静力学知识要点详解

《简明理论力学》
——哈尔滨工业大学第二版
静力学
第一章静力学公理和物体的受力分析
静力学：即刚体静力学，是研究刚性物体在平衡时的受力状况。

静力学研究三个问题：（1）物体的受力分析；（2）力系的等效代换；（3）力系的平衡条件极其应用。

（一）静力学公理：
（1）公理1 力的平行四边形法则(三角形法则)
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。

合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。

（2）公理2 二力平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的等值，相反，共线。

（3）公理3 加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

推理1 力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。

推理2 “三力”平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

（4）公理4 作用和反作用定律
作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反向、共线，作用在相互作用的两个物体上。

（5）公理5 刚化原理
若变形体在某一力系作用下处于平衡，则将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

（注：反之不一定成立。

因为使刚体平衡的充要条件，对变形体是必要的但非充分的。

）
（二）约束和约束力
自由体(free body)：位移不受限制的物体
非自由体(constrained body)：位移受到某些限制的物体
约束(constraint)：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体
约束体(constraint body)：约束非自由体运动的物体。

约束力(constraint force)：约束体作用在非自由体上的力。

注：火车是非自由体，铁轨是约束体，铁轨作用在车轮上的力为约束力。

1、工程中常见的约束
（1）光滑接触约束---具有光滑接触面（线、点）的约束
约束力特点：
作用点：在接触处
方向：沿接触处的公法线并指向受力物体；（故称为法向约束力）
（2）柔索类约束--由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束
约束力方向：柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。

胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。

（3）光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）
1）径向轴承（向心轴承）
约束特点：约束力作用在接触处，沿径向指向轴心。

当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变。

可用二个通过轴心的正交分力表示。

2）光滑圆柱铰链
约束特点：光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用两个正交分力表示。

其中有作用反作用关系,
一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独取出。

3)固定铰链支座
注：以上三种约束（径向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支座）其约束特性相同，均为轴与孔的配合问题，都可称作光滑铰链。

（4）其它类型约束
1) 活动铰链支座(滚动支座)
2) 球铰链
约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意转动，但构件与球心不能有任何移动。

当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题。

约束力通过接触点,并指向球心,是一个不能预先确定的空间力。

可用三个正交分力表示。

3）止推轴承
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。

约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正交分力
【约束力小结】
（1）光滑面约束——法向约束力
（2）柔索约束——张力
（3）光滑铰链（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）
（4）滚动支座——⊥光滑面
球铰链——空间三正交分力
止推轴承—空间三正交分力
（三）物体的受力分析和受力图
1、基本概念
（1）受力分析——确定构件受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向的过程。

（2）被动力——约束对于物体的约束力，是未知的被动力。

（3）主动力——除约束力以外的力，也称为载荷(loads)。

（4）分离体——解除约束后的物体(Isolated body)。

（5）受力图——表示物体受力的简明图形（FBD）。

（6）二力杆——只在两个力作用下平衡的构件。

2、作受力图的步骤——在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力）。

画受力图步骤：
1）取所要研究物体为研究对象（隔离体），画出其简图；
2）画出所有主动力；
3）按约束性质画出所有约束（被动）力。

注意：二力杆的判断；三力平衡汇交定理的应用；作用力与反作用力定理的运用。

【二力构件/二力杆】
二力平衡原理：作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必要条件是——此二力等值、反向、共线。

若刚体上只有两点受力且不计其质量，则该刚体称为二力构件或二力杆。

作用力方向沿两点连线、大小相等、方向相反。

【本章主要内容】
1基本定义
☐平衡、刚体；自由体、非自由体
☐力系、等效力系、合力
2静力学公理
☐平行四边形法则、二力平衡、加减平衡力系原理（力的可传递性、三力平衡汇交定理）、作用和反作用定律、刚化原理
3约束与约束力
☐柔索、光滑面、光滑柱（球）铰链、二力构件
4受力分析
☐根据约束的类型画受力图
5画受力图应注意的问题
【注意】
1不要漏画力：除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处
必有力，力的方向由约束类型而定。

2不要多画力：要注意力是物体之间的相互机械作用。

因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。

3不要画错力的方向：约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。

在分析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。

4受力图上不能再带约束：即受力图一定要画在分离体上。

5受力图上只画外力，不画内力：一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。

当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。

6 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能相互矛盾：对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。

7 正确判断二力杆。

第二章平面汇交力系与平面力偶系
根据力的作用线是否共面可分为：平面力系、空间力系
根据力的作用线是否汇交可分为：汇交力系、平行力系、任意力系
平衡力系——作用在物体上使物体保持平衡的力系
（一）平面汇交力系的合成与平衡
1、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则：
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量
和，合力的作用线通过汇交点。

