第五章拉伸、剪切与挤压的强度计算

拉(压)杆的变形
2.相对变形（线应变）： 2.相对变形（线应变）： 单位长度的变形量。 相对变形
纵向线应变
∆L ε= L
横向线应变
ε ′＝
∆d d
纵向线应变和横向线应变均为无量纲量
虎克定律 ：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一
限度时，杆的纵向变形与轴力FN 成正比，与杆长L成正比，与 横截面面积A 成反比。这一比例关系称为虎克定律 虎克定律。引入比 虎克定律 例常数E，其公式为:
内力的概念
构件在受外力作用时，形状和尺寸将发生变化， 构件在受外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质 点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起的 点之间的相互作用力也将随之改变， 改变量， 内力。 构件内部相互作用力的改变量 称为附加内力，简称内力 构件内部相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
拉伸（压缩）、 ）、剪切与挤压的强度计算 第五章 拉伸（压缩）、剪切与挤压的强度计算
材料的力学性能
是指材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质。 是指材料在外力作用下其强度和变形等方面表现出来的性质。
构件的承载能力： 构件的承载能力：
强度---构件抵抗破坏的能力 强度---构件抵抗破坏的能力 --刚度-----构件抵抗变形的能力 刚度---构件抵抗变形的能力 稳定性-----构件保持原有平衡状态的能力 稳定性---构件保持原有平衡状态的能力
3)右图为AB杆的轴力图
拉压杆横截面上的应力、 第二节 拉压杆横截面上的应力、 应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
内力在截面上的集度称为应力 应力(垂直于杆 应力 横截面的应力称为正应力 正应力，平行于横截面的 正应力 称为切应力 ) 应力是判断杆件是否破坏的 切应力)。应力是判断杆件是否破坏的 切应力 依据。 依据。
FN1= 10KN
σ1 =
FN1 / A1 = 50 MPa FN2= -30KN σ2 = FN2 / A2 = 100 MPa 轴力图如图：
FN1 FN2
10KN
30KN
FN
x
30KN
由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。 由虎克定律
：
FN L ∆L = EA
10KN X 100mm 200GPa X 200 mm -30KN X 100mm 200GPa X 300 mm
σ
ε
曲线分析： 二、低碳钢σ −ε 曲线分析：
σ
c
σb
试件在拉伸过程中经历了四个阶 试件在拉伸过程中经历了四个阶 有两个重要的强度指标 强度指标。 段，有两个重要的强度指标。 ob段 ob段— 弹性阶段
d
(比例极限σp弹性极限σe 比例极限σp弹性极限σe σp弹性极限 bc段 bc段— 屈服阶段 e 屈服点
拉压杆受力特点： 拉压杆受力特点：
外力(或外力的合力)沿 杆件的轴线作用，且作 用线与轴线重合。
F
F
变形特点 ：
杆沿轴线方向伸长(或 缩短)，沿横向缩短(或 伸长)。
F
F
一、内力与用截面法求内力
内力： 内力 外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。 外力引起的杆件内部相互作用力的改变量。 轴力: 拉(压)杆的内力。 轴力: 由平衡方程可求出 轴力的大小 ： m F m F F′N 规定：FN的方向离开截面为正 规定 (受拉),指向截面为负(受压)。 FN F F
正应力、切应力
应力的概念 ●单位面积上内力的大小，称 单位面积上内力的大小， 为应力 ●平均应力Pm，如图所 平均应力 ， 示
△F Pm= △A
正应力σ（垂直于截面的应力） 正应力 垂直于截面的应力）
单位面积上轴力的大小，称为正应力 单位面积上轴力的大小，称为正应力 轴力的大小
切应力τ 相切于截面的应力） 切应力 （相切于截面的应力）
FN L ∆L = EA
或
σ = Eε
E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa
FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。 由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E 值越大，∆L就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉(压)变 形的能力，是衡量材料刚度的指标。
如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力 应力， 例3 如图所示杆件 ，求各段内截面的轴力和应力，并画出 轴力图。 轴力图 。 若 杆件较细段横截面面积 A = 200mm2 较粗 ， 1 2 段 A = 300mm，材料的弹性模量 E = 200GPa，L =100mm 2 求杆件的总变形。 求杆件的总变形。 解：分别在 、 10KN 分别在AB、 分别在 BC段任取截面， 段任取截面， 段任取截面 A 如图示， 如图示，则： 40KN B L 10KN L C 30KN
材料力学研究的主要是弹性变形 并且只限于弹性小变形 弹性变形， 弹性小变形， ●材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹性小变形， 即变形量远远小于其自身尺寸的变形
变形固体的基本假设
（1）均匀连续性假设 ） 假设材料无间隙、均匀地充满物体空间，各部分的性质相同。 假设材料无间隙、均匀地充满物体空间，各部分的性质相同。 （2）各向同性假设 ） 假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。 假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。 （3）小变形假设 ） 设定材料在外力作用下的变形与其本身尺寸相比极小， 设定材料在外力作用下的变形与其本身尺寸相比极小，可 略去不计
单位是帕斯卡，简称帕，记作 Pa ，即l平方米 的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。 1
1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa 1GPa＝109Pa
二、拉(压)杆横截面上的正应力
平面假设
变形前的横截面，变形后仍为平面，仅其位置略作平移， 变形前的横截面，变形后仍为平面，仅其位置略作平移，这一假 设称为平面假设。 设称为平面假设。
根据杆件变形的平面假设 材料均匀连续性假设 平面假设和材料均匀连续性假设 平面假设 材料均匀连续性假设可推 断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。 所以，横截面的正应力σ计算公式为： σ m n F F F
σ=
N
MPa
A
m
n
FN 表示横截面轴力（N） F 表示横截面轴力（ 表示横截面面积（ A 表示横截面面积（mm2）
一、拉伸实验和应力——应变曲线 拉伸实验和应力——应变曲线 ——
1.常温、 1.常温、静载试验 ：L0=5~10d0 常温
d0
F
L0
F
低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上， 低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加 应力和 拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力 拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力和 产生的应变之间的关系， 应变之间的关系 曲线。 产生的应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的 − 曲线。
