圆锥曲线大题题型归纳72769

圆锥曲线大题题型归纳

基本方法：

1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2

64

y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且

12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。

（2）若∠F 1

PF 2

=60°且△F 1

PF 2

的面积为

643

3

，求b 的值 题型二过定点、定值问题

例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>经过点3(1,)2，离心

率为

3

2

，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）当0AP AQ •=时，求OPQ ∆面积的最大值；

（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

例3、（聊城市2017届高三高考模拟（一））已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为32，一个

顶点在抛物线24x y =的准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设O 为坐标原点，,M N 为椭圆上的两个不同的动点，直线,OM ON 的斜率分别为1k 和2k ，是否存在常数p ，当12k k p =时MON ∆的面积为定值若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由.

变式1、已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的焦距为1223,A A ，点为椭圆的左右顶点，点M 为椭圆

上不同于12,A A 的任意一点，且满足121

4

A M A M k k ⋅=-．

(I)求椭圆C 的方程：

(2)已知直线l 与椭圆C 相交于P ，Q(非顶点)两点，且有11A P A Q ⊥． (i)直线l 是否恒过一定点若过，求出该定点；若不过，请说明理由． (ii)求2PA Q ∆面积S 的最大值．

点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明

变式2、已知椭圆22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的离心率为

焦距为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，C ，D 为椭圆上位于直线PQ 异侧的两个动点，满足

∠CPQ=∠DPQ ，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出此定值．

变式3、（临沂市2017届高三2月份教学质量检测（一模））如图，椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的

离心率为

32

，以椭圆C 的上顶点T 为圆心作圆T:()()2

2210x y r r +-=>，圆T 与椭圆C 在第一象限交于点A ，在第二象限交于点B. (I)求椭圆C 的方程；

(II)求TA TB ⋅的最小值，并求出此时圆T 的方程；

(III)设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 分别与Y 轴交于点M ，N ，O 为坐标原点，求证：OM ON ⋅为定值．

例4、设椭圆C ：22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的一个顶点与抛物线C ：x 2=43y 的焦点重合，F 1，F 2分别

是椭圆的左、右焦点，且离心率e=1

2

且过椭圆右焦点F 2

的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在直线l ，使得

若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由

（3）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：为定值．

变式1、（烟台市2017届高三3月高考诊断性测试（一模））如图，已知椭圆22

22:1(0)

x y C a b a b

+=>>的左焦点F 为抛物线24y x =-的焦点，过点F 做x 轴的垂线交椭圆于,A B 两点，且3AB =. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若,M N 为椭圆上异于点A 的两点，且满足

||||

AM AF AN AF

AM AN ••=

，问直线MN 的斜率是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 题型三“是否存在”问题

例5、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））已知椭圆()22

2210x y C a b a b

+=>>：经过点

)

2,1，过点A(0，1)的动直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，当直线l 过椭圆C 的左焦点时，直线l