2、平面汇交力系平衡的几何条件：
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。

当力多边形最后一力的终点与第一力的起点重合，称为封闭的力多边形.
结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭【几何法小结】
1）图解法----即按比例先画出封闭的力多边形，再量得所要求的未知量；
2）根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量。

以上两种方法统称为几何法。

几何法的不足：
1）精度差，误差大；
2）对作图精度要求高；
3）不能表达各个量之间的函数关系；
4）只适用于三个及三个以下力的合成。

3、平面汇交力系合成的解析法：
定义:
力的投影：力在轴上的投影定义为力与该投影轴单位矢量的标积，是代数量。

如果直角坐标系oxyz 的单位矢量为i，j，k，则力F 在各轴上的投影为：
分别表示力F与坐标轴正向的夹角。

（1）力的投影与分解
力在坐标轴上的投影（代数量）
特点：
1）力在相互平行且同向的坐标轴上的投影相等。

2）将一个力平行移动，此力在同一轴上的投影值不变。

力可以沿任意两个方向分解：力沿直角坐标轴的分解（矢量），遵循平行四边形法则。

注意：力的投影和力的分量是两个不同的概念。

力的投影是代数量，而力的分量是沿该力方向的分作用，是矢量。

在直角坐标系中，力在轴上的投影才和力沿该轴的分量的大小相等。

（2）合成的解析法
合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。

（3）平面汇交力系平衡的解析条件：
平衡的必要和充分条件是：该力系的合力F R等于零。

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零。

（二）平面力对点之矩的概念及计算
1、力对点之矩（力矩）
矩心：
力臂：
力对点之矩：是一个代数量，他的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可以根据以下方法确定：
“＋”——使物体逆时针转时力矩为正；
“－” ——使物体顺时针转时力矩为负。

2、合力之矩定理：平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。

3、力矩与合力矩的解析表达式：
【求力对点之矩的两种方法】
平面力对点之矩的概念：
合力矩定理：
（三）平面力偶
1、力偶与力偶矩：
力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。

力偶臂——力偶的两力之间的垂直距离。

力偶的作用面——力偶所在的平面。

注：（1）力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。

力和力偶是静力学的两个基本要素。

（2）力偶矩是度量力偶对刚体的转动效果；它有两个要素：力偶矩的大小
和力偶矩的转向。

2、平面力偶的等效定理：
★在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。

推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。

3、平面力偶系的合成和平衡条件
【本章小结】
1）在坐标轴上的投影为：
2）平面内力的解析表达式为：
3）求平面汇交力系的合力：几何法、解析法
4）平面汇交力系的平衡条件：
平衡的必要和充分条件：
平衡的几何条件：力多边形自行封闭
平衡的解析条件：
5）平面力对点之矩
6）合力矩定理：
7）力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系
力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶矩，力偶矩
与矩心的位置无关。

力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。

力偶矩是力偶作用的唯一量度。

8）平面力偶系的合成与平衡
合成结果：
平衡条件：
第三章平面任意力系
（一）平面任意力系的简化
1、力的平移定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。

2、平面任意力系向作用面内一点的简化——主矢和主矩
★平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。

这个力偶的矩等于力系对于点O 的主矩。

3、平面任意力系的简化结果分析
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。

（2）平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
平面任意力系的合力矩定理:平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等
于力系中各力对同一点矩的代数和。

合力矩定理的应用：（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；
（2）求分布力的合力作用线位置。

（3）平面任意力系平衡的情形
（4）平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。

（二）平面任意力系的平衡条件和平衡方程 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
主矢 主矩 合成结果
说 明
F R ≠ 0
′ F R = 0
′ M O = 0 M O ≠0 M O ≠0 M O = 0
合力 合力 力偶 平衡
合力作用线离简化中心的距离
R
O
F M d '=
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。

●几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量；
（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；
（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；
（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。

【平面任意力系平衡方程的形式】
基本形式
二力矩式（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）
三力矩式（A、B、C 三点不得共线）
其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：
（三）物体系的平衡——静定和超静定问题
物体系统（物系）：即由若干个物体通过约束所组成的系统。

外力：外界物体作用于系统上的力叫外力(包括主动力和约束力)。

内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。

1、物系的平衡问题
◆ 物系平衡的特点：① 物系静止：② 刚体系平衡 ⇔ 系统中每个刚体平衡；③ 每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列 3n 个方程。

