高三数学复习《解三角形的综合应用》教案
〖2021年整理〗《《解三角形的综合应用》讲义》优秀教案
解三角形的综合应用一、【知识结构】⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩距离问题高度问题应用举例角度问题面积问题实际应用题二、【知识梳理】1解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个除三角外才能求解，常见类型及其解法如表所示2测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 3实际问题中的常用角 1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角如图①2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等3方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α如图②4坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数三、【范例导航】例1：如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处错误!－1处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间分析1分清已知条件和未知条件待求2将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD3利用正弦定理或余弦定理求解解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获在D点走私船，则CD＝10错误!t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC co A＝错误!－12＋22－2错误!－1·2·co 120216∴BC＝错误!海里又∵错误!＝错误!，∴in∠ABC＝错误!＝错误!＝错误!，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝12021在△BCD中，由正弦定理，得错误!＝错误!，∴in∠BCD＝错误!＝错误!＝错误!∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶又在△BCD中，∠CBD＝12021∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝错误!∴t ＝错误!小时≈15分钟∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟点评：1由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题2本题的易错点是，不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解 解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 变式训练：某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短并求其最短距离222αααsin 10）（α-︒45sin 10αsin 10）（α-︒45sin 10）（αα-︒⋅45sin sin 100）（αααsin 22cos 22sin 100-）（αα2cos 1422sin 42100--2452sin 2400-︒+）（α22400-α2222400-+）（20322sin 10'︒）（222+210）（222+ km 240米6千米060060的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 解：轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时2021， 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设EB=x ，则 则BC=4x ，由已知得0030,150BAE EAC ∠=∠= 在△AEC 中，由正弦定理得：sin sin sin sin EC AE AE EAC C EAC C EC ⋅∠=∴=∠05sin150152x x==在△ABC 中，由正弦定理得：0sin120sin BC AB C =014sin 2sin1203x BC Cx AB ⋅⋅∴==433=在△ABE 中，由余弦定理得：22202cos30BE AB AE AB AE =+-⋅⋅1643331312525,333BE =+-⨯==故 所以船速313933BEv t=== 93m/h四、【解法小结】1在△ABC 中，∵ABC =π， ∴in2B A +=co 2C ，co 2B A +=in 2C ，tan 2B A +=cot 2C2千米30 m 4如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°， 沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测 得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为________ m的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的A 北偏东10°B 北偏西10°C 南偏东10°D 南偏西10°答案: °错误!＋1。
高考数学一轮复习 第四章 第八节 解三角形的综合应用教案 文(含解析)
第八节解三角形的综合应用1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α.(如图(b))3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．[小题体验]1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______ m.答案：5022．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________ n mile.答案：56易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[小题纠偏]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案：130°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°考点一测量高度问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·昆山模拟)如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∠BCD＝60°，CD＝20 m，则塔高AB＝________m.解析：设塔高AB＝h，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴BD＝3h，在△BCD中，∠BCD＝60°，CD＝20，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos 60°，即3h2＝400＋h2－20h，解得h＝10.答案：10[由题悟法]求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时应用]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD ＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝________m.解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6. 所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan∠AEF＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝(202＋1)m.答案：202＋1考点二 测量距离问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[题点全练]角度一：两点都不可到达1．(2019·苏州调研)要测量河对岸两个建筑物A ，B 之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________km.解析：在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3. 在△BCD 中，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝60°，∴由正弦定理，CDsin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ，解得BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝3＋8＋434－2×3×6＋22×6－24＝5，∴AB ＝ 5. 答案：5角度二：两点不相通的距离2．如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，所以AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.所以AB ＝200 7 (m)． 即A ，B 两点间的距离为200 7 m.答案：200 7角度三：两点间可视但有一点不可到达3．如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m.解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsin C ＝AC sin B ，所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.答案：206[通法在握]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[演练冲关]1．(2019·如东中学测试)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O 沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m.解析：连结OC(图略)，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.答案：5072．(2018·常州调研)一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2. 