高考数学(三角恒等变形)第一轮复习
2025年高考数学一轮复习-4.3-三角恒等变换【课件】
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意角.( )
√
（2）两角和与差的正切公式中的角 ， 是任意角.( )
×
（3）存在实数 ， ，使等式 成立.( )
√
2.（人A必修第一册 例4（1）变条件） ( )
A. B. C. D.
解析：选C.原式 .
√
3.（人A必修第一册 练习 变条件）若 , ,则 的值为( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 ,所以 ,所以 ,则 .故选C.
√
4.若角 的终边在第四象限，且 ，则 __.
解析：由题可知， ,所以 ,则 ,所以 .
5. 的值为_ __.
解析： .
1.公式的常用变形 ， 1 ,1 , .若 ，则 .
2.升幂、降幂公式1 , . , .
【用一用】
1.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.原式 .故选C.
√2.求值： ____.解析：因为 .所以 .
考点考法：三角函数的恒等变换，主要依据三角函数的有关公式进行适当的化简，属于中档题，三角恒等变换的综合应用是高考的重点，难度中等.核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[提醒] 二倍角公式实际就是由两角和公式中令 所得.逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现.
4.3 三角恒等变换
课标要求
考情分析
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角恒等变换 第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3节三角恒等变换考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.3.函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)(其中tan φ＝ab).1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z ).2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝1010，cos β＝255，则α＋β＝( ) A.3π4 B.π4 C.π6 D.3π4或π4 答案 B解析 ∵sin α＝1010，cos β＝255， 又α，β为锐角，∴cos α＝31010，sin β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝31010×255－1010×55＝22.∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 3.计算：1＋tan 15°1－tan 15°＝________.答案3解析 1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________. 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°) ＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3－3tan 10°tan 50°， ∴原式＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan10°tan 50°＝ 3. 5.(2020·江苏卷)已知sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是________.答案 13解析 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝23， 所以1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α2＝23，即1＋sin 2α2＝23，所以sin 2α＝13.6.函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 的周期为________. 答案 π解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，周期T ＝2π2＝π.第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一 公式的基本应用1.已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.－210 B.210 C.－7210 D.7210 答案 C解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，23，其中x 1<0<x 2，则cos(2α－β)＝________. 答案 75－8227解析 由题意可知，sin α＝13，sin β＝23， 由x 1<0<x 2可知cos α＝－1－sin 2α＝－223，cos β＝1－sin 2β＝53，所以cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－223×13＝－429， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝75－8227.3.已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan 2θ＝________.答案 －43解析 2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2tan θ－1＋tan θ1－tan θ＝7，解得tan θ＝2，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43. 感悟提升 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二 公式的逆用、变形用 角度1 公式的活用例1 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°的值为________.(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. (3)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 (1)12 (2)2 (3)－12 解析 (1)tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12×1＝12. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2， 即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.(3)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.角度2 辅助角公式的运用 例2 化简：(1)sin π12－3cos π12； (2)cos 15°＋sin 15°； (3)1sin 10°－3sin 80°； (4)315sin x ＋35cos x .解 (1)法一 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.法二 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝－2sin π4＝－ 2. (2)cos 15°＋sin 15°＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°) ＝2×32＝62.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°.＝4sin （30°－10°）sin 20°＝4.(4)315sin x ＋35cos x ＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.感悟提升 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练1 (1)下列式子化简正确的是( ) A.cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝12 B.sin 15°sin 30°sin 75°＝14 C.tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝ 3D.cos 215°－sin 215°＝32(2)(2022·郑州模拟)函数f (x )＝cos x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在[0，π]的值域为________.答案 (1)D (2)[－2，1]解析 (1)选项A 中，cos 82°sin 52°－sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°) ＝－sin 30°＝－12，故A 错误；选项B 中，sin 15°sin 30°sin 75°＝12sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18，故B 错误； 选项C 中，tan 48°＋tan 72°1－tan 48°tan 72°＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－3，故C 错误；选项D 中，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，故D 正确.(2)f (x )＝cos x －32sin x －12cos x －32sin x ＋12cos x ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵0≤x ≤π，∴π3≤x ＋π3≤4π3，则当x ＋π3＝π时，函数取得最小值2cos π＝－2，当x ＋π3＝π3时，函数取得最大值2cos π3＝2×12＝1， 即函数的值域为[－2，1]. 考点三 角的变换例3 (1)已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6(2)(2022·大庆模拟)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. (3)(2022·兰州模拟)若23sin x ＋2cos x ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝________.