高阶中值定理

河南师范大学学报

JOURNAL OF HENAN NORMAL

UNIVERSITY

(NATURAL SCIENCE)

1999年　第27卷　第1期　NO.1　Vol.27　

1999

高阶中值定理

王永忠

摘　要　中值定理本质上是用函数在区间两端点的函数值来刻划其“中间”一点的导数值.如果是用多个点处的函数值去刻划其“中间”一点的高阶导数，就得出了高阶中值定理.

关键词　连续;可导;恒等式

分类号　O172.1

Higher Order Mean Value Theorm

Wang Yongzhong

(Depert of Math, Xin Xiang Teaeher's College,453000,Xinxiang)

Abstract　The Mean Value Theorem is, in nature, a derivative value at a point on a interval expressed with the function value of the two ends of the interval. if using the function Value from several points to express the high-order derivative at a point on the interval, the high-order mean value theorem is obtained

Key words　Continuation;derivable;identical relation.

定理1　设a0,a1,a2…,a n∈(a,b)，且互不相同，f(x)在［a,b］上连续且n次可导，(a0=a,a n =b)记

，则存在ξ∈(a,b)使得

证明　根据Lagrang插值公式，构造经过(a k，f(a k))　k=0,1,2，…，n的多项式函数.

如果令 h(x)=(x-a0)(x-a1)…(x-a n)　则

令　(x)=f(x)-L(x)　显然(a k)=f(a k)-L(a k)=0　k=0,1,2,…，n.

连续应用洛尔定理(共次)，存在ξ∈(a,b)，使得

(n)(ξ)=f(n)(ξ)-L(n)(ξ)=0

(∵是一个n次多项式)

∴存在ξ∈(a,b),使得

(1) 若设g(x)也是［a,b］上连续且n次可导，则将上述证明过程中的f(x)换为f(x)-λg (x)，则存在ξ∈(a,b)，使f(n)(ξ)-λg(n)(ξ)-L n(ξ)=0

即

若g(n)(x)恒不为零，由(1)知

取 则f(n)(ξ)-λg(n)(ξ)=0

∴

(2) 取n=1,则x0=a,x1=b，则(1)式变为

即为Lagrange中值定理，而(2)变

为即为Cauchy中值定理.

定理1中的ξ象拉格朗日中值定理中ξ一样具有如下性质.

定理2　设f(t)在［a,π］上有n+1阶导数，f(n+1)(t)在a连续且f(n+1)(a)≠0，则高阶中值定理(定理1)中的ξ满足

证明　不妨把［a,x］n等分

令　

应用定理1，存在ξ∈(a,x)使

令　

现计算(x)(连续用洛比塔法则)，并注意到如下组合恒等式

(3) 另一方面

(4)

比较(3)，(4)二式得　

作者简介：王永忠　男　33岁　讲师

作者单位：新乡师范高等专科学校数学系

参考文献

1　刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义.北京：高等教育出版社，1981

2　杨宝珊.根据微分中值公式构造辅助函数的三种类型及其方法.数学通报，1990，(5)：43

收稿日期1998-10-08

高阶中值定理

作者：王永忠， Wang Yongzhong

作者单位：新乡师范高等专科学校数学系

刊名：

河南师范大学学报（自然科学版）

英文刊名：JOURNAL OF HENAN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)

年，卷(期)：1999，27(1)

被引用次数：0次

1.刘玉琏.傅沛仁数学分析讲义 1981

2.杨宝珊根据微分中值公式构造辅助函数的三种类型及其方法 1990(05)

1.期刊论文董立华.刘德金.焦德杰.李娜.DONG Li-hua.LIU De-jin.JIAO De-jie.LI Na向量值函数连续与可导的关系-广西师范学院学报

（自然科学版）2005,22(2)

通过构造反例的方法,充分论证取值于X的向量值函数强连续只是弱可导的必要条件,而且还存在着强绝对连续并不几乎处处有弱导数的向量值函数.

2.期刊论文胡婷一元函数的连续与可导-文艺生活·文艺理论2009,""(8)

一元函数的连续与可导在高等数学中是非常重要的概念,本文对此概念做了一个总结,从而进一步加深对一元函数连续与可导关系的理解.

3.期刊论文胡剑波.褚健.HU Jian-bo.CHU Jian一种连续可导的滑模变结构近似算法及其仿真研究-系统仿真学报2000,12(4)

针对一般滑模变结构控制算法的不连续和不可导,用一种连续且可导的控制算法来近似,并分析了整个控制系统的鲁棒性.用数字方法讨论了这一近似算法的有效性和近似算法参数选择问题,得到了有益的结果.

4.学位论文崔德灶Holder连续条件以及不可导情形非线性算子的迭代法分析2006

本文研究了Holder连续条件以及不可导情形下的Newton型迭代的收敛性，改进了Hernández的结果，使得限制条件减弱.全文共分三章.

第一章是综述部分，主要介绍Newton型迭代的研究背景以及常用收敛条件，并给出本文的主要结果.

