两个猜想不等式的证明
高中数学课时素养评价第3章不等式3..基本不等式的应用含解析苏教版第一册
课时素养评价十二基本不等式的应用（15分钟35分)1.已知a〉b>0,全集为R，集合M=x b<x〈，N={x|<x〈a},P=｛x｜b〈x≤},则M，N，P满足（）A.P=M∩（R N) B。
P=(R M)∩NC.P=M∪N D。
P=M∩N【解析】选A。
由a>b〉0结合基本不等式可得，a>〉〉b,故P=M∩(R N）。
2。
某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则（)A。
x= B.x≤C.x>D.x≥【解析】选B.由条件知A(1+a）（1+b）=A(1+x)2,所以(1+x）2=（1+a)（1+b)≤,所以1+x≤1+,故x≤。
3。
已知a〉0，b〉0,ab=1，且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(）A。
3 B.4 C.5 D。
6【解题指南】利用“1”的代换解题。
【解析】选B。
因为ab=1,所以m=b+=2b，n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4。
当且仅当a=b=1时，等号成立。
【补偿训练】若实数a，b满足+=,则ab的最小值为（)A.B。
2 C。
2 D.4【解析】选C。
由题意知a>0，b〉0,则+≥2=，当且仅当=，即b=2a时等号成立。
所以≥，即ab≥2.4。
周长为+1的直角三角形面积的最大值为________。
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则+1=a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取等号，所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.答案：5。
某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________。
【解析】总运费与总存储费用之和f（x）=4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=，即x=20时取等号。
答案：206.设a，b,c均为正数，且a+b+c=1。
基本不等式证明
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
华罗庚证明1+1=2
华罗庚证明1+1=21+1=2怎么证明？华罗庚的证明方法1+1就是指哥德巴赫猜想,就是每一个大于等于6的偶数都可以表示为两个奇素数的和.关于哥德巴赫猜想,现在还没有解决,目前最好的结果是陈景润所证明的1+2,即每一个充分大的偶数可以表示成两个奇数的和,这两个奇数中一个是素数,另一个或是素数,或是两个素数的积.所以不存在华罗庚证明的1+1华罗庚证明1+1=2 2你说的可能是“1+1”，而不是“1+1=2”！“1+1”是世界著名的数学难题——哥德巴赫猜想的简称，它的内容之一是：任何大于2的偶数都等于两个质数之和，由于这个结论是德国数学家哥德巴赫首先发现并提出来的，所以叫做“哥德巴赫猜想”。
至今人类还没有完成最终证明，距离最终结果最近的，是中国数学家陈景润1966年完成的“1+2”，也就是他证明了任何充分大的偶数都等于1个质数加上2个质数之积。
1+1等于2 是华罗庚证明出来的吗？任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数的和，也就是我们通常所说的“1+2”。
陈景润于1966年发表，1973年公布详细证明方法。
1+1: 一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。
二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。
这就是著名的哥德巴赫猜想。
目前还没有人证明出来。
谁给我证明1+1?（华罗庚的那个。
）一加一等于二，你二啊……一加在正确的情况下等于二，在错误的情况下等于三。
华罗庚证明1+1=2 5华罗庚教授因患急性心肌梗塞在1985年6月12日逝世。
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12.），世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函式论等多方面研究的创始人和开拓者。
国际上以华氏命名的数学科研成果就有“华氏定理”、“怀依—华不等式”、“华氏不等式”、“普劳威尔—加当华定理”、“华氏运算元”、“华—王方法”等。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
基本不等式的证明材料四
2
CD ≤OD
典例分析
例 1 设 a，b 为正数，证明下列不等式成立.
（1） b a ≥ 2； ab
（2） a 1 ≥2 . a
变 若 a，b 异号呢？
例 2 设 0≤ a ≤ 2，证明： a(2 a) ≤1.
课堂小结：
归纳小结
通过这节课的学习谈谈你有哪些收获？
课后作业
1.证明下列不等式： （1）a－4 3+a≥7（其中 a＞3）；
设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体的实际质量
l2
l1
为 M，根据力学原理有
l1M＝l2a， ① l2M＝l1b． ②
b
①乘以②得 l1l2M2＝l1l2 ab，
l2
l1
两边同除以 l1l2，可以得到 M ab ，
ab是黄金的实际质量，也是正数“a，b”的一 种平均方式．
实例探究
建构数学
猜想 不等式 ab≤a+2b（a＞0，b＞0）
a b 2 ≥0
a b 2 ab ≥ 0
只要证 0≤ a 2 ab b
a b≥ 2 ab
只要证 0≤
2
a b
a b ≥ ab 2
因为最后一个不等式成立，
所以 ab ≤ a b 成立，
2
当且仅当 a b 时取“=”.
建构数学
平均数定义 基本不等式
一般地，对于正数 a，b， a b 2 ab
建构数学
D
CD ab
A
ab
2 ab
aO Cb B
OD a b 2
CD ≤ ODΒιβλιοθήκη 建构数学基本不等式 符号语言
ab≤a+2b（a≥0，b≥0）当且仅当 a=b 时取“=”
一个有理不等式猜想的证明及推广
１ Ｊ＋ 筏 （ ）ｆ１ ＋１ｉ ｆ
， 、 ‘ｌ ＝ ／
ａ ｂ ＋ｃ ％
— — — — －
ｄ ｎ
ｔ— — －
ａ ｂｎ ｎ ％ ＋ｃ＋ｄ
—
＜—
１ ｎ ＋（ ｃ
ｌ ｄ ＋
１ ， ＋ｃ
ｎ
∑
协
ｃ
＋ ＋ － 施 ｃ 广 ＋・ 耳 ｃ ＼３ （ １ 鼍 ｆ１ １ ｆｎ １ １ ＋ １ ＋ 帆
等式 ：
１ １ ｌ ＋ｘ ＋ｙ ＋，
证 ÷ ｖ 善 ｖ １ ） （ ｙ ｙ１ ） （ ｙ（ （ 明： ＋ ＋ ＜ ＋ｘ ［ １ ） （ ］ ） 帆） ） １ １ 甘（ ＋ ＋ ＜ ＋ １ １ ＋ｘ
兮 （＋ ） ＋ ｙ ＜ 卅ｙ （＋ ＋ ） １ （ ） （ ） １
∑ ； Ｈ ∑ ∑ 慨
＝
ｄ
— —
１ ＋
１ ２ ＋ ｃ
ｎ施 ｋ Ｘ Ｈ ∑ ＋ ｋ 慨 兀 ｌ＋ ＋ｌ
‘ ： ‘ ！ ！
兀魁 兀
苎 兰
《 个 有 理 不 等 一
式 的 类 比及 猜 想 》 在
文 末 给 出 了 如 下 猜 想： 猜 想 设 ０ ｂ， ， ， ｃ
命 题 １ 设 ｎｂ ．．
ｃ， ＞ 且 ａ ｂ ｃ ｄ＝ ， ｄ Ｏ， ＋ ＋ ＋ １
￣ ｘ ＋ｙ＋ ＋ ＋ ： ２ ｘ ２ ￣ｙ 卅ｙ
＋ ＋ ＋ ＋ 矿 ＋ ２ ｙ
贝４
ｄ
— —
＋— 一 ＋
１ ＋６ １ －
＋
甘 Ｗ＜ （） ｘ ＋
由Ｏ ，＜ ， ０ ｘ ＜ ， ｙ ｌ有 ＜ ｙ １ 又 Ｉ ｘ ＞ ｘｘ ｙ ２Ｚ ， ＞ ２ ｙ ２ ｙ ｘ ＝ ｘ 从 而 （ 式 得 证 ， 引理 ｌ ｙ ） 即 得证 ．
基本不等式的证明材料四
建构数学
平均数定义 一般地，对于正数 a，b， a b 称为 a，b 的算术平均数 2 称为 a，b 的几何平均数 ab 基本不等式
a+b ab≤ （a≥0，b≥0）当且仅当 a=b 时取“=” 2
建构数学
平均数定义
基本不等式
符号语言
ab 称为 a，b 的算术平均数 一般地，对于正数 a，b， 2 ab 称为 a，b 的几何平均数
2
b
2
2 a b
只要证 2
ab ≤ a b
a b 2 ab ≥ 0 a b ≥ 2 ab
a b ≥0
2
只要证 0 ≤ a 2 只要证 0 ≤
当且仅当
a b，
a b
2
ab ≥ ab 2
即 a b 时，取“=”.
因为最后一个不等式成立， 所以
建构数学
实例探究归纳Fra bibliotek猜想不等式
a+b ab≤ （a＞0，b＞0） 2
猜想
问题 2 你会证明这个不等式吗？
证明
建构数学
证法一： （比较法）
ab ab 2 2 1 a 2 1 = 2
证法二： （分析法） 要证
ab ≤ ab 2
证法三： （综合法）
ab b
a b ≥0
a+b ab≤ （a≥0，b≥0）当且仅当 a=b 时取“=” 2
两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两 数相等时，两者相等.
