解三角形中的一类最值(范围)问题的解法探究
试析解三角形中最值与范围问题
试析解三角形中最值与范围问题三角形是一种最基本的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。
本文将从三个方面来试析三角形中最值与范围问题，分别是三角形的边长最值、角度最值和面积最值。
首先，讨论三角形的边长最值。
根据三角形的定义，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大。
这是因为三角形的边长可以是任意长度，只要满足三角形的定义即可。
其次，讨论三角形的角度最值。
根据三角形的定义，三角形的角度最小值为0度，最大值为180度。
这是因为三角形的角度必须小于180度，否则就不是三角形了。
最后，讨论三角形的面积最值。
根据三角形的定义，三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。
这是因为三角形的面积可以是任意大小，只要满足三角形的定义即可。
综上所述，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大；三角形的角度最小值为0度，最大值为180度；三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。
从这些最值和范围可以看出，三角形是一种非常灵活的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。
三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。
例如，在建筑设计中，三角形的最值与范围问题可以帮助建筑师更好地设计建筑物，以满足建筑物的结构要求。
此外，三角形的最值与范围问题也可以帮助工程师更好地设计机械设备，以满足机械设备的结构要求。
因此，三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。
三角形的最值与范围问题的研究可以帮助我们更好地理解三角形，并且可以帮助我们更好地应用三角形，从而更好地解决实际问题。
解三角形中的最值、范围问题
Җ㊀山东㊀冯海侠㊀㊀在新高考形势下, 解三角形 应该会出现在第１７题或第１８题的位置,一般都属于中等或中等偏下难度的题目,是学生必拿分的题．高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活,题型多变㊁综合性强,有利于培养学生的创新意识．这类问题简单,但部分学生却拿不到满分,尤其是求最值或范围的问题．下面笔者以两道高考题为例来归纳这类问题的解答方法及技巧,希望能帮助读者突破瓶颈,提高学习效率．例１㊀(２０１９年全国卷Ⅲ理１８)әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a s i nA ＋C２＝b s i n A ．(１)求B ;(２)若әA B C 为锐角三角形,且c ＝１,求әA B C 面积的取值范围．(１)由a s i n A ＋C２＝b s i n A ,可得s i n A s i n π－B ２＝s i n B s i n A ,即s i n A c o s B２＝s i n B s i n A ,因为s i n A ʂ０,所以c o s B ２＝s i n B ＝２s i n B ２c o s B２．又因为B ɪ(０,π),所以B ２ɪ(０,π２),则c o s B ２ʂ０,所以s i n B ２＝１２,则B ２＝π６,即B ＝π３．(２)由c ＝１,a s i n A ＝c s i n C,可得a ＝c s i n A s i n C ＝s i n A s i n C．所以S әA B C ＝１２a c s i n B ＝１２ˑ３２a ＝３４a ＝３４s i n A s i n C ＝３４s i n (B ＋C )s i n C＝３４ˑ３２c o s C ＋１２s i n Cs i n C ＝３８＋３８ˑ１t a n C．又因为әA B C 是锐角三角形,故０＜C ＜π２且０＜２π３－C ＜π２,所以π６＜C ＜π２,则t a n C ＞３３,即０＜１t a n C ＜３,所以S әA B C ɪ(３８,３２)．例２㊀(２０１３年全国卷Ⅱ理１７)әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ＝b c o s C ＋c s i n B ．(１)求B ;(２)若b ＝２,求әA B C 面积的最大值．(１)由已知条件及正弦定理得s i n A ＝s i n B c o s C ＋s i n C s i n B ．①又因为A ＝π－(B ＋C ),故s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n B c o s C ＋c o s B s i n C ．②由①②得s i n B ＝c o s B ,又B ɪ(０,π),所以B ＝π４．(２)әA B C 的面积S ＝１２a c s i n B ＝２４a c ,由已知条件及余弦定理得４＝a ２＋c ２－２a c c o sπ４ȡ２a c －２a c ,故a c ɤ４２－２＝２(２＋２),当且仅当a ＝c 时,等号成立．因此,S ＝１２a c s i n B ＝２４a c ɤ２４ˑ２(２＋２)＝２＋１,即әA B C 面积的最大值为２＋１．解三角形中的最值及范围问题主要有两种方法,其一是利用基本不等式求最大值或最小值,这类问题多与余弦定理相结合,常见形式如下．(１)a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ȡ２b c －２b c c o s A ,从而求出b c 的最大值;(２)a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－(２－２c o s A )b c ȡ(b ＋c )２－(２－２c o s A )(b ＋c ２)２．在使用基本不等式时一定不要忘了等号的验证,同时,要将所求式子转化为含有一个未知数的函数,大多情况下是转化成关于某个角的函数,利用三角函数性质及角的条件求解,有时也转化为某个边的函数,再结合边的范围求解．解三角形中的最值和范围问题是重点也是难点,综合性较强,所以学生不仅要有扎实的基本功,还要灵活应变,掌握做题技巧,这样在高考中才能取得满意的成绩．(作者单位:山东省菏泽市巨野县第一中学)３。
浅析解三角形中的最值与范围问题解题方法
浅析解三角形中的最值与范围问题解题方法作者：沈燕云来源：《神州·下旬刊》2019年第10期摘要：解三角形是高中数学中的教学重点之一，是高考的高频考点，而其中的最值与范围问题的综合性较强，是学生解题中的一大难点。
本文旨在浅析解三角形中的最值与范围问题的解题方法，帮助学生较好的理解和掌握这类问题的做题技巧。
关键词：解三角形;不等式;最值与范围问题知识储备：1、正弦定理：，其中R为ΔABC外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为方程或分式关于边或者角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。
2、余弦定理：变式：此公式在已知a， A的情况下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。
3、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少。
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.4、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）问题。
（2）利用均值不等式求最值。
例1.已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则ΔABC的面积最大值为_____.[分析]先化简得，，则只需求bc的最大值，此时既可以用余弦定理结合均值不等式解决，也可以用正弦定理将边化为角的正弦，利用三角函数的有界性解决。
具体解法如下：解法一：由余弦定理，即，当且仅当时取得等号，即，所以ΔABC面积的最大值为.解法二：由正弦定理，则因为ΔABC为锐角三角形，则则，所以ΔABC的面积即ΔABC面积的最大值为[总结]容易看到解法一简洁，解法二复杂，但解法一中无法体现三角形是锐角三角形，只能求出三角形面积的最大值，解法二则非常清晰地体现了锐角三角形中角的取值范围，可以求出面积的下限。
第14讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题(学生版)
第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题【典型例题】题型一：三角形角的最值及范围问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（）A ．2π3B ．π6C ．π2D ．π3【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BCD【例3】锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是【例4】已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos BA B=+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.【题型专练】1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（）A ．2AB =B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc=+2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A ．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．433⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，6c =，60B =︒，则b 的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6【例2】设ABC 边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC 的面积为212c ，则以下结论中正确的是（）A ．b aa b+取不到最小值2B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为2π3D ．23b a ca b ab+-的最小值为-【例3】已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD = ，求：(1)求()cos A B +的值；(2)求2b a +的最大值.【例4】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A +cos2B +2sin A sin B ＝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值.【例5】ABC 三角形的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=(1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______2.在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．在条件：①2sin 30b A =，②3sin cos a b A a B =-，③22cos a b C c =+中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3b =，而且__________；(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的最大值．4.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.5.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos 3)a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．题型三：三角形边周长的最值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【例2】设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【例3】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a cC b-=.(1)求角B 的大小；(2)求ac的取值范围.【例4】平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，现欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内部种郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最少？【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①()()()sin sin sin 0a c A C b a B +-+-=；②2cos 12cos C C C =+；③2sin sin 2sin cos B A C A -=．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若．(1)求角C ；(2)若4c =，求△ABC 周长的取值范围．【例7】在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B 的值；(2)若b ，求2a c -的取值范围.【例8】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．【题型专练】1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B bC a c=-，则下列说法正确的有（）A ．3B π=B ．若sin 2sinC A =，且ABC 的面积为ABC 的最小边长为2C ．若b =时，ABC 是唯一的，则a ≤D ．若b =ABC 周长的范围为2．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是3．已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=．(1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．4．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.6．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =（百米），1BC =（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建行连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当DEF 为正三角形时，求DEF 的面积的最小值．7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则ba c +2的取值范围是（）A ．B ．(6,C ．D ．2)。
高中数学解三角形最值与范围问题探讨
高中数学解三角形最值与范围问题探讨摘要：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，且题型多变，多与三角形周长，面积有关，而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。
本文主要探究解三角形中求取最值和范围问题的解法，本文给出三种解法，并对比几种方法优劣。
关键词：高考数学；解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形是高考中的重点题型，也是高考数学的高频考点。
解三角形对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。
而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。
处理这个最值问题解决方法主要有三种：(1)利用正弦定理和三角函数有界性：已知一边及其对角，可利用正弦定理求出2R（R为外接圆半径），再通过边角互化和代入消元的方式，将多变量的表达式转化为关于角B或角C的函数，再利用降幂公式，辅助角公式等进行化简，建立目标函数后，问题将转化为三角函数求值域（最值）问题。
(2)利用基本不等式和余弦定理：根据余弦定理并配合基本不等式可求解的最值问题。
(3)利用数形结合和极限思想：已知三角形一边及其对角可知三角形外接圆半径，在该圆上固定三角形一边，根据同弧所对的圆周角相等可知该边所对应顶点在圆上运动，根据圆的对称性和极限思想可得取值范围或最值。
下面给出例题，探讨几种方法的优劣：题型一：已知三角形一边及其对角例1：在 ABC中，有，若，求 ABC周长的取值范围。
解：推出A=法一：（利用三角函数有界性和正弦定理）周长 +2R（sinB+sinC）(B+C= )= +2（sinB+sin( )）==由于，则，则周长L=的范围 .法二：（利用基本不等式和余弦定理）解：由题意可得：L= +a+b由余弦定理 ,因为，所以则 ,而三角形中两边之和大于第三边则 ,则周长L= +a+b取值范围 .法三：（数形结合与极限思想）已知一边及其对角可得三角形外接圆半径为1，画出外接圆并在圆上固定A 角所对边BC，根据同弧所对的圆周角相等可得三角形一顶点A在圆上运动，根据圆的对称性可得，当A点运动到优弧的中点A’处时，此时三角形ABC周长最大，此时三角形ABC为等腰三角形。
解三角形的范围与最值问题
解三角形的范围与最值问题解三角形的范围与最值问题三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。
本文将从范围和最值两个方面进行探讨。
一、解三角形的范围问题解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。
1. 正弦函数正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。
因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。
2. 余弦函数余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。
因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。
3. 正切函数正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。
对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。
4. 余切函数余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。
对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。
以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。
二、解三角形的最值问题解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。
1. 正弦函数和余弦函数的最值正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。
当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。
2. 正切函数和余切函数的最值正切函数和余切函数都没有最值，但它们在某些点上趋近于无穷或者负无穷，这些点称为函数的特殊点。
正切函数的特殊点为θ=nπ+π/2(n∈Z)，此时tanθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。
余切函数的特殊点为θ=nπ(n∈Z)，此时cotθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。
浅谈解三角形中的最值与取值范围的解题方法
浅谈解三角形中的最值与取值范围的解题方法摘要：解三角形是高考重点考查内容，其中涉及到最值与取值范围问题，对基础一般的学生来说难度相对大点，学生比较害怕，所以本文整理了解三角形中最值与取值范围的基本解题思路，即一般情况下除了求面积最大值是用基本不等式之外，其他求最值与取值范围，化简成角的的范围去控制，转化为某一变量的函数求解基本能把问题解决.关键词:基本不等式;最值;取值范围一、化成角,转化为某一变量的函数求解(一)用正弦定理化边为角，用正弦和差角公式求解.例1.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积 ,a＝2，且A [ ]，则边c的取值范围为：______________.解：由正弦定理整理得：c＝A+B+C= , B＝ , 又a＝2，∴C＝﹣A，故c＝＝＝ +1，又，∴1≤tan A≤，∴ 1≤≤∴c∈[2， +1]．，由题得，求边的范围，化成角的范围去控制，用正弦定理，正弦的和差角公式化简，结合三角函数的图像与性质即有界性可求得结果.例2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，求的取值范围．解：由正弦定理，A＝2B， A+B+C= ,得：＝＝＝＝＝，A∈（0，π），∴2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），所以B∈（0，），令t＝cos B，则，则f（t）＝，求导得：在恒成立，故f（t）在上单调递减，所以f（1）＜f（t）＜f（），即，故的取值范围为．求边的范围，还是先考虑用角去控制，用正弦定理把边化为角之后，用正弦的和差角公式化简，用换元法整理后，求导化简，判断函数单调性从而求得取值范围.（二）用三角关系及正弦和差角公式求解.例3.角A，B，C所对的边分别为a，b，c且△ABC为锐角三角形,B＝,则cos A+cos B+cos C的取值范围为________．解：B＝，A+B+C= ,∴C＝﹣A，∴cos A+cos B+cos C＝cos A+cos（﹣A）+cos＝cos A﹣ cos A+sin A+＝ cos A+ sin A+＝sin（A+）+，△ABC为锐角三角形，∴＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴ +＜sin（A+）+≤，故所求的取值范围为（， ]．例4.（2019•新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：（1）略；（2）∴△ABC面积S＝a•1sinB＝a，由正弦定理：，因为△ABC为锐角三角形，所以，∴，,所以＜a＜2.故△ABC面积S＝a的取值范围为（，）．本道题求面积的取值范围，通过整理转化求边的取值范围，然后转化为角的范围来控制.（三）用三角形的三角关系及二倍角，辅助角公式化简.例5.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足,，求△ABC周长l的取值范围.解：由正弦定理得，因为所以，，， .又，所以，.所以所求△ABC周长l=a+b+c的取值范围为．求三角形周长取值范围，已知一组对边对角，用正弦定理求出2R，结合正弦的和差角公式，辅助角公式，利用三角函数的有界性控制范围，这道题可以变为求周长的最值，思路一样，此处略.二、用基本不等式求解例6.在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A． B． C． D．＝＝bc＝2，∴bc＝8，解：由题得S△ABC∴＝，令t＝则t＞0，上式＝＝≥2﹣＝，当且仅当2t+1＝2，即t＝，可得b＝2c，又bc＝8，解得c＝4，b＝2时，等号成立；∴的最小值为：．故选：C．求与角有关的范围，直接用角来控制，换元后用基本不等式求解，难在需要配凑能约去的分母部分.本题也可以把角化为边，用边求解，同样用换元方法也可以，此处略.例7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且B为锐角，b＝1，则△ABC面积的最大值为_______．，解： A+B+C= , ，，， 0 故B＝ .又b＝1，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac•cos B得，当且仅当a=c时，等号成立.最值与取值范围的解题方法有多种，但是对于基础比较比较差的学生来说，方法多不一定就是好的，特别对于普通历史班中，学生基础较弱，方法多了学生还难以选择，我们可以总结最适合学生解题的一种（或者两种）方法，让学生多练习一类方法，提高解题速度，所以解三角形中很多都是化成角，变为某一变量的函数去求解，需要注意定义域范围，求面积最大值就用基本不等式即可.参考文献：1.高磊.运用一题多变探究三角形中的最值与范围问题[J].数学通讯，2020年（12）；49-52.2.罗礼明.解三角形中的最值与范围问题求解策略[J].数学通讯，2020年（7）；50-56.第4页（共4页）。
人教版高中数学必修二第十一章三角形的最值(范围)问题精品课程及练习讲解(大全必学!)
