利用基本不等式求范围的四个典例 教师版

x

y

n
x ，则

y

m m
3n 4 n 4
，于是条件变为
2m
4
2n

2
，
即m n 4 ；-------“换元”
∴(m n)( 2 1 ) 3 2n m 3 2 2 ，但由于m n 4 ，∴ 2 1 3 2 2 ；##
答案： a b (a 1) 1 (b 1) 1 2 ( 1 1 ) ，
a 1 b1 a 1
b 1
a 1 b1
问题变为：(a 1) (b 1) 3 ，求 1 1 的最小值，下略； a 1 b1
变式
4：已知 a,
b

0
，且 a

b

4
或： 4( x
2 3y

x
1
)( x y

y)

( x
2 3y

x
1
)[( x y
3y)

(x

y)]

3
2(x y) x 3y

x 3y x y

3
2
2；
当且仅当 x 2
2 1, y 3 2
2
取等号，∴
x
2 3y

x
1
y
32
的最小值
4
1 ，求
a
b 1

2 b
的最小值.
答案：变形，
b a 1

2 b

1 a a 1

2 b


(a 1) a 1
2

2 b

1
2 a

2 b
，下略；
变式 5：已知a, b 为正实数，且a b 2 ，则 a2 2 b2 的最小值为
.
a b 1
答案： 3 2 2 ； 3
解： a 2 2 b2 a 2 (b 1)2 2(b 1) 1 (a b 1 2) 2 1 1 2 1 ，
a b1
a
b 1
a b1 a b1
而(a b 1)( 2 1 ) 3 2(b 1) a 3 2 2 ，于是……；
∴a 2b a 2a 6 a 2(a 1) 8 a 8 2 (a 1) 8 3 4 2 3；
a 1
a 1
a 1
a 1
注：其实基本不等式的本质就是——放缩法；
T 如：（2015-2016苏州市高二下期末调研 14 ）若实数a, b 满足a 4a b 2 b ，则 a 的最大值是

x
1
y
≥
2 1
2x y
≥
32 4
2
【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明 了，使繁琐的解题显得巧妙自然.
方法三 ∵ x y 0, x y ≤ 2 ，∴ 0 y 1 ， 又∵ 2 1 2 1 3 y
2
；
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本
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不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行.
点评：换元更好：令 x 3y m,
4

9y y 1

4

4 x 1
9y y 1
，（*）
1
题：
x

y 1
，∴
y
y y 1

x ，于是（*）
4
x
4
1

9
x
下略；----实际为函数法；
学生： 4x x 1
9y y 1

4 1 1
9 1 1
，已知改为(1
1) x
(1
1) y
1即可；--更加好！
.
答案：(, 21 5 ]； 10
详解：法一：换元， y 1 5 (x 2) 即可； x2
法二：十字相乘，(x 2)( y 1) 5 ，目标(x 2) ( y 1) 的范围 2 5 ；
【对比】
T a, 若正数 （正定2015高三月考理科卷 14 ）
b
满足 1 a
2
2
∴m n 17 ；
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2．已知 x 0, y 0 ， x 2 y 2xy 8 ，则 x 2 y 的最小值为
．
答案：4 ； 解析：观察数据，8 (x 2 y) x(2 y) ( x 2 y )2 ，即(x 2 y)2 4(x 2 y) 32 0 ，解之得：
4
【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，从而利用导数研究函
数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错.
【典例 2---放缩法】
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1.已知a, b 0 ，ab a b 3 ，求：
（1）ab 的最小值； （2）a b 的最小值； （3）a 2b 的最小值.
是产生上述解法；
【典例 3---配凑法】
1.已知 x, y R ，且 x 2 y 1， m x n 2 y 的最大值为3 ，则m n
.
答案： m x n 2 y 2 m x n 2 y 3 ，且 x 2 y 1，即2 m n 1 3 ，
答案：( 2 1)(a b) 3 2b a 3 2
2 ，∴a b 3 2
2
；
ab
ab
3
变式 2：已知a, b 0 ，且2a b 3ab ，求a b 的最小值.
答案：同变式 1；
变式 3：已知a, b 0 ，且a b 2 ，求 a b 的最大值. a 1 b1
x
y
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14. 已 知 实 数 x, y 满 足 x 2 y 3 xy ， 且 对 任 意 的 实 数 x (2, ), y (1, ) ， 不 等 式
(x y 3)2 a(x y 3) 1 0 恒成立，则实数a 的取值范围是
( x
2 3y

x
1
)( x y

y)

(
x
2 3y

x
1
)[( x y

3y)

(x

y)] 1 2

1 [3 2
2(x y) x 3y

x 3y x y
]
1 (3 2 2) ，由于 x y 2 ，∴ 2 1 3 2 2 ；
2
x 3y x y

28k 2 40k 4 2 4k 6k 2 2
，令 g (k)