文字语言
图形语言
建构数学
基本不等式的几何解释
D
ab 2
CD ab
最新高中数学不等式证明的常用方法经典例题优秀名师资料
关于不等式证明的常用方法重难点归纳(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证(2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因 2 不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法典型题例例1证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N *) 知识依托本题是一个与自然数n 有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等例2求使y x+≤a y x +(x >0,y >0)恒成立的a 的最小值知识依托该题实质是给定条件求最值的题目,所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值例3已知a >0,b >0,且a +b =1 求证(a +a 1)(b +b 1)≥425 证法一 (分析综合法) 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法) 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法) 巩固练习 1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且y b x a +=1,x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ,且|a -d |<|b -c |,则ad 与bc 的大小关系是_________ 3 若m <n ,p <q ,且(p -m )(p -n )<0,(q -m )(q -n )<0,则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________ 4 已知a ,b ,c 为正实数,a +b +c =1 求证(1)a 2+b 2+c 2≥31 (2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ,y ,z ∈R ,且x +y +z =1,x 2+y2+z 2=21,证明x ,y ,z ∈[0,32] 6 证明下列不等式 (1)若x ,y ,z∈R ,a ,b ,c ∈R +,则cb a y b ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ,y ,z ∈R +,且x +y +z =xyz ,则z y x y x z x z y +++++≥2(z y x 111++) 7 已知i ,m 、n 是正整数,且1<i ≤m <n(1)证明 n i A im <m i A in (2)证明 (1+m )n >(1+n )m8 若a >0,b >0,a 3+b 3=2,求证 a +b ≤2,ab ≤1不等式知识的综合应用典型题例例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米,盖子边长为a 米,(1)求a 关于h 的解析式;(2)设容器的容积为V 立方米,则当h 为何值时,V 最大?求出V 的最大值(求解本题时,不计容器厚度)知识依托本题求得体积V 的关系式后,应用均值定理可求得最值例2已知a ,b ,c 是实数,函数f (x )=ax 2+bx +c ,g (x )=ax +b ,当-1≤x ≤1时|f (x )|≤1(1)证明|c |≤1;(2)证明当-1 ≤x ≤1时,|g (x )|≤2;(3)设a >0,有-1≤x ≤1时, g (x )的最大值为2,求f (x )知识依托二次函数的有关性质、函数的单调性,绝对值不等式例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )-x =0的两个根x 1、x 2满足0<x 1<x 2<a1 (1)当x ∈[0,x 1)时,证明x <f (x )<x 1;(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称,证明 x 0<21x 巩固练习1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞)的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式,其中正确不等式的序号是( )①f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) ②f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b ) ③f(a )-f (-b )>g (b )-g (-a ) ④f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a ) A ①③B ②④C ①④D ②③2 下列四个命题中①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ,y 都是正数,若y x 91+=1,则x +y 的最小值是12 ④若|x -2|<ε,|y -2|<ε,则|x -y |<2ε,其中所有真命题的序号是__________4 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ,a >0),设方程f (x )=x 的两实数根为x 1,x 2(1)如果x 1<2<x 2<4,设函数f (x )的对称轴为x =x 0,求证x 0>-1; (2)如果|x 1|<2,|x 2-x 1|=2,求b 的取值范围6 设函数f (x )定义在R 上,对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n ),且当x >0时,0<f (x )<1(1)求证 f (0)=1,且当x <0时,f (x )>1;(2)求证 f (x )在R 上单调递减;(3)设集合A ={ (x ,y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)},集合B ={(x ,y )|f (ax -g +2)=1,a ∈R },若A ∩B =?,求a 的取值范围7 已知函数f (x )=1222+++x cbx x (b <0)的值域是[1,3], (1)求b 、c 的值;(2)判断函数F (x )=lg f (x ),当x ∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论;(3)若t ∈R ,求证 lg57≤F (|t -61|-|t +61|)≤lg 513 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现,试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求,在不等式的证明中要注意放缩法的应用. 【典例分析】题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数f(x)在定义域为D ,则当x ∈D 时,有f(x)≥M 恒成立?f(x)min ≥M ;f(x)≤M 恒成立?f(x)max ≤M ;(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. 【例1】等比数列{a n }的公比q >1,第17项的平方等于第24项,求使a 1+a 2+…+a n >1a 1+1a 2+…+1a n 恒成立的正整数n 的取值范围.【例2】(08·全国Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a ,an+1=S n +3n ,n ∈N*.(Ⅰ)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)若a n+1≥a n ,n∈N*,求a 的取值范围.【点评】一般地,如果求条件与前nABCDS项和相关的数列的通项公式,则可考虑S n 与a n 的关系求解题型二数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法:(1)比较法,特别是差值比较法是最根本的方法;(2)分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析;(3)放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,a 3=7,S4=24.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设p 、q 都是正整数,且p ≠q ,证明:S p+q <12(S 2p +S 2q ).【点评】利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形,途径主要有:(1)因式分解;(2)化平方和的形式;(3)如果涉及分式,则利用通分;(4)如果涉及根式,则利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)设数列{a n }满足a 1=0,a n+1=ca n 3+1-c ,c∈N*,其中c 为实数.(Ⅰ)证明:a n ∈[0,1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0,1];(Ⅱ)设0<c <13,证明:a n ≥1-(3c)n -1,n ∈N*;(Ⅲ)设0<c <13,证明:a 12+a 22+…+a n 2>n +1-21-3c,n ∈N*.题型三求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式来解决,其具体解法有:(1)建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值;(2)首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值;(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】(08·四川)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S5≤15,则a 4的最大值为______.【例6】等比数列{a n }的首项为a 1=2002,公比q =-12.(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积,求f(n)的表达式;(Ⅱ)当n取何值时,f(n)有最大值.题型四求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型,解答的一般策略:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在.若推理不出现矛盾,能求得在范围内的数值或图形,就得到肯定的结论,即得到存在的结果.【例7】已知{a n }的前n 项和为S n ,且a n +S n =4.(Ⅰ)求证:数列{a n }是等比数列;(Ⅱ)是否存在正整数k ,使S k+1-2S k -2>2成立. 【点评】在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”,这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】(08·湖北)已知数列{a n }和{b n }满足:a 1=λ,a n+1=23a n +n -4,b n =(-1)n (a n -3n +21),其中λ为实数,n 为正整数. (Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{a n }不是等比数列;(Ⅱ)试判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论;(Ⅲ)设0<a <b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有a <S n <b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.