答案：302考点三 测量角度问题 重点保分型考点——师生共研[典例引领]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝ACsi n 120°， 解得sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. [由题悟法]解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[即时应用]如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，解得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：南偏西80°2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m.解析：设山高CD为x，在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，＝3x.在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD而AB＝AD－BD＝(3－1)x＝100.解得x＝1003－1＝50(3＋1)．答案：50(3＋1)3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 2 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．解析：根据题意画出图形，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝400(8＋43)＝400(6＋2)2，∴AC＝20(6＋2)．故所求航行的路程为20(6＋2)海里．答案：20(6＋2)4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km则由余弦定理知9＝x2＋4－4x cos 120°，因为x＞0，所以x＝6－1.答案：6－15.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：326．(2018·天一中学检测)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE ＝50x ，所以y 2＝(200－80x )2＋(50x )2－2×(200－80x )·50x ·cos 60°整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，所以当x ＝7043时y 2最小． 答案：7043二保高考，全练题型做到高考达标1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里． 解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里)．答案：1022．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：623．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A ，B两处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿的距离为________海里．解析：由题意可知CD ＝40，∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠ADC ＝105°，∴∠CAD ＝45°.在△ACD 中，由正弦定理，得AD sin 30°＝40sin 45°， ∴AD ＝202，在Rt △BCD 中，∵∠BDC ＝45°，∴BD ＝2CD ＝40 2.在△ABD 中，由余弦定理，得AB ＝ 800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6. 故A ，B 两处岛屿的距离为206海里．答案：2064．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m. 解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：505．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为________．解析：由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0， 因为0＜A ＜π，所以0＜A ＜π2. 又a 为最大边，所以A ＞π3. 因此角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 6. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船间的距离是________km.解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min 时，甲船到达M 点，乙船到达N 点，由题意知AM ＝8×14＝2(km)，BN ＝12×14＝3(km)，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos 120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以MN ＝13(km)．答案：137．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ， 所以AC ＝CEsin ∠EAC·sin∠CEA ＝20 3 m. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin∠ACB ＝203×32＝30 m. 因为国歌时长为50 s ，所以升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案：0.68．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.解析：在△ABC 中，由正弦定理可知BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin 45°－15°＝50(6－2)(m)． 在△BCD 中，由正弦定理可知sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD＝506－2sin 45°50＝3－1. 由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1.答案：3－19．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2) 设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解：(1)依题意得BD ＝300，BE ＝100.在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，所以B ＝π3. 在△BDE 中，由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×12＝70 000， 所以DE ＝1007.答：甲、乙两人之间的距离为1007 m.(2)由题意得EF ＝2DE ＝2y ，∠BDE ＝∠CEF ＝θ.在Rt △CEF 中，CE ＝EF ·cos∠CEF ＝2y cos θ.在△BDE 中，由正弦定理得BE sin ∠BDE ＝DEsin ∠DBE， 即200－2y cos θsin θ＝y sin 60°， 所以y ＝10033cos θ＋sin θ＝503sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2， 所以当θ＝π6时，y 有最小值50 3. 答：甲、乙之间的最小距离为50 3 m.10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C 处，且与岛A 相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B 处追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝10×2＝20，AC ＝12，∠ACB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，解得BC ＝28， 所以该军舰艇的速度为BC 2＝14海里/小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°， 即sin α＝AB sin 120°BC ＝20×3228＝5314. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝AB sin ∠ACB ， 所以BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)． 因为CD ⊥AD ，所以CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350.故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．答案：2 6502．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l 1，l 2，公园管理中心位于点O 正南方2 km l 1上的A 处，现计划在l 2即点O 北偏东45°方向，观光路l 2路旁B 处修建一公园服务中心．(1)若为方便管理，使AB 两点之间的直线距离不大于2 5 km ，求OB 长度的取值范围；(2)为了方便市民活动，拟在l 1，l 2上分别选点M ，N ，修建一条小路MN .因环境需要，以O 为圆心，22km 为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M ，N 的位置，使M ，N 之间的距离最短．解：(1)在△ABO 中，OA ＝2，OB ＝x ，∠AOB ＝135°， 根据余弦定理得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 135°， ∴22＋x2－2×x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22≤(25)2， 即x 2＋22x －16≤0，解得－42≤x ≤22， ∵x ≥0，∴0≤x ≤22，故OB 长度的取值范围为[0,2 2 ]．(2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切．设切点为C ，连结OC ，则OC ⊥MN .设OM ＝a ，ON ＝b ，MN ＝c ，在△OMN 中，∵12MN ·OC ＝12·OM ·ON ·sin 135°，∴12·22c ＝12·22ab ，即c ＝ab ， 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 135°＝a 2＋b 2＋2ab ≥(2＋2)ab ＝(2＋2)c ，解得c ≥2＋2，当且仅当a ＝b ＝2＋2时，c 取得最小值2＋ 2.