0 ，得k

4
2 5 ， 7
∵ g(k) 在(0, 4 2 5) 上递减，在( 4 2 5 ,1) 上递增，
7
7
∴g k
g(4
2 5) 3 2
2
，∴
2

1
32 2
的最小值
；
min
7
4
x 3y x y
mn
mn
mn
∴结果 4 2
332
3 1
2
，即最小为
3 1
；
222
2
点评：变换分母字母非常有必要；
变式 7：已知正数 x, y 满足 1 1 1 ，则 4x 9 y 的最小值为
.
xy
x 1 y 1
答案：25 ；
法一： 4x x 1
9y y 1

4(x 1) x 1
mn
mn
mn
4
方法二
a2
利用不等式
b2
≥
a b2
，引证：
p q pq

记向量 x (
a
,
b
), y (
p,
2 2 2 q ) ，∵ x y ≤ x y
pq
2
∴
a2 b2 ≥ a b2 ，则
p q pq
2 x 3y
∴已知 1 1 1 ，求a 2b m n 1 2(n 1) m 3n 3 1 (m 3n) 3 的最小值，
mn
2
2
2
2
∵(m 3n)( 1 1 ) 4 (3n m ) 4 2 3 ，即 1 1 4 2 3 ，
函数法：一元；
条件得： 1 1 1 b 1 ，即a b ，代入，得，原式
a bb
b 1
1 4 b 1 b 1
b 1
b 1 4 4 ，（条件：暗含a 1, b 1 ） 1 b 1
注：函数法理论上能解决很多问题；如果好消元的话；
变式 8—应用 1：已知a, b 0 ，2a b 1，若 1 1 ≥m 恒成立，求m 的最大值（或范围）； ab
x 3y x y 2 2 y 2 2 y 2(1 y)(1 y)
1
1
2 6 (3 y
8
32
)
4
2 ，当且仅当 x 2
2 1, y 3 2
2 取等号
3 y
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解.
答案：m 3 2 2 ；
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变式
9—应用
2：已知0

x

1
，且
2 x

1
a
x
≥3
恒成立，求 a
的值；
答案：法一：函数法，分离变量得： a

5 (3x
2) ，而(3x x
2 x
)
min

2
6，Baidu Nhomakorabea
∴a 5 2 6 ； 法二：不等式法，似缺a 0 条件；

1 b
1，则 1 a 1
4 的最小值为 b 1
.
答案：4 ； 1 1 1，得a b 4 ，∴[(a 1) (b 1)]( 1 4 ) 5 b 1 4(a 1) 9 ，
ab
a 1 b 1
a 1 b 1
好像不对？
点评：如果a b 4 ，则可以做；
答案： M (a c)( 1 1 ) [(a b) (b c)]( 1 1 ) ，∴M 4 ；
ab bc
ab bc
注：以上各题，形异质同；
【条件是不等关系】
1.已知实数 x,
y
满足 x

y

0
，且 x

y

2
，则
x
2 3y

x
1
y
的最小值为
.
方法一 ∵4 2x 2 y ，∴
方法四 ∵ 2 x y ，∴ 2 1 x y x y 1 k 1 k ，其中k y ，
x 3y x y x 3y 2x 2 y 1 3k 2 2k
x
记 g(k)

1 k 1 3k

1 k 2 2k
，k 0,1 ，∵ gk
a b1
a b1
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变式
6：若 a

0,
b

0
，且
1 2a
b

b
1
1

1 ，则 a

2b
的最小值为
.
换元法，很有必要
注：换．元．法．即可，令2a b m,
b

1

n
即可；解方程组
2a b 1
b
n
m

a

m
n 2
1
，
b n 1
利用基本不等式求范围的四个典例
关键词：过河拆桥、放缩法、配凑法、最后一招——反代； 【典例 1---过河拆桥】
1.母题：已知a, b 0 ，且a b 1，求 2 1 的最小值. ab
答案：(a b)( 2 1) 3 2b a 3 2 2 ；
ab
ab
变式 1：已知a, b 0 ，且 2 1 3 ，求a b 的最小值. ab
．
答案：a 1 4a b 2 b 12 22 ( 4a b )2 ( b )2 5 4a ，（题目暗含a 0 ）
于是：0 a 20 ，∴a 的最大值为20 ；
点评：其实，这就是放缩法；
就本题而言，a, b 没法分离，也不能看成关于b 的方程有解，求a 的范围，而题目像cauchy 不等式，于
答案：（1）放缩法： （把需要放缩的移到等式的右边）ab 3 a b 2 ab ，∴ab 9 ；
（2）a b 3 ab ( a b )2 ，相当于 x 2 4x 12 0 ，∴ x 6 ，得：a b 6 ； 2
（2）消元，b a 3 0 ，得：a 1 ， a 1
变式 10—应用 3：已知a b c ，且 1 1 M 0 恒成立，求 M 的最大值； ab bc ca
答案： M

(a
c)( a
1 b

b
1
) c
[(a
b)

(b

c)]( a
1 b

b
1
) ，∴ M c

4 ；；
注：已知a b c ，且 1 1 M 0 恒成立，求 M 的取值范围. ab bc ca