例 3 在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C＝23π， c＝ 3，求△ABC 周长的inb B＝sinc C＝2，
二、与三角形的角或角的三角函数有关的范围或最值问题
求三角函数式的范围一般是先确定角的范围，利用三角函数的单调 性及有界性求范围或最值.
例2
△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝a，
3b
与 n＝(cos A，sin B)平行.
(1)求角 A 的大小；
解 ∵m＝(a， 3b)与 n＝(cos A，sin B)平行， ∴asin B－ 3bcos A＝0，∴sin Asin B＝ 3sin Bcos A， ∵sin B≠0，∴tan A＝ 3， ∵0<A<π，∴A＝π3.
π 3
＝12×2×1×sin θ＋ 43(OA2＋OB2－2OA·OB·cos θ)
＝sin θ－
3cos
θ＋5 4 3＝2sinθ－π3＋5
4
3 .
∵0<θ<π，∴－π3<θ－π3<23π，
故当 θ－π3＝π2，即 θ＝56π时，sinθ－π3取得最大值 1，
故 S 四边形 OACB 的最大值为 2＋543＝8＋45
4＋5 3
B. 4
C. 3
D. 2
解析 如图，在△ABC中， ∵b＝c，ssiinn BA＝1－cocsoAs B，
∴sin Bcos A＋cos Bsin A＝sin A，
即sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝sin A，
解三角形中的最值(范围)问题
解三角形中的最值(范围)问题解三角形中的最值问题1.锐角三角形ABC满足$2B=A+C$，设最大边与最小边之比为$m$，求$m$的取值范围。
分析：由题意可知$\angle B=60^\circ$，且$A\leq B\leqC<90^\circ$。
不妨令$m=\dfrac{c}{a}$，则有：m=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sin C}{\sin A}\leq\dfrac{\sinC}{\sin B}\leq\dfrac{\sin C}{\sin(\pi/3)}=2\sin C$$又因为$\sin A\geq\dfrac{1}{2}$，$\tanA\geq\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，所以：dfrac{1}{2}\leq\sin A\leq 1,\quad \dfrac{\sqrt{3}}{3}\leq\tan A\leq\sqrt{3}$$从而有：1\leq m=\dfrac{c}{a}\leq 2$$2.锐角三角形ABC的面积为$S$，角C既不是最大角，也不是最小角。
若$k=\dfrac{a+b}{c}$，求$k$的取值范围。
分析：由正弦定理得：dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab\cos C}{2ab}= \dfrac{\sin C}{\sinA\sin B}=\dfrac{2S}{ab\sin C}$$又因为$\cos C<1$，所以：dfrac{2S}{ab\sin C}<\dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)}{2}\cdot\dfrac{(c+a-b)}{2ab}\leq\dfrac{1}{4}$$又因为$\sin C\geq\dfrac{1}{2}$，所以：k=\dfrac{a+b}{c}\geq\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}\geq 2\sqrt{\sinA\sin B}\geq\sqrt{2\sin A}\geq\sqrt{2}\sin\dfrac{A}{2}$$ 又因为$A0$，所以$k>0$。
解三角形中的最值或范围问题
解法探究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀解三角形中的最值或范围问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李鸿媛㊀㊀摘要:解三角形的最值或范围问题是高考考查的热点内容之一,并且对解三角形的命题设计,不只局限于解三角形,而是通常利用正余弦定理㊁三角形面积公式等求解三角形的边㊁角㊁周长和面积的最值等问题．这类问题的解法主要是将边角互化转化为三角函数的最值问题,或利用基本不等式求最值．本文中对这类问题加以归类解析,以提升学生的解题能力．关键词:解三角形;最值;范围１与边有关的最值或范围问题例１㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,角B ＝π３,若a ＋c ＝４,则b 的取值范围为．解析:由a ＋c ＝４,B ＝π３,由余弦定理得b ２＝a ２＋c ２－２a c c o s B ,则b ２＝(a ＋c )２－２a c －２a c c o s π３,即b ２＝１６－３a c ．由a ＋c ȡ２a c ,得４ȡ２a c ,即０＜a c ɤ４,于是４ɤb ２＜１６,所以２ɤb ＜４．评析:本题利用已知条件结合余弦定理,借助基本不等式求三角形边的取值范围[１],渗透了逻辑推理㊁数学运算等数学核心素养．例２㊀在әA B C 中,角A ,３２B ,C 成等差数列,且әA B C 的面积为１＋２,则A C 边长的最小值是．解析:由A ,３２B ,C 成等差数列,得A ＋C ＝３B ．又A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝π４．设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则由S әA B C ＝１２a c s i n B ＝１＋２,可得a c ＝２２＋４．由余弦定理得b ２＝a ２＋c ２－２a c c o s B ,则b ２＝a ２＋c ２－２a c ．又a ２＋c ２ȡ２a c ,则b ２ȡ(２－２)a c ,即b ２ȡ(２－２)(２２＋４),所以b ȡ２(当且仅当a ＝c 时,等号成立)．故A C 边长的最小值为２．评析:本题考查了学生对等差数列的概念㊁三角形内角和定理㊁三角形面积公式㊁余弦定理等的掌握情况．解题的关键是将余弦定理与不等式相结合,进而求出三角形一边的最值．２与角有关的最值或范围问题例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若A ʂπ２,s i n C ＋s i n (B －A )＝２s i n２A ,则角A 的取值范围为．解法一:在әA B C 中,C ＝π－(A ＋B ),则s i n C ＝s i n (A ＋B ),所以s i n (A ＋B )＋s i n (B －A )＝２s i n ２A ,即２s i n B c o s A ＝２２s i n A c o s A ．又A ʂπ２,则c o s A ʂ０,所以s i n B ＝２s i n A ．由正弦定理,得b ＝２a ,则A 为锐角．又s i n B ＝２s i n A ɪ(０,１],于是可得s i n A ɪ(０,２２],故A ɪ(０,π４]．评析:解法一利用三角形内角和定理㊁两角和与差的正弦公式㊁正弦定理与三角函数的性质等知识,对学生的推理能力㊁运算能力和直观想象能力进行了考查．解法二:在әA B C 中,C ＝π－(A ＋B ),则s i n C ＝s i n (A ＋B ),所以s i n (A ＋B )＋s i n (B －A )＝２s i n ２A ,即２s i n B c o s A ＝２２s i n A c o s A ．又A ʂπ２,则c o s A ʂ０,所以s i n B ＝２s i n A ．由正弦定理,可得b ＝２a ．结合余弦定理,可以得到c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝１２b ２＋c ２２b c ȡ２１２b ２ c ２２b c ＝２２,当且仅当c ＝２２b 时,等号成立,故A ɪ(０,π４]．评析:解法二考查了三角形内角和定理㊁两角和与差的正弦公式㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等知识．这种解题方法需要学生灵活运用两个正数的和与积的关系,充分体现学生的数学运算能力和数据分析能力．３与周长有关的最值或范围问题例４㊀әA B C 为锐角三角形,角A ,B ,C 所对的４７２０２３年１２月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀边分别为a ,b ,c ,已知３３b s i n C ＋c c o s B ＝a ,且c ＝２,求әA B C 周长的最大值．解析:由３３b s i n C ＋c c o s B ＝a ,根据正弦定理,得３３s i n B s i n C ＋s i n C c o s B ＝s i n A ．由A ＝π－(B ＋C ),得s i n A ＝s i n (B ＋C )．所以３３s i n B s i n C ＋s i n C c o s B ＝s i n (B ＋C ),即３３s i n B s i n C ＝s i n B c o s C ．由s i n B ʂ０,得３３s i n C ＝c o s C ．又c o s C ʂ０,所以t a n C ＝３．而０＜C ＜π,则C ＝π３．根据正弦定理,得a ＝４３３s i n A ,b ＝４３３s i n B ,则a ＋b ＋c ＝４３３s i n A ＋４３３s i n B ＋２＝４３３s i n A ＋４３３s i n (２π３－A )＋２＝４３３(３２s i n A ＋３２c o s A )＋２＝４s i n (A ＋π６)＋２．由әA B C 为锐角三角形,可知０＜A ＜π２,０＜２π３－A ＜π２,ìîíïïïï解得π６＜A ＜π２．所以π３＜A ＋π６＜２π３．因此３２＜s i n (A ＋π６)ɤ１．故２３＋２＜４s i n (A ＋π６)＋２ɤ６．因此әA B C 周长的最大值为６．评析:这道题解题的关键是利用正弦定理将边化为角,转化为求三角函数的最值问题[２],考查了逻辑推理和数学运算等核心素养．４与面积有关的最值或范围问题例５㊀әA B C 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知２(c －a c o s B )＝３b ．(１)求角A ;(２)若a ＝２,求әA B C 面积的取值范围．解法一:(１)略．(２)由(１)知A ＝π６,又a ＝２,根据正弦定理,可得b ＝４s i n B ,c ＝４s i n C ．由C ＝π－A －B ＝５π６－B ,得s i n C ＝s i n (５π６－B )．所以,S әA B C ＝１２b c s i n A ＝１４b c ＝４s i n B s i n C ＝４s i n B s i n(５π６－B )＝４s i n B (１２c o s B ＋３２s i n B )＝２s i n B c o s B ＋２３s i n ２B ＝s i n２B －３c o s ２B ＋３＝２s i n (２B －π３)＋３．由０＜B ＜５π６,得－π３＜２B －π３＜４π３,所以可知－３２＜s i n (２B －π３)ɤ１,故０＜S әA B C ɤ２＋３,即әA B C 面积的取值范围为(０,２＋３]．解法二:(１)略．(２)由(１)知A ＝π６,a ＝２,则S әA B C ＝１４b c ．由c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝b ２＋c ２－４２b c ＝３２,可得b ２＋c ２－４＝３b c ．又b ２＋c ２ȡ２b c ,则０＜b c ɤ４２－３＝４(２＋３),所以０＜S әA B C ɤ２＋３．故әA B C 面积的取值范围为(０,２＋３]．评析:本题求解三角形面积的取值范围,解法一通过正弦定理将边转化为角,再利用三角函数的性质,求解三角形面积的取值范围．解法二先利用余弦定理,结合不等式b ２＋c ２ȡ２b c ,求解b c 的取值范围,接着利用三角形面积S әA B C ＝１２b c s i n A 求出面积的取值范围[３]．这两种解法都考查了数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养．数学这门学科需要学生具备较强的逻辑推理能力㊁运算能力㊁直观想象能力等．针对解三角形最值或范围问题,学生需要熟练掌握三角形的面积公式㊁同角三角函数的基本关系㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等知识,并能够进行综合运用．参考文献:[１]刘海涛．谈解三角形中有关求范围或最值的解题策略[J ]．数理化学习(高中版),２０２２(７):３Ｇ７．[２]张露梅．解三角形中的范围或最值问题[J ]．中学生数理化(高二数学),２０２１(１１):３５Ｇ３６．[３]玉素贞．解三角形最值问题的两种转化策略分析[J ]．考试周刊,２０２１(４９):８５Ｇ８６．Z５７。
解三角形专题九 三角形中的最值(范围)问题(解析版)
专题九 三角形中的最值(范围)问题【方法总结】三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一 三角形中与角或角的函数有关的最值(范围) 【例题选讲】[例1](2020·浙江)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A －3a ＝0． (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围．解析 (1)由正弦定理，得2sin B sin A ＝3sin A ，又在△ABC 中，sin A >0， 故sin B ＝32，由题意得B ＝π3． (2)由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝2π3－A ．由△ABC 是锐角三角形，得A ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2 ． 由cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝－12cos A ＋32sin A ，得 cos A ＋cos B ＋cos C ＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12∈⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32． 故cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32． [例2](2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac ． (1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解析 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac ，得a 2＋c 2－b 2＝2ac ．由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22．又0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4．所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4． 因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1．[例3](2014·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解析 (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ．由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ． ∵sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ．由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12．[例4]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0． (1)若b ＝7，a ＋c ＝13，求△ABC 的面积； (2)求sin 2A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6的取值范围． 解析 (1)因为(2c －a )cos B －b cos A ＝0，由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，则2sin C cos B －sin(A ＋B )＝0， 求得cos B ＝12，B ＝π3．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即49＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，求得ac ＝40，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝103．(2)sin 2A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝sin 2A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A －π6＝sin 2A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝－cos 2A ＋cos A ＋1，A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 令u ＝cos A ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ＝－u 2＋u ＋1∈⎝⎛⎦⎤14，54． 【对点训练】1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin (2)sin (2)sin a A a c B c b C =+++．(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．1．解析 (1)由已知，根据正弦定理得，2a 2＝(2a ＋c ) b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，所以A ＝2π3．(2)由(1)得，sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(π3－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(π3＋B )，故当B ＝π6时，sin B ＋sin C 取最大值1．2．已知锐角△ABC 中，b sin B －a sin A ＝(b －c )sin C ，其中a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边． (1)求角A 的大小；(2)求3cos C －sin B 的取值范围．2．解析 (1)由正弦定理得b 2－a 2＝(b －c )·c ．即b 2＋c 2－a 2＝bc ． ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12．又∵A 为三角形内角，∴A ＝π3．(2)∵B ＋C ＝23π，∴C ＝23π－B ．∵△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧0＜B ＜π2，0＜23π－B <π2.∴π6<B <π2． 又∵3cos C －sin B ＝3cos ⎝⎛⎭⎫23π－B －sin B ＝－32cos B ＋12sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫B －π3， ∵π6<B <π2，∴－π6<B －π3<π6．∴－12<sin ⎝⎛⎭⎫B －π3<12．即3cos C －sin B 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，12． 3．(2016山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2) 求cos C 的最小值．3．解析 由题意知，2(sin A cos A ＋sin B cos B )＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ， 由正弦定理得，a ＋b ＝2c ．(2)由(1)知2a b c +=，所以2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立．故cos C 的最小值为12． 4．(2015湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围． 4．解析 (1)由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ． 因为B 为钝角，所以A 为锐角，所以π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2． (2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4． 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98． 因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98≤98． 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98．考点二 三角形中与边或周长有关的最值(范围) 【例题选讲】[例1]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ． (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值． 解析 (1)由b 2＋c 2－a 2＝bc及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3．(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴BM ＝CM ＝32，∴在△ABM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMB ＝c 2，① 在△ACM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMC ＝b 2，②又∠AMB ＝π－∠AMC ，∴cos ∠AMB ＝－cos ∠AMC ，即cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0， 则①＋②整理得AM 2＝b 2＋c 22－34．