∴M ，N 与点O 的距离均为2＋ 2 km 时，M ，N 之间的距离最短，最短距离为(2＋2)km.命题点一 简单的三角恒等变换 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.答案：322．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3. 答案：33．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：754．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－125．(2018·全国卷Ⅲ改编)若sin α＝13，则cos 2α＝________.解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案：796．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：(1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 7．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.命题点二 解三角形1．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD＝1，则4a ＋c 的最小值为________．解析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a ＋1c＝1.∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：92．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．答案：21733．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解析：∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C ＞0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc＞0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案：2334．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.5．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60° (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.6．(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27 .所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.7．(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cosC ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC ＝ACsin B×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．命题点三 三角综合问题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x ＜12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当cos x ＞12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－3322．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是 sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12 sin 2B ＝sin B cos B .因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.3．(2016·北京高考)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由余弦定理及题设得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又因为0＜∠B ＜π，所以∠B ＝π4.(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.则2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4.因为0＜∠A ＜3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.。
高三数学总复习 3.9三角函数的综合应用教案 新人教A版
2014届高三数学总复习 3.9三角函数的综合应用教案 新人教A版1. (必修5P 9例题4题改编)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC，则A ＝________． 答案：π4解析：由a cosA ＝c sinC ，a sinA ＝c sinC ，得a sinA ＝a cosA ，即sinA ＝cosA ，所以A ＝π4.2. (必修4P 45习题1.3第8题改编)将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1tanπ12＝________．答案：－2 3解析：原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cosπ612sin π6＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x∈R )，则f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332解析：由余弦定理，得7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β，tan(α±β)＝tan α±tan β1 tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α. 4. 三角函数的图象和性质 5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．(2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝－210²22＋7210²22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45.所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sinx －122＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.备选变式（教师专享）(2013²上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________．答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x －y)＝23 sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2) 设点Q 的坐标为(x 0，－A)． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ²RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A²9＋A 2＝ －12，解得A 2＝3.又A>0，所以A ＝ 3. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π，∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx.(2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sinαcos α＝49， 即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59.题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013²浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733.备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3.(1) 求b ，c 的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ，即103＝12b ²5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c 2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos 2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17³12＋437³32＝1314.题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．(1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 因为m∥n ，所以sinA ²(sinA ＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.因为A∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc.又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ，而b 2＋c 2≥2bc bc ＋4≥2bc bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc≤34³4＝ 3.当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2)．