数列与不等式命题新亮点例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,则第50个括号内各数之和为_____.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求. 例2 设{}n a 是由正数构成的等比数列, 12n n n b a a++=+,3n n n c a a +=+,则( )A. nn b c > B. n n b c < C. n n b c ≥ D. n n b c ≤点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系. 例3 若对(,1]x ∈-∞-,不等式21()2()12x x mm --<恒成立,则实数m 的取值范围( )A. (2,3)-B. (3,3)-C. (2,2)-D. (3,4)-例4四棱锥S-ABCD 的所有棱长均为1米,一只小虫从S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P (1)求2P 、3P 的值; (2)求证: 131(2,)n nP P n n N ++=≥∈(3)求证: 2365>(2,)24n n P P P n n N -+++≥∈…例5 已知函数()2f x x x =+.(1)数列{}n a 满足: 10a >,()1n n a f a +'=,若11112ni ia =<+∑对任意的n N ∈恒成立,试求1a 的取值范围; (2)数列{}n b 满足: 11b =,()1n n b f b +=()n N ∈,记11n nc b =+,k S 为数列{}n c 的前k 项和, k T 为数列{}n c 的前k 项积,求证1710nk k k kT S T =<+∑. 例6 (1)证明: ()ln1(0)x x x +<> (2)数列{}n a 中. 11a =,且()11211122n n n a a n n --??=++≥ ???; ①证明: ()724n a n ≥≥ ②()21n a e n <≥ 【专题训练】1.已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列,则有( )A .a 4a 6<a 6a 8B .a 4a 6≤a 6a 8C .a 4a 6>a 6a 8D .a 4a 6≥a 6a 82.设{a n }是由正数构成的等比数列,b n =a n+1+a n+2,c n =a n +a n+3,则( ) A .b n >c nB .b n <c nC .b n ≥c nD .b n ≤c n3.已知{a n }为等差数列,{b n }为正项等比数列,公比q≠1,若a 1=b 1,a 11=b 11,则( )A .a 6=b 6B .a 6>b 6C .a 6<b 6D .a 6>b 6或a 6<b 6 4.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k =( ) A .9 B .8 C .7 D .6 5.已知等比数列{a n }的公比q >0,其前n 项的和为S n ,则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A .S 4a 5<S 5a 4B .S 4a 5>S 5a 4C .S 4a 5=S 5a 4D .不确定 6.设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N*,则函数f(n)=S n(n +32)S n+1的最大值为( )A .120B .130C .140D .1507.已知y 是x 的函数,且lg3,lg(sinx -12),lg(1-y)顺次成等差数列,则( )A .y 有最大值1,无最小值B .y 有最小值1112,无最大值C .y 有最小值1112,最大值1D .y 有最小值-1,最大值1 8.已知等比数列{a n }中a 2=1,则其前3项的和S 3的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)9.设3b 是1-a 和1+a 的等比中项,则a +3b 的最大值为( )A .1B .2C .3D .410.设等比数列{a n }的首相为a 1,公比为q ,则“a 1<0,且0<q <1”是“对于任意n ∈N*都有a n+1>a n ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分比要条件D .既不充分又不必要条件11.{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它的前n 项和S n 有最小值,那么当S n 取得最小正值时,n =( )A .11B .17C .19D .2112.设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数,对任意实数x 、y ∈R ,都有f(x)f(y)=f(x +y),若a 1=12,a n =f(n)(n ∈N*),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 ( ) A .[12,2)B .[12,2]C .[12,1)D .[12,1]13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26,记T n =S nn2,如果存在正整数M ,使得对一切正整数n ,T n ≤M 都成立.则M 的最小值是__________.14.无穷等比数列{a n }中,a 1>1,|q|<1,且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半,则q 的取值范围是________. 15.已知x >0,y >0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则(a +b)2cd的最小值是________.A.0B.1C.2D.416.等差数列{a n }的公差d 不为零,S n 是其前n 项和,给出下列四个命题:①A .若d <0,且S 3=S 8,则{S n }中,S 5和S 6都是{S n }中的最大项;②给定n ,对于一定k ∈N*(k <n),都有a n -k +a n+k =2a n ;③若d >0,则{S n }中一定有最小的项;④存在k ∈N*,使a k -a k+1和a k -a k -1同号其中真命题的序号是____________.17.已知{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5.(Ⅰ)求{a n }的通项na ;(Ⅱ)求{a n }前n 项和S n 的最大值.18.已知{a n }是正数组成的数列,a 1=1,且点(a n ,a n +1)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若列数{b n}满足b 1=1,b n +1=b n+2a n ,求证:b n·b n +2<b 2n +1.19.设数列{a n }的首项a 1∈(0,1),a n =3-a n -12,n =2,3,4,…. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =a n 3-2a n ,证明b n <b n+1,其中n 为正整数. 20.已知数列{a n }中a 1=2,a n+1=(2-1)( a n+2),n =1,2,3,….(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若数列{a n }中b 1=2,b n+1=3b n +42b n +3,n =1,2,3,….证明:2<b n ≤a 4n -3,n =1,2,3,… 21.已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f '(x)=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N*)均在函数y =f(x)的图像上.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设b n =1a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得T n <m20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m22.数列{}n a 满足11a =,21()n n a n n a λ+=+-(12n = ,,),λ是常数.(Ⅰ)当21a =-时,求λ及3a 的值;(Ⅱ)数列{}n a 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由;(Ⅲ)求λ的取值范围,使得存在正整数m ,当n m >时总有0n a <.利用导数处理与不等式有关的问题一、利用导数证明不等式(一)、利用导数得出函数单调性来证明不等式。
一个涉及2个三角形的不等式猜想的证明
第 ４期
王安 寓： 乾 坤 挪 移 二 合 一 弦 长化 减 理 相 通
论 定 特 方破 难 关
・ ３ １・
甘 ＋ ａ ＋ ＋ ＋ ＋ ≥ ＋ ｃ ＇ 。 ， 。 １ 、 １ ＋ １ ） Ｊ ＋ １ Ｉ １ ＋ １ ） Ｊ ｝ ＋ （ 【 一 ａ ＋ 十 １ ） Ｊ
从 而不 等 式（ ２ ） 等价于 （ ） ， ＋ ） ２ 一 ２ ［ （ ｙ＋ 二 ） （ ｙ ＋ ） ＋（ ｙ 一 ） （ 一 ） 厂 ） ］ ＋（ ｙ＋ ） ２ ２ ＋ ２ （ ） ， 一 ） （ － ｙ ＇ ｚ ） ｘ ＋（ － ｙ ＇ ｚ ） ２ ≥Ｏ ，
ｃ ｏ ｔ Ａ （ ｃ ｏ ｔ Ｂ＋ｃ ｏ ｔ Ｃ）＋ ｃ ｏ ｔ Ｂ （ ｃ ｏ ｔ Ｃ＋ｃ ｏ ｔ Ａ）＋ｃ ｏ ｔ Ｃ （ ｃ ｏ ｓ Ａ＋ ｃ ｏ ｔ Ｂ） ≥
（ 一 【 ＋ １ ＿ （ ｃ 彻＋ ｃ ｏ ｔ ｃ ） 】 ＋１ …ｔ ． Ｂ ， ） 【 ＋ 而 １ － （ ｃ 。 ｓ ｃ … ） 卜
・
３ ０・
中学教研 （ 数 学）
２ ０ １ ３年
一
个 涉及２ 个 三 角 形 的 不 等 式 猜 想 的 证 明
●吴裕 东 （ 新昌中学 浙江新昌 ． ３ １ ２ ５ ０ ０ ）
又 甲 约 足 ＡＡ ＢＣ与 ＡＡ Ｂ Ｃ 阴 ３ ｑ － 肉 角 分 别 为 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， ３杀 边 长 分 别 为 ａ， ｂ ， Ｃ ， ａ～ ｂ Ｃ ．
甘 ｓ ｉ ｎ Ａ ＋ ＋ ｓ ｉ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ｂ ｓ ｉ ｎ Ｃ
＋ — ． ｓ ｉ ｎ Ａｓ ｎ Ｂ — ＇ ｓ ｉ ｎＣ＇ ＋— ｓ ｉ ｎ Ｂｓ ｉ ｎ — Ｃ＇ ｓ ｉ ｎ Ａ＇＋— ｓ ｉ ｎＣｓ ｉ ｎ Ａ —＇ ｓ ｉ ｎ Ｂ＇ ≥
高中数学竞赛不等式的证明方法 (比较法)
证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。
不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。
对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。
不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。
在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。