第二章主要研究了Holder连续条件下Newton迭代的收敛性，在Hernández结论的基础上，充分利用中心Holder连续信息，使得限制条件减弱，唯一性区域放宽，且保持1+λ阶的收敛速度.最后以例子同Hernández的结果作了比较.

第三章主要研究了非线性算子不可导情形下Newton型迭代的收敛性.通过将不可导算子F分为可导部分H和不可导部分G，借助Hernández采用的修正迭代公式，分析了Newton型迭代的收敛性.相比Hernández的结果，我们的定理所需条件较弱，并且具有较好的误差估计公式.

5.期刊论文曾艳妮分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定-湖北大学成人教育学院学报2005,23(5)

通常我们讨论分段函数在分界点处的可导性是通过定义(即函数在某点的左、右导数存在且相等则函数在该点可导)来讨论,本文则用分段求导的方法讨论分段函数在连续的分界点处的可导性,并且用拉格朗日中值定理证明了这种方法的正确性.事实证明用此方法比用定义法将更简单.

6.学位论文王红霞关于可导映射、反可导映射和交换映射的研究2007

算子代数理论产生于20世纪30年代，随着这一理论的迅速发展，它已成为现代数学中的一个热门分支，并与量子力学，非交换几何，线性系统和控制理论，甚至数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗透．为了进一步探讨算子代数的结构，近年来，国内外许多学者对算子代数上的线性映射进行了深入研究，并不断提出新的思路．例如：局部映射，Jordan映射，线性保持问题，零点可导映射，交换映射，中心映射等概念先后被引入和研究．目前这些映射已经成为研究算子代数不可或缺的重要工具．本文主要对VonNeumann代数上的可导映射、反可导映射和素环上的交换映射进行了研究，具体内容如下：

第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和一些已知结论．第一节介绍了导子，内导子，广义导子，广义内导子，广义Jordan导子，Von Neumann代数，素环等概念．第二节主要给出了本文中用到的几个已有引理．

第二章首先对Von Neumann代数 M 上的在单位可导和在零点及单位反可导的线性映射进行了研究．证明了在单位可导和在单位反可导的范数连续的线性映射是M上的内导子，在零点反可导的范数连续的线性映射是M上的广义内导子．当M是B(H)时，证明了在零点反可导的范数连续的线性映射是零映射．当M是B(H)且H是无限维时，在单位反可导的范数连续的线性映射是零映射．其次对Von Neumann代数M上的在单位广义可导和在单位Jordan可导的线性映射进行了讨论，证明了在单位广义可导的范数连续的线性映射是M上的广义内导子，在单位Jordan可导的范数连续的线性映射是M上的内导子．

第三章研究了素环上的交换映射和中心映射，并且在含单位的特征不为2的非交换素环上给出了广义导子成为交换映射的一个充分条件.

7.期刊论文刘永生.蔡秋娥.欧阳自根一类连续且处处不可导的函数-高等数学研究2008,11(1)

在高等数学中,常可看到在一点或数点上连续且不可导的函数,但在一个区间连续且处处不可导的函数却鲜见.历史上,第一个提出这种例子者被认为是德国数学家Weierstrass(1871年),其实早在1830年捷克数学家Bolzano就已经建立了这种例子.从工程问题中也可得到此类函数,其性质也可得到证明.

8.学位论文陈忠取值于l<,p>空间的抽象函数2001

抽象函数是泛函分析中重要的概念.该文对取值于l<,p>(p≥1)空间的抽象函数作了一些讨论.首先,我们详细的探讨了抽象函数的某些特性,如强(弱)连续性、囿变性及绝对连续性、可导性等,给出了关于上述特性的一些新的性质.在此基础上,我们给出了取值l<,p>(p≥1)空间的抽象函数具有上述性质的充要条件.其次,我们讨论了取值于l<,p>(p≥1)空间的有界变差函数及凸函数,为了把抽象囿变函数表示成两个单调函数差,我们引进行数列空间,并在数列空间上把有界变差函数表示成两个单调函数的差.另外,借助于数列空间,我们给出了取值于

l<,p>(p≥1)空间的抽象函数成为有界变差函数的充要条件.关于取值于l<,p>(p≥1)空间的凸函数,我们平推了凸函数的许多性质.同时,我们还给出了取值于l<,p>(p≥1)空间的凸抽象函数在一点为弱连续和该点局部有界之间的关系.

9.期刊论文宋文檀.钞艳玲.SONG Wen-tan.CHAO Yan-ling一类函数连续与可导概念的局部性-科学技术与工程2008,8(10)

利用Riemann函数构造的两类新函数,揭示了有关函数连续、可导的局部性态.

10.期刊论文李霞反例法和集合观点的妙用-中国集体经济2010,""(12)

巧妙应用反例强化法和集合观点来理解高等教学中的有界、收敛、连续、可导和偏导存在等概念间的相互关系,通常能在教学中达到无声胜有声之功效.

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下载时间：2010年8月8日