(1) 若m∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a²a 2R ＝b²b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC 为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m²p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴ S ＝12absin C ＝12³4³sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值． 学生错解： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010. ∵ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°， 故α＋β＝45°或135°.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则一般选正弦函数． 规范解答： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.(2分)又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010.(4分) 且cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错． 事实上，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos(α＋β)不易出错．1. (2013²常州期末)函数f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2＝cos πx 2²sin πx 2＝12sin πx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2.2. (2013²北京期末)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.3. (2013²北京期末)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为________．答案：32解析：由sinC ＝3cosC ，得tanC ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sinA ＝ABsinC ，即1sinA ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB>BC ，所以A<C ，所以A ＝π6，即B ＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S △ABC ＝12³3³1＝32.4. (2013²新课标Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________．答案：－255解析：∵ f(x)＝sinx －2cosx ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫55sinx －255cosx .令cos φ＝55，sin φ＝－255，则f(x)＝ 5(sinxcos φ＋sin φcosx)＝5sin(x ＋φ)，当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ，∴ cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014²扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长．解：(1) m²n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ²n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0，∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a＋c ＝13，∴ 三角形周长是20. 2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC.(1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2.∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ，∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23. 又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC 中∠C∈(0，π)，∴ ∠C ＝60°. 3. (2013²湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1.(1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos 2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53 c ＝4，由余弦定理，得a 2＝21，(2R)2＝a 2sin 2A ＝28，∴ sinBsinC＝bc 4R 2＝57. 4. (2013²北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosA sinA ＝263.故cosA ＝63.(2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx ＋φ视为一个整体X ；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝asin2x ＋bsinx ＋c ；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。
高三数学大一轮复习 解三角形应用举例教案 理
城东蜊市阳光实验学校§解三角形应用举例2021高考会这样考考察利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、间隔等测量问题．复习备考要这样做1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模才能；2.掌握解三角形实际应用的根本方法，体会数学在实际问题中的应用．1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量间隔问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目的线在同一铅垂平面内的程度视线和目的视线的夹角，目的视线在程度视线上方叫仰角，目的视线在程度视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的程度角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目的方向线的程度角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与程度面所成的二面角的正切值．3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或者者余弦定理求解．(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或者者余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，量与未知量涉及到两个或者者两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，那么∠BAC＝________.答案130°解析由∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.2．(2021·)在相距2千米的A，B两点处测量目的C，假设∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，那么A，C两点之间的间隔是__________千米．答案解析如下列图，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得＝，∴AC＝·＝.3．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，那么两条船相距________m.答案10解析如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，那么山的高度BC为____________m.答案500(＋1)解析过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝＝＝500(＋)(m)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(＋1)(m)．5．两座A和B与海岸观察站C的间隔相等，A在观察站北偏东40°，B在观察站南偏东60°，那么A在B 的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案B解析A、B的相对位置如下列图，由得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CB A＝50°，那么α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.题型一测量间隔问题例1要测量对岸A、B两点之间的间隔，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的间隔．思维启迪：将题中间隔、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形．解如下列图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A、B之间的间隔为km.探究进步这类实际应用题，本质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径为________米．答案50解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，解得OC＝50(米)．题型二测量高度问题例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维启迪：依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的间隔最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或者者BC)．解如下列图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，那么∠AEB＝30°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得＝，∴BD＝＝20(米)．∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1)(米)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝(3－)(米)．故所求的塔高为(3－)米．探究进步在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进展求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．如下列图，B，C，D三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α<β)，那么A点距地面的高AB为_______________．答案解析AB＝ACsinβ，＝＝，解得AB＝.题型三测量角度问题例3某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处得悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，间隔为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间是是．思维启迪：此题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间是是相等，先设出所用时间是是t，找出等量关系，然后解三角形．解如下列图，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间是是为th，并在B处与渔轮相遇，那么AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或者者t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间是是为h．此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得＝，所以sin∠CAB＝＝，即∠CAB≈2°或者者∠CAB≈15°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋2°＝6°.所以舰艇以6°的方位角航行，需h才能靠近渔轮．探究进步对于和航行有关的问题，要抓住时间是是和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．如下列图，位于A处的信息中心得悉：在其正向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，那么cosθ等于()A. B. C. D.答案B解析如下列图，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(12分)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间是是．审题视角(1)分清条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD.(3)利用正弦定理或者者余弦定理求解．标准解答解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，那么CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)，[1分]在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝(海里)．[3分]又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，[5分]在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[8分]又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15(分钟)．[11分]∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[12分]答题模板解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析——理解题意，分清与未知，画出示意图；第二步：建模——根据条件与求解目的，把量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或者者余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．温馨提醒(1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的根本思路．假设涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进展解答，之后再复原成实际问题，即利用上述模板答题．(2)此题的易错点：不能将和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.方法与技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目的方向线的程度角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目的方向线的程度角．3．坡度——坡面与程度面所成的二面角的正切值．4．仰角与俯角——与目的视线在同一铅直平面内的程度视线和目的视线的夹角，目的视线在程度视线上方时称为仰角，目的视线在程度视线下方时称为俯角．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．假设在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cosα等于()A. B. C. D.答案B解析因为tanα＝，所以cosα＝.2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，那么斜坡长为() A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案C解析如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°.3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，那么水柱的高度是()A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m答案A解析设水柱高度是hm，水柱底端为C，那么在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.4.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的间隔为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的间隔为()A．50m B．50mC．25m D.m答案A解析∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠ABC＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，那么甲、乙两楼的高分别是________________．答案203米、米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB＝20·tan60°＝20(米)，又CM＝DB＝20(米)，∠C AM＝60°，所以AM＝CM·＝(米)，故乙楼的高度为CD＝20－＝(米)．6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个在北偏东15°方向，这时船与的间隔为______km.答案30解析如下列图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．7.如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，那么BC的长为________．答案8解析在△ABD中，设BD＝x，那么BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理：＝，∴BC＝·sin30°＝8.三、解答题(一一共22分)8．(10分)如下列图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一程度面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15tan60°＝15(m)．所以塔高AB为15 6 m.9．(12分)如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝＝5.B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．在△ABC中，∠A＝45°，AB＝，BC＝2，那么∠C等于()A．30°B．60°C．120°D．30°或者者150°答案A解析利用正弦定理可得＝，∴sinC＝，∴∠C＝30°或者者150°.又∵∠A＝45°，且∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝30°，应选A.2．某人向正向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值是()A. B．2C.或者者2 D．3答案C解析如下列图，设此人从A出发，那么AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或者者2.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座，海轮在A处观察，其方向是南偏东70°，在B处观察，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的间隔是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里答案A解析如图，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个C、D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见C在它的南偏西60°方向，D在它的南偏西75°方向，那么这艘船的速度是______海里/小时．答案10解析如下列图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．5．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的间隔是__________米．答案解析如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，那么∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．6．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.假设△ADC的面积为3－，那么∠BAC＝_____.答案60°解析S△ADC＝×2×DC×＝3－，解得DC＝2(－1)，∴BD＝－1，BC＝3(－1)．在△ABD中，AB2＝4＋(－1)2－2×2×(－1)×cos120°＝6，∴AB＝.在△ACD中，AC2＝4＋[2(－1)]2－2×2×2(－1)×cos60°＝24－12，∴AC＝(－1)，那么cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°.三、解答题7．(13分)如图，A、B、C、D都在同一个与程度面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B、D间间隔与另外哪两点间间隔相等，然后求B、D的间隔(计算结果准确到0.01 km，≈14，≈49)．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，＝，所以AB＝＝，即BD＝≈0.33(km)．故B、D的间隔约为0.33 km.。
