第十章 散度旋度曲线积分讲解

R x

P z
(4) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P d x Q d y R d z 0
例. 验证曲线积分 ( y z) d x (z x) d y (x y)dz
与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)

(x,y,z) (0,0,0)
(
内有洞 （负源）;
当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 .
注：反映了内源的性质和强度
定义: 设有向量场 A(x, y, z), M(x, y, z)为场内一点 是包含点 M 且方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 的体积 为V,
如果极限 lim Ò A dS 存在
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z
与路径无关
(2) 在G内存在某一函数 u, 使d u P d x Q d y R d z
(3) 在G内处处有
P y

Q x
,
Q z

R y
,
divv 0
故它是无源场.
定理: 设有向量场
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,则
证：
div A P Q R
x y z
lim lim 1 P Q R d x d y d z
三、向量场的散度
设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
P d x Q d y R d z
x
y
z

P
Q
R
cos

x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数,
例. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
2013-2014学年第二学期期中考试知识点
1. 求全微分 2. 多元函数连续,偏导数存在,可微,偏导数连
续之间的关系 3. 求曲面的切平面方程 4. 求复合函数的偏导数 5. 二重积分的计算 6. 各种方法计算三重积分 7. 各类积分的对称性 8. 第一类曲线积分的计算
9. 计算曲线型构件的质心 10.第二类曲线积分的计算 11.格林公式 12.曲线积分与路径无关的条件 13. 解全微分方程 14.第一类曲面积分的计算 15.第二类曲面积分的计算 16.高斯公式 17.各类积分的几何、物理背景
0
0
xy (x y)z
(x,0,0)
x
xy yz zx
(x, y, z)
y
(x, y,0)
三、 环流量与旋度
曲线 L的单位切向量为 s0 (cos, cos , cos )
蜒 L v dr L P d x Q d y R d z ? L v s0ds
y

z)d
x

(z

x)
d
y

(x

y) d
z
解: 令 P y z , Q z x , R x y
P 1 Q , y x
Q 1 R , R 1 P
z
y x
y
积分与路径无关, 因此
z
y
z
x d y (x y) d z o

A d S
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n
当 > 0 时,说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有源（正源）;
n
当 < 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
M
V
称此极限值为向量场 A 在点 M 的散度，记为 div A
注: 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有 div A 0, 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (vx , vy , vz ) (其中vx , vy , vz 为常数),
divAd v Ò A d S
2．性质
div(kA) kdivA
div(A B) divA divB
div(uA) udivA Aggradu
例. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
E

q r3
r

q r3
(x,
y,
z)
(r 0)
求 div E .
M V M V x y z
lim P Q R
(( ,, ) )
M x y z ( ,, )


P x

Q y

R z
M
注： div A P Q R
x y z
1．高斯公式：
解:
div E

q

x

x r3


y

y r3


z

z r3



q


r
2
3x2 r5

r
2
3 r5
y
2

r
2
3z2 r5


0
(r 0)
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
第七节 斯托克斯公式与旋度
d ydz dzdx dxd y
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I


x y
y2 xy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
dS
xz

o x
2y
0
二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理. 设 G 是空间一维单连通域,函数 P,Q, R 在G内