一．比较法一般而言，比较法有两种形式：（1）差值比较法：欲证B A ≥，只需证0≥-B A 即可； （2）商值比较法：若0>B ，欲证B A ≥，只需证1≥BA即可。
注意在利用比较法证明不等式时，常需要对所要证明的不等式进行恰当的变形，如因式分解、拆项、合并项等。
一．差值比较法要证明b a >，最基本的方法就是证明0>-b a ，即把不等式的两边相减，转化为比较差与0的大小问题。
这种方法称为差值比较法，有时也叫做比差法。
差值比较法证明不等式的步骤：“作差――变形――判断符号”，为了便于判断符号，往往把差式变形为积的形式或完全平方形式。
例1．已知b a ,都是正数，且b a ≠，求证：2233ab b a b a +>+。
分析：可以把不等式两边相减，通过适当的变形，转化为一个能明确确定正负的代数式。
证明：)()()()()()(b a b b a a b ab b a a ab b a b a ---=---=+-+2232232233＝222))(())((b a b a b a b a -+=-- 因为b a ,都是正数，所以0>+b a ， 又因为b a ≠，所以0)(2>-b a 从而0))((2>-+b a b a ， 即0)()(2233>+-+ab b a b a 所以2233ab b a b a +>+。
评注：此题是不等式证明的典型题目，其拆项是有一定的技巧的，需要有较强的观察能力。
不等式的证明方法及其推广汇总
不等式的证明方法2009级化州班吴志辉湛江师范学院数学与计算科学学院广东湛江 5240048摘要在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置．初等代数中介绍了许多具体的但相当有灵活性和技巧性的证明方法，而高等代数中，可以利用的方法更加灵活技巧．我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式．由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁．所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义．本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法.关键词：不等式；函数；证明方法第一章引言1．1 研究的背景首先，我们要从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性．美国《数学评论》2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化发展．它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展．它为我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分．而不等式在数学中又处于独特的地位．美国《数学评论》在为匡继昌的《常用不等式》第2版写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分．”这说明不等式仍然是十分活跃又富有吸引力的研究领域．再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点．近年来高考虽然淡化了单纯的不等式证明的证明题．但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现．常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力．是高考考查的一项重要内容．而要解决这一点的关键在于掌握常用方法，理解不等式证明中的数学思想，熟练地运用性质和基本不等式．因此，本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用．1．2 文献综述数学问题（猜想）的重要性先哲们已有过精辟的阐述．的确，形式优美、新颖、内涵丰富的不等式问题，不仅丰富了我们的研究素材，而且孕育了新思想、新方法的胚芽．当探索者在艰难的跋涉中感到困倦和乏味时，它就会突然放出奇光异彩，照亮一片天地．人们之所以能孜孜不倦地向未知领域探求，也正是问题那充满诱惑力的深情呼唤．新的东西可以刷新我们的视野．虽然它一开始可能是含糊的、幼稚的、脆弱的，但是只要视野中能映出，那么离抓住它的真谛的日子一定不会遥远了！由于不等式的多样性，各有各的证明特色，所以我阅读许多文献．许小华的《不等式证明的常用方法》是我参考的第一篇文献．文中介绍了一些常见的证明方法及其在数学竞赛中的应用：分析和综合法、数学归纳法、反证法、函数法、判别式法．由此可知不等式在数学中的地位十分重要,而证明不等式的方法和技巧也很多．所以要掌握好不等式证明，除了要认真理解并能熟练运用不等式的基本性质外，还应当注意观察相关条件与数学其他知识点的联系，充分利用有关知识解决不等式证明问题．陈初良的《不等式证明的两种巧法》就介绍了两种技巧性较高的不等式证明方法：化归函数法、放缩法．本文对这两种方法的介绍非常的精彩．周再禹在《不等式证题中调整法的应用》也给大家展示了不等式证明的一种独特的方法——调整法．而董琳为了拓宽视野，则在《几种证明不等式的妙法》一文中通过实例，介绍了几种切实可行的方法：放缩法证明不等式、反证法、函数法、最值法．除此不少问题还不止用一种方法而需要用几种方法综合使用才能解决．所以翁耀明善于抓住不等式的特点，突破旧例，在《运用概率方法证明某些数学不等式》一文中利用函数的凹凸性，再结合概率中数学期望的不等式性质，恰当地构造一个概率分布密度来证明一些特殊的不等式．我们知道任何知识体系都不是孤立的，它们相互联系相互渗透，而不同体系的“知识交汇”更能有效地培养学生的综合思维能力．例如：数列与不等式是函数内容的后续知识板块，与函数一样，也都是历年高考的热点．由于在知识网络交汇点设计试题这一命题思想的不断成熟，以数列为载体的不等式证明问题备受高考青睐．以数列为载体的不等式证法虽灵活多变，但极富有挑战性，只要我们善于思考、适时调整、不畏险阻、锲而不舍，其实成功并不遥远，这正体现了高考为选拔优秀人才所精心布置的一个公平舞台．所以证明这类题通常要有一些较为“高超”的放缩技巧．孟利忠则针对这一问题，在《以数列为载体的不等式证明的放缩技巧》中介绍了四种利用数列证明不等式的方法：放缩成递约数列乘积、放缩成相消数列和式、放缩成等差数列和式、放缩成等比数列和式．又如：向量是中学阶段的重要内容，目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”，用向量证明代数不等式重视不够，缺少系统的研究．一般认为用向量证明不等式就是用向量模的性质来思考问题，实并非如此．张国棣的《用向量证明代数不等式的新探索》对用向量证明代数不等式的方法，进行一些新的探索：（1）利用向量的几何特征构建不等式关系，因为利用向量的加法、减法所构成平行四边形的几何特征来思考问题，可以使证明过程更直观、简捷．（2）用向量有效转化代数不等式，因为用向量搭起代数不等式证明与其他知识体系的桥梁，可实现代数不等式的有效转化，降低思维难度．（3）利用向量的数量积公式，建不等关系证明．因为根据向量的数量积公式cos ab a b θ=找出不等关系．这样则增加了向量应用的多样性，将老问题赋予新的生命，是证明方法上的创新，可以使证明过程更加简捷、清晰．不等式证明既是数学的重要内容之一，也是高等数学的重要工具．许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时，居高临下，驾轻驭熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系．比如：函数的单调极值问题其本身都与不等式密切相联，而微分学中值定理和Taylor 公式又使我们能够通过对导数或余项的估计来确定变量间的大小关系，因此常常是证明不等式的得力工具，相对于函数极值概念的局部性，函数的最值则是一种整体的概念，即是在一个固定的区间内有意义的概念，这是和极值概念绝然不同的所在．那么我们如何通过运用导数与微分这样的反映局部性质的概念来研究最值呢？显然我们只能给出一个最值的必要条件，就是一个最值先要是一个极值．这也就是说最值是包含在极值之中的，至于通过极值来找到最值，最终还是必须依靠对可能有的不同极值进行比较．如果极值的数目是有限的．并且不是很多，那么就比较容易得到最值；如果极值是无穷多的，或者是数目极大的，就面临得到最值的困难．因此实际上通过导数的方法来求最值，并没有最终解决问题，而只是在一定的条件下可以得到解决．所以刘海燕在《利用微分学证明不等式》一文中讨论了如何利用微分学证明不等式．而叶殷的《用高等数学证明不等式的若干种方法》则探讨解决了如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何解决高等数学与中学数学脱节的问题．并且给出了几种证明方法：利用函数的单调性证明不等式、利用微分中值定理证明不等式、利用函数的极值证明不等式、利用泰勒公式证明不等式、利用函数的凸性证明不等式、利用积分不等式证明不等式、利用定积分的定义证明不等式．魏全顺在《微分在不等式证明中的应用》一文中介绍的不等式的高等证明方法也非常地精彩．高等数学除了可以使学生站在更高的观点上思考问题，同时又可以帮助学生处理初等数学的问题，以达到初等数学与高等数学之间的衔接，刘兴祥在《柯西—施瓦兹不等式的应用》中利用柯西—施瓦兹不等式且巧妙地构造向量ξ与η解决了部分分式不等式的证明及求极值问题．不等式的证明方法有很多，而且非常的灵活、精彩．但是著名不等式更是优美而又魅力无限的．正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果．这些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常像变戏法似的神秘莫测．胡克在《解析不等式的若干问题》中则介绍了一些非常美丽的不等式及近年来有关的新成果．本论文虽然经过多次的修改，但由于水平有限，论文肯定会存在不足之处，甚至是手误．第二章证明不等式的方法不等式的证明方法相当有灵活性和技巧性，例如我们可以通过比较法、综合法、分析法、构造性证明方法、分解法、换元法、放缩法等方法研究不等式；而在高等数学中，我们可以利用的方法更加灵活技巧．可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，可以用判别式法；对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式．由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁，而且不等式的证明有蕴涵着解题的技巧和灵活．所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义，不但要掌握初等数学中的各种不等式证明方法，更要掌握高等数学中的不等式的证明方法．2．1 初等代数中不等式的证明2．1．1 比较法[1]比较法分为作差法和作商法．1、作差法的数学思想是把不等式左边的代数式减去右边的代数式，根据已知条件，研究这个差在实数范围内为正还是负，从而确定其大小．例1：设12,x x R +∈则11121212n n n n x x x x x x --+≥+． 证明：当12,x x R +∈则()()11121212nn n n x x x x x x --+-+()()11112212n n n n x x x x x x --=-+-()()11112221n n x x x x x x --=-+-()()1112120n n x x x x --=--≥R +∴不等式在内恒成立．2、作商法的数学思想是在证明时，一般在,a b 均为正数时，借助1a b >或1a b <来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）．例2：设0a b >>，求证：a b b a a b a b >．证明：0a b >> 1,0a a b b ∴>->；而1a b a b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故a b b a a b a b >．