1第二章岩石力学弹塑性分析

将几何方程代入
∂u εx = , ∂x
∂v εy = , ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
得到
(1 − µ ) E µ ∂u σx = ( + (1 + µ )(1 − 2 µ ) ∂x 1 − µ (1 − µ ) E µ ∂v σy = ( + (1 + µ )(1 − 2 µ ) ∂y 1 − µ E ∂v ∂u τ xy = ( + ) 2(1 + µ ) ∂x ∂y
E 1− µ2
,将 µ换为
1 − µ,
µ
就得到plane strain problems 的
physical equations (2.13). 其中第三式也不例外,因为
µ 21 + 1− µ = 2(1 + µ ) E E 1− µ2
4 边界条件 边界条件(Boundary Conditions) The boundary conditions 表 示 位 移 与 约 束 (displacements and constrains), 应力与面力(stresses and surface forces)之间的关系式. 它 分为 (1) 位移边界条件 位移边界条件(displacement boundary conditions) In a displacement boundary problem, 物体部分su表面位移是给定 的, 即有 (u ) s = u ( s ), (v ) s = v ( s ) (on s u ) where (u)s and (v)s 是su surface上位移的边界值, u ( s) and v ( s) 是坐标 的已知函数. 对于完全固定边界 u ( s ) = v ( s ) = 0 有
x s x
Fig. 2.7
可见平面问题有八个方程, 八个变量, 其中应力分量有三个: σ x , σ y , τ xy 应变分量有三个 ε x , ε y , γ xy , 位移分量有两各 u, v 再加上边界条件，理论上也是可解的． 在岩石力学中, 大部分是平面应变问题, 所以下面以平面应变问 题为例, 说明弹性力学的分析方法. 二 弹性平面问题的解法
解出stress components, 得
(1 − µ ) E µ σx = εy) (ε x + (1 + µ )(1 − 2 µ ) 1− µ (1 − µ ) E µ σy = εx) (ε y + (1 + µ )(1 − 2 µ ) 1− µ E τ xy = γ xy 2(1 + µ )
第二章 岩石力学弹塑性分析
2.1 线弹性分析 一、弹性力学的基本方程 （一）空间问题 1. 平衡微分方程 平衡微分方程(Differential Equations of Equilibrium) ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + + F y = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + Fz = 0 ∂x ∂y ∂z 2. 几何方程
1. 平衡微分方程
∂σ x ∂τ xy + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + + F y = 0 ∂x ∂y
2. 几何方程
∂u εx = , ∂x
∂v εy = ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
3. 物理方程 （１）平面应力
1 ε x = [σ x − µσ y ] E 1 ε y = [σ y − µσ x ] E 1 γ xy = τ xy G
(u ) s = 0,
(v ) s = 0
(on s u )
(2) 应力边界条件 应力边界条件(stress boundary conditions) 在下图(b) 中的 表面取 point P . 这样 px and py 变成在 点 中的AB表面取 变成在P 在下图 f x and . 而σx,σy,τxy,τyx 变成在 变成在P 的surface force components f y 的 stress components 的boundary values, 则 Eqs.(2.3)
p x = lσ x + mτ xy , p y = mσ y + lτ xy
变成
(lσ x + mτ xy ) s = f x ( s ) (mσ y + lτ xy ) s = f y ( s ) (on sσ )
(2.15) 这里 f x and f y 是边界坐标的 已知函数. l and m 是边界法线的 the direction cosines . Eqs.(2.15) 就是 plane problem 的stress (or surface force) boundary conditions .
(d ) (e)
(3) 混合边界条件 mixed boundary conditions) 混合边界条件( 若物体的一部分边界具有已知位移, 因而具有位移边界条件, 如 式(2.14)所示; 另一部分具有已知表面力,因而具有应力边界条件,如 式(2.15)所示, 则叫混合边界条件. 此外, 在同一部分边界上还可能出现混合边界条件, 即两个边 界条件中, 一个是位移边界条件, 另一个是应力边界条件. 如图2.7(a), 在 x direction 有displacement boundary condition (u ) s = u = 0 , 在y direction 有 stress boundary condition (τ xy ) s = f y = 0 . 在 Fig. 2.7b, 我 们有 stress boundary condition (σ ) = f = 0 而在 y 方向, 有displacement boundary condition (v) s = v = 0
(一) 位移法 一 位移法: 从 physical equations
1− µ 2 µ [σ x − εx = σ y ] E 1− µ 1− µ 2 µ [σ y − εy = σ x ] E 1− µ 1 γ xy = τ xy G

这就是按位移求解平面问题的基本方程.. 而位移表示的应力边界条件:
(1 − µ ) E ∂u µ ∂v 1 − 2µ ∂u ∂v l( + ∂x 1 − µ ∂y ) + m 2(1 − µ ) ( ∂y + ∂x ) = f x (1 + µ )(!−2 µ ) (1 − µ ) E ∂v µ ∂u 1 − 2µ ∂v ∂u m( + )+l ( + ) = f y (1 + µ )(!−2 µ ) ∂y 1 − µ ∂x 2(1 − µ ) ∂x ∂y
这里有十五个方程, 十五个变量 六个应力分量 六个应变分量
σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx
ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx
三个位移分量 u, v, w 再加上边界条件，理论上是可解的． （二）平面问题
平面应力问题 平面问题 平面应变问题
∂u εx = , ∂x
∂v ∂w εy = , εz = ∂y ∂z
γ xy
∂v ∂u ∂v ∂w ∂w ∂u = + + + , γ yz = , γ zx = ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z
3. 物理方程 广义虎克定理 物理方程(广义虎克定理 广义虎克定理)
1 ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E 1 1 1 γ yz = τ yz , γ zx = τ zx , γ xy = τ xy G G G
位移解法 位移解法 解析法应力解法 混合解法 弹性问题的解法 有限元法 数值法边界元法 块体元法
(1) 位移法 位移法(Displacement Method): 将 displacement components 作为 基本的unknown functions, 从方程和边界条件中消去应力分量和形变 分量, 导出只包含位移分量的方程和边界条件, 解这些方程得位移分 量, 然后再解应力分量和形变分量, 这样的办法就称为位移法. (2) 应力法 应力法(Stress Method) :将stress components as作为基本的 unknown functions,从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量, 导出只包含应力分量的方程和边界条件, 解这些方程得应力分量, 然 后再解形变分量和位移分量, 这样的办法就称为应力法. (3) 混合法 混合法(Mixed Method): 将一些displacement components and 一 些stress components作为unknown functions,导出只包含这些分量的方 程和边界条件,解这些方程得这些 unknown functions, 然后再求其它 的unknown functions.这样的办法就称为混合法.
当边界与坐标轴垂直时, the stress boundary conditions 可以简化: 若边界垂直于 x axis, 这时 l = ±1, m = 0, 则 boundary conditions (2.15) 可 简化为: