线增加(2)(23)(3)2122
n n n n n ++---=-(条) ． 12. 【答案】以A 为圆心3cm 为半径的圆.
三、解答题
13.【解析】
解：由题意n -3＝4，n ＝7．
设各边长为x -3，x -2，x -1，x ，x+1，x+2，x+3，则有： x -3+ x -2+ x -1+x+x+1+x+2+x+3＝56， 7x ＝56，x ＝8． ∴ 各边长为5，6，7，8，9，10，11．
14.【解析】
解：设多边形的边数为n ，根据题意，有：
n ＝2(n -3)，
解得n ＝6，
故这个多边形的边数为6．
15.【解析】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°
∴
答：图中的三个扇形面积之和为
．。