（设物系中有n 个物体）
◆ 解物系问题的一般方法
由整体 局部（常用）；由局部 整体（用较少）。

先求局部再求整体时，一定要先选取受力最少的局部！ 2、物系的静定和静不定问题
●静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目 ●静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目
力 系 名 称 共线力系 平 衡 方 程
平面力偶系 平面汇交力系 平面平行力系
=∑i F 0
=∑i M 0
0=∑=∑yi xi F F 0
)(0=∑=∑i O i M F F 1 1 2 2
独立方程的数目
第四章空间力系
（一）空间汇交力系
1、空间力的投影和分解
(1) 直接投影法：在直角坐标系中力在轴上的投影和力沿该轴方向的分力相等
(2) 二次投影法：力在直角坐标系中的大小和方向
2、空间汇交力系的合成与平衡条件（参考平面汇交力系）
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。

合力在直角坐标系中分解：
由合矢量投影定理：
合力的大小和方向（用分力来表示）：
平衡条件：1)几何法：
2) 解析法：
平衡方程：1)几何法:空间的力多边形封闭：
2) 解析法：
（二）力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩——力矩矢
确定空间的力对O点之矩作用效果的三要素：
（1）力矩的大小；（2）力矩的转向；（3）力矩作用面。

★须用一矢量表征
结论：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。

2、力对轴的矩——代数量
★力对轴的矩的绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面于该轴的交点的矩。

★力对轴的矩的正负号
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。

★当力与轴在同一平面时（1.平行；2.相交），力对该轴的矩等于零。

3、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
●力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。

4、合力矩定理：力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（代数和）。

（三）空间力偶
空间力偶（力偶矩矢）的三要素：(1) 力偶矩矢的模；(2) 力偶矩矢的转向；
(3) 力偶矩矢的方位，与力偶作用面垂直。

力偶矩矢是自由矢量，无需确定矢量的初端位置。

空间力偶的等效条件：两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。

空间力偶系的合成与平衡
合力偶矩矢：
合力偶矩矢：
合力偶矩矢的解析形式：
由合矢量投影定理：
平衡条件平衡条件
（四）空间任意力系向一点的简化——主矢和主矩
力系中各力的矢量和称为力系的主矢，各力对简化中心之矩的矢量和称为力系对简化中心的主矩。

结论：空间任意力系向任一点O简化，可得一力和一力偶。

这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。

主矢与简化中心的位置无关，主矩则与简化中心位置有关。

(按照空间汇交力系求合力的方法求主矢)
几点说明：
1）6个独立的平衡方程，可求解6个未知量。

2）每个方程最好只包含一个未知量。

3）投影轴尽量与其余未知力保持垂直。

4）取矩的方程尽量与其余未知力平行或相交。

5）投影轴不必相互垂直，取矩的轴也不必与投影轴重合。

空间任意力系的简化结果分析
1）空间任意力系简化为一合力偶的情形
★由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。

2）空间任意力系简化为一合力的情形
合力的作用线通过简化中心
3）空间任意力系简化为力螺旋的情形
4）空间任意力系简化为平衡的情形
空间力系的简化结果总结
（五）空间任意力系的平衡方程
平衡方程： 平衡条件：
结论：空间任意力系平衡的必要和充分条件是：所有各力在3个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。

每个空间平衡物体仅六个独立平衡方程，证明其独立条件很困难，但一个方程中仅一个未知量，这6个方程是独立方程。

三力矩平衡方程: 四力矩平衡方程:
主矢 主矩
F R ≠ 0
F R = 0
′ M O = 0 M O ≠0
M O ≠0
平衡
合力偶 R
O
F d '=
M 此时主矩与简化中心的位置无关
F R ⊥ M O ′′
M O ≠0 合力
F R ∥M O
力螺旋 力螺旋
合力作用线离简化中心O 的距离
力螺旋的中心轴通过简化中心 力螺旋的中心轴离简化中心O
的距离为 sin O R
d F θ
='M F R 与 M O
′
成α 角
最后结果 说 明
五力矩平衡方程:
六力矩平衡方程:
几种特殊的空间力系平衡方程
1）汇交力系
2）间力偶系
3）间平行力系
（六）重心
1、平行力系中心
由合力矩定理可确定合力作用点C：
★平行力系的合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。

称该点为此平行力系的中心。

由合力矩定理，得
结论：合力的作用点只与各个力的大小及作用点有关，而与平行力系的方向无关。

２、心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得：
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3、定物体重心的方法
（1）积分法：简单几何形状物体的重心
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
(b)负面积法（负体积法）
（3）用实验方法测定重心的位置——悬挂法。