又a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2－3＝bc ≤b 2＋c 22， ∴b 2＋c 2≤6，∴AM 2＝b 2＋c 22－34≤94，即AM ≤32，∴BC 边上的中线AM 的最大值为32． [例2] (2020·全国Ⅱ)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ． (1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．解析 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ．① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．② 由①②得cos A ＝－12．因为0<A <π，所以A ＝2π3．(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A＝23，从而AC ＝23sin B ， AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B ．故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3． 又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋23．[例3]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin ⎣⎡⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ． (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．解析 (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2C －14sin 2C ，化简得sin A ＝±32， 因为A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝32，故A ＝π3或2π3． (2)因为b ≥a ，所以A ＝π3．由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6． 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，则π6≤B －π6<π2，所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈[3，23)． [例4]在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足cos2A －cos2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B ·cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0．(1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围．解析 (1)由cos2A －cos2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0， 得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝⎛⎭⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0，化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3． (2)∵b ＝3≤a ，∴c ≥a ，∴π3≤C <π2，π6<B ≤π3，∴12<sin B ≤32．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 32＝3sin B，∴a ＝32sin B ，由sin B ∈⎝⎛⎦⎤12，32得a ∈[3，3)．[例5]在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM →＝MC →． (1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围．解析 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，代入数据，得cos C ＝－12．∵AM →＝MC →，∴CM ＝MA ＝12AC ＝1．在△CBM 中，由余弦定理知：BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7，所以BM ＝7． (2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3． 在△BDM 中，由正弦定理知：BD sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273．∴BD ＝273sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ，MD ＝273sin θ，∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴cos θ∈⎝⎛⎭⎫12，1．故BD ＋12MD 的取值范围是⎝⎛⎭⎫72，7． 【对点训练】1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ．(1)判断△ABC 的形状并加以证明； (2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值．1．解析 (1)因为1－cos A 2＝12－b 2c ，即cos A ＝bc ，所以b ＝c cos A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋a 2，所以△ABC 为直角三角形．(2)因为c 为直角△ABC 的斜边，当c ＝1时，周长L ＝1＋sin A ＋cos A ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4． 因为0<A <π2，所以22<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤1，所以当sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1， 即A ＝π4时，周长L 最大，且最大值为1＋2．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝3，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋ b 2－c 2)．(1)求角C 的大小； (2)求a ＋b 的最大值．2．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34×2ab cos C ，所以tan C ＝3，因为0<C <π，所以C ＝π3．(2)由(1)知2R ＝c sin C ＝3sin π3＝2．所以a ＋b ＝2R sin A ＋2R sin B ＝2(sin A ＋sin B )＝2⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝2⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝2⎝⎛⎭⎫sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤23⎝⎛⎭⎫0<A <2π3， 当A ＝π3，即△ABC 为等边三角形时取等号．所以a ＋b 的最大值为23．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C sin C －a －c ＝0 (1)求B ；(2)若b 2a ＋c 的取值范围．3．解析 (1)由正弦定理知，sin B cos C B sin C －sin A －sin C ＝0，∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，B sin C －cos B sin C －sin C ＝0，∵sin C ≠0，B －cos B －1＝0，即sin(B －π6)＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3．(2)由(1)得，2R ＝bsin B＝2，2a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝5sin A ＋3cos A ＝27sin(A ＋φ)，其中， sin φ＝327，cos φ＝527，因为0<A <2π3，所以3<27sin(A ＋φ) <27．所以3<2a ＋c <27．4．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ． (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．4．解析 (1)由题意知1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又∵0<C <π，∴C ＝2π3．(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长为L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2⎣⎡⎦⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3． ∵0<A <π3，∴π3＜A ＋π3＜2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3≤1，∴23<2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＋3≤2＋3， ∴△ABC 周长的取值范围是(23，2＋3]．5．如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°． (1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围．5．解析 (1)由已知，易得∠ACB ＝45°，在△ABC 中，10sin 45°＝BCsin 60°，解得BC ＝56． 因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10． 在△BCD 中，CD ＝BC 2＋DB 2－2BC ·DB cos 45°＝510－43．(2)AC ＋AB >BC ＝10，由cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC ，得(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC ，而AB ·AC ≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22，所以(AB ＋AC )2－1003≤⎝⎛⎭⎫AB ＋AC 22，解得AB ＋AC ≤20， 故AB ＋AC 的取值范围为(10，20]． 考点三 三角形中与面积有关的最值(范围) 【例题选讲】[例1]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝2． (1)求△ABC 的面积的最大值； (2)求△ABC 的周长的取值范围．解析 (1)法一：由余弦定理得4＝a 2＋b 2＋ab ．由基本不等式得4＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab ， 所以ab ≤43，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以三角形的面积S ＝12ab sin C ≤12×43×32＝33． 所以△ABC 的面积的最大值为33．法二：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝433，得a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．所以三角形的面积S ＝12ab sin C ＝12×⎝⎛⎭⎫4332×sin A sin B ×32＝433sin A sin B ．因为在△ABC 中，C ＝120°，所以A ＋B ＝60°，得B ＝60°－A ，且0°<A <60°， 所以sin A sin B ＝sin A sin(60°－A )＝32sin A cos A －12sin 2A ＝34sin 2A －14(1－cos 2A ) ＝34sin 2A ＋14cos 2A －14＝12sin(2A ＋30°)－14≤12－14＝14，当且仅当A ＝30°时等号成立． 所以S ≤433×14＝33，所以△ABC 的面积的最大值为33．(2)由(1)中法二可知，a ＝433sin A ，b ＝433sin B ．所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝433(sin A ＋sin B )＋2．因为在△ABC 中，C ＝120°，所以A ＋B ＝60°，得B ＝60°－A ，且0°<A <60°， 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(60°－A )＝12sin A ＋32cos A ＝sin(A ＋60°)，所以l ＝433sin(A ＋60°)＋2．因为60°<A ＋60°<120°，所以32<sin(A ＋60°)≤1，所以4<l ≤433＋2，即△ABC 的周长的取值范围是⎝⎛⎦⎤4，433＋2． [例2]已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足：sin A －sin B ＋sin C sin C ＝sin Bsin A ＋sin B －sin C ．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．解析 (1)设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据sin A －sin B ＋sin C sin C ＝sin Bsin A ＋sin B －sin C ，可得a －b ＋c c ＝b a ＋b －c ，化简得a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又因为0<A <π，所以A ＝π3．(2)由正弦定理得a sin A ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，所以a ＝2R sin A ＝2sin π3＝3，所以3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334(当且仅当b ＝c 时取等号)．[例3]已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ． (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解析 (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc ． ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12．又A ∈(0，π)，所以A ＝23π．(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )． 故当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值3．[例4](2019·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A ． (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解析 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2．因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°．(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34a ．由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°．结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC <32．因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32． [例5]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C ． (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解析 (1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得 (1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ，所以－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ，化简，得sin 2B ＝sin A sin C ． 由正弦定理，得b 2＝ac ，所以a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝b 2＝4，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c ＝2时，等号成立．因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－⎝⎛⎭⎫122＝32，所以S △ABC＝12ac sin B ≤12×4×32＝3． 所以△ABC 的面积的最大值为3． 【对点训练】1．设在△ABC 中，cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． (1)求角B 的大小；(2)若a 2＋4c 2＝8，求△ABC 的面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值． 1．解析 (1)∵cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ， ∴cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝sin A sin B －3sin A ·cos B ＝0， ∵sin A ≠0，∴tan B ＝3，则B ＝π3．(2)∵a ，c >0，a 2＋4c 2＝8，a 2＋4c 2≥4ac ，故ac ≤2，当且仅当a ＝2，c ＝1时等号成立， ∴S ＝12ac sin B ≤12×2×32＝32，∴△ABC 的面积S 的最大值为32，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，得b ＝3．2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B ) ＝0．(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．2．解析 (1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0， 即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin C c ＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4．(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14．所以△ABC 面积的最大值为2＋14．3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C ．(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．3．解析 (1)由题意及正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22abc ＋a 2＋b 2－c 22abc ＝3a 3c ，整理得2a 22abc ＝3a3c ，所以b ＝3．(2)由题意得cos B ＋3sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)，所以B ＋π6＝π2，所以B ＝π3．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， 即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤334，当且仅当a ＝c ＝3时等号成立．故△ABC 面积的最大值为334．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b ＋c ＝a cos C ＋3a sin C ． (1)求A ；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．4．解 (1)由条件及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ，因为B ＝π－(A ＋C )， 所以3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以A ＝π3． (2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3，从而C ＝2π3－B ，0<B <2π3，由正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝4sin π3＝83，所以b ＝83sin B ，c ＝83sin C ．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×83sin B ×83sin C ×sin π3＝1633·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1633·sin B ·⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ＝4sin 2B －433cos 2B ＋433＝833sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋433． 因为－π6<2B －π6<7π6，所以当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为43．