答案 (1)C (2)－45 (3)732解析 (1)因为sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以cos α＝55，cos(β－α)＝31010， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)] ＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝25250 ＝22，所以β＝π4.故选C.(2)由题意知，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35＜0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－725， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－45.(3)由题意可得4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，令x ＋π6＝t ，则sin t ＝14，x ＝t －π6， 所以原式＝sin(π－t )cos 2t ＝sin t (1－2sin 2t )＝732.感悟提升 1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等.训练2 (1)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin 2α等于( ) A.5665B.－5665C.1665D.－1635(2)(2021·全国大联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.答案 (1)B (2)－45解析 (1)因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45， 则sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.故选B. (2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.1.已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝( ) A.－31010 B.31010C.－35D.35答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13， 所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C. 2.已知tan α2＝3，则sin α1－cos α＝( )A.3B.13 C.－3 D.－13答案 B解析 因为tan α2＝3，所以sin α1－cos α＝2sin α2cos α21－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝cos α2sin α2＝1tan α2＝13，故选B.3.下列选项中，值为14的是( )A.2sin π12sin 5π12B.13－23cos 215°C.1sin 50°＋3cos 50°D.cos 72°·cos 36° 答案 D解析 对于A ，2sin π12sin 5π12＝2sin π12cos π12＝sin π6＝12，故A 错误； 对于B ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36，故B 错误；对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋12cos 50°12sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4，故C 错误；对于D ，cos 36°·cos 72°＝2sin 36°·cos 36°·cos 72°2sin 36°＝2sin 72°·cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14，故D 正确.4.(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 5.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝( ) A.－2425 B.2425 C.－725 D.725答案 D解析 法一 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.故选D. 法二 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725. 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝725. 6.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. ∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. 7.sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).8.(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 答案 －35 13解析 由题意，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2 θcos 2θ＋sin 2 θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ·tan π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.9.tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.答案 －1解析 ∵tan 25°－tan 70°＝tan(25°－70°)·(1＋tan 25°tan 70°)＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)＝－1－tan 25°tan 70°，∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.10.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值.解 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 11.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜ π2，求cos(α＋β).解 由已知，得π2＜α－β2＜π，0＜α2－β＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527. 则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.12.若cos 2 α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A.－a 2B.a 2C.－aD.a答案 C解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)·(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2 β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .13.已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________.答案 － 3解析 由题意可得m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.14.(2021·合肥质检)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α.解 (1)∵f (x )＝cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (α)＝13，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6. 又∵0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13<12， ∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－223. ∴cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6·sin π6 ＝1－266.。
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第四章 第3节 三角恒等变换 课件(38张)
又因为 < <π,所以原式=-cos .
答案:-cos
3.化简:
- +
=
( -) ( +)
( - +)
( -)
·
· ( -)
( -)
解析:原式=
=
=
(3)tan 2α=
.
-
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=
+ -
-
=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°; +α=
-( -α)等.
2.辅助角公式
=
- °
×°
- °
= ×tan 30°= × = .
3.
°- °
等于(
°
A.-
C.
B.-1
解析:原式=2×
=2×
D
)
D.1
°-°°
°
(°+°)-°°
三角函数式的求值
给角求值
[例 1] (1)
° °
解析:(1)原式=
=
=
=
-
( °-
=
.
°- °
2019届北京专用高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变换讲义文
= sin1=00 =1c.os10
cos10 cos10
(2)原式=
2cos2 x(cos2 x 1) 1 2
2
tan
4
x
cos
2
4
x
= =4cos2xsin2x 1
4
sin
4
x
cos
4
x
1 sin2 2x
2 sin
2
2x
= cos2 2x = 1 cos 2x.
