1.4群的各种子集

4）对任意给定的 S G 当Rj取遍所有元素时 SRj S 1 不会有重复
故
类中每个元素只出现一次，仍为自身。
5）对给定的Rj，让S取遍群G所有元素， SRj S 1 会有重复 且可证明 Rk SRj S 1 重复次数m(α)都相同 6）类 中包含的元素数目是群G阶的因子n(α)=g/m(α) 7）由于共轭关系具有传递性，两个不同的类没有公共元素 可将群G按照共轭类进行分割
9
例：C4v群
子群 H1={E,C4,C42,C43} d=g/h=8/4=2 不变子群 左（右）陪集：{mx,my,σu,σv}
S R
E
C4 C42 C43
E
E
C4 C42 C43
C4
C4
C42 C43 E
C42
C42
C43 E C4
C43
C43
E C4 C42
mx
mx
σv my σu
my
my
σu mx σv
三、共轭元素和类 1. 共轭：
设R、T是群G的两个元素（R, T G ），若存在 S G 使
T SRS1 则称元素T与R共轭
即T与R称为互相共轭的元素，记为T~R 性质：1）对称性 2）传递性
11
2. 类（class）：
群G的所有相互共轭的元素集合组成G的一个类 由于共轭关系具有对称性和传递性，因此只要给出类中的
（R j ）
1
与H中无重复元素矛盾
5
（4）群G的阶g一定是子群H的阶h的整数倍
——拉格朗日定理
证明：任取
R1 G, R1 H
作左陪集 R1H （不是群）
陪集与子群无公共元素，则H与 R1H 是不同的集合 若H与 R1H 不能充满整个群，则另取 R2 G, R2 H 作R2H H,R1H,R2H无公共元素，若仍不能充满整个群，则继续 G是有限群，则存在一个Rd-1使得H,R1H,R2H,...,Rd-1H 充 满整个群，即群G的任一元素都包含在子群和它的左陪集 串中 ，每个集合都有h个元素 群G的阶g=子群H的阶h × d d为整数，称为子群的指数 等于子群H左陪集数+1 （d=1，则H=G）
E H
1
2. 常用几类子群
平庸（凡）子群（显然子群）
对任意群G，恒元E和整个群G本身都是G的子群
固有子群（真子群）
群的非平庸子群 （若无特殊说明，所说子群为真子群）
循环子群
任一元素的周期构成的子群
例： 1. 定义群的乘积规则为“数的加法”，则 整数群 实数群 （真子群）
2. 正方形对称群中 {E,C4,C42,C43}是一个循环子群
练 习
来自百度文库
由C4v群乘法表找共轭元素即类 D3
15
5. 共轭子群：
设H和K是群G的两个子群，若有 g G 使得
K gHg 1 {k ghg 1 h H }
则称H是K的共轭子群 对称性：K是H的共轭子群，同时H也是K的共轭子群 传递性：若H1,H2是K的共轭子群，则H1,H2也互为共轭子群
群G的全部子群可分割为共轭子群类
16
1 S H R R1S R2 S 1 S S 2 R 1S S R2 R
1 1
（R2 ）
1
（S ）
1
由重排定理，TG=G，对子群同样适用
1 S H S H H R2 R1H H R1H R2 H
若两个左陪集有一个公共元素，则两个左陪集完全相同 4
8
4. 商群 定义：不变子群H及其所有陪集作为复元素的集合，
若按复元素的乘积满足群的四个条件，则构成群，
称为群G关于不变子群H的商群，记作G/H。 恒元：不变子群
阶：子群的指数 d=g/h
练 习 证明：上述复元素集合构成群
5. 从乘法表上找子群的陪集
与子群元素有关的各列中，每一行的元素分别构成子群或左陪集 行 列 右
2
二、陪集和不变子群 1. 陪集（旁集）
定义：设群G的阶为g，有子群H的阶为h
H
G
Rj
H={S1,S2,...,Sh}, S1=E