法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝4，由余弦定理得16＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝16，因为b 2＋c 2≥2bc ，所以2bc －bc ≤16，即bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时取等号． 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×16＝43，所以S △ABC 的最大值为43．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －C 2－sin B sin C ＝2－24． (1)求角A ；(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．5．解析 (1)由cos 2B －C 2－sin B sin C ＝2－24，得cos B －C 2－sin B sin C ＝－24， ∴cos(B ＋C )＝－22，∴cos A ＝22(0<A <π)，∴A ＝π4． (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)． 6．如图，已知D 是△ABC 的边BC 上一点．(1)若cos ∠ADC ＝－210，∠B ＝π4，且AB ＝DC ＝7，求AC 的长； (2)若∠B ＝π6，AC ＝25，求△ABC 面积的最大值．6．解析 (1)因为cos ∠ADC ＝－210，所以cos ∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos ∠ADC ＝210， 所以sin ∠ADB ＝7210．在△ABD 中，由正弦定理，得AD ＝AB ·sin ∠B sin ∠ADB ＝7×227210＝5， 所以在△ACD 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝52＋72－2×5×7×⎝⎛⎭⎫－210＝74＋72． (2)在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝20＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠B ＝AB 2＋BC 2－3AB ·BC ≥(2－3)AB ·BC ，所以AB ·BC ≤202－3＝40＋203，所以S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠B ≤10＋53， 所以△ABC 面积的最大值为10＋53． 7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列．(1)若1123tan tan A C +=，求角B 的值； (2)若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．7．解析 (1)11cos cos sin()23tan tan sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=+=， 又∵a ，b ，c 成等比数列，得2b ac =，由正弦定理有2sin sin sin B A C =，∵A C B π+=-，∴sin()sin A C B +=，得2sin sin B B 即sin B ， 由2b ac =知，不是最大边，∴3B π=．(2)∵ABC ∆外接圆的面积为4π，∴ABC ∆的外接圆的半径2R =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222cos 2a c b B ac+-=，又2b ac =， ∴1cos 2B ≥．当且仅当a c =时取等号，又∵B 为ABC ∆的内角，∴03B π<≤， 由正弦定理2sin b R B=，得4sin b B =． ∴ABC ∆的面积2311sin sin 8sin 22ABC S ac B b B B ∆===，∵03B π<≤，∴0sin B <≤，∴(0,ABC S ∆∈． 8．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin3A ＋3．(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．8．解析 (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ．①∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ．②又sin 2A ＝2sin A cos A ，③将①②③代入已知等式，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3，整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝32， 又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3． (2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形， ∴2π3－B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，解得B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2， 在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C ，∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B sin B ＝3tan B＋1， 又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1，4)， ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝⎛⎭⎫32，23．故△ABC 面积的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，23．。
解三角形中的范围与最值问题(解析版)1
解三角形中的范围与最值问题目录01方法技巧与总结02题型归纳与总结题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度和差比问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题与斯库顿定理题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆(阿波罗尼斯圆)问题题型十一：两边逼近思想题型十二：转化为正切有关的最值问题题型十三：最大角(米勒问题)问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理03过关测试1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围．题型一：周长问题1(2024·全国·二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a cos A=b cos C+c cos B，且a=4sin A，则△ABC周长的最大值为()A.42B.62C.43D.63【答案】D【解析】因为2a cos A=b cos C+c cos B，由正弦定理得2sin A cos A=sin B cos C+sin C cos B=sin B+C=sin A，因为sin A≠0，所以cos A=12，由于A∈0,π，故A=π3，则a=4sinπ3=23，由正弦定理得asin A=bsin B=csin C=4，故b +c =4sin B +4sin C =4sin B +4sin B +π3 =4sin B +2sin B +23cos B =43sin B +π6 ，又B ∈0,2π3 ，则B +π6∈π6,5π6，所以sin B +π6 ∈12,1 ，则b +c ∈23,43 ，故△ABC 周长a +b +c 的最大值为63.故选：D .2(2024·广西河池·模拟预测)已知△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos A =a cos B +b cos A .(1)求角A ；(2)若a =3，求△ABC 的周长的最大值，并求出此时角B ，角C 的大小.【解析】(1)由2c cos A =a cos B +b cos A ，则有2sin C cos A =sin A cos B +sin B cos A ，即2sin C cos A =sin A cos B +sin B cos A =sin A +B =sin C ，由C ∈0,π ，故sin C >0，则有2cos A =1，即cos A =12，即A =π3；(2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得3=b 2+c 2-bc ，则3=b +c 2-3bc ，故b +c 2-3=3bc ≤3⋅b +c 2 2，当且仅当b =c 时，等号成立，即b +c 2≤12，即b +c ≤23，即△ABC 的周长的最大值为33，此时a =b =c =3，即B =C =π3.3(2024·江西南昌·三模)在锐角△ABC 中，a =23，(2b -c )cos A =a cos C ，(1)求角A ；(2)求△ABC 的周长l 的范围.【解析】(1)∵(2b -c )cos A =a cos C ，∴2b cos A =a cos C +c cos A ，所以2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A ，所以2sin B cos A =sin (A +C )=sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A =12，∵A ∈0,π2 ，所以A =π3.(2)∵a sin A =2332=4，所以b sin B =c sin C =4,所以b =4sin B ，c =4sin C =4sin 2π3-B ，所以l=a+b+c=23+4sin B+4sin2π3-B=23+43sin B+π6,因为△ABC是锐角三角形，且A=π3，所以0<B<π20<2π3-B<π2，解得π6<B<π2，所以B+π6∈π3,2π3，所以sin B+π6∈32,1，所以l∈(6+23,63].4(2024·广东广州·一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a=2，a cos B= 2c-bcos A．(1)求角A的大小；(2)求△ABC周长的范围．【解析】(1)由余弦定理，a⋅a2+c2-b22ac=(2c-b)⋅c2+b2-a22bc，化简得b2+c2-a2=bc，所以cos A=c2+b2-a22bc=12，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由正弦定理：bsin B =csin C=asin A=232=433，则b=433sin B，c=433sin C，由(1)B+C=2π3，故a+b+c=2+433sin B+sin C=2+433sin B+sin2π3-B=2+433sin B+32cos B+12sin B=2+43332cos B+32sin B=2+4sin B+π6因为0<B<2π3⇒π6<B+π6<5π6，则12<sin B+π6≤1，所以4<a+b+c≤6，即周长范围是4,6．5(2024·贵州贵阳·模拟预测)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2a cos B+b cos A=abc．(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．【解析】(1)在△ABC中，由射影定理得a cos B+b cos A=c，则题述条件化简为a2+b2-c2=ab，由余弦定理得a2+b2-c2=2ab cos C．可得cos C=12,C∈0,π,所以C=π3.(2)在△ABC中，由正弦定理得asin A=bsin B=csin C=2sinπ3=433，则△ABC周长C△ABC=a+b+2=2+433(sin A+sin B)=2+433sin A+sin2π3-A，因为sin A+sin2π3-A=3sin A+π6，则C△ABC=2+4sin A+π6，因为△ABC为锐角三角形，A+B=2π3，则得A∈π6,π2,A+π6∈π3,2π3，故sin A+π6∈32,1,C△ABC∈(2+23,6]．题型二：面积问题1(2024·四川德阳·模拟预测)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin C=c3cos B2，b=3.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积范围.【解析】(1)因为sin C=c3cos B2，b=3，所以sin B sin C=sin C cos B 2，因为sin C≠0，所以sin B=cos B2，则2sinB2cos B2=cos B2，因为cos B2≠0，所以sin B2=12，又B2∈0,π2，则B2=π6，所以B=π3.公众号：慧博高中数学最新试题(2)设△ABC的外接圆半径为R，则2R=bsin B=23，所以S△ABC=12ac sin B=122R sin A2R sin C sin B=33sin A sin2π3-A，=33sin A 32cos A +12sin A，=92sin A cos A +332sin 2A =94sin2A +332⋅1-cos2A 2，=94sin2A -334cos2A +334，=332sin 2A -π6 +334，因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π20<2π3-A <π2 ，解得π6<A <π2，则π6<2A -π6<5π6，则12<sin 2A -π6≤1，所以332<S △ABC ≤934，所以△ABC 的面积范围332,934.2(2024·全国·模拟预测)已知在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m =2sin x ,3 ，n =cos x ,cos2x ，f x =m ⋅n，f B +C =0．(1)求角A 的值；(2)若b =1，求△ABC 面积的范围．【解析】(1)∵m =2sin x ,3 ，n =cos x ,cos2x ，f x =m ⋅n ，∴f x =2sin x cos x +3cos2x=sin2x +3cos2x =2sin 2x +π3 ．又f B +C =0，∴sin 2B +C+π3=0．又△ABC 为锐角三角形，∴2B +C +π3=2π或π∴B +C =5π6或π3(舍去)，∴A =π6．(2)由正弦定理知a sin A=b sin B =c sin C ，又∵b =1，A =π6，∴a =12sin B ，∴S =12ab sin C =sin π6+B 4sin B=38+18⋅cos B sin B =38+18⋅1tan B ．B ∈0,π2 56π-B ∈0,π2故得到：π3<B <π2，∴38<S <36，∴△ABC 面积的范围为38,363(2024·四川攀枝花·三模)已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c其面积为S,且(b+c2-a2=43S.(Ⅰ)求角A；(II)若a=3,b=m(m>0),当ΔABC有且只有一解时,求实数m的范围及S的最大值.【解析】分析：(Ⅰ)利用余弦定理和三角形的面积公式化简(b+c)2-a2=43S得到sin A - π6=12,再解这个三角方程即得A的值.(II)先根据ΔABC有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围m∈0,3∪2 ，再写出S的函数表达式求其最大值.(Ⅰ)由已知b2+c2-a2+2bc=23bc sin A由余弦定理得2bc cos A+2bc=23bc sin A，所以cos A+1=3sin A，即sin A-π6=12,∵A∈0，π，∴A-π6∈-π6，5π6，A-π6=π6，所以A=π3.(Ⅱ)由已知，当ΔABC有且只有一解时，m sinπ3=3或0<m≤3,所以m∈0,3∪2 ；(i)当m=2时，ΔABC为直角三角形，S=12•1•3=32(ii)当0<m≤3时，由正弦定理msin B=3sinπ3⇒m=2sin B，S=12•3sin B•sin C=3sin B•sin2π3-B=32sin B cos B+32sin2B=32sin B cos B+32sin2B+32•1-cos2B2=32sin2B-π6+34∵0<B≤π3,∴π6<2B-π6≤π2，所以，当B=π3时，S max=334>32综上所述，S max=33 4.4(2024·陕西安康·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AC=BD=10，当四边形ABCD的面积最大时，BC2+CD2+DA2的最小值为.【答案】700-4002【解析】如图，设AC∩BD=O,∠AOD=θ,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△BCD=12BD×AO sinθ+12BD×CO sinθ=12BD×AC sinθ=50sinθ，因0<θ<π，故当且仅当sinθ=1，即θ=π2时，S max=50.当θ=π2时，设AO=x,OB=y，则CO=10-x,OD=10-y,于是BC2+CD2+DA2=y2+(10-x)2+(10-y)2+(10-x)2+x2+(10-y)2=3(x2+y2)-40(x+y)+ 400，因AO2+BO2=100,即x2+y2=100,由(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=200，则有x+y≤102，当且仅当x=y=52时取等号，即当x=y=52时，BC2+CD2+DA2的最小值为300-40×102+400=700-4002.故答案为：700-4002.5(2024·陕西西安·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，6cos B=3c -b cos A ，则△ABC 面积的最大值为.【答案】322/322【解析】因为a =6，6cos B =3c -b cos A ，所以6cos B =a cos B =3c -b cos A ，由正弦定理可得sin A cos B =3sin C cos A -sin B cos A ，即sin A +B =3sin C cos A ，sin C =3sin C cos A ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，故cos A =13，由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得6 2=b 2+c 2-23bc ，所以6=b 2+c 2-23bc ≥2bc -23bc ，即bc ≤92，当且仅当b =c =322时取等号，由cos A =13，A ∈0,π ，得sin A =223，所以S △ABC =12bc sin A =12×223bc ≤23×92=322.故答案为：322.题型三：长度和差比问题1(2024·广东深圳·模拟预测)已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3c +b sin A =3a cos B ．(1)求角A 的大小；(2)若D 是边BC 上一点，且AD 是角A 的角平分线，求BC AD的最小值．【解析】(1)由题意知△ABC 中，3c +b sin A =3a cos B ，故3sin C +sin B sin A =3sin A cos B即3sin (A +B )+sin B sin A =3sin A cos B ，即3(sin A cos B +cos A sin B )+sin B sin A =3sin A cos B ，所以3cos A sin B +sin B sin A =0，而B ∈0,π ，故sin B ≠0，故3cos A +sin A =0，即tan A =-3，又A ∈0,π ，故A =2π3；(2)由余弦定理：BC =b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2+bc ，又S △ABD +S △ACD =S △ABC ，公众号：慧博高中数学最新试题所以12c ⋅AD sin60°+12 b ⋅AD sin60°=12bc sin120°，所以AD =bc b +c，所以BC AD =b 2+c 2+bcbcb +c ≥2bc +bcbc b +c =3⋅b +c bc ≥3⋅2bc bc=23，当且仅当b=c时，取等号，则BCAD的最小值为23.2(2024·山西运城·模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求证：sin(A-B)sin A+sin B =a-bc；(2)若△ABC是锐角三角形，A-B=π3,a-b=2，求c的范围.【解析】(1)由两角差的正弦公式，可得sin(A-B)sin A+sin B=sin A cos B-cos A sin Bsin A+sin B，又由正弦定理和余弦定理，可得sin A cos B-cos A sin B sin A+sin B =a⋅a2+c2-b22ac-b⋅b2+c2-a22bca+b=2a2-2b2 2c(a+b)=(a+b)(a-b)c(a+b)=a-bc，所以sin(A-B)sin A+sin B=a-bc(2)由(1)知c=(a-b)(sin A+sin B)sin(A-B)=43(sin A+sin B)=43sin B+π3+sin B=4332sin B+32cos B=432sin B+12cos B=4sin B+π6因为△ABC是锐角三角形，所以A=B+π3<π2，可得0<B<π6，又由A+B>π2，可得B+π3+B>π2，所以B>π12，所以π4<B+π6<π3，所以22<sin B+π6<32，可得22<c<23，符合c>a-b=2.所以实数c的取值范围是(22,23).3(2024·山东潍坊·一模)在①tan A tan C-3tan A=1+3tan C；②2c-3acos B= 3b cos A；③a-3csin A+c sin C=b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.