3
解析
(1)sin
3
+αsin
α=
⇒4 si3n
5
cos α+cos
3
·sin α+sin α=
3
4⇒ 3
5
3 sin α+ 3 cos α=4 3⇒
2
2
5
3sin α+ 1 cos α=4
2
2
5
,故sinα 7=6sin αcos
+7
6
cosαsin 7=-
6
=3-sin
2
α.
1 2
cos
2cos 2x 2
考点二 三角函数的给值求值(角)问题
命题角度一 给值求值
典例2
(1)已知sin
3
α
+sin
α=
43 5
,则sin α
7 6
的值是
(
)
A.- 2 3 B. 2 3 C. 4 D.- 4
5
5
5
5
(2)已知θ是第四象限角,且sin
θ
4
=
3 5
,则tan
θ
2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
5.5.2-简单的三角恒等变换 2025年高考数学知识点题型及考项复习
+ cos
2
sin
2
2
−
2
,
= cos
cos
2
2
+ sin
sin ，
2
2
即 sin
2
所以sin
即tan
2
2
π
4
2
− cos
2
− cos
cos
2
= 1或tan
2
2
= 0或cos
2
故 =
π
4
=
2
2
= 0,
− sin
2
= 0,
= 1，又， ∈ 0, π
故 = 或 = .
cos = ± 1 −
π−
所以cos
2
=
5 2
13
=
π−
,则底角为
,由题意可知sin
2
12
π−
± ，所以cos
13
2
26 5 26
或
.
26
26
=
sin
2
=
1−cos
2
5
,所以
13
=
12
=
1±13
2
,
sin 4
6.化简：
1+cos 4
⋅
cos 2
1+cos 2
cos
⋅
1+cos
的交点，则( ABD
)
图5.5.2-1
高考数学一轮复习规划第五章三角函数、解三角形第3讲 简单的三角恒等变换(二)课件
D.
解析 答案
5．(2021·六盘水市一模)在直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点为 O，始边
为 x 轴非负半轴．若点 P1＋cos9π，sin9π是角 α 终边上的一点，则角 α 的值 是( )
A．1π8
B．2kπ＋1π8，k∈Z
C．2kπ＋1π2，k∈Z
D．2kπ±1π2，k∈Z
答案
解析
π 由 1＋cosπ9>0，sinπ9>0，可得点 P 在第一象限，又 tanα＝1＋sinco9s9π
＝
sinα 1＋cosα
，
A
成
立
；
tan
α 2
＝
sin2 α
＝
cos2
2sin2α2 α
1－cosα α＝ sinα ，B
2sin2cos2
αα
α
不成立；sinα＝si2ns2iα2n＋2ccooss22α2＝1＋2tatann22α2，C
成立；cosα
＝csions22α2α2＋－csoins22αα22＝11－＋ttaann22αα22，D 成立．
答案
解析 f(x)＝ 2sinωx＋51π2－4π＝ 2sinωx＋π6.因为 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，所以 ω＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得 ω＝kπ＋π3，k∈Z，因为 0<ω<6， 所以 ω＝π3或 ω＝43π，故选 BC．
解析
(2) (2021·海口调研)如图，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为π3的扇形， 点 A 在弧 PQ 上(异于点 P，Q)，过点 A 作 AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为 B，C，记∠AOB＝θ，四边形 ACOB 的周长为 l.
