线性代数电子教案2010年

线性代数
学习线性代数的具体要求、重点和难点
重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。
难点是惯性定理及正交法。
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线性代数
线性代数的学习方法
1、攻克“抽象化”堡垒 2、占领“一般性”阵地
3、增强论证能力
4、掌握全局和局部的关系
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线性代数
第一章
行 列 式
解深透。
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本课程的性质、作用和任务
就我们研究问题来说，或者说就我们
2、特殊与一般
的认识来看，总是由认识个别和特殊的事物，逐步地扩大
到认识一般的事物。数学更不例外。对于解析几何中的二 次曲线、二次曲面的标准形研究问题，是我们大家所熟知
的问题，而且有它明显的几何直观意义。对于这样一个问
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本课程的性质、作用和任务
线性代数运用所谓公理化的研究
1、具体与抽象
方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事物
或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公
理、性质(定义)，再从这里出发，采取统一的观
点与方法，进行演绎推理等等，揭示和研究其新 的性质。例如向量空间这个概念，就是从大量实 例中抽象出来的。可以说，抽象程度越高，则概 括程度越强，适用范围就越广，但也就不容易理
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线性代数
第一章
行 列 式
§1.1
行列式及其性质
一、2、3阶行列式的定义：
引进符号：
a 11 a 21
a 12 a 22
a 11 a 22 a 21 a 12
并称之为二阶行列式。其中
a ij ( i 1, 2 ; j 1, 2 )
i——行标；j——列标
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(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；
(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；
重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。
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线性代数
学习线性代数的具体要求、重点和难点
4、对称矩阵与二次型
(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系； (2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；
线性代数
线性代数电子教案
编 制 主 讲
201来自百度文库.05
四川农业大学生命科学与理学院
陈 涛
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第0章 第一章 第二章
第三章
前 言 行 列 式 矩 阵
n维向量及其线性相关性
第四章
线性方程组
第五章
二 次 型
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线性代数
第0章
前
言
☞本课程的性质、作用和任务
☞学习线性代数的具体要求、重点和难点
☞线性代数的学习方法
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线性代数
本课程的性质、作用和任务
一、关于《线性代数》 线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合 的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一 块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在 两千年前，即见于我国古代数学名著《九章算 术》，这使我们引以自豪。
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线性代数
学习线性代数的具体要求、重点和难点
3、n维向量及其线性相关性
（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线 性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向 量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量 组的最大线性无关向量组和向量组的秩； （2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线
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线性代数
第一章
行 列 式
Th1：n阶行列式|Dn| 等于它的第一行元素与它们 对应的代数余子式的乘积之和。
| D n | a 11 A11 a 12 A12 a 1 n A1 n

j 1
n
a 1 j A1 j
证明：用数归纳法 （1）n=2时，显然成立
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本课程的性质、作用和任务
时至今日，多种专业人员都需要学习线性代
数，还出于一个重要原因：随着科学技术的迅速发
展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要更
进一步研究多个变量之间的关系。各种实际问题
(不少是非线性的)大多数情况下，可以线性化，而 由于电子计算机科学的高度发展，线性化的问题又 可计算出来。线性代数正是解决这些问题的有力工 具。所以这门学科身价百倍，正保其青春活力。
第一章
行 列 式
a2n a nn a 12
2 1
a n1 a n 2 a 22 ( 1 ) a 11
11
a2n ( 1)
a1n ( 1)
n 1
a 12 a n1

a1n
a 21
a n 2 a nn
a n 2 a nn
性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系
的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结 构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的 概念，掌握内积的概念。
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即：
D a 11 a 21
第一章
a 12 a 22 b1 b2 a 12 a 22
行 列 式
又记： D 1
, D2
a 11 a 21
b1 b2
利用消元法解(1.1)得：
x1 x2 b1 a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 b 2 b1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 D1 D D2 D
3、计算与论证
行的。多数人容易学会；而探索一个论证要不断进
行分析综合，弄不好便走错路。线性代数中大量需
要论证，而且用到刚学过的比较抽象的概念。
4、教材体系 不同教本采用不同体系，如线性方 程组、行列式、矩阵----，各书出现的先后不同， 起的作用就不一样，这给初学者阅读参考书时增加 了困难。
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（2）设n=k-1时命题成立，现证n=k时，命题也成立。
| D n |