【解析】(1)若选①：整理得1-tan A tan C=-3tan A+tan C，因为A+B+C=π，所以tan B=-tan A+C=-tan A+tan C1-tan A tan C=33，因为B∈0,π，所以B=π6；若选②：因为2c-3acos B=3b cos A，由正弦定理得2sin C-3sin Acos B=3sin B cos A，所以2sin C cos B =3sin A +B =3sin C ,sin C >0，所以cos B =32，因为B ∈0,π ，所以B =π6；若选③：由正弦定理整理得a 2+c 2-b 2=3ac ，所以a 2+c 2-b 22ac =32，即cos B =32，因为B ∈0,π ，所以B =π6；(2)将c =b +1代入正弦定理b sin B =c sin C ，得b sin B =b +1sin C，所以sin C =b +12b ，因为B =π6，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以12<sin C <1，即12<b +12b <1，又b >0，所以b <b +1<2b ，解得b >1.4在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =23，2c -a sin C =b 2+c 2-a 2sin Bb(1)求角B ﹔(2)求2a -c 的范围．【解析】(1)2c -a sin C =b 2+c 2-a 2sin Bb⇒2c -a c =b 2+c 2-a 2⇒c 2+a 2-b 2=ac ，又cos B =a 2+c 2-b 22ac ，所以cos B =12，因为B ∈0,π ，所以B =π3.(2)在△ABC 中，由(1)及b =23，得b sin B =a sin A=c sin C =2332=4，故a =4sin A ,c =4sin C ，2a -c =8sin A -4sin C =8sin A -4sin 2π3-A =8sin A -23cos A -2sin A=6sin A -23cos A =43sin A -π6，因为0<A <2π3，则-π6<A -π6<π2，-12<sin A -π6 <1,-23<43sin A -π6<43﹒所以2a -c 的范围为-23,43 .5(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B2．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A=bsin B ，可得a sin B =b sin A 又由b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2知2a sin B 2cos B 2=b ⋅2cos 2π12-A 2-1 ，即a sin B =b cos π6-A，得b sin A =b cos π6-A ，得sin A =cos π6-A =32cos A +12sin A ，得12sin A =32cos A ，所以tan A =3；又因为A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由BP =PC ，得AP =12AB +12AC ，所以AP 2=12AB +12AC 2=14AB 2+14AC 2+12AB ⋅AC=14c 2+14b 2+12bc cos A =14c 2+14b 2+14bc =14b +c 2-bc ≥14b +c 2-b +c 2 2 =316b +c 2=34，当且仅当b =c b +c =2，即b =c =1时等号成立，故AP 的最小值为32．6(2024·安徽亳州·高三统考期末)在锐角ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin C=c cos A -π6.(1)求角A 的大小；(2)设H 为ΔABC 的垂心，且AH =1，求BH +CH 的范围.【解析】(1)由a sin C =c cos A -π6，结合正弦定理得sin A =cos A -π6，整理得sin A -π3 =0，又A 为锐角，故A =π3.(2)由ΔABC 是锐角三角形，则垂心H 必在ΔABC 内部，不妨设∠BAH =α，则α∈0,π3.公众号：慧博高中数学最新试题由H 为ΔABC 的垂心，则∠ABH =∠ACH =π6.在ΔABH 中使用正弦定理得，AH sin ∠ABH =BHsin ∠BAH ，整理得：BH =2sin α.同理在ΔACH 中使用正弦定理得，CH =2sin π3-α .BH +CH =2sin α+2sin π3-α =2sin π3+α ，结合α∈0,π3可得BH +CH ∈3,2 .题型四：转化为角范围问题1在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.(1)求A；(2)求cos B-cos C的取值范围.【解析】(1)因为a+bsin A-sin B=c-bsin C，所以a+ba-b=c-bc，即a2=b2+c2-bc.因为a2=b2+c2-2b cos A，所以cos A=1 2.因为A∈0,π2，所以A=π3.(2)由(1)知cos B-cos C=cos B-cos2π3-B=cos B+12cos B-32sin B=32cos B-32sin B=3cos B+π6.因为0<2π3-B<π20<B<π2，所以π6<B<π2，因为π3<B+π6<2π3，所以cos B+π6∈-12,12，所以cos B-cos C∈-32,32，即cos B-cos C的取值范围是-32,32.2已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-b=c cos B-cos A．(1)判断△ABC的形状并给出证明；(2)若a≠b，求sin A+sin B+sin C的取值范围．【解析】(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由a-b=c cos B-cos A及正弦定理得，sin A-sin B=sin C cos B-cos A，即sin B+C-sin A+C=sin C cos B-cos A，即sin B cos C+cos B sin C-sin A cos C-cos A sin C=sin C cos B-sin C cos A，整理得sin B cos C-sin A cos C=0，所以cos C sin B-sin A=0，故sin A=sin B或cos C=0，公众号：慧博高中数学最新试题又A、B、C为△ABC的内角，所以a=b或C=π2，因此△ABC为等腰三角形或直角三角形．(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形，且A+B=π2，C=π2故B=π2-A，且A≠π4，所以sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+1=sin A+cos A+1=2sin A+π4+1，因为A ∈0,π4 ∪π4,π2 ，故A +π4∈π4,π2 ∪π2,3π4，得sin A +π4 ∈22,1，所以2sin A +π4 +1∈2,2+1 ，因此sin A +sin B +sin C 的取值范围为2,2+1 ．3(2024·山西·模拟预测)钝角△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B =c sin A ，则sin A +2sin B 的最大值是.【答案】54【解析】因为a cos B =c sin A ，由正弦定理得sin A cos B =sin C sin A ，又因为A ∈(0,π)，可得sin A ≠0，所以sin C =cos B ，则C =π2-B 或C =π2+B .当C =π2-B 时，可得A =π2，与△ABC 是钝角三角形矛盾，所以C =π2+B ，由0<A <π20<B <π2A +B +C =π，则A =π2-2B >0，可得0<B <π4，所以sin A +2sin B =sin B +C +2sin B =cos2B +2sin B =-2sin 2B +2sin B +1=-2sin B -242+54，所以当sin B =24时，sin A +2sin B 的最大值为54.故答案为：54.4在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a =1,b =2.(1)若∠B =π4，求角A 的大小；(2)求cos A cos A +π6的取值范围.【解析】(1)由正弦定理得：sin A =a sin B b=12，∵0<A <π，∴A =π6或5π6，当A =5π6时，此时A +B >π，所以A =5π6舍去，所以A =π6.(2)cos A cos A +π6 =cos A 32cos A -12sin A =341+cos2A -14sin2A =34+1232cos2A -12sin2A=-12sin 2A -π3 +34(或者用积化和差公式一步得到12cos 2A +π6 +34)∵a <b ，∴A <B ，所以A 为锐角，又sin A =a sin B b≤22，所以A ∈0,π4 ，所以2A -π3∈-π3,π6，所以sin 2A -π3 ∈-32,12，所以cos A cos A +π6 ∈3-14,32.题型五：倍角问题1(多选题)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b +2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为π6,π3C.ab的取值范围为(2,3)D.1tan B -1tan A+2sin A 的取值范围为533,3 【答案】ACD【解析】因为c =b +2b cos A ，所以由正弦定理得sin C =sin B +2sin B cos A ，又因为sin C =sin (A +B )，所以sin A +B =sin B +2sin B cos A ，即sin A cos B +sin B cos A =sin B +2sin B cos A ，整理得sin A cos B -sin B cos A =sin B ，即sin (A -B )=sin B对于A 项，因为A 、B 、C 均为锐角，所以A -B =B ，即A =2B ，故A 项正确；对于B 项，因为A =2B ，A +B +C =π，所以C =π-3B ，因为A 、B 、C 均为锐角，所以0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<2B <π20<B <π20<π-3B <π2，解得π6<B <π4，所以B 的取值范围为π6,π4，故B 项错误．对于C 项，由正弦定理得a b=sin A sin B =sin2B sin B =2cos B ，B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32，所以ab=2cos B ∈(2,3)．故C 项正确．对于D 项，由A 项知，A =2B ，由B 项知，π6<B <π4，所以π3<A <π2，所以1tan B -1tan A +2sin A =tan A -tan B tan B tan A +2sin A =sin A cos B -sin B cos Asin B sin A+2sin A =sin A -B sin B sin A +2sin A =sin B sin B sin A +2sin A =1sin A +2sin A ，A ∈π3,π2 ，令t =sin A ，则t ∈32,1，所以1tan B -1tan A+2sin A =1t +2t ，t ∈32,1 ，令h (t )=1t +2t ，t ∈32,1 ，则h(t )=-1t 2+2=2t 2-1t 2>0，所以h (t )在32,1 上单调递增，又h 32=533，h (1)=3，所以h (t )∈533,3 ，即1tan B -1tan A +2sin A 范围为533,3 ，故D 项正确.故选：ACD .2(多选题)(2024·河北·三模)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A =2B ，则()A.a 2=c b +cB.b c +a 2b 2的最小值为3C.若△ABC 为锐角三角形，则cb∈1,2 D.若a =26，b =3，则c =5【答案】BCD【解析】由A =2B ，得sin A =sin2B =2sin B cos B ，由正弦定理得a =2b cos B ，由余弦定理得a =2b ⋅a 2+c 2-b 22ac，则c -b a 2-b 2-bc =0，当b ≠c 时，a 2-b 2-bc =0，即a 2=b b +c ，当b =c 时，B =C ，又A =2B ，所以A =90°,B =C =45°，所以a =2b ，所以a 2-b 2-bc =2b 2-b 2-b ⋅b =0，所以a 2=b b +c ，故选项A 错误；由a 2=b b +c ，则b c +a 2b 2=b c +b 2+bc b2=b c +c b +1≥3，当且仅当b =c 时，故选项B 正确；在△ABC 中，sin B ≠0，由正弦定理，c b =sin C sin B =sin 2B +B sin B =sin2B cos B +cos2B sin B sin B =2sin B cos 2B +2cos 2B -1 sin Bsin B =4cos 2B -1，若△ABC 为锐角三角形，又A =2B ，则B ∈0,π4 ,C =π-3B <π2，故B >π6，所以B ∈π6,π4，所以cos B ∈22,32，则cos 2B ∈12,34 ，所以4cos 2B -1∈1,2 ，故选项C 正确；公众号：慧博高中数学最新试题在△ABC 中，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C ，又A =2B ，a =26，b =3，得3sin B =26sin2B =262sin B cos B，则cos B =63由余弦定理，b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，得9=24+c 2-2×26×63c ，整理得c2-8c+15=0，解得c=5，或c=3，当c=3时，有C=B，又A=2B，所以B=C=45°,A=90°，因为b2+c2≠a2，则c=3不成立，故选项D正确.故选：BCD .3(2024·江西九江·一模)锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B，则ABAC的范围是()A.(0,2)B.(2,2)C.(2,3)D.(3,2)【答案】C【解析】由正弦定理得ABAC=cb=sin Csin B=sin2Bsin B=2sin B cos Bsin B=2cos B，由于三角形ABC为锐角三角形，故0<B<π20<C=2B<π2π2<B+C=3B<π，所以π6<B<π4，所以2cos B∈2,3.故选C.4在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2=b2+bc，则cb+2cos2B的最小值为.【答案】42-1/-1+42【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A，又a2=b2+bc，所以b2+bc=b2+c2-2bc cos A，即bc=c2-2bc cos A，所以b=c-2b cos A，由正弦定理得sin B=sin C-2sin B cos A，即sin B=sin A+B-2sin B cos A=sin A cos B-cos A sin B=sin A-B，因为A,B∈0,π，所以A-B∈-π,π，所以B=A-B或B+A-B=π(舍去)，所以A=2B，c b +2cos2B=sin Csin B+2cos2B=sin A+Bsin B+2cos2B=sin3Bsin B +2cos2B=sin B cos2B+cos B sin2Bsin B+2cos2B=cos2B-sin2B+2cos2B sin Bsin B +2 cos2B=4cos2B+2cos2B -1≥24cos2B⋅2cos2B-1=42-1，当且仅当4cos2B=2cos2B，即cos2B=22时取等号，所以c b +2cos 2B的最小值为42-1.故答案为：42-1.题型六：角平分线问题与斯库顿定理1△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a sin A =b sin C cos A +c sin A cos B .(1)求sin Asin C的值；(2)若BD 是∠ABC 的角平分线.(i )证明：BD 2=BA ·BC -DA ·DC ；(ii )若a =1，求BD ⋅AC 的最大值.【解析】(1)因为△ABC 中，4a sin A =b sin C cos A +c sin A cos B ，故4sin 2A =sin B sin C cos A +sin C sin A cos B =sin C (sin B cos A +sin A cos B )=sin C sin A +B =sin 2C ，因为A ,C ∈(0,π),∴sin A ,sin C >0，故sin A sin C =12；(2)(i )证明：△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD =ABsin ∠ADB ①，又AB 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB ②，同理在△BCD 中，CD sin ∠CBD =BCsin ∠CDB ③，BC 2=CD 2+BD 2-2CD ⋅BD ⋅cos ∠CDB ④，BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD =∠CBD ，则sin ∠ABD =sin ∠CBD ，公众号：慧博高中数学最新试题又∠ADB +∠CDB =π，故sin ∠ADB =sin ∠CDB ,cos ∠ADB +cos ∠CDB =0，故①÷③得AD CD =AB BC ⑤，即AD AC =AB AB +BC ,∴CD AC =BC AB +BC，由CD ×②+AD ×④得，CD ⋅AB 2+AD ⋅BC 2=CD ⋅AD AD +CD +CD +AD ⋅BD 2=CD ⋅AD ⋅AC +AC ⋅BD 2，则BD 2=CD ⋅AB 2+AD ⋅BC 2AC-CD ⋅AD=BC ⋅AB 2+AB ⋅BC 2AB +BC -CD ⋅AD =BA ⋅BC -DA ⋅DC ，即BD 2=BA ·BC -DA ·DC ；(ii)因为sin Asin C =12，故c=2a，则由⑤得ADCD=ABBC=2，则AD=23AC,DC=13AC，由a=1以及(i)知BD2=2-29AC2，即BD2+29AC2=2，则BD2+29AC2≥223BD⋅AC，当且仅当BD2=29AC2，结合BD2+29AC2=2，即BD=1,AC=322时等号成立，故BD⋅AC≤322，即BD⋅AC的最大值为322.2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，a=23，6cos C-a sin C=3b.(1)求角A的大小；(2)设∠ABC的平分线与AC交于点D，当△ABC的面积最大时，求BD的长.【解析】(1)6cos C-a sin C=3b,a=23，所以3a cos C-a sin C=3b，由正弦定理得3sin A cos C-sin A sin C=3sin B=3sin(A+C)，即3sin A cos C-sin A sin C=3sin A cos C+3sin C cos A，得-sin A sin C=3sin C cos A，又sin C>0，所以-sin A=3cos A，即tan A=-3，又0<A<π，所以A=2π3；公众号：慧博高中数学最新试题(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A 即b2+c2+bc=12，而b≥0,c≥0，∴12=b2+c2+bc≥3bc，即bc≤4，∴S△ABC=12bc sin A=34bc≤ 3.当且仅当b=c=2取等号此时∠ABC=∠C=π6，则∠ABD=π12,∠ADB=π4，在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin A，即2sinπ4=BDsin2π3，解得BD=6.3(2024·山西吕梁·一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos C+2a cos A=-c cos B．(1)求A；(2)设A的角平分线交BC于点M，AM=1，求b+4c的最小值．【解析】(1)∵b cos C+2a cos A=-c cos B.由正弦定理，得sin B cos C+sin C cos B=-2sin A cos A∴sin(B+C)=-2sin A cos A，即sin A=-2sin A cos A∵A∈0,π∴sin A>0∴cos A=-12，即A=2π3(2)由题意可得，S△ABM+S△AMC=S△ABC∴1 2c⋅AM⋅sin60°+12b⋅AM⋅sin60°=12bc sin120°∴b+c=bc即1b+1c=1∴b+4c=(b+4c)1b +1 c=5+b c+4c b≥5+2b c⋅4c b=9当且仅当bc=4cb，即b=3,c=32时，等号成立，所以b+4c的最小值为9.4(2024·广东佛山·模拟预测)记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2C+ sin2B-sin2A=sin B sin C．(1)求A；(2)已知A的角平分线交BC于点D，求BDCD的取值范围．【解析】(1)因为sin2C+sin2B-sin2A=sin B sin C，由正弦定理可得c2+b2-a2=bc，所以cos A=c2+b2-a22bc=12，又A∈0,π，所以A=π3.(2)因为BDCD =S△ABDS△ACD=12AB⋅AD sin∠BAD12AC⋅AD sin∠CAD=ABAC=cb=sin C sin B =sin2π3-Bsin B=sin2π3cos B-cos2π3sin Bsin B=32tan B+12，因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<2π3-B<π2，解得π6<B<π2，所以tan B>33，所以12<32tan B+12<2，即BDCD的取值范围为12,2.题型七：中线问题1在△ABC 中，∠B =π3，D 在边AC 上，∠A ，∠B ．∠C 对应的边为a ，b ，c ．(1)当BD 为∠B 的角平分线且BD =3时，求1a +1c的值；(2)当D 为AC 的中点且BD =23时，求2c +a 的取值范围．【解析】(1)由题意知，BD 为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得12ac sin π3=12BD ⋅c ⋅sin π6+12BD ⋅a ⋅sin π6，整理可得32ac =32a +c ，所以1a +1c =c +aac=1.(2)以a ，c 为边做平行四边形，另一个端点设为M ，连接BM ，易知BM 交AC 于点D .设∠DBC =θ，则由正弦定理知：c sin θ=43sin 2π3=a sin π3-θ 化简可得c =8sin θ，a =8sin π3-θ ，．则2c +a =16sin θ+8sin π3-θ ，合并化简可2c +a =83sin θ+π6，易知θ∈0,π3 ，则θ+π6∈π6,π2，∴2c +a =83sin θ+π6∈43,83 ．∴2c +a 的取值范围为43,83 .2(2024·高三·黑龙江大庆·期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且sin C =c 3cos B2,b =3.(1)求B ；(2)求△ABC 的AC 边中线BD 的最大值.