流体力学 第五章 cn

二、紊流切应力
1．紊流切应力
对于平面恒定均匀紊流，按时均化方法分解为时 均流动和脉动流动，相应地切应力也由两部分组 成，其中 粘滞切应力τ 1 为因时均流层相对运动而产生的粘 性切应力，符合牛顿内摩擦定律，即
dux 式中 为时均流速梯度。 dy
dux τ 1＝µ dy
紊流切应力
附加切应力 τ 2 为因紊流脉动，上下层质点相互掺 混而产生的切应力，又称惯性切应力或雷诺切应 力。 由质点动量定律可得
1 v = ∫ udA A A
紊流运动的时均化
紊流中压强也可以同样处理，即 瞬时压强 时均压强 脉动压强的时均值
p = p + p' 1 p= T
‘
∫
T
0
pdt
T
1 p = T
∫
0
p dt＝0
’
紊流运动的时均化
引入时均化概念，把紊流分解成时均流动和脉动流动， 而脉动量的时均值为零，紊流就可以根据时均运动参 数是否随时间变化，分为恒定流和非恒定流。这样一 来，上一章关于恒定流动的基本方程也可以应用于紊 流了。 另外请注意，通过运动要素的时均化，用时均值代替 瞬时值，为研究紊流运动带来很大方便，但在研究与 紊流特征直接有关的问题，如各流层之间的质量、动 量、热量的交换等问题，还必须以紊流的基本特征出 发进行研究。
′ τ 2 = − ρ u′ xu y
′ ′ u u ′ 为 脉 动流速 乘 积 的 时 均 值 ，由于 和 式中 u ′ u y x x y 符号总是相反的，式前加－号。
紊流切应力
d ux ′ τ = τ1 + τ 2 = µ − ρu′ xu y dy
2．混合长度理论
′ 由于脉动流速不易确定，如能找到 u ′ x u y 和时均流 速的关系，就可以直接计算附加切应力了。1925 年德国力学家普朗特（L. Prandtl）比拟气体自 由程的概念，提出了混合长度理论。
二、不同流动型态的阻力规律
通过实验进一步可以求得沿 实验表明 不同 流动 型 程水头损失 h， 和 断面平 均流速 f 态有不同 的阻力 v 的关系如右图所 示。规律和
水头损失规律。
由图可得 h f = Kv OA段，v<vk，为稳定的 1.0 层流，m=1, h f = Kv CDE段，流动为紊流， 1.75～2.0 m=1.75~2.0， h f = Kv AC和BD段为流态不稳定 的过渡区
上式表明，过流断面上流速呈抛物面分布，这是圆 管层流重要特征之一。
γJ 2 u=− r +C 4µ
流速分布
将r=0代入上式，得管轴处最大流速
u max
流量 平均流速
Q = ∫ udA =
A
γJ 2 = r0 4µ
∫
r0
0
Q γJ 2 v= = r0 A 8µ 1 对比最大流速，得 v = umax 2 即圆管层流的v为最大流速的一半，表明圆管层流 运动流速分布非常不均匀。
第五章 流动型态、流动 阻力和能量损失
5－1 流动阻力和能量损失的 两种形式
一、沿程阻力和沿程损失
沿程阻力（Frictional Drag）：流体在均匀流段 上产生的流动阻力，也称为摩擦阻力。 式中，l为管长； d为管径； v为断面平均流速； 沿程损失（ Frictional loss）：克服沿程阻力产 λ一般由 g 为重力加速度；ρ为密度；λ为沿程阻力系 生的能量损失，用hf表示，总水头线表现为均匀 实验确定 数（Frictional Drag Factor）。 的下降。 l v2 hf = λ 沿程水头损失 2 d 2g
γJ 2 γJ 2 ( r0 − r ) 2π rdr = π r04 4µ 8µ
流速分布
动能修正系数 动量修正系数
α =
3 u ∫ dA A
α0 =
2 u ∫ dA A
v A
2
3
= 2
v A
= 1.33
所以层流在运用能量方程、动量方程时，不能假 定α＝1、α0＝1。
三、沿程水头损失计算
d γJ 2 h f 代入 v= r0 将 r0 = J= 8µ 2 l
两种流态
由层流转变为紊流时，管中平均流速称为上临界流 速v′k ；相反，由紊流转变为层流时，管中平均流速 称为下临界流速vk。
