两个猜想不等式的证明

两个猜想不等式的证明

宋 庆

（南昌大学附中，江西 330047）

文[1]提出了四个猜想不等式：

22

2

1222a b c a b c ++≥+++；

（1） 2221

111124124124a a b b c c ++≥-+-+-+；

（2） 2221222b c a

a b c ++≥+++；

（3） 2221111

3232322a b b c c a ++≤++++++。

（4）

其中，,,a b c 是正实数,且满足1abc =。

文[1]、[2]分别证明了不等式（1）、（2）。本文旨在证明不等式（3）、（4）

证明

文末，笔者给出

猜想 若,a b 为满足21a b +=的正数，则

2

3263a

b

a b +≥--＋2

.213a

b

a b +≥--

参考文献

[1] 宋庆.从一个简单的不等式命题说开去. 中学数学研究，2010(4)

[2] 张 . 一个不等式猜想的肯定性证明与推广. 中学数学研究, 2011(1)

[3] 张 .一个不等式猜想的解决.中学数学研究， 2011(4)

[4] 宋庆. 一个新的代数不等式的发现. 中学数学研究, 2007(7)

[5] 宋庆.几个有趣的双边不等式.数学通讯， 2001(20)

[6] 宋庆.一组三角不等式的简单证明.数学通报， 1997(7)

[7] 宋庆.三个新发现的三角不等式.中学数学教学参考，1995(11)

[8] 宋庆.Hayashi 不等式的推广.中学数学教学参考，1994(9)

[9] 宋庆.一个三角不等式的加强 湖南数学通讯， 1989(4)

（本文刊载于《中学数学研究》2010年第4期）数学是可以在纸上思考出来的，但这种思考方式的根本，必须要从观察开始才行。《走向IMO －数学奥林匹克试题集锦》（.华东师大出版社，2005）有：

命题 若,a b 为正实数, 则 22111(1)(1)1a b ab

+≥+++. 但肯寻诗便有诗，灵犀一点是吾师。夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。笔者在文[1]中给出了以下简洁

证明： ()(1)a b ab ++因为 222(1)(1)(1)b a a b b a =++-≥+， 故21(1)()(1)b a a b ab ≥+++，同理21(1)()(1)

a b a b ab ≥+++，两式相加，便知原不等式成立。

天下难事，必做于易，必做于细。但把简单的东西做好是一件不容易的事。众所周知，看的结果常常依赖于你怎么去看。你能不能观察眼前的现象，取决于运用什么样的理论。理论决定你到底能够观察到什么。用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来，这就更不是一件容易的事。由命题，可得2005年IMO 中国国家集训队测试题，即

定理1 设,,,a b c d 是正实数，且满足d 1abc =, 求证：222211111(1)(1)(1)(1d)

a b c +++≥++++. 证明： 因为

22111(1)(1)1a b ab +≥+++，22111(1)(1)1c d cd +≥+++，所以 22221111(1)(1)(1)(1d)a b c +++++++11111111

ab ab cd ab ab ≥+=+=++++。 独创性是把旧的、很早就已知的或者人人都视而不见的事物当作新事物观察，它不在于生造出一些悖于常理的新词，而在于巧妙使用旧词。旧词足以表达一切，旧词对行家来说已经足够了。四个字母成双，三个字母怎么办呢？文[1]巧妙地解决了这个问题。

定理2 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =，

求证：2221113(1)(1)(1)4

a b c ++≥+++。 证明： 因

22111(1)(1)1a b ab +≥+++，故要证原不等式,只要21131(1)4ab c +≥++ 2131(1)4

c c c ⇔+≥++24(1)43(1)c c c ⇔++≥+2(1)0c ⇔-≥。原不等式成立。 许多重要不等式的发现是由任意实数的平方非负得出来的。另外，在数学上一项很简单的发现可能会产生一些新的思想和有用的结论。

手把青秧插满田，低头便见水中天。心底清净方为道，后退原来是向前。弱化定理2，笔者得到

定理3 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：2323231113a a a b b b c c c

++≥-+-+-+。 证明： 因为222432(1)4(1)46410a a a a a a a a +≥-+⇔-+-+≥

4(1)0a ⇔-≥，所以23222114(1)(1)

a a a a a a a =≥-+-++， 从而（注意到2221a

b

c =），323232111a a a b b b c c c

++-+-+-+ 42222221113(1)(1)(1)a b c ⎡⎤≥++≥⎢⎥+++⎣⎦

。 因此,原不等式成立。 特殊化与一般化构成了数学解题过程的基础。在探究问题时，特殊化往往比一般化起着更为重要的作用。其实，人类的智慧不外乎用在两个方面，或者把简单的事情弄复杂，或者把复杂的事情弄简单。成功者并没有在做与众不同的事，只不过做事的方式与众不同而已。强化定理2，笔者有

定理4 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：22211111(1)(1)(1)1a b c a b c

+++≥++++++。 证明： 因1－a 、1－b 、1－c 必有两个同为非负数或非正数，故不妨设 （1－a ）（1－b ）≥0. 由命题知，要证原不等式,只要证211111(1)1ab c a b c ++≥+++++21111(1)1c c c a b c

⇔++≥+++++ 22111(1)1c c c a b c ++⇔+≥++++211(1)

c a b c c ⇔≥++++212()c c c c a b c ⇔++≥+++