i 1
k
a i 1 A i 1 a 11 M
11


i2
k
a i1 ( 1)
i 1
M
i1
(*)
其中Mi1是k-1阶行列式，则由归纳假设有：
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a 12 a 22 M
ij
j2
k
i1
)1 j ]
11
( 1)
i2 j2
i 1 j
a i1 a 1 j ( M
k i
1 j
) i1 ) i1 ]
11
( 1)
j2
k
1 j
a 1 j [ ( 1) a i1 ( M
i2 k
1 j
11
( 1)
j2
k
1 j
a1 j M


j2
k
a1 j ( M

j2
k
( 1) a 1 j ( M
j
i1
)1 j
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代入（*）得：
| A | a 11 M a 11 M a 11 M a 11 M
第一章
( 1)
i2 k k
行 列 式
i 1
11 k
a i1 [ a 1 j ( M
线性代数
第一章
行 列 式
同理，符号：
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a 11 a 22 a 33 a 21 a 32 a 13 a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 21 a 12
1 j
a 1 j A1 j
i 1 n i 1 2
A ij ( 1 )
2 1
M
ij
n 1
a 21 M
21
( 1)
a n1 M
n1
a i1 M
i1
或 D n a 11 A11 a 21 A 21 a n 1 A n 1 a i 1 A i 1
i 1
n
可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即
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本课程的性质、作用和任务
由于线性代数在数学、力学、物理学和技术 科学中有各种重要应用，因而它现在还在各种代 数分枝中占居首要地位。 不仅如此，该学科所体现的几何观念与代 数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公 理化方法，以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳 综合等，对强化人们的数学训练，增益科学智 能都是非常有用的。
称为三阶行列式。
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第一章
行 列 式
二、2 、3阶行列式与线性方程组的关系
设有两个未知数的线性方程组：
a 11 x 1 a 12 x 2 b1 a 21 x 1 a 22 x 2 b 2
(1.1)
其变量的系数可以构成一个2阶行列式，称为该 线性方程组的系数行列式，记为D
线性代数
1、行列式
学习线性代数的具体要求、重点和难点
(1)掌握n阶行列式的概念；
(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练
地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；
(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解“整”的线性方程
组。
重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字 母行列式的计算。
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(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；
(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。 四川农业大学生命科学与理学院
重点是利用初等变换方法求出线性代数方程 组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如 何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。
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学习线性代数的具体要求、重点和难点
4、线性方程组
(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消
去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；
☞行列式及其性质
☞克莱姆法则
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第一章
行 列 式
通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的概 [教学目的]:
念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解“整”
线性方程组. [重 点]: 行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。
[难 点]： 高阶行列式及字母行列式的计算。 [学时数]： 6学时
题，我们怎样抽象到n维空间的一个一般问题呢？这在线 性代数理论，就产生了有关二次型的研究。在二次型的研 究方法中，我们采用了解析几何中二次曲线、二次曲面化 标准形的一些具体的直观的思想并将它移植到我们更一般 的n维抽象空间上来。 四川农业大学生命科学与理学院
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本课程的性质、作用和任务
计算是按一定公式、法则机械地进
a n 1, 2 a n 1,n
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第一章
行 列 式
i j
其中元素aij的余子式是指：在Dn中去掉aij所在的行和 列、剩下元素构成的一个n-1阶行列式。记为Mij 元素aij的代数余子式
D n ( 1) a 11 M 11 ( 1) ( 1)
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第一章
行 列 式
三、n阶行列式的定义 除前面介绍的二、三阶行列式的完全展开式
外，高阶行列式更适合用按列展开。即：
定 义：一阶行列式定义为|a11|=a11；当n≥2时，假 定n-1阶行列式已定义，则 n 阶行列式定义为：
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a 11 Dn a 21 a 12 a 22 a1n
第一章
a 13 a 23 a i 1, 3 a i 1, 3 ak3 ) ( 1) i1 1 j
1 ( j 1 )
行 列 式
a1k a2k a i 1, k a i 1, k a kk
a i 1, 2 a i 1, 2 ak2
线性代数
2、矩 阵
学习线性代数的具体要求、重点和难点
(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质； (2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件； (3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理； (4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等 矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理 论与方法。
重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。