初中数学竞赛辅导讲义：第5讲-一元二次方程的整数整数解(含习题解答)
一元二次方程的整数解问题
例4 方程kx2+(k+1)x+k-1=0
的根为整数求实数k的值。
...
试一试
a是正实数，已知存在唯一实数 k使得关于x的方程： x2+(k2+ak)x+1999+k2+ak=0的两根都 是质数，求a的值。
...
小结：非整系数问题可用韦达定理消 去系数，解不定方程。
(三)非全整数根问题
例5 关于x的方程：ax2+2(a-3)x+a-13=0 至少有一一元二次方程的整数解问题,根据系 数与根的特征,一般考虑如下方法:
1、整除性分析法 2、“⊿”法 3、韦达定理消元法 4、变更主元法 5、局部分解法
...
一元二次方程的整数解问题
一元二次方程的整数解问题 一直是数学竞赛中的热点问题。 古老的整数理论与传统的一元二 次方程知识相结合，涉及面广, 解法灵活，备受关注。
...
（一）整系数问题
例1 k为自然数且关于x的方程：
(k-1)x2-px+k=0有两个正整数解， 求p的值.
...
动脑筋
已知k为整数，一元二次方程 (6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0 的解为整数，求k的值。
...
解：∵k≠6且k≠9 方程分解得：x1
9 6k
6 9k
x2 ∴
∵k，x1，x2均为整数
6-k的值为 1, 3, 9
, 解得k的值为:5,7,3,9,-3,15
...
9- k的值为 1, 2, 3, 6,解得k的值为:8,10,7,11,6,12,3,15
∴k为3，7，15时，原方程的解为整数.
人教版九年级数学解一元二次方程讲义(含解析)
第2讲解一元二次方程∣⅛∣知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是- 元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法, 为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：（1）解一元二次方程——直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±Jp ；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0的形式，那么nx+m=± Jp .注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；①方法是根据平方根的意义开平方.(2)解一元二次方程——因式分解法通过将一元二次方程因式分解成(X-P) (x-q) =O的形式，进而将一元二次方程的求解过程转化成求解两个一元一次方程的方法叫因式分解法。
因式分解法的一般步骤：①移项，将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解•一般的一元二次方程的解法■ 9HrIB≡WI9≡HB99VWBS SWB9*mBBWaB9⅞-nB≡nB≡9HB9SVWB9*HraB≡PnB≡WI99T,VB9SVWB9S l HB!l'(VaB≡'1一般的一元二次方程的解法主要有两种即配方法和公式法：(1)解一元二次方程一一配方法将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解
初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。
⑴若，则它有一个实数根1x =；若，则它有一个实数根1x =-。
⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。
几个基本模型（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，()()00af m af n >⎧⎪⎨>⎪⎩（2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >⎧⎪<⎨⎪>⎩（3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()()()0000af m af n af p af q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩（4）一般地设m n ≤设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
一元二次方程的整数整数解(含答案)
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -=．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第5讲 1元2次方程的整数整数解
第五讲 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注,解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解；从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=2k ),通过穷举,逼近求解；从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问题的题设条件,看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根,那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式,结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论．当0≠r 时,由根与系数关系得到关于r 的两个等式,消去r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时,关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有,求出m 的值；如果没有,请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程,讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言,方程的根为整数必为有理数,而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根,求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难,又因a 的次数低于x 的次数,故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数,那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解,则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中,若△为一个完全平方数,则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中,若方程有有理数根,则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数,则方程02=++c bx ax 没有有理数根,其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ,则21x x -= ．5．设rn 为整数,且4<m<40,方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根,求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根,求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时,关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数,试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数,试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ,使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数,使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数,求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x ',且1x 2x >0,1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0,1x '<0,2x '< 0； (2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数),这样的直角三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在,请说明理由．参考答案。