水的中央，长出水面的部分为 1 尺．将芦苇向池岸牵引，恰
简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习
所以矩形ＡＢＣＤ面积的最大值为８－４√３．
则
［溯源点评］两题的区别在于扇形内接矩 ＡＢＣＤ方式不同，考虑该问是否能转化为更简单、熟悉来解决．根据图对称性作∠ＰＯＱ平分线别交ＡＤ，ＢＣ于点ＦＥ从而使整个问题又回到教材中的．
谢观赏！
Ｃ
Ａ Ｄ． ５＋３
ＢＣ＝５－１ Ｂ
金三角形．如图，在黄△ＡＢＣ中
ｃ．５＋４
Ａ．２×５－１Ｂ．＋
又因为ｃｏｓ２３６°＋ｉｎ＝１，
【解析】选Ｂ．由题设，可得ｃｏｓ ７２°＝１－ｉｎ３６Ｖ５所以ｃｏｓ２３６°＝１５＋，又 ∈（Ｓ所以ｃｏｓ ３６°＝（９０－５４）ｉｎ１＋
４
３．已知ａ，β∈（０π）且ｔｎ－＝ 则２α的值为【解析】因为ｔａｎ ＝［（－β）＋］ｍａ－＋ 所以ａｍ （２０－Ｂ＋ｔ＝１．＞０， 又因为ａｎ２＝－ｍ１３＞０，所以Ｏ＜ａ２ 所以０＜２α 因为ｔａｎ β＝－＜０，所以＂＜βπ，－２ａ０．所以２ａ－β＝３４
－ｓｉｎ２ａ＋６ ｃｏ＝１）（３ 因此，当α＝＂时矩形ＡＢＣＤ的面积最大为【解析】在Ｒｔ△ＯＢＣ中，＝ｃｏｓ ａｉｎ．
０Ａ＝ｔａｎ ＂＝√３．
在Ｒｔ△ＯＡＤ中，
ＯＡ＝Ｄ３Ｂｃｓｉｎａ，
ＡＢ＝Ｏ－ｃｏｓ αｉｎａ．
所以当２ａ＋６＝，即α时 最大＝１６－
三角恒等变换中的最值问题
矩形ＡＢＣＤ内接于扇，∠ＰＯ＝ａ
４．（忽视隐含条件）已知２ｓｉｎ α＝１＋ｃｏａ，则Ｂ．２Ｄ．２ ｔａｎ２＝１ｓｃｏａ＝
Ａ．２ Ｃ．２或不存在 α≠ｋπ＋（∈Ｚ）时，
核心考点·分类突破
［例１］（）函数ｆｘ＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ－可以化简为Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－＂）Ｄ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋＂）
考点一三角函数式的化简 Ａ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ－３）Ｃ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋３）【解析】选Ｂ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２＋√３ ｃｏ １－ｃ２ｓｘ＋ｉｎ ＝ ｓｉｎ２ｘ－１ｃｏ（５）
高考一轮复习 三角恒等变换复习 知识点+例题+练习
1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。
（2）辅助角公式()sin cos sin a x bx x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
高考数学三角恒等变换一轮复习
(α ,β , α -β ≠
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)二倍角的正弦公式 sin 2α = 2sin α cos α . (2)二倍角的余弦公式 cos 2α = cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α . (3)二倍角的正切公式 tan 2α =
2tan 1 tan 2
sin 47 sin17 cos30 等于( cos17
2
2 答案: 2
5.下面说法正确的是
.
①存在实数α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立. ②在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.
tan tan ③公式 tan(α +β )= 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β ) 1 tan tan
D )
解析:原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°· tan 28° =1+tan 45°(1-tan 17°· tan 28°)+tan 17°· tan 28° =1+1=2.
故选D.
π 2 π 4.(2016·四川卷)cos -sin = 8 8
2
.
π π 2 2 π 解析:cos -sin =cos = . 8 8 4 2
提示:变形可以,但不是对任意角α,β都成立,α,β,α+β≠kπ+
2.一般情况下,tan 2α ≠2tan α ,但是否存在α ,使得tan 2α =2tan α ? 提示:存在α,使得tan 2α=2tan α,如α=kπ(k∈Z)时,上式就成立.