2．1．2 分析法和综合法[1]所谓分析法，就是假定结论是正确的，然后利用恒等变形及不等式的性质逐步推演，如果能够得到一个已知它成立的不等式，而且推演的每一步骤都是可逆的，则这个不等式成立．对于较复杂的不等式的证明，多用这种方法．所谓综合法，它的着眼点在条件，即从已知条件出发，根据不等式的性质，逐步推证所要求的结论．例3：设,a b R +∈，求证2a b +≥a b =时等号成立． 证明：（1）分析法要证2a b +≥只要证a b +≥成立，只须证0a b +-≥成立，,a b R +∈20a b ∴+-=≥最后不等式显然成立，而其中每步推证都是可逆的，2a b +∴≥a b =时，等号成立．（2）综合法 ,,a b R R ++∈于是有20≥（仅当a b =时等号成立），即0a b +-≥．2a b +∴≥ 2．1．3 反证法[1]反证法的数学思想是从否定的结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而证明原来的结论是正确的．例4：设,,a b c 和,,x y z 均为不等于0的实数，若2220,0,0az by cx ac b xz y ++=->-≤则．证明：设2200xz y xz y ->>>则220,0ac b ->>则ac>b22acxz b y ∴>即220b y acxz -<由20,az by cx ++=有2az cx by +=-()2224az cx b y ∴+= 即22222224a z acxz c x b y ++=()()22240az cx b y acxz ∴-=-<与()20az cx -≥矛盾 20xz y ∴-≤2．1．4 数学归纳法[1]已知条件均是在整数集或自然数集中，所证式子项数或因式数为无穷多．证明的难点是在1n k =+时，关键是要充分利用n k =以及第一步的结果．对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立．例5：若n 为大于1的自然数，试证：1n ++>证明：当2n =时，1+>设当n k =时，不等式成立，即1k ++> (1)当1n k =+时，要证1k +++> (2)由（1）知1k +++>∴>111k k ++>+也即22k k k +>变形为0k >此式显然成立．()2∴式成立，于是原不等式成立．2．1．5 步差法[2]利用函数的增减性可以说明一些不等式，但如果所证不等式中变量不连续，也可以用同样的思想处理，设{}{},n n X Y 是两个数列，如果11X Y =，同时11n n n n X X Y Y +--≤-，则必有n n X Y ≤．很显然“如果两数列的起点相同，步伐大的那一个大一些．”例6：求证：1n +≥证明：令1,n n X Y n =+++=111X Y ==1n n X X +-=，1n n Y Y +-==<n n X Y ∴≥ 即1n+≥注：步差法本质上是归纳法，或者是归纳法的一种变形．2．1．6 换元法[1]换元法的基本思想，是通过对所证不等式添设辅助元素，原来的未知量(或变量)变换成新的未知量(或变量)，而更容易达到证明的目的．此种方法证明不等式一般采取以下步骤:〈1〉认真分析不等式，合理换元；〈2〉证明换元后的不等式；〈3〉得证后，得出原不等式成立．换元法可分为两大类：1、代数换元例7<[证法分析]由于根指数为3，若采取两边三次方的办法，中间运算较繁．根据不等式左边的特点，考虑公式()()3322a b a b a ab b +=+++不妨设a b ==于是只要证()324a b +<即可．证明：设a b ==可见0,0a b >>并且336,,a b a b +=>又222a b ab +>故22ab a ab b <-+ 不等式两边同乘以0a b +>得()()()22ab a b a ab b a b +<-++故 ()()()33333ab a b a b a b +<+<+即3ab a+b对上式两边同时加上33a b +即 ()()33333424a b ab a b a b +++<+=即()324a b +< 所以a b +<原不等式成立．2、三角换元: 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易．例8：设22,,1x y R x y ∈+≤且，求证：222x xy y +-≤证明：设222x y u +=则由题设知1u ≤并可设cos ,sin x u y u θθ==．于是()222222cos 2cos sin sin x xy y u θθθθ+-=+- ()22cos 2sin 2sin 24u πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 222222x xy y u ∴+-≤≤．可见，冗长而复杂的不等式用代数法换元，可以使问题变得明显简单．含有根式或带有绝对值符号的不等式可用三角法换元，同样也可以将难化易．2．1．7 迭合法（降元法）[1][9]迭合法的数学思想是把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证．例9、已知：122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ，求证： 12211≤+++n n b a b a b a ．证明：因为122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ， 所以122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b ．由柯西不等式 22222211122122111n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++=⨯=，所以原不等式获证．2．1．8 放缩法（增减法、加强不等式法）[1][9] 放缩法的基本数学思想是在证明过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的．值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头．常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法．例10：设n 为自然数，求证：135212462n n -< 证明：设135212462n p n -=，则 ()()22222222211352462n p n -=()()222222222113521416121n n -<---- ()()()2222211351335572121n n n -=-+ 121n =+p ∴<即135212462n n -<． 注：放缩要适当，放大了或者缩小了都会直接影响问题的证明．2．1．9 调整法[3]调整法常用于处理有多个变量的不等式问题．它的具体做法是：先暂时固定某些变量，而考察个别变量的变化结果，然后再确定整个问题的结果．例11：设,,A B C ABC ∆是的三个内角，求证：sin sin sin 2A B C ++≤证明：若60A B C ===，显然有sin sin sin A B C ++=命题成立． 若,A B 不全相等，则必有一个角大于60，另一个角小于60，不妨设()111111,60,60,60,,,0,180A B C A C A C A C B B A B C ︒︒≥≥>>==+-=∈令则， 111180,A B C ︒++=且sin sin 2sin cos 22A C A C A C +-+= ()11120sin sin sin 60sin 602sin cos 22A C A C A C A C ︒++-+=++-= 注意到60,60A C ><，有12009022A C A C ︒︒+--≤<< 11120cos cos sin sin sin sin 22A C A C A C A C ︒-+-∴<+<+从而 这就表明，在保持三个角的和不变一条件下，通过对,A C 的局部调整，可以使相应的正弦和增大．经过第一次调整，如果111,,A B C 仍不全相等，即11,B C 不全等于60，不妨设1160B C >>，再令()21221122260,60,6060,,,0,180A A B C B C A B C ︒︒====+-=∈则，222180A B C ︒++=且()11sin sin sin sin 60B C B A C +=++-602sin 60cos2A C B ++-= 2sin 60<22sin sin B C =+111222sin sin sin sin sin sin A B C A B C ∴++<++这样，经过两次的调整，三个角,,A B C 都可调整为60．这时有11122233sin sin sin sin sin sin sin sin sin 3sin 60A B C A B C A B C ++<++<++== 2．1．10 构造法[2][4]在中学的数学竞赛题目中，经常碰到不等式的证明，特别有些技巧性强的题目，学生往往手足无措，难于下手．这时候采用构造法往往能达到意想不到的效果，构造是一种探索和创新，适当的构造可以准确快速地解决问题，也可以给学生带来耳目一新的解题感受，对于培养学生的解题技巧、思维能力．甚至开拓创新都大有脾益．构造法的基本数学思想，是通过构造中介性的辅助元素，沟通不等式的条件与结论的内在联系，使原题得以证出．构造的辅助元素是多种多样的，常用的有构造图形，构造函数，构造方程，构造等价命题，构造反例等．在此只介绍前三中构造法． 1、构造图形（用几何特性或区域讨论）：利用几何定理或借助几何图形可以直观地、简便地表达和解决问题．例12：求证重要不等式sin 02x x tgx x π⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭证明：圆O 是半径为1的单位圆，OA 是圆O 的任一半径，作,AOC x ∠=过A 作OA的垂直线交OC 于B ，显然OAC OAB S S S ∆∆<<扇形OAC 即111sin 222x x tgx <<故原不等式成立．1、构造函数：我们知道由函数的单调性可以得到不等式．例如：如果函数()f x 在定义域内可导，且()'0f x ≥（或()'0f x ≤），则()f x 在定义域内是增（或减）函数．例13：设0x >，求证：()21ln 12x x x +>-．证明：令()()21ln 12f x x x x =+-+，则()2'1111x f x x x x=-+=++．显然，当1x >- 时，()'0f x >，这就表明()f x 在()1,-+∞内为增函数．因此，当0x >时，()()0f x f >．注意到()00f =，有()0f x >．()21ln 102x x x +-+>()21ln 12x x x ∴+>-． 3、构造方程（利用一元二次方程的判别式）：二次不等式的证明，有时可转化为二次方程的判别式来解决．例14：求证)sec 0,a btg a b θθθ-≥>>为锐角 证明：设sec y a btg θθ=- θ为锐角y btg θθ∴=>且y 0有y+btg ()2222220a b tg btg a y θθ∴--+-=θ为锐角，()()222222440tg R b y a y a b θ+∈∴∆=---≥y y ∴≥≤故sec a btg θθ-≥注：证明二次不等式时，可如同把二次不等式的求解转化为二次函数图象的讨论一样，也可以应用更一般的二次曲线来证明更广泛的不等式问题，或者利用不等式所表示的平面区域来讨论以达到证明的目的．4、构造多项式某些不等式所含的字母较多，直接推证难下手，可以联想多项式的展开式． 例15：,,a b c 都是小于k 的正数，求证：()()()2a k b b k c c k a k -+-+-<． 