中考复习讲义 一元二次方程的整数根问题及应用(含答案)
有_______个．
9 6 ， x2 ， 6k 9k 5 3 15， 3； 当 6 k 1， 这时 k 7 ，，， 当 9 k 1 3， 9 时，x1 是整数， ，2 ， 3 ， 6 时，x2 是 6 7 ，， 9 15 时原方程的解为整数． 整数这时 k 10 ，， 8 11， 7， 12 ， 15 ， 3 综上所述， k 3，， k 3，， 6 7 ，， 9 15 【答案】
1 3 1 m2 4 [(k 1)m k 2 k ] 4 4 4 3 1 m2 (k 1)m k 2 k 4 4 k 1 2 3 1 ) k 2 k ，整理得 3k 2 k 0 所以 为完全平方式，因此 ( 2 4 4
解得 k 0 或 k
1 3
【例2】 m 为给定的有理数， k 为何值时，方程 x2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0 的根为有理数？
【答案】 5 4
【解析】∵ [4 1 m ]2 4 3m2 2m 4k
22 m2 6m 4k 4
m 6 n 16 m 6 n 8 因此 或 m 6 n 2 m 6 n 4 m 15 m 14 解得 或 n 7 n 4 m 15 当 时，方程 x2 (m 2) x 4m 0 为 x2 17 x 60 0 ，解得 x 5 或 x 12 n 7
m 24 【答案】
2(m 1) 50 14 ，不妨设 x1 x2 ，则 x1 32 ， x2 18 2 2
故 m 24 ．满足 为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法-9页精选文档
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。
这里经常要用到一些整除性质。
一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。
但其解法仍然是有章可循的。
一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3．用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。
解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。
评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。
二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。
.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。
解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0 ∴ ax 321-= ax 512-=∵ 原方程至少有一个整数根， ∴ a 的值为3，或5，或1。
例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。
分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k 的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数， ∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于的一元二次方程.x ()0222=++-x m mx （1）证明:不论为何值,方程总有实数根;m （2）为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?m 分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明: ()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵≥0()22-m ∴△≥0∴不论为何值,方程总有实数根;m （2）解:()0222=++-x m mx()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴ mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++=∵为整数,为正整数m 21,x x ∴或1=m 2=m 由题意可知:,∴ 12≠m2≠m ∴.1=m点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx ∴或01=-x 02=-mx ∴. mx x 2,121==（2）若把题目改为“已知关于的方程.”结果又将如何? x ()0222=++-x m mx 例2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.x 05242=+--m x x （1） 求实数的取值范围;m （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数的值.m 分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即,建立关于参数的不等式0>∆m 求解;（2）这里对参数的要求比较苛刻,有三点:①的值是整数;②保证方程的两m m 个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的的值进行检验.m 解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:; 21>m （2）由题意可得: ⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得: 2521<<m ∵为整数m ∴或.1=m 2=m 当时,,解之得:,符合题意;1=m 0342=+-x x 3,121==x x当时,,解之得:,不符合题意,舍去. 2=m 0142=+-x x 32,3221-=+=x x 综上所述,整数的值为1.m 例3. 已知关于的一元二次方程.x ()01222=+++-k k x k x （1）求证:无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）如果方程的两个实数根为,且与都为整数,求所有可能的值. 21,x x k 21x x k 分析:（1）只需证明无论取何值,都有即可;k 0>∆（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为,共21,x x 有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明: ()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）解:()01222=+++-k k x k x 21122112±+=±+=k k x ∴或 k k x k k x =-+=+=++=2112,12112211,21+==k x k x 当时, k x k x =+=21,1k k k x x 11121+=+=∵与都为整数 k 21x x ∴或;1-=k 1=k 当时, 1,21+==k x k x 111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵与都为整数 k 21x x ∴或.0=k 2-=k综上所述,或或或.1-=k 1=k 0=k 2-=k 例4. 关于的一元二次方程.x ()01212=++--m mx x m （1）求出方程的根;（2）为何整数时,此方程的两个根都为正整数? m 解:（1）由题意可知:,.01≠-m 1≠m ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴; 111,1121=--=-+=m m x m m x （2）∵为整数,为正整数m 21,x x 121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴或11=-m 21=-m ∴或.2=m 3=m。