任取群G中不属于子群H的元素Rj， 把它左乘或右乘到子群H上，得到群G的两个子集 RjH={Rj,RjS2,...,RjSh} HRj={Rj,S2Rj,...,ShRj}, （R j G, R j H） 则RjH称为子群H的左陪集 HRj 右陪集
H G R1H
6
R2H
（5）群G中两元素R和T属于同一个左陪集的充要条件是
R 1T H
群G中两元素R和T属于同一个右陪集的充要条件是
TR 1 H
证明：充分性（左 到 右）
R 1T H
R 1TH H
T H RH
R、T属于同一左陪集RH
必要性（右 到 左） R、T属于同一左陪集RH
一个元素R就可以求出R类的所有元素，即
n(α): 类中所含元素数目 gc : 群G所包含的类的数目
性质：
S G, SES1 SS1E E 1）恒元自成一类 2）阿贝尔群的每个元素自成一类 S，R G, SRS1 SS1R R
12
3）若R的阶为m，即Rm=E，则R类所有元素的阶都是m。
● 按陪集分割 （子群与陪集元素数目相同）
类 （每个类中元素数目不一定相同） 是分割群的两种重要方式
13
3. 相逆类：
类 中元素Rj的逆元Rj-1也必定互相共轭
1 1 Ri SRj S 1 Ri1 SR j S 逆元Rj-1的集合也够成类，记作
与
称为相逆类，它们包含的元素数目相同n(α) 与其逆 重合，
1.4
群的各种子集
一、子群 1. 定义： 设H是群G的一个子集， 若对于与群G同样的乘积规则， H也构成一个群， 则称H为G的子群，常记为 H G 证明群G的非空子集H是G的子群 充要条件：
1）封闭性 2）逆元
h , h H h h H
h H h H
1
3）恒元
自逆类：
若元素与其逆元互相共轭，则类 这样的类称为自逆类
注
同类元素的阶必相同，但阶数相同的元素不一定属于同一类 尽管如此，在寻找类时，我们只需在阶数相同的元素中去判 断它们是否共轭 14
4. 用乘法表判断共轭元素：
1）TS与ST是共轭的 即 若TS=R1，ST=R2 则 R1~R2 ST=ST SS-1=S(TS)S-1 反之， 互相共轭的元素一定可表达成某两元素的不同次序的乘积 2）若乘法表中左乘元素与右乘元素排列次序相同 则在乘法表中关于对角线对称的两元素互相共轭 即 互相共轭的元素一定出现在乘法表中关于对角线对称位置
σu
σu
mx σv my
σv
σv
my σu mx
mx
my σu σv
mx
my σu σv
σu
σv my mx
my
mx σv σu
σv
σu mx my
E
C42 C43 C4
C42
E C4 C43
C4
C43 E C42
C43
C4 C42 E
10
练
习
1）找出C4v群其它子群及相应左右陪集 2） D3 并指出哪些子群是不变子群
（2）陪集与子群没有公共元素 证明：假设左陪集与子群有公共元素
1 R j S S R j S S H
（S ）
1
与前提 R j H 矛盾
注意：陪集中不包含恒元，即陪集一定不是群G的子群 （3）陪集中没有重复元素 证明：若有重复元素
R j S R j S S S H
3
2. 陪集的性质
（1）H的两个左（右）陪集，要么有完全相同的元素
要么没有任何公共元素 ——陪集定理 证明：设 R1, R2 G,
R1H {R1S ,
R2 H {R2 S ,
R1 , R2 H
S H}
S H}
则由R1,R2生成H两个左陪集
假设两个左陪集有一个公共元素，即
7
3. 不变子群（正规子群） 定义：若群G的子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等
R j H HRj， R j S S R j
则称子群H为不变子群。
说
明
1） S , S 不一定是同一元素 2）阿贝尔群的所有子群都是不变子群（所有群元素对易） 3）指数为2的子群必为不变子群（d=2，则只有一个陪集） 4）阶为素数的群没有非平庸不变子群 证 明 ！