【解析】(1)由题意sinB 2>0，结合已知有2sin B 2sinC =c 3×2⋅sin B 2cos B 2=c3sin B ，所以2c ⋅sin B 2=c3⋅b ，而b =3，所以sinB 2=12，而B 2∈0,π2 ，所以B 2=π6，解得B =π3.(2)由题意BD =12BA +BC ，所以BD =12BA +BC =12BA +BC 2=12BA 2+2BA ⋅BC +BC 2=12c 2+ac +a 2，而由余弦定理有9=b 2=a 2+c 2-2ac cos π3=a 2+c 2-ac ，所以BD =129+2ac ，由基本不等式可得9=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ，当且仅当a =c =3时，等号成立，即ac max =9，所以BD max =129+2ac max =332，即△ABC 的AC 边中线BD 的最大值为332.3(2024·河北·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且sin A -3sin B a =c -b sin C +sin B .(1)求角C 的大小；(2)若边c =2，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的最大值.【解析】(1)因为sin A -3sin B a =c -b sin C +sin B ，由正弦定理可得：a -3b a =c -b c +b ，则a 2-3ab =c 2-b 2，即a 2+b 2-c 2=3ab ，由余弦定理可得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =3ab 2ab=32，因为C ∈0,π ，所以C =π6.(2)因为D 为AB 的中点，所以CD =12CA +CB，则CD 2=14CA +CB 2=14CA 2+12CA ⋅CB +14CB 2=14a 2+3ab +b 2 ，又由余弦定理得，c 2=a 2+b 2-2ab cos B ，即4=a2+b2-3ab，所以CD2=144+23ab=1+32ab.由4=a2+b2-3ab得，4+3ab=a2+b2≥2ab，则ab≤42+3，当且仅当a=b=22+3取等号，即CD2≤1+32×42+3=1+232+3=7+43=3+22，所以CD≤3+2，即中线CD长的最大值为3+2.4(2024·高三·河北张家口·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C-2b cos B+c cos A=0．(1)若a=3，b=7c，求△ABC的面积；(2)已知AD为边BC的中线，且AD=3，求a+c的最大值．【解析】(1)由正弦定理，得sin A cos C-2sin B cos B+sin C cos A=0，所以sin A+C=2sin B cos B．又A+B+C=π，所以sin B=2sin B cos B，又sin B≠0，所以cos B=12，又B∈0,π，故B=π3．由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac cos B⇒7c2=9+c2-3c，由c>0，解得c=1，所以△ABC的面积S=12ac sin B=12×3×1×32=334．(2)设∠BDA=θ，则∠BAD=2π3-θ．由B=π3及正弦定理可得，csin∠BDA=a2sin∠BAD=ADsin B=2，所以c=2sinθ，a=4sin2π3-θ ，故a+c=4sin2π3-θ+2sinθ=4sinθ+23cosθ=2727sinθ+37cosθ=27sinθ+φ，其中tanφ=32，φ∈0,π4，当sinθ+φ=1时，a+c的最大值为27．5(2024·浙江·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且b cos C+c sin B=a, a+2bsin A+2sin B=62，(1)求b；(2)求AC边上中线长的取值范围．【解析】(1)因为b cos C+c sin B=a，由正弦定理可得sin B cos C +sin C sin B =sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B sin C ，整理得sin C sin B =cos B sin C ，且C ∈0,π ，则sin C ≠0，可得sin B =cos B ，即tan B =1，且B ∈0,π ，则B =π4，由正弦定理a sin A =bsin B =2R ，其中R 为△ABC 的外接圆半径，可得a =2R sin A ,b =2R sin B ，又因为a +2b sin A +2sin B =2R sin A +4R sin B sin A +2sin B=2R =62，所以b =2R sin B =62×22=6.(2)在△ABC 中，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即36=a 2+c 2-2ac ，则a 2+c 2=36+2ac ≥2ac ，当且仅当a =c 时，等号成立，可得ac ≤362-2=182+2 ，即ac ∈0,182+2设AC 边上的中点为D ，因为BD =12BA +12BC ，则BD 2=12BA +12BC 2=14BA 2+12BA ⋅BC +14BC2=14a 2+c 2 +12ac cos B =1436+2ac +24ac =9+22ac ∈9,27+182 ，即BD ∈3,3+32 ，所以AC 边上中线长的取值范围为3,3+32 .题型八：四心问题1(2024·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c -b sin C =a cos C -b sin B +a cos B sin C .(1)求角A ；(2)若H 为△ABC 的垂心，a =2，求△HBC 面积的最大值.【解析】(1)由题可得，c -b sin C =a cos C sin B -b sin B +a cos B sin C =a sin B +C -b sin B =a sin A -b sin B结合正弦定理可得c -b c =a 2-b 2，即bc =b 2+c 2-a 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又A ∈0,π2 ，∴A =π3.(2)设边AC ，AB 上的高分别为BE ，CF 则H 为BE 与CF 的交点，则在四边形AFHE 中，∠FAE +∠FHE +π2+π2=2π，∵∠FAE =π3，∴∠FHE =2π3，故∠BHC =2π3，在△BHC 中，S △BHC =12BH ⋅HC sin 2π3=34BH ⋅HC ，BH 2+HC 2-2BH ⋅HC ⋅cos 2π3=4，则4=BH 2+HC 2+BH ⋅HC ≥2BH ⋅HC +BH ⋅HC ，即BH ⋅HC ≤43，当且仅当BH =HC 时取等号.∴S △BHC ≤33，故△HBC 面积的最大值为33.2在锐角△ABC 中，cos A =22，点O 为△ABC 的外心．(1)若AO =xAB +yAC，求x +y 的最大值；(2)若BC =2．①求证：OA +sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC =0；②求3OA +2OB +OC的取值范围．【解析】(1)取AB 的中点D ，连接OD ,则OD ⊥AB ,不妨设|AB |=m ,|AC |=n ，因AO ⋅AB =(AD +DO )⋅AB =AD ⋅AB =12m 2，同理可得AO ⋅AC =12n 2，则由AO =xAB +yAC 可得AO ⋅AB =x |AB |2+yAB ⋅AC=xm 2+ymn cos A =xm 2+22ymn =12m 2，即得：2mx +2ny =m ①又由AO =xAB +yAC 可得AO ⋅AC =xAB ⋅AC +y |AC |2=xmn cos A +yn 2=22xmn +yn 2=12n 2，即得：2mx +2ny =n ②联立①,②，解得：x =1-2n2m y =1-2m 2n,则x +y =1-2n 2m +1-2m 2n =2-22n m +m n，因n m +mn≥2，当且仅当m =n 时等号成立.即当m =n 时，x +y 取得最大值2-2.(2)①由cos A =22,0<A <π2，则A =π4，由图知∠BOC =2∠A =π2,则OB ⋅OC =0,设△ABC 的外接圆半径为R ，公众号：慧博高中数学最新试题则|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |2=sin 22B ⋅|OB |2+cos 22B ⋅|OC|2=R 2,即|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |=R ,又OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC)=R 2(sin2B cos ∠AOB -cos2B cos ∠AOC )，而∠AOB =2π-∠BOC -∠AOC =3π2-∠AOC ,则cos ∠AOB =-sin ∠AOC =-sin2B ，而cos ∠AOC =cos2B ，故OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC)=-R 2(sin 22B +cos 22B )=-R 2,不妨设OA 与sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC的夹角为θ，则cos θ=OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC )|OA |⋅|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |=-R 2R 2=-1,因θ∈[0,π]，故θ=π，即OA =-sin2B ⋅OB +cos2B ⋅OC，故OA +sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC =0 ，得证.②因|BC |=2,∠BOC =π2,则|BC |=2R =2,即R =1，3OA +2OB +OC 2=9OA 2+4OB 2+OC 2+12OA ⋅OB +6OA ⋅OC +4OB ⋅OC =14+12cos2C +6cos2B +4cos2A =14+12cos2C -6sin2C =14+65cos (2C +θ)，其中，tan θ=12，且θ为锐角，故0<θ<π4，因0<C <π20<B =3π4<π2, 可得C ∈π4,π2 ,则2C ∈π2,π ，2C +θ∈π2+θ,π+θ .又由tan θ=sin θcos θ=12sin 2θ+cos 2θ=10<θ<π4 ,解得：sin θ=55cos θ=255, 因π2<π2+θ<3π4，而函数y =cos x 在π2+θ,π 上单调递减，在(π,π+θ)上单调递增，又由cos π2+θ=-sin θ=-55,cos (π+θ)=-cos θ=-255,故-1≤cos (2C +θ)<-55，则14-65≤14+65cos (2C +θ)<8，于是3-5=14-65≤3OA +2OB +OC<8，即3OA +2OB +OC的范围为[3-5,22).3已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 是△ABC 所在平面内的一点．(1)若点O 是△ABC 的重心，且OA ⋅OB=0，求cos C 的最小值；(2)若点O 是△ABC 的外心，BO =λBA +μBC (λ，μ∈R )，且a =4，c =6，mλ+μ-12sin 2B (m ∈R )有最小值，求m 的取值范围．【解析】(1)延长AO ，BO ，CO 分别交边BC ，AC ，AB 于点D ，E ，F ，依题意有FO =12AB =12c ，CF =32c ．在△CAF和△CAB中，由余弦定理有cos∠CAF=cos∠CAB，即b2+c22-3c2 22b⋅c2=b2+c2-a22bc，化简有a2+b2=5c2，cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a2+b252ab=45⋅a2+b2 2ab ≥45⋅2ab2ab=45．当且仅当a=b时，等号成立，所以cos C的最小值为4 5．(2)由题意可知：BO⋅BA=18=36λ+24μcos B BO⋅BC=8=24λcos B+16μ，解得λ=3-2cos B6sin2Bμ=2-3cos B4sin2B，则mλ+μ-1 2sin2B=m(3-2cos B)6+2-3cos B4-sin2B2=6cos2B-(4m+9)cos B+6m12．今t=cos B,t∈(-1,1)，原式=6t2-(4m+9)t+6m有最小值，所以t-4m+912∈(-1,1)．解得m∈-214,34．4从①(a+b+c)⋅(sin A+sin B-sin C)=a sin B+2b sin A；②2a sin A cos B+b sin2A= 23a cos C这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：．(1)求角C的大小；(2)若c=3，△ABC的内心为I，求△ABI周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【解析】(1)选择条件①，(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=a sin B+2b sin A，在△ABC中，由正弦定理得(a+b+c)(a+b-c)=ab+2ba，整理得a2+b2-c2=ab，则由余弦定理，cos C=a2+b2-c22ab=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．选择条件②，2a sin A cos B+b sin2A=23a cos C，于是a sin A cos B+b sin A cos A=3a cos C，在△ABC中，由正弦定理得，sin2A cos B+sin A sin B cos A=3sin A cos C，。
专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小； （2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析： （1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的． 例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】 ，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】 【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得 ，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值； （2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。
解三角形中的最值与范围问题(解析版)
专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设220CDBD m ==>， 则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。
解三角形中的最值与范围问题求解策略
解三角形中的最值与范围问题求解策略
三角形是数学中经常出现的形状，它是由三条直线相交组成的特殊形状。
在解决三角形中最值与范围问题时，首先需要了解三角形的基础特性。
三角形是一种等腰三角形，其中有三个角，每个角的角度都不同，没有两个角相等。
另外，三角形内部各边分别为a，b，c，其中a+b>c，b+c>a，c+a>b，这三条不等式是三角形的一个重要的基本性质，也是三角形边长间的关系。
三角形的最值与范围可以通过三角形的基本性质和两个角的和程度来求解。
具体来说，三角形的最短边长的范围为两个在0~180°之间的角的和，最小值为两角和除以2；最长边长范围为两个较大角的和，最大值为两个较大角的和，此外，皮型公式可以用来求解三角形的外接圆半径，半径范围为两个角值的乘积与两个边长的乘积之和的平方根。
通过以上内容可以看出，解决三角形最值与范围的有效求解策略是：首先了解三角形的基本特性，利用不等式及皮型公式计算出边长和半径的最大值与最小值，从而求出三角形最值与范围的结果。
这个策略单纯而有效，在解决三角形最值与范围问题时十分有用。
三角形中的最值和范围问题方法总结
三角形中的最值和范围问题方法总结总结和探讨在三角形中解决最值和范围问题的方法。
首先，我们可以利用三角函数的特性，因为在三角形中，正弦函数与余弦函数的值都在0到1之间，而正切函数的值则在-1到1之间。
因此，通过分析这些函数的性质，我们可以得出一些结论和结论：（1）三角形中最大值和最小值的计算方法：在三角形中，可以通过最大值最小值公式来求解最大值和最小值，具体公式为A = (b*s*s + c*c*s - a*a*s) / (2*b*s)和B = (c*s*s + a*a*s - b*b*s) / (2*a*s)。
这一方法主要适用于正弦函数和余弦函数的最大值和最小值问题。
例如，在一个三角形中，已知a和b 的长度，我们可以使用正弦函数的性质，通过b/sinB=a/sinA来求出角B的最大值和最小值。
（2）三角形中范围问题的解决方法：在解决三角形中范围问题时，可以使用正弦定理和余弦定理来推导出相关条件。
例如，在求解三角形面积的取值范围时，可以采用作图法、余弦定理法或正弦定理法等方法。
若已知一角和邻边长，则无法求得面积的取值范围，因为邻边长可无限接近于0，所以面积的取值范围为0到正无穷。
此外，在处理中线问题时，可以采用向量加法加平方或利用中线与对边所成两角互补，余弦值相加等于零的思路。
（3）关于余弦定理的应用：余弦定理可以在求解三角形中的范围问题时使用，其公式为c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC，其中C为三角形的一个角。
通过将此公式变形为cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2*a*b)，我们可以推导出C的范围。
例如，在求解一个角的范围时，我们可以将cosC的值作为条件，然后利用反正弦函数求解其取值范围。
（4）关于三角形的最大值和最小值问题：在求解三角形的最大值和最小值问题时，可以利用三角形内角和定理和正弦函数的性质。
例如，对于一个三角形，我们可以根据内角和定理，计算出最大的角度，然后根据正弦函数的性质，求解出该角度对应的最大值或最小值。
三角形中的最值与范围问题解析版
三角形中的最值、范围问题一、知识与方法1、正弦定理可将边用角的正弦值表示：2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =2、在三角形ABC ∆中，若 222c a b =+，则C 为直角；若 222c a b >+，则C 为钝角；若 222c a b <+， 则C 为锐角；3、在锐角三角形中，已知角C ，求B 的范围，可由下列限制条件求出：02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ 4、三角形有关最值和范围求解（1）利用余弦定理和基本不等式进行解答； （2）利用正弦定理和三角函数值域进行解答； 例如：已知角C ，求解 sin sin m A n B +的范围 ：解题方法：()()sin sin =sin +sin sin +sin m A n B m A n A C m A n A C π+--=+，再利用三角函数和差角公式和辅助角公式进行化简，求出三角函数的值域；注意：若三角形为锐角三角形，已知角C ，则需满足02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，从而进一步限制B 的范围.（3）利用三角形三边关系进行解答； 若为锐角三角形，则222222222c a b b a c a b c ⎧<+⎪<+⎨⎪<+⎩，若为钝角三角形，如角C 为钝角，则222c a b a b c ⎧>+⎨+>⎩二、题型训练题型一 利用余弦定理和基本不等式求面积与周长最值问题例1．（2021•丙卷模拟）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+，2b c +=，则ABC ∆的面积的最大值为( )A ．14B C ．12D 【解答】解：因为()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+， 由正弦定理得()()()a b a b c b c -+=+， 所以222a b bc c -=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，由A 为三角形内角得23A π=， 因为2b c +=， 所以2()12b c bc +=，所以113sin 1222ABC S bc A ∆=⨯⨯=1b c ==时取等号， 故选：B ． 方法点拨：本题考查正弦定理的边角互化、余弦定理和基本不等式求最值，熟练利用正余弦定理和基本不等式是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•河南模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+，当ABC ∆的外接圆半径2R =时，ABC ∆面积的最大值为( )A B ．C ．D ．【解答】解：2cos cos cos a A b C c B =+，∴由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即2sin cos sin()sin A A B C A =+=，(0,)A π∈， 1cos 2A ∴=，即3A π=，由余弦定理，2221222b c bc bc bc =+-⨯⨯-， 则12bc ，（当且仅当b c =时等号成立），ABC ∴∆的面积11sin 1222S bc A=⨯=b c =时，等号成立， 故选：C ．2．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1(sin )cos sin cos 2b C A A C -=，且a =ABC ∆面积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知等式整理得：1cos sin cos cos sin sin()sin 2b A A C A C A C B =+=+=，即2sin cos b B A=，由正弦定理sin sin a b A B =2cos A =，即sin tan cos AA A==60A ∴=︒，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即22122b c bc bc bc bc =+--=，则1sin 332ABC S bc A ∆=，即ABC ∆面积的最大值为故选：B ．3．（2021春•鼓楼区校级期末）在ABC ∆中，1cos 2a c Bb =+．（1）若7a b +=，ABC ∆的面积为c ； （2）若4c =，求ABC ∆周长的最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， 1cos2a c Bb =+，∴1sin sin cos sin 2A C B B =+，即1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B ∴+=+，∴1sin cos sin 2B C B =，sin 0B ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈，∴3C π=，11sin 22S ab C ab ===12ab ∴=，由余弦定理知，22222cos ()3493613c a b ab A a b ab =+-=+-=-=，∴c =（2）由余弦定理知，2222cos c a b ab A =+-，2222()()16()3()344a b a b a b ab a b ++∴=+-+-⋅=， 8a b ∴+，当且仅当4a b ==时，取等，ABC ∴∆周长的最大值为4812+=．4．（2021•一模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin ()0a c A C B a b -+--=．（1）求C ；（2）若ABC S ∆=，2c =，求ABC ∆周长的最小值．【解答】解：（1）ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin 0a c A C b a B -++-=．利用正弦定理得：()()()0a c a c b a b -++-=，整理得：2220a c b ab -+-=，即2221cos 22a b c C ab +-==，由于0C π<<， 所以：3C π=．（2）因为11sin sin 223ABC S ab C ab π∆====，所以解得8ab =，所以周长22a b c ab c +++=，当且仅当a b ==所以ABC ∆周长的最小值为2．5．（2021•永州模拟）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c (sin )b A A =． （1）求B ；（2）若3b =，求ABC ∆周长最大时，ABC ∆的面积．【解答】解：（1）(sin )b A A =，∴sin (sin )C B A A =，∴)sin sin cos A B B A B A +=+，∴cos cos sin sin cos A B B A B A B A =+，∴sin B B =，∴tan B ，0B π<<，∴3B π=．（2）222cos 2a c b B ac+-=， 据（1）可得3B π=，∴222122a c b ac +-=，222b ac ac ∴=+-，29()3a c ac ∴=+-，∴222()9()3()24a c a c a c +++-=， 当且仅当3a c ==时等号成立，即当3a c ==时，a c +取得最大值，即周长取得最大值，此时133sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯=6．（2021•巴中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin(),3b A a B b π=+=． （1）求ABC ∆的外接圆直径； （2）求ABC ∆周长的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin()3b A a B π=+，∴由正弦定理，可得sin sin sin sin()3B A A B π=+，(0,)A π∈，sin 0A >，∴sin sin()3B B π=+，化简可得，1sin 2B B =，∴tan B =，(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理可得，ABC ∆的外接圆直径21sin bR B ===． （2）由（1）可知，3B π=，由余弦定理可得，222b a c ac =+-， 222221()3()3()()24a cb ac ac a c a c +∴=+-+-=+， 当且仅当a c =时，等号成立，b ， 2()3ac ∴+，即3a c +，又a cb +>=，∴3a c <+，∴332a b c++，ABC ∴∆的取值范围为．题型二 利用正弦定理和三角函数值域求三角形角度有关的最值、范围问题 例2．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）求cos A +cos C 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ．∴cos B ＝＝＝，∴B ＝（Ⅱ）由（I ）得：C ＝﹣A ，∴cos A +cos C ＝cos A +cos （﹣A ）＝cos A ﹣cos A +sin A＝cos A +sin A ＝sin （A +）． ∵A ∈（0，）， ∴A +∈（，π），故当A +＝时，sin （A +）取最大值1，即cos A +cos C 的最大值为1．方法点拨：本题考查了余弦定理、三角形内角和、三角函数和差角公式、辅助角公式以及三角函数值域，熟练掌握余弦定理、三角函数辅助角公式、三角函数值域求解的方法是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•沈阳四模）在①2cos cos c b Ba A-=，②2cos 2a C c b +=，③1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．问题：锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______． （1）求A ；（2）求cos cos B C +的取值范围． 【解答】解：（1）选① 因为2cos cos c b Ba A -=， 所以2sin sin cos sin cos C B BA A-=， 所以2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=，整理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A B A A B A B C =+=+=． 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =． 因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选②因为2cos 2a C c b +=，所以2sin cos sin 2sin 2sin()A C C B A C +==+， 所以2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C +=+， 整理得sin 2cos sin C A C =． 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =． 因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选③因为1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +，所以sin sin cos sin sin cos cos A A C C A A B A +=，所以sin (sin cos sin cos )cos A A C C A B A +=，整理得sin sin cos A B B A =．因为sin 0B ≠，所以sin A A =．因为(0,)2A π∈，所以tan 3A A π=．（2）因为3A π=，所以1cos cos cos cos()cos sin()26B C B B A B B B π+=-+=+=+．因为2(0,),(0,)232B C B πππ∈=-∈，所以(,)62B ππ∈，所以2(,)633B πππ+∈，所以sin()6B π+∈，故cos cos B C +∈．2．（2021•下城区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin b B a A c A -=．（1）求证：2B A =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求sin sin AC的取值范围． 【解答】解：（1）由sin sin sin b B a A c A -=得22b a ac -=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 代入22b a ac -=得22cos ac c ac B =-， 则2cos a c a B =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，所以sin sin()2sin cos A A B A B =+-，得sin sin()A B A =-， 由220b a ac -=>知b a >，故B A >， 所以A B A =-或()A B A π+-=（舍去） 所以2B A ⋯=，（2）3C A π=-，由0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<得64A ππ<<，sin sin sin sin sin sin3sin(2)sin cos2cos sin 2A A A AC A A A A A A A===++，32sin 11(,1)3sin 4sin 34sin 2A A A A ==∈--．题型三 利用正弦定理和三角函数值域求三角形边长有关的最值、范围问题例3．（2021•汕头三模）在①22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，②22cos c a B b =+，③cos cos 2cos 0b C c B a A +-=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆是锐角三角形，且2b =，求边长c 的取值范围． 【解答】解：（1）选条件①．因为22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+， 所以222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 根据正弦定理得，222b c a bc +-=， 由余弦定理得，1cos 2A =， 因为A 是ABC ∆的内角， 所以3A π=选条件②，因为1cos 2c a B b =+，由余弦定理222122a c b c a b ac +-=⨯+，整理得222b c a bc +-=， 由余弦定理得，1cos 2A =， 因为A 是ABC ∆的内角， 所以3A π=．选条件③，因为cos cos 2cos 0b C c B a A +-=， sin cos sin cos 2sin cos 0B C C B A A ∴+-=．sin()2sin cos B C A A ∴+=，即sin 2sin cos A A A =因为0A π<<，sin 0A ≠．∴1cos 2A =， ∴3A π=；（2）因为3A π=，ABC ∆为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<在ABC ∆中，2sin sin c C B=，所以212sin()sin )322sin sin B B B c B B π-+===，即1c ． 由62B ππ<<可得，tan B >，所以10tan B<<，所以14c <<． 方法点拨：本题第一问考查正余弦定理的变形及应用，第二问边长范围问题考查正弦定理的边角互化，结合锐角三角形角度的范围和三角函数值域求解出角度的范围.巩固训练：1．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且220c a ab --=． （1）求证：2C A =；（2）若2a =，求c 的取值范围．【解答】解：（1）证明：因为220c a ab --=， 结合余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-， 所以22cos ab b ab C =-，即2cos a b a C =-，由正弦定理，得sin sin 2sin cos sin()2sin cos A B A C A C A C =-=+- sin cos sin cos sin()C A A C C A =-=-，因为ABC ∆为锐角三角形， 所以A C A =-，即2C A =； （2）由（1）2C A =， 由正弦定理，得sin sin a cA C=，所以2cos 4cos c a A A ==，由题意，得02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得64A ππ<<，所以4cos c A =∈．2．（2021春•慈溪市期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m 、n 满足：(2,6)m a =，(,2sin )n b B =，且//m n ． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆是锐角三角形，且2a =，求b c +的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为//mn ，所以2a Bb =，2sin a B=， 由正弦定理得：2sin sin A B B =， 因为sin 0B≠， 所以sin A ， 所以3A π=或23π． （Ⅱ）因为2a =，所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====，得：b B ，c C =，所以21sin )sin()]sin ]4sin()326b c B C B B B B B B ππ++=+-=++=+，因为ABC ∆是锐角三角形， 所以02B π<<，且2032B ππ<-<，可得62B ππ<<， 所以2363B πππ<+<sin()16B π<+，所以4b c <+．3．（2021春•青山湖区校级期中）在ABC ∆中，3B π=，AC ，则2AB BC +的最大值为( )A．B．C ．3 D ．4【解答】解：因为3B π=，AC由正弦定理得2sin sin sin a c bA C B===，所以2sin a A =，22sin 2sin()3c C A π==-，由则222sin()4sin 5sin )3AB BC A A A A A πϕ+=-++=+，其中ϕ为辅助角，根据正弦函数的性质得)A ϕ+的最大值 故选：B ．4．（2021•B 卷模拟）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且有2b =． 在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cos (cos )cos 0C B B A +-=；②2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-． （1）求A 的大小； （2）求2a c +的取值范围．【解答】解：（1）若选择①，因为cos (cos )cos 0C B B A +-=， 所以cos()cos cos cos 0A B B A B A -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，所以sin sin cos A B B A =， 因为sin 0B ≠，可得sin A A =，所以tan A =，可得3A π=；若选择②，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-． 所以222222a b bc c bc =-+-，所以222bc b c a =+-，可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=．（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，则有22sin sin b R B B==， 可得222122(2sin sin )sin )sin())sin )1sin sin sin 2a c R A C C A B B B B B B +=+==+=+=，因为ABC ∆为锐角三角形，可得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得62B ππ<<，所以sin B 在(6π，)2π单调递增，cos B 在(6π，)2π(6π，)2π单调递减，所以21a c +∈，4)．5．（2021•肥城市模拟）已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ； （2）求bca的取值范围． 【解答】解：（1）2224)S c b =+-，∴222)4a b c S +-=，∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C =，cos 0C ∴≠，tan C又(0,)C π∈∴3C π=，（2）ABC ∆的外接圆半径为1，∴2sin cC=， 又正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴21sin()sin)3322sin sin2tanA A Abca A A Aπ-+======+，又因为ABC∆是锐角三角形，∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<，∴tan A>，1tan A<<，32tan A<<∴bca<<6．（2021春•庐阳区校级期末）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1cos)cosa b C c B++=．（1）求角C的大小；（2）若c=，求ABC∆周长的取值范围．【解答】解：（1）因为(1cos)cosa b C c B++=，所以由正弦定理得sin sin(1cos)sin cosA B C C B++=，又sin()sin()sinB C A Aπ+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos0B C B B C C B+++-=，所以2sin cos sin0B C B+=，因为(0,)Bπ∈，所以sin0B≠，所以1cos2C=-，又(0,)Cπ∈，所以23Cπ=．（2）因为c=，23Cπ=，所以由正弦定理得2sin sin sin3b aB A===，则2sinb B=，2sina A=，故ABC∆的周长2sin2sin2sin2sin()3L B A B Bπ+=+-2sin2(sin cos cos sin)33B B Bππ=+-sin B B=+2sin()3B π=++，因为03B π<<，所以(33B ππ+∈，2)3π，sin()3B π+∈1]，2sin()3B π+∈2+，故ABC ∆周长的取值范围为2．7．（2021春•淮安期末）从①(2)cos cos 0b c A a B -+=；②222b c a +-=；③(tan tan )2tan b A B c B +=这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且____． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，b =ABC ∆的周长的取值范围．【解答】解：（1）若选①，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B -+=， 因为A B C π++=，A ，B ，(0,)C π∈， 所以sin 2sin cos 0C C A -=， 且sin 0C ≠， 因此1cos 2A =，(0,)A π∈， 可得3A π=；若选②，在ABC ∆中，由余弦定理得12cos sin 2bc A bc A ，所以sin A A ， 因为sin 0A ≠，因此tan A =，且(0,)A π∈， 故3A π=；若选③，在ABC ∆中，2tan sin cos cos sin sin 1tan cos sin cos sin c A A B A B Cb B A B A B+=+==，且sin 0C ≠， 由正弦定理得：22sin sin sin cos sin c C Cb B A B==， 故1cos 2A =，可得3A π=；（2）因为ABC ∆为锐角三角形， 所以(0,)2B π∈，(0,)2C π∈，因此(,)62B ππ∈，sin sin c a C ==，可得c =3sin a B=， 所以ABC∆的周长为)31cos 333sin sin tan 2B B a c b B B B π+++++=+++，由于(,)62B ππ∈，可得(212B π∈，)4π，可得tan (22B∈，所以ABC ∆的周长取值范围为(3++．8．（2021•烟台模拟）在条件①222sin sin sin sin A B C B C --=，②1cos 2b a Cc =+，③(cos )cos cos 0C C A B +=中，任选一个补充在下面问题中并求解． 问题：在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1c =，____． （1）求A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）若选①222sin sin sin sin A B C B C --=，由正弦定理得222a b c --=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=， 由A 为三角形内角得6A π=；（2）14ABC S b ∆=，由正弦定理得51sin()cos sin 1622sin sin sin 2tan C C Cc Bb CC C C π-====，由题意得02506C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32C ππ<<，所以tan Cb <ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围； （1）若选②1cos 2b a Cc =+，由正弦定理得1sin sin cos sin 2B AC C =+，所以1sin()sin cos sin 2A C A C C +=++，所以1sin cos sin cos sin cos sin 2A C C A A C C +=+，化简得1sin cos sin 2C A C =，因为sin 0C >， 所以1cos 2A =， 由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ， 故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围； （1）若选③(cos )cos cos 0C C A B +=，所以(cos )cos cos()0C C A A C -+=，化简得sin sin cos A C C A =， 因为sin 0C >，所以tan A =， 由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ， 故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围．题型四 利用三角形三边关系求解范围问题例4．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==， 可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >， cos2sin cos 222B B B ∴=， 若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=， 由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a π=，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>， 解得122a <<，可得ABC ∆面积13sin 234S a π==∈．方法点拨：本题求解三角形面积的取值范围，由于一边和角度已知，可转化为求边长的范围，利用锐角三角形三边关系列出不等关系，从而求解出面积范围. 巩固训练：1．（2021•新高考Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：()2sin 3sin I C A =，∴根据正弦定理可得23c a =，1b a =+，2c a =+， 4a ∴=，5b =，6c =，在ABC ∆中，运用余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯，22sin cos 1C C +=，sin C ∴===∴11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯=()II c b a >>，ABC ∴∆为钝角三角形时，必角C 为钝角， 222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+==<+，2230a a ∴--<， 0a >， 03a ∴<<，三角形的任意两边之和大于第三边， a b c ∴+>，即12a a a ++>+，即1a >， 13a ∴<<，a 为正整数，2a ∴=．。