)
σs
b a
σe σp
cd段 cd段— 强化阶段
σs
抗拉强度 σb de段 de段— 缩颈断裂 阶段
O
ε
1.弹性阶段
比例极限σp 比例极限σp
oa段是直线 ， 应力与应变在此段成正比关系， oa 段是直线， 应力与应变在此段成正比关系 ， 材料符 段是直线 合 虎 克 定 律 σ ＝ Ｅ ε ， 直 线 oa 的 斜 率 tanα=E 就是材料的弹性模量， 就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力 值记作σp 称为材料的比例极限 曲线超过a σp， 比例极限。 值记作σp，称为材料的比例极限。曲线超过a点，图 ab段已不再是直线 说明材料已不符合虎克定律。 段已不再是直线， 上ab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。 但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab ab段内卸载 ab段也发生 但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab段也发生 弹性变形，所以ab段称为弹性阶段。 ab段称为弹性阶段 弹性变形 ， 所以ab 段称为弹性阶段 。 b点所对应的应 力值记作σe 称为材料的弹性极限 弹性极限。 力值记作σe ，称为材料的弹性极限。 弹性极限与比例极限非常接近， 弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二 非常接近 者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。 者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。
●变形
构件在载荷作用下， 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现象
●变形固体的变形通常可分为两种： 变形固体的变形通常可分为两种： 变形固体的变形通常可分为两种
（1）弹性变形 载荷解除后变形随之消失的变形 ）弹性变形---载荷解除后变形随之消失Hale Waihona Puke Baidu变形 （2）塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形
2 2
可得：
∆L = AB ∆L = BC
= 0.025mm = -0.050mm
∆L = - 0.025mm
第三节 材料在拉压时的力学性能
材料的力学性能：材料在外力作用下，其强度和变 形方面所表现出来的性能。它是通过试验的方法测 定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依 据。 工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材料 脆 塑性材料和脆 工程材料的种类 塑性材料 性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型 性材料 代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具 有广泛的代表性。
第二篇 材料力学
材料力学的研究模型
●材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件”； 材料力学研究的物体均为变形固体，简称“构件” 变形固体 现实中的构件形状大致可简化为四类， 现实中的构件形状大致可简化为四类，即杆、板、 壳和块。 ---长度远大于其他两个方向尺寸的构件 长度远大于其他两个方向尺寸的构件。 ●杆---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的几 何形状可用其轴线 截面形心的连线） 轴线（ 何形状可用其轴线（截面形心的连线）和垂直于轴 线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆， 线的几何图形（横截面）表示。轴线是直线的杆， 称为直杆 轴线是曲线的杆，称为曲杆。 直杆； 称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。各横截面 相同的直杆，称为等直杆。 相同的直杆，称为等直杆。 材料力学的主要研究对象就是等直杆 等直杆。 ●材料力学的主要研究对象就是等直杆。
FN
三、 变形与应变
1.绝对变形 : 纵向变形和横向变形统称为绝对变形。 绝对变形 绝对变形。 绝对变形 规定：L—等直杆的原长 规定 d—横向尺寸 L1—拉(压)后纵向长度 d1—拉(压)后横向尺寸 纵向变形 ： ∆L 横向变形：
= L1 − L
∆d = d1 − d
拉伸时纵向变形为正，横向变形为负； 压缩时纵向变形为负，横向变形为正。
FN = F
以上求内力的方法称为截面法 截面法，截面法是求内力 截面法 最基本的方法。 注意：截面不能选在外力作用点处的截面上。 注意
轴力图：
F 用平行于杆轴线的x坐标表 示横截面位置， 示横截面位置，用垂直于x 的坐标FN 表示横截面轴力的 大小，按选定的比例， 大小，按选定的比例，把轴 坐标系中， 力表示在x -FN 坐标系中， 描出的轴力随截面位置变化 描出的轴力随截面位置变化 的曲线，称为轴力图 的曲线，称为轴力图。 m FN
F2 F2 F2 FN
FN1=F2=8KN 8 FN2=F2 - F1 = -12KN FN3=F2 + F3 - F1 = -2KN
轴力图如图: 轴力图如图:
FN2 F3 FN3
8KN B C D x -2KN
A -12KN
画杆件轴力图。 例2 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
单位面积上剪力的大小，称为切应力 单位面积上剪力的大小，称为切应力 剪力的大小
应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2
A—截面面积
轴向拉伸与压缩的概念、截面法、 第一节 轴向拉伸与压缩的概念、截面法、 轴力与轴力图
发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉 压 杆 发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压)杆。
解：1)截面法求AC段轴力，沿截
面1-1处截开，取左段如图所示
∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN
2)求BC段轴力，从2-2截面处截开， 取右段，如图所示
∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN
（负号表示所画FN2方向与实际相反） 负号表示所画F 方向与实际相反）
m F
x
已知F =20KN， =8KN， =10KN， 例1 已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件 指定截面1 的轴力,并画出轴力图。 指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。 解:外力FR，F1，F2， F3将 外力 ， 杆件分为AB 杆件分为 、BC和CD三 和 三 段，取每段左边为研究对 求得各段轴力为： 象，求得各段轴力为： 1 F2 A F1 B 1 FN1 F1 F1 2 2 F3 C D 3 FR 3