2023年初中数学竞赛讲义：一元二次方程
2023年初中数学竞赛讲义：一元二次方程一、引言一元二次方程是初中数学中重要的内容之一，在数学竞赛中也经常出现。
掌握一元二次方程的解法对于提高数学竞赛的成绩具有重要意义。
本讲义将系统地介绍一元二次方程的概念、性质以及解法，帮助大家在2023年初中数学竞赛中更好地应对与处理一元二次方程相关的题目。
二、一元二次方程的定义和性质2.1 定义一元二次方程是形如aa2+aa+a=0的方程，其中a aa0且a是未知数。
其中，a、a、a是已知数，分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
2.2 一元二次方程的图像特点一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.3 一元二次方程的解的性质一元二次方程的解有以下性质：•如果一元二次方程有解，则有两个解，可能相等也可能不相等。
•如果一元二次方程有两个不相等的实数解，则它们关于a轴对称。
•如果一元二次方程有两个相等的实数解，则它们落在同一条垂直于a轴的直线上。
三、一元二次方程的解法3.1 一元二次方程的解法分类一元二次方程的解法可以分为以下几种情况：1.直接套用求根公式法。
2.配方法解一元二次方程。
3.完全平方解一元二次方程。
4.图像法解一元二次方程。
3.2 直接套用求根公式法直接套用求根公式法是最基本的解一元二次方程的方法。
根据求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以直接将方程的系数带入公式求解。
3.3 配方法解一元二次方程配方法是解一元二次方程的常用方法。
其基本思想是通过合理的配方，将方程转化成完全平方形式，从而求得方程的解。
3.4 完全平方解一元二次方程完全平方解一元二次方程是一种简洁、直接的解法。
通过对方程进行平方操作，使其变形为完全平方形式，然后求解。
3.5 图像法解一元二次方程图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。
初中数学竞赛辅导讲义：第5讲-一元二次方程的整数整数解(含习题解答)
第五讲 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0； (2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
初中数学竞赛辅导资料一元二次方程、完全平方数
初中数学竞赛辅导资料1一元二次方程的根甲内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.乙例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). 例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.丙练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）参考答案练习1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛辅导资料为2完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根丙练习1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
九年级数学奥数知识点专题精讲---一元二次方程的整数根
知识点、重点、难点例题精讲例1：当整数为值时，关于的一元二次方程k x 2(1)210x k x k +++-=的两个根均为整数。
例2：已知关于的方程的根是整数，求实数x 2(1)10mx m x m +++-=的值。
m 例3：已知关于的一元二次方程有两个整数根，x 222(1)0x m x m -++=且，求整数的值，并求此两个整数根。
1050m <<m 例4：求出所有这样的正整数，使得关于的一元二次方程a x至少有一个整数根。
22(21)4120ax a x a +-+-=例5：证明：不论取什么整数，二次方程没有整数n 251670x nx -+=根。
例6：已知整数是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程a b 、求的值及此直角三角形的三边长。
2(2)40,x k x k -++=k 习题A 卷1.（填：“有”或“没有”）有理根。
28210x x --=2. 关于的方程至少有一个整数根，则整数可取值的x 2120x mx -+=m 个数是 个。
3. 已知为正整数，方程有一个整数根，则n 21)60x x --= 。
n =4. 满足的整数对共有对。
1ab a b ++=(,)a b 5. 关于的方程有两个整数根，则整数的值是x 22(2)10x a x a -++-=a 。
6. 关于的方程有两个整数根，则实数的值是x 2(11)50x a x a +-+-=a 。
7. 若关于的一元二次方程有两个正整数根，则的值x 2530x x a -++=a 是 ，方程的解是 。
8. 设为质数，且方程两个根都是整数，则的值为p 25800x px p --=p 。
9. 方程的正整数解的组数是。
2223298x xy y --=10. 求使关于的二次方程的两根都是整数的所有x 222170a x ax a ++-=正数的和是 。
a 二、解答题11. 已知方程有两个整数根，求证：（1）两个根中，2340x x m -++=一个是奇数而另一个是偶数；（2）是负的偶数。
一元二次方程的整数根
所有可能的 p 值为 p = 3 或 p = 7 . 说明 :利用判别式是完全平方数 , 进而解 一个不定方程是求解一元二次方程整数根的 常用方法 . 例2 已知 a 、 b、 c 都是整数 , 且对一切 实数 x , 都有 ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c) 成立 . 求所有这样的有序数组 ( a , b , c) . 分析 : ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c ) 恒成立 , 即 x 2 - ( a + 2 005 ) x + ・ 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 这说明 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 解 :由题设知 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 故 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 所以 , Δ = ( a + 2 005) 2 - 4 ( 2 005 a - 2) = ( a - 2 005) 2 + 8 是完全平方数 . 令其为 n 2 , n 是正整数 , 则 ( n - a + 2 005) ( n + a - 2 005) = 8 . 由于 n - a + 2 005 与 n + a - 2 005 奇 偶性相同 , 且均大于 0 , 所以 , n - a + 2 005 = 2 , n - a + 2 005 = 4 , 或 n + a - 2 005 = 4 n + a - 2 005 = 2. 解得