证明：要证明原不等式，即证：2k -[a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)]>0， ()22k -[a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)]=k a b c k ab bc ac -+++++此式所含字母较多，直接推证难于下手，观察此式特点，联想到多项式(k-a)(k-b)(k-c)的展开式为：32k -(a+b+c)k2+(ab+bc+ac)k-abc=k[k -(a+b+c)k+(ab+bc+ac)]-abc0<a<k,0<b<k,0<c<k; (k-a)(k-b)(k-c)>0∴2k[k -(a+b+c)k+(ab+bc+ac)]>abc>0∴ 2 k -(a+b+c)k+(ab+bc+ac)>0∴ 5、构造三角形例16：,,a b c 都是小于k 的正数，求证：()()()2a k b b k c c k a k -+-+-<．证明：由2a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)<k 变形：2b(k-c) + 444联想到正三角形的面积，构造边长为k 的正ABC ∆，在,,AC BC AB 上分别取点,,M N P ；使,,AM a CN c BP b ===．则ABC AMP CMN BPN S S S S ∆∆∆∆>++即：2111sin 60sin 60sin 604222k AM AP CM CN BP BN >++()()()2k b k c k a >-+-+- 即：2k > a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)．注：从以上题目的分析和证明过程可以看出，分析不等式的结构特点，联想与之相关的几何关系，构造适当的图形，将不等式的关系转化为所构造的图形的线段关系或面积关系．从而化复杂为简单，化抽象为直观，对解题起到事半功倍的效果，培养学生数形结合的思想，进一步提高学生探索与创新的能力．2．1．11 标准化法[2][4]形如n n x x x x x x f sin sin sin ),,,(2121 =的函数，其中π≤<i x 0，且n x x x +++ 21为常数，则当i x 的值之间越接近时，),,,(21n x x x f 的值越大（或不变）；当n x x x === 21时，),,,(21n x x x f 取最大值，即nx x x x x x x x x f nnn n +++≤= 212121sin sin sin sin ),,,(．标准化定理：当A+B 为常数时，有2sin sin sin 2A BA B +≤． 例17、设A ，B ，C 为三角形的三内角，求证：812sin 2sin 2sin ≤C B A ． 证明：由标准化定理得，当A=B=C 时，212sin 2sin 2sin===C B A ，取最大值81，故812sin 2sin 2sin≤C B A ． 2．1．12分解法[2][4]按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的．例18、2≥n ，且N n ∈，求证：)11(131211-+>++++n n n n． 证明：因为⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++++11131121)11(131211n n n 3413412212323n n n n n n n n n++=++++>=+ 所以)11(131211-+>++++n n n n． 2．1．13 利用已知的不等式证明[1][16]已知不等式的运用，从学习过程和掌握知识的层次上看，可以分为五个层次：套着用、凑着用、逆着用、变着用和横着用．每个公式均可作各种变化，为了能在更广阔的背景中运用公式，就需要对公式本身进行各种变形、产生各种不同形式的新公式，同时还应注意它在其它分科中的应用，开拓应用的范围．例19：求证()13521n n n -<．证明：由),0a b a b +≥≥得()214ab a b ≤+ ()()211211214n n ∴-≤+- ()()213233234n n -≤+- ………… ()()212332334n n -≤-+ ()()212112114n n -≤-+ 两边分别相乘得到 ()221321nn n -≤⎡⎤⎣⎦两边开方便得证．注：这个例题的证明完全是借助于基本不等式a b +≥的变形，同时利用了需证明不等式的左边任一乘积均能找到另一乘积项，两者之和为恒定常数． 2．1．14 利用坐标和解析性[4]通过直角坐标系建立平面上每个点与一对有序实数之间的一一对应关系，从而把曲线与方程联系起来的数的问题．例20：设,,a b c 为三角形的三边，S为面积，求证222a b c ++≥证明：建立直角坐标系设A 、B 、C 三点坐标分别为()()(),0,,0,,A m B m C p q -，则三边的关系式为：()2222222a p m q p q m pm =-+=++- ()2222222b p m q p q m pm =++=+++224c m =222222226a b c p q m ∴++=+ 而()011101221ABCm S m mq mq mq p q ∆-⎛⎫ ⎪==+= ⎪ ⎪⎝⎭()22222222226220a b c p q m p q ∴++-=++-=+≥ 故不等式成立． 2．1．15 利用复数证明[4]复数及其模的性质1212z z z z +≤+可作为不等式证明的尝试． 例21=令 ()()122,13z x i z x i =-+=-+ 则1214z z i +=-+=12z z ==而1212z z z z +≤+，故原不等式成立． 2．1．16 参数法[4][16]原理：取参数时，使各未知量的数字部分取A 与未知量个数的商An，而参数中全部字母部分的和为零．例22：若1,x y z ++=求证22213x y z ++≥．证明：令12,3111,333x t y t z t =+=+=+，其中123,,t t t 为实数，且1230t t t ++= 则222222123111333x y z t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222112233121212939393t t t t t t =++++++++ ()22212312312033t t t t t t =++++++≥ 22213x y z ∴++≥，当13x y z ===时取等号．2．1．17 利用概率证明[11]例23：已知0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求证4sin 2214x x π+≥⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 证明：设两独立事件A 和B ，且()()s i n ,c o s p A x p Bx==，则()()()()s i n c o s s i n c o s 1p A B p A p B p A B x x x x +=+-=+-≤， 即2sin cos 1sin cos x x x x +≥++12sin 2124x x π⎛⎫∴+≥++ ⎪⎝⎭ 而0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin 0,cos 0x x ∴≥≥则4sin 2214xx π+≥⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 从以上的证明来看，通过运用概率方法构造一个适当的概率事件去证明不等式，比运用代数方法证明要简单明了．此法无论是对初等数学还是对高等数学，都有一定的实用价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁．不过利用概率证明不等式要牵涉到比较多的数学知识，方法比较灵活． 2．1．18 利用向量证明[12]目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”，而对向量证明代数不等式重视不够，缺少系统的研究．在此本人总结了3种常见的利用向量证明代数不等式的方法．1、利用向量的几何特征构建不等式关系：例24：设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和，求证：。
“Abc猜想”证明(完整版)
王若仲 （王洪）
贵州省务川自治县实验学校
贵州 564300
摘要：“abc 猜想”最先由英国数学家大卫·马瑟（DavidMasser)和法国数学家乔瑟夫·奥 斯达利（JosephOesterlé）于 1985 年彼此独立提出。它说明对于任何ε＞0,存在常数 kε ＞0，并对于任何三个满足 a+b＝c 以及 a 和 b 互质的正整数 a，b，c。有：c＜kεrad(abc)1+ ε,rad(abc)表示(abc)中质因数的积。2012 年日本数学家望月新一在日本东都大学公布了 “abc 猜想”长达 500 页的证明，我猜测望月新一的证明有很大的可能性是正确的。但是“abc 猜想”还有一种更为简捷的证明方法，这种证明很直接，使人易懂明了。十七世纪那场旷世 最降速问题的挑战，当时莱布尼兹，牛顿，雅可布·伯努利，洛比达，约翰·伯努利都分别 作出了自己的解，其中约翰·伯努利解法最漂亮，雅可布·伯努利的解法虽繁琐，但是方法 最一般化，体现了变分思想。后来欧拉给出了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新 的数学分支。虽然我们用简捷的方法证明了“abc 猜想”，我认为思想比方法更重要。我猜 测望月新一的证明一定有一些思想更重要。
我们假定 b 为奇素数，又假定对于任何ε＞0,存在常数 kε＞0，有 kε
rad[p21h1
·
p h2 22
·
p h3 23
·
…
·
p hs 2s
·
（
2v
·
p k1 11
·
p k2 12
·
p k3 13
·
…
·
p1r
1
kr-p21h1·p22h2·p23h3·…·p2shs）·2v·p11k1·p12k2·p13k3·…·p1r kr ]1+ε＞2v·p11k1·p12k2·p13k3·…·p1r
不等式的性质与证明
∴ B＞D
综上：C＞A＞B＞D
本题我们采用了赋值法（特
殊值法），先行猜想，使问题得
以简化、明朗．注意赋值法是解
选择题、开放题等常用的方法，
它可将复杂问题简单化，是我们
常用的数学思想．
例2．设 分析：
，且
，试比较
与
的大小．
比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较法”．
前者依靠 A－B 与 0 的关系判断 A，B 大小，而后者则靠
∴a＜2b＜0这个结论不一定成立， 因此，只有（B）中两个结论均不成立． ∴选（B）
5．（01－上海春）
设 a，b为实数，则 a＞b＞0 是 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 （ ）
D．不充分也不必要条件
分析：
有条件a＞b＞0，可推出 但从 ， ．
不一定能推出a＞b＞0，只能是 的充分不必要条件．
1．不等式的定义：
若 2．不等式的性质：
（1） （2） （3）
；
；
．
（对称性） （传递性） （加法不变性）
推论：若a＞b，且c＞d，则a+c>b+d（同向，可加性）
（4）
； （乘法单调性） 推论1：若a＞b＞0，且c＞d＞0，则ac＞bd 推论2：若a＞b＞0，则 推论3：若a＞b＞0，则 （ （ ，且 n＞1） ，且 n＞1）
∴条件a＞b＞0只能定
∴选（A）
1．注意不等式的性质中左侧表示实数的运 性 质 ， 右 式 反 映 的 是 实 数 的 大 小 顺 序 ， 起 来 即 为 实 数 运 算 性 质 与 大 小 顺 序 之 间 关系．这是不等式一章的理论基础，是不 式性质的证明，证明不等式和解不等式的 要依据．
两个猜想不等式链的初等证明
两个猜想不等式链的初等证明
查正开
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2013(000)010
【摘要】文[1]证明了两个优美的无理不等式链：①若a＞ 0,b＞0,则√a/2a＋b＋√b/2b＋a≤√a/2b＋a＋√b/2a＋b≤2/√3;②若a＞0,b＞0,则√a/3a＋b＋√b/3b ＋a≤1≤√a/3b＋a＋√b/3a＋b.
