金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]汇编

第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：20|7%10|7%

50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+==

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解： 设首次付款为X ，则有

48|1.5%1000250X a =+

解得X = 1489.36

3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1

。试计算该年金的现值。

解：

22

|1( 1)1( 1)n n n n i n

v n n n PV na n n n

+-+-===+ 4．解： ]]]2(1)n

n n n a a a d =+-则1

1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。计算i 。

解：

]]]718711a a a v =+解得i = 6.0%

6.证明：]]]

10101 110s a v s ∞+=- 证明：

]]]10101010

10(1)111(1)11i s a i i i s v i

∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。

解：

8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日

15]7%100025]8%a s X = ￢

解得X = 8101.65

9．已知贴现率为10%，计算8]a 。

解： d = 10%，则

88]111 191 (1 ) 5.6953i d v a i i

=-=--=+= 10.求证：

()()]]]]1 12? 1 (1 )n n n n n n a a v s s i =+-=-++ ；

并给出两等式的实际解释。

证明： (1)]111¨ 11n n n

n n v v v a v i d i

i

---===+-+ 所以]]

¨ 1n n n a a v =+- (2)](1)1(1)1(1)1¨ (1 )1n n n n n i i i i s i d i +-+-+-===++- 所以]]¨ 1 (1 )n n n a s i =-++

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。

解：

PV = 100a 49】1.5% − 100a 2]1.5% = 3256.88

AV = 100s 49]1.5% − 100s 2]1.5% ￢ = 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金

额为Y ，在第11－20年中没有。已知：1012

v = ，计算Y 。

解： 因两种年金价值相等，则有

101030]30]10]?10]? ? i i i v i v a a Y a Y a +=- 所以1030

1030

32 1.812v v Y v v --==+-

14.已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。

解： 由题意知，

2]]]2 3 36

2 6n i n i n n i a a a v +==

解得i = 8.33%

15.已知

7]

3]]11]]]X Y Z a a s a a s +=+。求X ，Y 和Z 。

解： 由题意得

73

111(1 )1(1 )X Z Y

v i v v i v -+-=-+- 解得

X = 4, Y = 7,Z = 4

16.化简153015](1 )a v v ++。

解：

153015]45](1 ) a v v a ++=

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。

解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5%

× 2000 = 46444.44 ，则

232 41300.657(1 )P

PV i +==+

18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。

解： 设递延时间为t ，有

1t P v i =解得ln ln(1)

iP t i =-+ 19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一

定的金额X ，直至永远。计算X 。

解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有

2920]1000i X a v i

= 解得3010 1000((1 )(1 ))X i i =+-+

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相