解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习
∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b， 由三角形三边关系可得ab＋ ＋bc>>ac， ，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1， 令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于 正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等 变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的 范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、 三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此 类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
高考微专题解三角形之求最值(值域)问题归纳总结
解三角形之求最值（值域）问题一、高考考点： 1.构建三角函数求值域例1.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23C π＝，求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【详解】因所以()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 又0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π＝，求b ca+的取值范围． 【详解】由正弦定理得：sin sin sin b c B Ca A ++=, 因为A B C π++=，且3A π=，所以23C B π=-代入上式化简得：23sin sin sin cos 36222sin sin sin sin 6B B B B B b c B a A A A πππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭====+ ⎪⎝⎭， 又ABC ∆所以2363B πππ<+<，则有sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭2b c a +<≤. 例2. （1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，=C 2A ，求()cos2cos A A B +-的取值范围．【详解】因 为C =2A A+B+C =,B =3A ππ-，， 所以()()cos cos2A+cos A B =cos2A+cos +4A =cos2A+4A π--2=2cos 2cos 21A A -++又02A <<（2）在锐角ABC ∆中，已知2A B =，,a b 分别为角,A B 的对边，则ab的取值范围是__________．【解析】锐角ABC ∆中， 2A B =， ()3C A B B ππ∴=-+=-，可得cos 64B B ππ<<<<2sin sin sin22cos 2sin sin sin a R A A B B b R B B B ====∈.例3.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π＝，b=2，求边长a 的取值范围.【详解】，即a 的取值范围为 （2）在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且,3A a π==，求2b c -的取值范围.【详解】,3A a π==2sin sin sin 2b c aB C A====， 所以22sin ,2sin 2sin(),033b Bc C B B ππ===+<<， 24sin 2sin()3sin 3b c B B B B π-=-+=-∴1cos ))26B B B π=-=-，210,,sin()1366226B B B πππππ<<∴-<-<-<-<，2b c -<， ∴2b c -的取值范围是(.（3）在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ABC ∆的周长的取值范围.【详解】ABC ∆外接圆半径r ，22a r sinA===，∵1r =.∵()2b c r sinB sinC +=+223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵62B ππ<<，∵2363B πππ<+<，∵6sin B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∵(b c +∈， ∵ABC ∆周长的取值范围是(3+.例4.（1）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，2b =，且43B ππ≤≤，求边a 的取值范围.【详解】∵2,3b A π==∵43B ππ≤≤，，即a 的取值范围为 （2）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3A π=，2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【详解】∵2,3b A π==，由正弦定理有sin sin b cB C=，∵22sin 2sin 311sin sin B C c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭==+=， ∵43B ππ≤≤，∵21c ≤≤， 即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.练习：1．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b cS 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【详解】由正弦定理sin sin b c B C=得114sin 4sin sin sin 22sin 4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭，在ABC ∆得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(S AcosC ∴+∈. 2．已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边，且2b =，()24c a a -=-，则sin 2cos A C -的取值范围是________.【解析】由题得222b c a -=，即222a cb +-=，则222cos 2a c b B ac +-==，所以6B π=，32A ππ<<，因为()1sin 2cos sin 2cos sin 2sin 2A C A B A A A A A ⎫-=++=+-⎪⎪⎝⎭，所以0A <<，故sinA 2cosC -的取值范围为⎛ ⎝⎭，故答案为⎛ ⎝⎭. 3．在ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，a = cos,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅，则b c +的取值范围为__________．【解析】∵cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1=2m n ⋅，∵221sin cos 222A A -=， ∵221cossin cos 222A A A -==-,∵23A π=．在ABC ∆中，由正弦定理得4sin sin sin b c aB C A===， ∵4sin ,4sin b B c C ==，∵4sin 4sin 4sin 4sin 3b c B C B B π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭ 4sin 3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵03B π<<，∵2333B πππ<+<，∴4sin 43B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．∵b c +的取值范围为(4⎤⎦． 4．已知,,a b c 分别为锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， 2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆周长的取值范围为__________．【解析】由已知及正弦定理得()()()a b a b c b c +-=-，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又0A π<<，∴3A π=．由正弦定理得sin sin sin 3b c a B C A ===，∴三角形的周长为24sin 26a b c B C B π⎛⎫++==++ ⎪⎝⎭，∵,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦．∴ABC ∆周长的取值范围为周长的取值范围为(2⎤+⎦．2.利用不等式求最值：例1. （1）在ABC ∆中，三内角A B C 、、对应的边分别为a b c 、、，且1,6a A π==，求ABC ∆面积最大值．【详解】∵1a =， 6A π=．∵由余弦定理可得： 2222cos a b c bc A =+-.即(22122b c bc bc =+≥=，所以bc ≤（当且仅当1b c ==时等号成立）∵111sin222ABC S bc A =≤=，（当且仅当1b c ==时等号成立），即ABC ∆．（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 3A π=，则ABC ∆周长的取值范围为（ ）．3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以2212b c bc =+-= ()()223b c bc b c +-≥+ ()()223144b c b c -+=+，当且仅当b c =时等号成立．∵()248b c +≤，∵b c +≤ABC ∆ （3）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若6a b +=且3C π=，则ABC 的周长的取值范围为（ ）A ．[)9,12B ．()6,12C ．(]6,9D ．()9,12【详解】因为3C π=，所以()2222222cos33c a b ab a b ab a b ab π=+-=+-=+-，由基本不等式可得()()()()2222233944a b a b c a b ab a b ++=+-≥+-==，当且仅当a b =时，等号成立，此时3c ≥，由三角形三边关系可得6c a b <+=，所以36c ≤<，则912a b c ≤++<， 所以，ABC 的周长的取值范围为[)9,12.故选：A.例2.已知锐角三角形的边长分别为1，3， a ，则a 的取值范围是__________．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130 130310a a a a <<+->+->+->⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得a << ∵实数a的取值范围是(． 练习：1.在ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，a =， 23A π=，则b c +的取值范围为__________．，b c =时等号成立．∵()216b c +≤，又0b c +> ∵4b c +≤，b c +的取值范围为(4⎤⎦． 2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B =， ABC ∆，则b 的取值范围是 _________. 【解析】由112222ABC S acsinB ac ∆==⨯=可得2ac =，再由2222accosB b a c =+-可得212ac 2ac ac 22b ≥-⨯==，当且仅当a c ==“=”,∴b 的取值范围是)+∞4．已知a b c 、、是ABC ∆的三边， ()4,4,6,sin2sin a b A C =∈=，则c 的取值范围为__________． 【解析】由sin2sin A C =得2sin cos sin A A C =，由正弦定理得2cos a A c =，即cos 2cA a=，∴222cos 22b c a cA bc a+-==，又4a =，∴2164c b =+，∵46b <<，∴23240c <<，即c << 5．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则b aa b+的取值范围为__________． 【解析】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，所以2b ac =,有2b c a=.由余弦定理得2222211cosB 12222a c b a c ac a c ac ac c a +-+-⎛⎫===+-≥ ⎪⎝⎭,所以πB 0,3⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 又222222222222211131cosB ()12222222b a b a a c b a b b a ac b b a a b ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+-⎡⎫⎝⎭===+-=+-∈ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，,解得b a a b⎡+∈⎣.故答案为：⎡⎣. 8．已知ABC ∆的周长为6，且,,BC CA AB 成等比数列，则BA BC ⋅的取值范围是______． 【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列，所以622a c bb +-=≤=，从而02b <≤，所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++，又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<，即2390b b +->2b <≤，故2BA BC ≤⋅<. 二、高考真题：1．（2020年全国2卷理）ABC 中，sin2A －sin2B －sin2C=sinBsinC ． （1）求A ；（2）若BC=3，求ABC 周长的最大值.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+2．（2019全国3卷文理）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【详解】(1)根据题意sinsin 2A Ca b A +=， 由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 因为0<B π<，02AC π+<<，所以2A C B +=或者2A CB π++=， 而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=， 又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，又由A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=+又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<故82ABCS <<即ABCS 的取值范围是()82。
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高中数学解三角形中的一类最值或范围问题的解法探究
姓名：任德辉 单位：重庆市綦江区南州中学
在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。
这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。
请先看两个例题：
例1（13年重庆綦江中学）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4
1cos ==
a A . （1）若6=+c
b ，且b <
c ，求c b ,的值．
（2）求ABC ∆的面积的最大值。
解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 2
12)(162--+= ∴8=bc ，
又∵,6=+c b b <c ，
解方程组⎩
⎨⎧==+86bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．
∴4,2==c b
（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 2
11622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴3
32≤bc ，又415sin =A ∴3
154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC 即c b =时三角形最大面积为
3154 评析：本题知道三角形中的一条边和它的对角自然会朝余弦定理方向思考，结合余弦定理的特点和不等式知识把22c b +转化成bc 求出bc 的最大值，进而求出三角形面积的最大值。
如果把本题换一种问法，则思考方向又有不一样的地方，下面再来看一个例题。
例2（13年重庆一中改编）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)sin sin ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→
b 。
（1）求角A ；
（2）求ABC ∆面积的取值范围。
解：（1）→
→⊥∴b a ，
01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ， 0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ，
即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故2
1cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A
（2） 由正弦定理334sin 2==
A a R C R C
B R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S AB
C sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 3
34B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2
sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,2
1()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S
解析：本题第2问利用了正弦定理把面积公式中的边转化成了角，再用B 与C 的关系再次转化成B ，还用了倍角公式、降幂公式、辅助角公式等化成一个三角函数，最后用三角函数的图像求出ABC ∆的面积的取值范围。
其中例题1也可用本题的方法求出三角形面积的最大值，但很明显用不等式求最值更简单直接。
例题2也可用不等式的方法求出三角形面积取值范围的上确界，但却不能确定范围的下确界，所以在分析时要及时调头换一个思维方向。
在解三角形这一章中，求三角形的面积（或周长）的最值（或取值范围）是一类重要的题型，应引起重视。
通过以上两例的解法不难看出，两类问题在问法上有相似之处容易混淆，在解法上虽然一个用了余弦定理和不等式、另一个用了正弦定理和三角函数的图像；但例题1也可以用正弦定理和三角函数的图像求出
范围进而求出最大值，这更增加了两类问题的相似性。
相比例题1单求面积最大值用了不等式解法的简答粗放，例题2求三角形面积取值范围所用的解法相对细腻繁琐，属于精细化的解法。
所以我们在遇到这类问题时要明确目标正确选择解题方法，以免解错或用了繁琐的方法。
下面请大家提起笔再次感受两种不同问题和不同解法的不一样的魅力： 变式练习：在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且C a A c b cos cos )2(=-,
（1）求角A 的大小；
（2）若4=a ，求ABC ∆周长的最大值。
（或ABC ∆周长l 的范围）。