雷诺实验发现： ① v k < v ′k ② v′k是不稳定的，受起始扰动的影响很大 ③vk是稳定的数值。实际工程中，扰动是 普遍存在的，所以实用上把vk作为流态转 变的临界流速。
紊流运动的时均化
注意区分三种流速概念 瞬时流速u ：是流体通过某空间点的实际流速， 在紊流状态下随时间而变，即
u = u + u'
时均流速 u ：是某一空间点的瞬时流速在T时段内 的时间平均值，即 1 T u = ∫ udt T 0 断面平均流速V ：是过流断面上各点的流速（紊流 是时均流速）的断面平均值，即
τ 0 = γR hf l = γRJ
式中τ0为边壁切应力；R为水力半径；J = l 力坡度。
hf
为水
上式即为均匀流方程式，由于上式没有涉及 流体质点的运动状态，因此该式对层流和紊 流均适用。
二、圆管过流断面上的切应力分布
在圆管均匀流中，取一同轴圆柱体流束进行受力分 析，同样可得流束表面切应力 r τ =γ J 2 r0 r0 (R = ) 对比 τ 0 = γ RJ = γ 2 J 2
得
32 µlv hf = γd 2
上式表明，层流的沿程水头损失hf和平均流速v的 一次方成正比。
三、沿程水头损失计算
思考题 在层流中，hf与 v的l一 v 次方成正比，那么管流中 h =λ d是 2 g 否适用于层流，为什么? 的达西公式
2 f
2 2 64 l v l v 左式表明层流λ 改写为通 h f = =λ Re d 2 g d 2 g 只是雷诺数的函 用达西公 数，与管壁粗糙 64 式形式 式中 λ = 度无关 Re
l ρv 沿程压强损失（用于气体管道）p f = λ d 2
二、局部阻力与局部损失
局部阻力（Local Drag）：在边壁沿程急剧变化， 流速分布急剧调整的局部区段上，集中产生的流动 阻力。 局部损失（Local loss）：由局部阻力引起的损失， 式中ζ为局部阻力系 数(Local Drag 以h 表示，如管道进口、异径管、弯管、三通、阀 m Coefficient) ， v 为与ζ 对应 的 断面平 均流速。 门等各种管件处的水头损失，都是局部水头损失。 局部水头损失
紊流运动的时均化
' ' u = 0 u , 横向脉动流速时均值也为零，即 y z = 0
但脉动流速的均方值不等于零，其值为 1 T '2 '2 u x = ∫ u x dt T 0 常用紊流强度N来表示紊动的程度，其值为
1 2 2 2 ′ ′ (u ′ + u + u x y z ) 3 ux
N=
一、紊流的特征与时均化
1．紊流特征
质点掺混(Mixture)：流体质点在流动过程中不断相互掺混。 紊流运动要素的脉动(Fluctuation)：流体中涡体(Vortex) 不断的产生、发展、衰减和消失，使固定空间点上的各种 运动要素，如速度、压强、浓度等都随时间不断波动，称 为脉动。如激光测速仪测定的主流方向流速随时间的波动 过程，脉动是一个随机过程，脉动值时大时小，方向有正 有负，但总是围绕一个平均值而波动，这就提出了一个时 均值的概念。
λ v* = v 8
阻力速度v*是反映了在固体边壁上切应力大小的一 个流速。上式给出了λ和τ0之间的关系。
思考题
为什么均匀流方程既适用于层 流又适用于紊流？
5－4 圆管中的层流运动
讨论
实际工程中哪些流动可能是层 流运动？
5－4 圆管中的层流运动
层流常见于低速、高粘性流动，如输油管道、润滑 油管、沉淀设备等情况。研究层流不仅具有工程实 际意义，而且通过对比，加深对紊流的认识。
m
lghf
lg v
三、流态的判别标准--临界雷诺 数(Critical Reynolds Number)
计算水头损失之前，必须首先判别流态
1．圆管流动
雷诺试验发现影响流体流态的四个因素是v、d、μ、 ρ，组成的无量纲数称为雷诺数，用Re表示，即
µ ν = ，为运动粘滞系数。 式中， ρ
和临界流速vk相对应的雷诺数，称为临界雷诺数， vk d 用Rek表示，即
vR Re = < 500 为层流 ν Re = vR > 500 为紊流 ν
四、雷诺数为什么能够判别流态