【总页数】2页(P21-22)
【作者】查正开
【作者单位】江苏省常熟市中学 215500
【正文语种】中文
【相关文献】
1.费马猜想的初等证明 [J], 畅飞;
2.一道猜想不等式的又一初等证明 [J], 刘宜兵;廖华
3.从两个优美无理不等式引出的不等式链及猜想 [J], 安振平
4.表大于4的偶数为两个奇素数的和——对哥德巴赫猜想的初等证明 [J], 宁兆顺;
5.关于平均数不等式链的猜想 [J], 赵生筱
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数列、函数与不等式——第3部分 不等式证明
数列、函数与不等式及其试题设计三、不等式证明 方法总结：不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法．要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．1、比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤；作商比较：()10A A B B B ≤⇔≤>或()10AB B≥<．作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小． 2、综合法：由因导果．3、分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．4、反证法：正难则反．5、放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的． 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a n >； ②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：2lg 3lg 5log 3lg 5()lg 42+⋅<=(1)2n n ++；④利用常用结论：=<；21111(1)1k k k k k<=---；21111(1)1k k k k k >=-++（程度大）；22111111()(1)(1)2111k k k k k k <==--+-+-；（程度小） 6、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元．如：已知222x y a +=，可设cos ,sin x a y a θθ==； 已知221x y +≤，可设cos ,sin x r y r θθ==（01r ≤≤）； 已知22221x y a b +=，可设cos ,sin x a y b θθ==；已知22221x y a b -=，可设,tan cos a x y b θθ==；7、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量、不等式或图形来证明不等式； 8、数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面．如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点．在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等．比较法是证明不等式最常用最基本的方法．分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式．凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法．换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题．含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件．有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度． 总之，不等式证明方法多种多样，试题灵活多变，要解答好该类试题，关键是要做到“熟能生巧”、“以不变应万变”。
两个三角不等式猜想的证明
◆7擞吁(2008年第5期高中版)短论荟革两个三角不等式猜想的证明510160广东广雅中学杨志明众所周知，三角不等式中有一个很常见的不等(其中两个“≥”不能同时成立)，式链：当菇E(o，号)时，有si nx<石<t anx．(1)最近在网上有人针对(1)式，提出了如下两个加强不等式：猜想设茗E(o，詈)，求证：2si nx+t anx>3x(2)si n2X[KI L鬈>z3(3)证明先证明(2)式成立．记以茗)=2si nx+l anx一3菇．(其中o≤童<詈)，则．’／’(石)=2co麟+8ec2善一33．。
=+co鲋+——F一≥3‘／：C—O—蹦—．焉C08X．一3=3—3：。
c仅当≥3√孟-名-3=一3=o(仅当寡=0时取等号)，．．以髫)在玎E[o，詈)单调递增，则当茹E(o，詈)时，八石)>以o)=0，即2s i nx4-t a nx>3x．再证明(3)式成立．记g(髫)=sin2x￡蝴_x3(其中o≤毒<詈)，则用到(2)式得g，(名)：2si眦c。
觚t an膏+8i n2省．——!广一3石2 =2sin2x+tall2x_3鼻2剐竽)2地2=[(2si nx+￡删)2一％2]=÷(2si眦+眦+3聋)(2si肛+眦一3石)≥o．g(茗)在菇E[o，詈)单调递增，则当茗E(o，詈)时，g(髫)>g(o)=0，即sin2膏+t毗>鼻3．证毕．一个自然的问题是，(2)式中的s i nx的系数2是最佳的吗?即对于鼻E(o，丁,ff)，使不等式ksi nx+t a nx>(||}+1)石恒成立。
k的最大值矗。
=2吗?记I II(算)=ks i nx+t／rex一(后+1)互，则．^，(石)：Jj}c∞石+—j F一(Ji}+1)>0，茹∈(o，詈)恒成立．令I=c。
踮∈(o，1)，即即船+寺一(蠡+1)>o，对于任意I E(o，1)恒成立．R n I寺～l_t21+t¨<岳=插=字=古+÷=c÷+÷，2一÷27+了2(了+丁)‘一了恒成立(0<I<1)。
3.2用数学归纳法证明不等式贝努利不等式课件人教新课标B版
1
3
1
+…+
+…+
1
3
+
1−
3
1
1
利用 ③,得 11
1
3 1- 3
1
1-3
1
3
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
+1 +
3
= 1−
1
32
1
2
1
+1
3
1
1
1
+ 2+…+
3 3
3
1
1
1
· + 2+…+
3 3
3
1-
1
3+1
≥1−
.
3+1
1-
≥ 1-
3+1
1
即当 n=k+1 时,③式也成立.
故对一切 n∈N*,③式都成立.
=1 −
HONGNANJUJIAO
题型三
则当 n=k+1 时,
1-
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
… 11-
1
3
1
3
≥1 −
=
1
1
+ 2
3 3
1 1 1
+
2 2 3
>
+…+
1
3
1
, 即②式成立.
2
故原不等式成立.
3.了解贝努利不等式的应用条件.
-2-
3.2
用数学归纳法证明不等式,
贝努利不等式
不等式的证明(比较法)-先猜后证教学案例
§6.3-1 不等式的证明（比较法）国际学校 何 韬Teaching aims:knowledge:（1）以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差比较法证明不等式。
（2）了解作商比较法证明不等式；abilities: 能应用比较法解决一些不等式的证明问题，提高学生解题时应变能力 moralty: 培养学生的发散思维及分析能力，逻辑推理能力；借用哥德巴赫猜想，鼓励学生大胆猜想，培养学生“先猜后证”的研究意识和方法。
Important points: 比较法的应用 Difficult points: 常见解题技巧 Teaching aids: 启发引导式Teaching procedure: 一、复习：1．222222a b a b ab ab ++≥⇔≥ 22()22a b a b a b ab ab ab +++≥⇔≥⇔≥且有222()22a b a b ab ++≤≤ 例：x>0,求5x(5-x)的最大值. (强调成立条件)2．不等式的一个等价命题，a>b 等价于a -b>0二、新课： 1、证明不等式批证明所缎带不等式在给条件下恒成立，而前面所学的：不等式性质，5个定理3个推论，均值不等式，均可用来证明不等式 2、作差比较法的步骤：作差——变形——判断——结论 例1：求证：x 2 + 3 > 3x证：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x例2：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？ ----------------------------------------------------------(鼓励学生大胆进行猜想)例2 可得结论： 真分数分子分母增大，分数值增大 假分数分子分母增大，分数值减小插入介绍哥德巴赫猜想：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。
一对姊妹不等式猜想的证明
， －Ｉ ● ｌ
２ ２
＼
妹 不等式 猜 想． 猜 想 １ 若 １ ２ … ， ∈Ｒ ≥３／∈Ｎ ， ， ， （ ， １ ）且 ｌ ２ ， ＋ ＋… ＋ ＝１贝 ，０
＋ －・ 七 一 ≥ ｎ ．
＋
一
２ ３
、ｌ●＿－，
， ，－ ＿ ｌ
戈２
又 当 ｎ≥ ３ ｎ Ｅ Ｎ （ ）时 ， 一２ 一２ ＋２ 。一４ ＝ ｎ （ ｎ ｎ ｎ ｎ 凡＋１ （， ）＋ｎ ） ／一３ ７ ＋２ 一４ ＞０， ｎ 于是
（；—（）３［ ） 一 — ； 一≥ １ ｃ ） （…
（６ ２ ５ ２ ４ ２ ３ ４ ｎ — ｎ— ｎ＋ ｎ —
＋ ≥凡 ・・ ・ （ ＋）ｎ ３ 筹・ 寿．
ｉ
于是
＋１ “ 、
・
十 （ ｌ２ ・ Ｘ … ） ＝ ＋
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・ ［ 一）］ ≥ ｌ （ …（ ， ＾ Ｉ
．
．［ Ｘ （１
］
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肛 ≥脬 一 ／ ｎ （
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ｌ Ｘ２
＋ ２；＝ ２
一
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ｌ ＋ ３ ＋ １ ＋ ３ ＋ １ ＋ ２ Ｘ＝ — Ｘ３ ＋ ２ ２ ２ ＋ ３ ＋
Ｘ２
２
‘
１Ｘ ２ ，
Ｘ３
一
３
＝
１
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Ｘ２
＋
Ｘ２
＋ １ ＋ ２ｘ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ｘ
南
（ 一 Ｉ－ｎ ＋ 一 ） ２ｔ ２ ４ ２ ４ ５
