隐形圆解决最值及面积问题 - 含答案

定弦定角最值问题

【定弦定角题型的识别】

有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】

图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】

同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。）

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

典型例题讲解

1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2

4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）

A．1 B．2 C．2D．2

41

4

解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）

如图，当AD过O′时，AD有最小值

∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形

∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5

又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1

2.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交

圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）

16

A．2

13+C．5 D．

13-B．2

9

解：连接AE

∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动

当CE过圆心O′时，CE有最小值为2

13-

3.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2

4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）

A．1 B．2

C．2D．3

4-

2

解：连接CD

∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°

如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值

∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴O′B＝O′C＝4

又∵∠ACO′＝90°

∴AO′＝5 ∴AD的最小值为5－4＝1

4.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为3

2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）

A．3

12+D．3

4

6+

6

3

12+B．3

3

6+C．3

5.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）

A ．

21 B ．22 C ．

2

3 D ．43

6.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________

解：连接DM

∵D 是弦EF 的中点 ∴DM ⊥EF ∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动

当CD 过圆心A 时，CD 有最小值，连接CM

∵C 为弧AB 的中点

∴CM ⊥AB ∴CD 的最小值为12

7.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________

解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点

∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动

当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值，过点C 作CM ⊥AB 于M

∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°

∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝2

3

∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2

147- 8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连结B ′D ，则B ′D 的最小值是（ ）．

A

． B.6 C. D.4

【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B ′E 可知，点A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B ′是动点，当E 、B ′、D 三点共线时，B ′D 的长最小，此时B ′D ＝DE －EB ′，问题得解.

【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B ′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AB 长为

直径的圆上，如图所示. B ′D 的长最小值= DE －EB

.故选A

．

【启示】此题属于动点（B ′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB ′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B ′、D 三点共线时，等号成立.

9.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 .

【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB

＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.

【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD

交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH . 22=B D DE B E ''≤-H

G

B A 112

AB =1