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高考数学（三角恒等变形）第一轮复习资料知识小结1.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 2.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．5. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.6、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 试题选讲第一节 同角三角函数的基本关系A 组1．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________． 解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010.∵sin α＝55，∴cos α＝ 1－(55)2＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π42．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为________．解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－24253．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.解析：tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3＝－32.答案：－324．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是___．解析：由已知得32cos α＋12sin α＋sin α＝453，即12cos α＋32sin α＝45，得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－455．(原创题)定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sin π12π12＝________.解析：sin π12π12＝sin 2π12－sin π12cos π12－cos 2π12＝－(cos 2π12－sin 2π12)－12×2sin π12cosπ12＝－cos π6－12sin π6＝－1＋234.答案：－1＋2346．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.又π2<α<π.所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.B 组1.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋tan α1－tan α＝cos α－sin αsin α＋cos α·1＋tan α1－tan α＝1－tan α1＋tan α·1＋tan α1－tan α＝1. 2．已知cos(π4＋x )＝35，则sin2x －2sin 2x 1－tan x的值为________．解析：∵cos(π4＋x )＝35，∴cos x －sin x ＝352，∴1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725，∴sin2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin xcos x＝sin2x ＝725.3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin(α－π3)＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，由已知得：(12＋32)sin α＝(12＋32)cos α，tan α＝1.4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，即sin(α＋β)＝5665.5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327. 6．已知角α在第一象限，且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________.解析：∵α在第一象限，且cos α＝35，∴sin α＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(sin α＋cos α)＝2(45＋35)＝145.7．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为________．解析：a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17.8.tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°的值为______． 解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°·tan10°＝3，故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°＝33.9．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________．解析：∵sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cos α＝－ 2.10．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40°＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2.11．已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x2，1)(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1.(1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (C )的值． 解：(1)f (x )＝m ·n －1＝(2cos x 2，1)·(sin x 2，1)－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sin x .∵x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)∵f (A )＝513，f (B )＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f (C )＝sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35＝5665.∴f (C )的值为5665. 12．(2010年南京调研)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos 2(β－π4)－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝－35×13＋45×223＝82－315.第二节 两角和与差及二倍角的三角函数A 组1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.解析：由于α∈(－π2，π2)，sin α＝35得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.12＋12 12＋12cos θ＝ 12＋12cos 2θ2＝ 12－12cos θ2＝sin θ4.3．(2010年南京市调研)计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2.4．(2009年高考上海卷)函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．解析：y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝sin2x ＋1＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1≥1－ 2.5．(原创题)函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 解析：f (x )＝(2010sin 4x ＋1)(2010cos 4x ＋1)20102sin 2x cos 2x＝20102sin 4x cos 4x ＋2010(sin 4x ＋cos 4x )＋120102sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201120102sin 2x cos 2x －22010≥22010(2011－1)． 6．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．解：∵(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，又α∈(π4，π2)，∴tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35，(1)tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝43＋11－43＝－7.(2)cos2α＝2cos 2α－1＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，cos(π3－2α)＝cos π3cos2α＋sin π3sin2α＝12×(－725)＋32×2425＝243－750.B 组1．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝25－141＋25×14＝322.2．(2009年高考陕西卷改编)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．解析：由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103.3．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是解析：a ＝2sin59°，c ＝2sin60°，b ＝2sin61°，∴a <c <b .或a 2＝1＋sin28°<1＋12＝32，b 2＝1＋sin32°>1＋12＝32，c 2＝32，∴a <c <b .4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.5．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．解析：由题意知，tan α＝3，sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝2tan α1＋tan 2α＝35，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝22(35－45)＝－210. 6．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，所以T ＝2π4＝π2.7．(2010年无锡质检)2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝ 3.8．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.解析：|a －2b |2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a －2b |＝ 3.9．(2010年江苏省南通市调研)已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：因为1－cos2αsin αcos α＝1，即1－1－tan 2α1＋tan 2α＝12×2tan α1＋tan 2α，所以2tan α＝1，即tan α＝12，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)tan α＝－13－121－16＝－1.10．已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．解：(1)∵tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α，tan α＝2，∴tan(α＋π4)＝1＋21－2＝－3.(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. 11．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°.＝35×12－45×32＝3－4310，∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.12．(2009年高考江西卷)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .(1)求角A ，C .(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .解：(1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4，B ＝5π12.故A ＝π4，C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即 a 22＝c32，得a ＝22，c ＝2 3.。