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两个猜想不等式的证明宋 庆（南昌大学附中，江西 330047）文[1]提出了四个猜想不等式：2221222a b c a b c ++≥+++；（1） 2221111124124124a a b b c c ++≥-+-+-+；（2） 2221222b c aa b c ++≥+++；（3） 22211113232322a b b c c a ++≤++++++。
（4）其中，,,a b c 是正实数,且满足1abc =。
文[1]、[2]分别证明了不等式（1）、（2）。
本文旨在证明不等式（3）、（4）证明文末，笔者给出猜想 若,a b 为满足21a b +=的正数，则23263aba b +≥--＋2.213aba b +≥--参考文献[1] 宋庆.从一个简单的不等式命题说开去. 中学数学研究，2010(4)[2] 张 . 一个不等式猜想的肯定性证明与推广. 中学数学研究, 2011(1)[3] 张 .一个不等式猜想的解决.中学数学研究， 2011(4)[4] 宋庆. 一个新的代数不等式的发现. 中学数学研究, 2007(7)[5] 宋庆.几个有趣的双边不等式.数学通讯， 2001(20)[6] 宋庆.一组三角不等式的简单证明.数学通报， 1997(7)[7] 宋庆.三个新发现的三角不等式.中学数学教学参考，1995(11)[8] 宋庆.Hayashi 不等式的推广.中学数学教学参考，1994(9)[9] 宋庆.一个三角不等式的加强 湖南数学通讯， 1989(4)（本文刊载于《中学数学研究》2010年第4期）数学是可以在纸上思考出来的，但这种思考方式的根本，必须要从观察开始才行。
《走向IMO －数学奥林匹克试题集锦》（.华东师大出版社，2005）有：命题 若,a b 为正实数, 则 22111(1)(1)1a b ab+≥+++. 但肯寻诗便有诗，灵犀一点是吾师。
夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。
笔者在文[1]中给出了以下简洁证明： ()(1)a b ab ++因为 222(1)(1)(1)b a a b b a =++-≥+， 故21(1)()(1)b a a b ab ≥+++，同理21(1)()(1)a b a b ab ≥+++，两式相加，便知原不等式成立。
天下难事，必做于易，必做于细。
但把简单的东西做好是一件不容易的事。
众所周知，看的结果常常依赖于你怎么去看。
你能不能观察眼前的现象，取决于运用什么样的理论。
理论决定你到底能够观察到什么。
用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来，这就更不是一件容易的事。
由命题，可得2005年IMO 中国国家集训队测试题，即定理1 设,,,a b c d 是正实数，且满足d 1abc =, 求证：222211111(1)(1)(1)(1d)a b c +++≥++++. 证明： 因为22111(1)(1)1a b ab +≥+++，22111(1)(1)1c d cd +≥+++，所以 22221111(1)(1)(1)(1d)a b c +++++++11111111ab ab cd ab ab ≥+=+=++++。
独创性是把旧的、很早就已知的或者人人都视而不见的事物当作新事物观察，它不在于生造出一些悖于常理的新词，而在于巧妙使用旧词。
旧词足以表达一切，旧词对行家来说已经足够了。
四个字母成双，三个字母怎么办呢？文[1]巧妙地解决了这个问题。
定理2 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =，求证：2221113(1)(1)(1)4a b c ++≥+++。
证明： 因22111(1)(1)1a b ab +≥+++，故要证原不等式,只要21131(1)4ab c +≥++ 2131(1)4c c c ⇔+≥++24(1)43(1)c c c ⇔++≥+2(1)0c ⇔-≥。
原不等式成立。
许多重要不等式的发现是由任意实数的平方非负得出来的。
另外，在数学上一项很简单的发现可能会产生一些新的思想和有用的结论。
手把青秧插满田，低头便见水中天。
心底清净方为道，后退原来是向前。
弱化定理2，笔者得到定理3 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：2323231113a a a b b b c c c++≥-+-+-+。
证明： 因为222432(1)4(1)46410a a a a a a a a +≥-+⇔-+-+≥4(1)0a ⇔-≥，所以23222114(1)(1)a a a a a a a =≥-+-++， 从而（注意到2221abc =），323232111a a a b b b c c c++-+-+-+ 42222221113(1)(1)(1)a b c ⎡⎤≥++≥⎢⎥+++⎣⎦。
因此,原不等式成立。
特殊化与一般化构成了数学解题过程的基础。
在探究问题时，特殊化往往比一般化起着更为重要的作用。
其实，人类的智慧不外乎用在两个方面，或者把简单的事情弄复杂，或者把复杂的事情弄简单。
成功者并没有在做与众不同的事，只不过做事的方式与众不同而已。
强化定理2，笔者有定理4 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：22211111(1)(1)(1)1a b c a b c+++≥++++++。
证明： 因1－a 、1－b 、1－c 必有两个同为非负数或非正数，故不妨设 （1－a ）（1－b ）≥0. 由命题知，要证原不等式,只要证211111(1)1ab c a b c ++≥+++++21111(1)1c c c a b c⇔++≥+++++ 22111(1)1c c c a b c ++⇔+≥++++211(1)c a b c c ⇔≥++++212()c c c c a b c ⇔++≥+++1ab a b ⇔+≥+⇔（1－a ）（1－b ）≥0,原不等式成立。
一个新想法是旧成分的新组合。
在数学中，美更多的在清晰中或在它被证明的简洁性之中。
中国人的哲学智慧在于知止；大学问的最高境界是止于至善。
不难知道111111a b c +++++与32不可比较。
关上一扇门，打开一扇窗。
在探索中，笔者意外获得下述定理5 已知,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 求证：2223333(1)(1)(1)a b c a b c +++++≥+++. 证明：由命题得，222222(1)(1)(1)a b c +++++ 222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦≥111111bc ca ab +++++111a b c a b c=+++++， 于是222333(1)(1)(1)a b c a b c ++++++++111111a b c =+++++222222(1)(1)(1)a b c ++++++ 111111a b c ≥+++++111a b c a b c++++++＝3。
所以，原不等式成立。
数学需要演绎推理，但从科学发现的角度来说，更需要合情推理。
许多数学成果的发现，先是通过实验、观察、估算、类比、不完全归纳、联想、想象、直觉猜测等合情推理的方式提出假说，然后经过演绎推理的论证才得出来的。
合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土。
由定理5的证明，笔者又想到 定理6 已知x 、y 、z 为正实数, 求证：222y z x x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭12x y z x y y z z x ⎛⎫≥++ ⎪+++⎝⎭. 证明：令,,,x y z a b c y z x===则,,a b c 是正实数,且满足1abc =， 于是 2222y z x x y y z z x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝222222(1)(1)(1)a b c +++++ ≥111111bc ca ab +++++111111y z x x y z=+++++x y z x y y z z x+++++=。
人的思维是从与正在寻求的事物相类似的事物、相反的事物或者与它相接近的事物开始进行的，之后，便追寻与它关联的事物，进而产生联想。
对定理2、5分别作定理6中类似的代换，可以得到（证明从略）定理7 已知x 、y 、z 为正实数, 求证：22234y z x x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 2222223333()()()x y y z z x x y y z z x +++++≥+++。
追求卓越就是用不寻常的办法做寻常事。
生活的智慧之一在于对不必要的枝节的删节。
类似定理4，我们尚有定理8 已知,,a b c 是非负实数，且满足1bc ca ab ++=求证：11113b c c a a b a b c+++≥+++++. 证明：不妨设0,a b c ≥≥≥则103bc ≤≤.于是，2-5130.bc bc >-≥而且我们注意到a b c ++≥，因此，11152b c c a a b ++≥+++ []2()()()()()()5()()()c a a b a b b c b c c a b c c a a b ⇔++++++++≥+++[]22()2()5()()a b c bc ca ab a b c bc ca ab abc ⇔+++++≥++++-22(2)3()560a b c a b c abc ⇔++-++++-≥3()560a b c abc ⇐+++-≥(35)3()60bc a b c ⇔+++-≥1(35)3()60bc bc b c b c-⇔+++-≥+23()6()(35)(1)0b c b c bc bc ⇔+-+++-≥23(1)(25)0b c bc bc ⇔+-+-≥， 所以11152b c c a a b ++≥+++（注：此不等式即2008年全国高中数学联赛江西省预赛题第14题；《中等数学》2009（8）上刊载了一个繁冗的证明。
）≤2a b c ++≤时， 1111b c c a a b a b c ++++++++512a b c ≥+++51322≥+=； 2a b c ++>时，1111b c c a a b a b c++++++++ ()()11a b c b c a bc ca b c c a b c c a a b a b c ++=++++++++++++ (1)11()()c ab a b b c c a a b a b c +=+++++++++2(1)111c ab a b c a b a b c+=++++++++ 11a b c a b a b c ≥+++++++1134424a b a b c a b c a b a b c ++++⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 31124a b c +≥+++23224c c ->++。