高三解三角形教案
22解三角形一．考纲要求：1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．二．知识回顾1．正弦定理：_________________________________．（其中2R 为△ABC 的外接圆的直径）变式：(1) =a ( )． (2)=A sin ( ) ．(3) ::________________a b c =． (4) ____________sin sin sin a b c A B C++=++． 正弦定理常用来解决以下两类解三角形的问题：（1）_已知边边角；（2）已知角角边_2．余弦定理：2_______________,a =变式：cos _____________,A =．余弦定理常用来解决以下两类解三角形的问题：（1）已知边边边；（2）已知边角边3．已知,a b 和A ，用正弦定理求B 时解的情况如下：（1）若A 为锐角，（如右图）则（2）若A 为直角或钝角，则,_______,_______a b a b ≤⎧⎨>⎩解解4．由正弦定理，可得三角形的面积公式：C ab S sin 21= 5．判断三角形的形状一般都有两种思路： 边化角____或__角化边___．6.常用结论①A+B+C=π②三角形任意两边之和大于第三边③三角形的大角对大边，大边对大角,即：B A b a B sin A sin ⇔⇔ ④,2C sin )2B A (cos ,2C cos )2B A sin(,C cos )B A cos(,C sin )B A sin(=+=+-=+=+ 6、解三角形的一般规律：(1)必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解；(2)如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。
(3)解三角形，属于几何的问题，所以一般要先画图，再分析，后解答。
新高考高中数学解三角形的综合-教案(解析版)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题解三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握正弦定理和余弦定理的基本内容；②能灵活使用正余弦定理结合三角函数基本公式进行变形；③运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念体系搭建（一）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 Rc C Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===（二） 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在∆ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角． （三） 三角形中的公式变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
高中数学_专题复习解三角形及综合应用教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、复习引入，温故知新带领学生复习本节课涉及到的基础知识，为学生做好理论基础。
主要复习正弦定理和余弦定理以及它们的变形公式，已知哪些条件可以用什么定理。
二、创设情境，引入新课在提前批改学生学案时发现，真题感悟中第三题和第四题问题比较多，但也有一些同学做的不错，所以由做的好的同学到黑板讲解，易错的地方老师重点强调一下。
例一探究一和探究二做的很好，有同学总结三个题目的异同，从而对知识能够更深入的理解，灵活应用。
在讲课的过程中引导学生正确的审题，分析问题、解决问题。
本节课的难点为例二的探究二和探究三，因此可以以小组讨论的形式进行探究和交流。
选择小组代表上台讲解，师生共同总结，从而使问题得到解决。
三、课堂小结，提炼升华正弦定理和余弦定理是解三角形的理论基础，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的价值。
学情分析解三角形这一部分在二轮复/习中不应该出现太多问题，但是文科学生由于基础比较差，掌握的还不是太好，所以在复习中有的问题还需要进一步强调和练习。
效果分析本节课采用循序渐进由易到难的方式进行推进，并在上课的前十分钟进行复习铺垫，学生在思想上、方法上、知识上都做了充足的准备。
在课后与学生的交流中，学生反映上课的效果不错，都能听懂，在方法上掌握的也不错，这反映作业能比较顺畅的完成。
在上课的过程中因为创设情景，学生都能置身其中，与老师的配合程度较好。
教材分析正弦定理和余弦定理是解三角形的理论基础，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的价值。
高考对本部分考察主要从以下方面进行：利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角变换以及三角函数的性质综合考查。
评测练习一、填空题1.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.2.(2017·湖北七市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，a ＝2b ，则tan A ＝________.二、解答题3.(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值.4.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.5.(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0.(1)求角A ；(2)当si n B ＋sin C 取得最大值时，判断△ABC 的形状.课后反思通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学，绝大部分学生能很好地掌握了利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，很好地达到了本节课的教学目的。
高考数学：解三角形的综合应用 导学案
【自主测试】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．( )二、小组合作1.(必修5P20T1改编)已知△ABC 的角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则△ABC 的面积公式可表示为 ( )2211A.S absin A B.S bccos A 221sin Asin C 1sin Bsin C C.S a D.S a 2sin B 2sin A ==== 2.(必修5P24T5改编)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球三、展示反馈3.(2019·西安模拟)如图,要测量底部不宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝的高是60m,则河流的宽度BC 等于 ( )()()()().24031.18021.12031.3031A m B m C m D m - -- +入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,则电视塔的高度是()A.1002mB.400mC.2003mD.500m四、拓展提升4.(2019·石家庄模拟)如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向进行海面巡逻,其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
高三数学第一轮复习 解三角形教案
高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。
在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。
本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。
一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。
(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。
3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。
二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。
2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。
(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。
三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。
(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。
2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。
(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。
(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。
