初中数学竞赛辅导讲义：第5讲-一元二次方程的整数整数解(含习题解答)

+ 的值是( )

A ．

127 B ． C ． D ．

第五讲 一元二次方程的整数整数解

在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它 将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备 受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：

从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；

从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数错误!设 = k 2 )，通过穷举， 逼近求解；

从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解；

从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知 识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．

【例题求解】

【例 1】若关于 x 的方程 (6 - k )(9 - k )x 2 - (117 -15k )x + 54 = 0 的解都是整数，则符合条件的整

数是的值有 个．

思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、 二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．

注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论．

【例 2】 已知 a 、 b 为质数且是方程 x 2 - 13x + c = 0 的根，那么 b a a b 125 123 121 22 22 22 22 思路点拨 由韦达定理 a 、 b 的关系式，结合整数性质求出 a 、 b 、 c 的值．

【例 3】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 rx 2 + (r + 2)x + r -1 = 0 有根且只有整数根．

思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当 r ≠ 0 时，由根与系数关系得到关 于 r 的两个等式，消去 r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．

【例4】

当 m 为整数时，关于 x 的方程 (2m -1) x 2 - (2m + 1) x + 1 = 0 是否有有理根?如果有， 求出 m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨

整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．

设 △= (2m + 1) 2 - 4(2m -1) = 4m 2 - 4m + 5 = (2m -1) 2 + 4 = n 2 ( n 为整数)解不定方程，讨论 m 的

存在性．

注：一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠△0)而言，方程的根为整数必为有理数，而=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．

【例5】若关于x的方程ax2-2(a-3)x+(a-13)=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．

思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程．

学历训练

1．已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有．2．已知方程x2-1999x+m=0有两个质数解，则m＝．

3．给出四个命题：①整系数方程ax2+b x+c=0(a≠△0)中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+b x+c=0(a≠△0)中，若方程有有理数根，则为完全平方数；

③无理数系数方程ax2+b x+c=0(a≠0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+b x+c=0没有有理数根，其中真命题是．

4．已知关于x的一元二次方程x2+(2a-1)x+a2=0(a为整数)的两个实数根是x

1、x，

2

则x-x=．

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5．设rn为整数，且4

6．已知方程ax2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(a≠0)至少有一个整数根，求a的值．7．求使关于x的方程kx2+(k+1)x+k-1=0的根都是整数的k值．

8．当n为正整数时，关于x的方程2x2-8nx+10x-n2+35n-76=0的两根均为质数，试解此方程．

9．设关于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值．

10．试求所有这样的正整数a，使得方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解．

11．已知p为质数，使二次方程x2-2p x+p2-5p-1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．

12．已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根x、x及x'、x'，且

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x x>0，x'x'>0．

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(1)求证：x<0,x<0，x'<0,x'<0；

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(2)求证：b-1≤c≤b+1；

(3)求b、c所有可能的值．

13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2-2x-m+1=0的根(m为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．

参考答案