是由于Re反映了惯性力和粘滞力之间 的对比关系。层流时，粘性起主要作 用；紊流时，惯性力起主要作用。
习题：5－2，5－ 3
5－3 沿程水头损失与切应力之间 关系
一、均匀流动方程式 取圆管均匀流段进行受力分析，可得
vd ρ vd Re = = µ ν
Re k =
ν
圆管流动
试验表明，尽管不同条件下，临界流速不同，但对 于任何管径和任何牛顿流体，判别流态的临界雷诺 数都是相同的，约为2000。仔细量测应为2320，工 程实际中，采用的临界雷诺数为2000。即对于圆管 流动来说 Re<Rek=2000 Re>Rek=2000 为层流 为紊流
hm v2 =ζ 2g
Baidu Nhomakorabeapm
局部压强损失（用于气体管路）
ρv 2 =ζ 2
三、整个管路的能量损失
hl = ∑ h f + ∑ hm p l = ∑ p f + ∑ p m （用于气体管路）
压强损失和水头损失的关系为
pl = γhl
p f = γh f
p m = γhm
5－2 流体的两种流动型态
一、两种流态 实际流体具有两种不同的流动型态是由英国 物理学家雷诺通过实验而发现的。 层流（Laminar Flow）：各流层质点互不掺 混，分层有规则的流动状态。 紊流（Turbulent Flow）：质点运动轨迹极 不规则，各流层质点剧烈掺混。
思考题
1. μ=0.048Pa·s的油通过d=18mm的 圆管，已知v=0.3m/s，油的 ρ=915kg/m3，求（1）l=45m的管 道所消耗的压力降；（2）距管 壁3mm处油的速度。 2. 试求圆管层流点流速与断面平均 流速相等的那点的位置，已知圆 管半径为r0
5－5 紊流运动简介
自然界和工程中大多数流动都是紊流，工业生产中许多 工艺流程，如管道输送、燃烧过程、掺混过程、传热和 冷却等等都涉及到紊流问题，所以紊流更具有普遍性。
混合长度理论假设
① 流体质点从原流层横向位移经过混合长度到达 新的流层，才同周围质点掺混；
′ ② 脉动流速 u ′ x 、u y 分别与两流层的时均流速差
d u x 成比例。 ∆u x = l dy
混合长度理论
′ 于是 τ 2 = − ρ u′ x u y 可以表示为
紊流的脉动
2．紊流运动的时均化
以流速为例 时均流速 u x 为某点流速ux在一定时间T内的时间平 T 均值，即
ux
瞬时流速
' x
∫ =
0
u x dt T
ux = ux + u
' x
式中 u 为该点在x方向的脉动流速，在时段T内， 脉动速度的时均值为零，即
1 u = T
' x
∫
T
0
' ux dt = 0
A R＝ χ
A为过流断面面积；χ为过流断面上流体与固体壁 面接触的周长，称为湿周（Wetted Perimeter）
如矩形断面渠道（如图所示） bh R= b + 2h 圆管流 1
R= 4 πd πd 2 d = 4
h b
即d=4R，所以用R计算Re时，其临界雷诺数
vk R Re k = = 500 ν
实际上，当Re＝2000～4000为过渡区，在这个区域 里，层流极不稳定，稍有扰动，就转变为紊流。
2．非圆形断面的管流或明流
同样可以用雷诺数判别流态，但要引用一个综合反 映断面大小和几何形状对流动影响的特征长度，代 替圆管雷诺数中的直径d。这个特征长度是水力半径 （Hydraulic Radius）
可得
r τ = τ0 r0
即圆管均匀流过流断面上切应力呈直线分布，管轴 处τ＝0，管壁处τ＝τ0，达最大值。
三、阻力速度(Friction Velocity)
由 可得 定义 则
l v r0 hf = λ τ0 = γ J d 2g 2
2
J =
hf l
τ0 λ =v ρ 8 v* = τ0 ρ
为阻力速度(具有速度量纲)
一、切应力
各流层质点互不掺混，各流层间切应力服从牛顿内 摩擦定律 du
τ =µ
式中 y = r0-r 则
dy
负号说明当r增大时，u减小
du τ = −µ dr
二、流速分布
将上式代入均匀流方程式，并积分可得
γJ 2 r0 由边界条件，当r=r0时，u=0，得 C = 4µ γJ 2 2 代回上式得 (r0 − r ) u= 4µ