四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。
2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。
3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。
通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。
解三角形复习教案
解三角形复习教案教案标题：解三角形复习教案教案目标：1. 复习学生在解三角形方面的基本知识和技能。
2. 强化学生对三角形相关概念的理解。
3. 提供学生机会通过练习和解决问题来巩固所学内容。
教学资源：1. 教科书2. 白板/黑板和彩色粉笔/白板笔3. 幻灯片或投影仪（可选）4. 三角形练习题和解答教学步骤：引入：1. 向学生复习三角形的定义和基本概念，例如三边、三角形内角和外角的性质等。
2. 提示学生，解三角形是通过已知条件来确定三角形的各个要素，如边长、角度等。
主体：3. 讲解解三角形的基本方法，包括使用正弦、余弦和正切函数以及三角恒等式。
4. 通过示例演示如何解决已知三边、两边一角和两角一边的三角形问题。
5. 提供学生机会进行实践，解决一些简单的三角形问题，如计算未知边长或角度。
6. 引导学生思考和讨论解决复杂三角形问题的策略，如使用余弦定理或正弦定理。
巩固：7. 分发练习题给学生，让他们独立或合作解决问题。
8. 鼓励学生互相检查答案，并解释他们的解决方法。
9. 与学生一起回顾和讨论练习题的解答，解释正确答案的推理过程。
总结：10. 总结本节课所学的内容，强调解三角形的重要性和应用领域。
11. 提醒学生复习并巩固所学内容，以便在考试中能够应用。
扩展活动（可选）：12. 鼓励学生在课后进一步探索三角形的性质和解决问题的方法，可以使用在线资源或相关书籍。
13. 提供一些挑战性的三角形问题，以激发学生的兴趣和思考能力。
教学提示：1. 在讲解过程中，使用图示和实例来帮助学生更好地理解和记忆。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论和问题解决，并及时给予肯定和鼓励。
3. 根据学生的学习进度和理解程度，调整教学节奏和难度。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 检查学生在解决练习题和问题时的准确性和推理过程。
3. 提供反馈和指导，帮助学生改进和巩固所学内容。
高中数学高考解三角形复习教案(旧人教版)
解三角形一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题三．【要点精讲】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
解三角形复习课教案人教课标版(优秀教案)
解三角形复习课（一）•教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。
过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮 助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教 学形式要坚持引导一一讨论一一归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研 究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利 地进一步突破难点。
情感态度与价值观： 让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力; 进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 •教学重点.三角形的形状的确定（大边对大角，“两边和其中一边的对角”的讨论）；.应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用） 。
•教学难点让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。
•教学过程【复习导入】近年广东高考中，解三角形的题目已填空、选择为主，难度要求每年有所不同, 结合大题题出题也不鲜见；关键是借三角形对于我们结合图形分析做题，以及锻炼严谨慎密 的逻辑思维大有裨益。
2R （可留待学生练习中补充）sin B sin C1 1 bcsin A acsin B •2点评：文字语言有助于记忆， 符号语言方便应用。
•思考：各公式所能求解的三角形题型？正弦定理：已知两角和一边或两边和其中一边的对角球其他边角，或两边夹角求面积。
余弦定理：已知两边和夹角求第三边，或已知三边求角。
点评：由公式出发记忆较为凌乱，解题往往由条件出发。
【合作探究】•结合图形记忆解三角形的题型和应用到的公式：（利用初中三角形全等的证明考虑确定形状）正弦定理：—sin A S -absi nC2余弦定理：a2b 2c 222bccos A b2accosBc 2 a 2 b 2 2ab cosC求角公式:.2 2cosA2a rcos B2bca 2 c 2—cosC a 2 b 2 c 22ac 2ab3AC baCCA >-L E相似 （大小不确定）2AC•匕baA----------------------- C---------------- B（全等） （全等）求余边（注意边角对应，利 用内角和可求得第三个角）正弦定理CA“ -B（全等）求对角正弦定理求第三边余弦定理CA ^ *B(?)求对角（注意讨论边角关 系）正弦定理求余边（设，解方程）余弦定理CA''B（全等）求角 余弦定理思考：（）还有没有其他的题型和解题办法？（直角三角形，简单;（）让你感到有难度的题型是哪个，有什么好的解决途径？ 已知边a,b 和 A点评：画图（先画教）可直接得出可能性，再去写正弦定理后续的边角关系讨论；如果图形 理解有苦困难的，可设未知数利用余弦定理列方程解决。
高三复习数学教案5篇
高三复习数学教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三复习数学教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
高三复习数学教案1教学准备教学目标解三角形及应用举例教学重难点解三角形及应用举例教学过程一.基础知识精讲掌握三角形有关的定理利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形中的三角函数问题.二.问题讨论思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论.思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理.在求值时，要利用三角函数的有关性质.例6：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
一.小结：1.利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角);2。
利用余弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三边，求三角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
3.边角互化是解三角形问题常用的手段.三.作业：P80闯关训练高三复习数学教案2排列教学目标(1)正确理解排列的意义。
能利用树形图写出简单问题的所有排列;(2)了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列;(3)掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数;(4)会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;(5)通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。
高三总复习解三角形教案
高三总复习解三角形教案大方三中余学敏（一）课标要求1、通过题型设计，培养学生对这类题的解题思路与技巧2、解题过程中规范学生答题3、培养学生用解三角形的思想解决生活中的问题（二）三维目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的应用方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过对问题题设的分析，得出合理的解题方法。
●教学重点：培养学生正解的解题思维●教学难点：正确使用符号与逻辑语言表达解题过程●教学方法：引导式，参与式与对比教学相结合（三）教学过程一、考情分析本知识点近五年考查情况如下2022年选择题第4，解答题第18题共17分2022年解答题第17共10分2022年解答题第18共12分2022年解答题第17共12分2022年选择题第4共5分思考：根据近几年的考查情况，你有什么想法？二、2022年考纲要求能用正余弦定理解决三角形的度量问题，能用与三角形有关的知识解决三角形的测量和几何计算问题。
三、学习目标要求1、识记三角形的有关知识2、正确判断考查题型3、总结相关题型的解题方法与技巧4、规范答题过四、归纳与三角形有关的知识点（可网上查找）1、三角形的角角关系：2、角形的边边关系：3、三角形的分类及判断方法：4、三角形的周长与面积计算法：5、与三角形有关的定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即ainAbinBcinC=2R余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即a2b2c22bccoAb2a2c22accoBc2a2b22abcoC五、关注题型，提高应用一、选择题1、已知△ABC中，,,,那么角A等于（）2、若2某，2某+1，3某+3是钝角三角形的三边，则实数某的取值范围是()A．B．C．D．，则∠C=()3、若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A．4、在B．C．D．，则的形状是（）中，角A，B均为锐角，且A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为状为（）、、，若=，则△ABC的形A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形6、设则是的重心，且，的大小为（）A．45B．60C．30D．15二、填空题7、为椭圆的面积上的点，是其两个焦点，若，则是．8、在△△中，的面积为为边上一点，，则∠，＝________．，＝2．若三、简答题9、在（1）求角中，角；所对的边分别为且.（2）已知，求的值.10、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.为，的等差中项.11、已知△ABC的面积为1，tanB=，tanC=－2，求△ABC的各边长及tanA．12、在锐角△ABC中，coB＋co(A－C)＝(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当BC＝2时，求△ABC面积的最大值．inC．真题回顾1、（06—17）（１２分）在长；（2）若点2、（07—18）（12分）在周长为．（1）求函数中，已知内角，边．设内角的最大值．．（Ⅰ）求，,求（1）的的解析式和定义域；（2）求中，，求的面积．，则，3、（08—17）（10分）在的值；（Ⅱ）设4、（09）已知△ABC中，(A)(B)(C)(D)5、（09—18）（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,6、（10—17）（10分）中，，求B.为边上的一点，，，，求。
2021届高三新高考数学人教A版教学案：第四章第6节 第二课时 解三角形的综合应用含解析
2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第6节第二课时解三角形的综合应用含解析第二课时解三角形的综合应用考点一解三角形的实际应用多维探究角度1测量距离问题【例1－1】如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300错误!m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠P AB＝90°，∠P AQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.解析由已知，得∠QAB＝∠P AB－∠P AQ＝30°,又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△P AB≌△PQB，∴PQ＝P A。
在Rt△P AB中，AP＝AB·tan 60°＝900,故PQ＝900，∴P，Q两点间的距离为900 m.答案900规律方法距离问题的类型及解法:(1）类型:两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达。
(2)解法:选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解。
角度2测量高度问题【例1－2】如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°,CD ＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于（）A.5错误!B。
15错误! C.5错误!D。
15错误!解析在△BCD中,∠CBD＝180°－15°－30°＝135°。
由正弦定理得错误!＝错误!，所以BC＝15错误!。
在Rt△ABC中，AB＝BC tan ∠ACB＝15错误!×错误!＝15错误!。
答案D规律方法 1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2。
高中数学解三角形复习教案
模块一：解三角形复习2.1.1 正弦定理教学过程： 一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin A =c a sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b cA B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin cC. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===同理sin b B =2R ，sin c C＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j r 垂直于AC u u u r ，由AC u u u r +CB u u u r =AB u u ur 边同乘以单位向量j r得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角③ 练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，∴()()AC AC AB BC AB BC •=+•+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222AB AB BC BC =+•+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+•-+ou u u r u u u r u u u r u u u r 222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法）（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C .② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.2.1 .3 正弦定理和余弦定理（练习）一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. (i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝25b ＝50； (iii ) A ＝6π，a＝，b ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况. (i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝50； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝10 例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABCa b c A ABCa b c A∆是锐角三角形ABC③出示例4：已知△ABC中，cos cosb Cc B=，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→再思考：又如何将角化为边？3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB=，求a bb+的值2. 在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6，则cos A:cos B:cos C＝.3. 作业：2.2三角形中的几何计算一、 设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。
高中数学必修五《解三角形复习课》优秀教学设计
《解三角形复习课》教案第一课时教学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形面积公式的应用，并结合三角形有关知识解决与三角形面积有关的问题。
本节课体现了前面所学知识的生动运用，让学生多参与，使学生在具体的解题中灵活把握正弦定理与余弦定理的特点，能够不拘一格，尝试多种解法。
重点难点：选择适当的正弦、余弦定理、面积公式解决解三角形问题。
教学过程：一、 课程引入回顾正弦定理、余弦定理，三角形面积公式及他们的适用条件与需要注意的部分。
课堂练习：二、 应用示例变式训练：4452cos o ABC a b B A ABC B∆===∠∆（1）在中，已知，，求（）在中，已知三边长AB=7，BC=5，AC=6，求2ABC a b b c ∆=+例 在中，（），求A与B满足的关系)()3,2cos sin sin ,ABC a b c a b c ab A B C ABC ∆+++-==∆ 在中，已知（且试确定的形状变式训练：tan 1cos 5292(3)ABC A B C a b c C CCA CB a b c ABC ∆=∙=+=∆在中，角、、的对边分别为，，，（）求（）若，且，求求外接圆半径思考题：三、课时小结72tan tan tan 2a b c c A B A B S a b ∆∆=+=∙-∆=+ABC 例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是、、，边，且ABC的面积为的值10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。
设艇舰在处与渔船相遇，求方向的方位角的正弦值A B C。
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例3如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________方向.
议
小组合作讨论自己疑惑地方，提炼出此种题型的解题思路与技巧
展
前三组各小组一题展示，能者为师。第四组质疑
评
实际生活中，很多很难到达的地方要测距离，高度，和角度，需要建立数学三角形模型，利用科测得的量来计算出所求量
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
（第1题图）
测量高度
2、(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
通过运用这两个定理解决实际问题，可以培养学生的应用意识和创新精神，使学生养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式去去解决问题，认识世界。
学情分析
学生基础薄弱，对于应用题的阅读与理解有一定的难度，对于知识的运用不够灵活。
教学目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
课题名称：解三角形的综合应用
考纲、大纲描述
解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
教材内容分析
正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形问题以及应用问题（如测量等）的两个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”“几何”产生联系，为求与三角形有关的量，如面积、外接圆、内切圆半径等提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
检
限时5分钟2小题夯实基础。
用
限时40分钟，夯实基础覆盖本章全部知识点。A B C三等级分层完成。
教学反思
检查结果及修改意见：
优秀[ ]良好[ ]合格[ ]不合格[ ]
教研组长（签字）：
检查日期：年月日
重点
掌握仰角和俯角、方向角、方位角的概念，并能熟练的用于解决实际应用题。
难点
关于测量距离等实际运动题的解决。
教学环节
教学活动
教师复备
导Байду номын сангаас
复习回顾正余弦定理的内容和公式的变形
思
生活中怎么计算无法直接可测量距离，测量高度，测量角度？
例1如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()