一元二次方程的整数解
一元二次方程的整数解解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：1、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整数求解，形成12()()0x x x x --=的形式；2、从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设2k ∆=），通过穷举，逼近求解3、从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因式分解求解。
4、从变换主元入手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。
1、若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的整数k 的值。
2、已知a 、b 为质数且是方程2130x x c -+=的根，求a b b a+的值。
3、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。
4、当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有求出m 的值；如果没有，请说明理由。
5、已知a 是正整数，如果关于x 的方程3(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。
6、若关于x 的方程222(3)(13)0ax a x a --+-=至少有一个整数根，求非负整数a 的值。
解析：①当0a ≠时，变换主元得到2136(1)x a x -=-，此时1a ≥，则21361(1)x x -≥-，得到 (6)(2)0x x ++≤解得62x -≤≤且1x ≠，因为至少有一个x 的值为整数，则这个整数x 的值可能为6-、5-、4-、3-、2-、1-、0、2，②当0a =时，136x =（舍）课后作业1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的跟都是整数，求符合条件的所有整数a 。
九年级上册数学 一元二次方程的整数根讲义
学科：数学专题：一元二次方程整数根重难点易错点辨析在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。
题一题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值.金题精讲题一题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．判别式，整数根题二题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0.（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数.判别式，整数根讲义参考答案重难点易错点辨析题一答案：当1a =时，1x =；当1a ≠时，122111x x a ==---，（分离常数）， a ∵为整数1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，， 金题精讲题一答案：(1)52k <；(2)k =2. 满分冲刺题一答案：⑴证明：[]22=2(23)4(4148)84m m m m ∆----+=+∵0m >， ∴840m +>.∴方程有两个不相等的实数根．⑵(23)x m -±∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数．又∵1240m <<，∴252181.m <+<∴5．21m +∵为奇数，7=∴24m =．题二答案：（1）证明：△=(m +3)2-4(m +1)=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=(m +1)2+4∵(m +1)2≥0∴(m +1)2+4≥0∴无论m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根（2）解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0得x = 要使原方程的根是整数根，必须使得(m +1)2+4是完全平方数 设(m +1)2+4=a 2则(a +m -1)(a -m -1)=4∵a +m -1与a -m -1的奇偶性相同可得{1=212a m a m +---=或{1=212a m a m +----=- 解得{=21a m =-或{21a m =-=-将1m =-代入23(1)42m m x --±++=得1220x x =-=，符合题意； ∴当1m =-时，原方程的根是整数.。
5-3-4一元二次方程的公共根与整数根.讲义教师版
中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指岀各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题鈕Ml世知识点睛、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题对于一元二次方程ax2• bx • c =0 (a =0)的实根情况，可以用判别式尺-b2 -4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax2 bx 0 (^^ 0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴二b2-4ac为完全平方数；⑵ -b 亠- b2—4ac =2ak 或-b - • b2「4ac =2ak，其中k 为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.一元二次方程的公共根与整数根例题精讲元二次方程的公共根【例1】求k 的值，使得一元二次方程 x2• kx 一1 =0 , x 2• x • (k _2) =0有相同的根，并求两个方程的根.【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有2 2a ka-1=0 ……①， a a ( k -2) ^0-…②.①一②有，ka _1 _a _(k _2) =0，即(k _1)(a _1) =0 , /• k =1，或 a =1 . 当k =1时，两个方程都变为 x 2• x -1 =0 ,•••两个方程有两个相同的根x b 2 =号叵，没有相异的根；当a =1时，代入①或②都有k =0 ,此时两个方程变为 x 2-仁0 , x 2• x -2 =0 . 解这两个方程， x 2—1 = 0 的根为X 1 =1, X 2 = -1 ； x 2■ x —2 =0 的根为 X 1 =1, X 2 = -2 .x=1为两个方程的相同的根.【答案】当k=1时，洛送二号5;当x=1时，x=1【难度】【关键词】配方思想21 2 3b 又 X 0 X 0(X 0 -)- 0，故 a b ^0，公共根为 X D =1 或《--1-一 . 4a⑵ 由 a3b 3c 3- 3abc =(a b c)(a 2b 2c 2- ab - be - ca)及 a b c = 0 可知3 3 I 33,33abc -a b c 3abc ，故3.abc【答案】⑴见解析⑵3【例2】 试求满足方程 x2-kx -7 = 0与x 2-6x - (k 1^0有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异【巩固】【考点】三个二次方程 ax 亠bx 亠c =0 , ⑴求证：a b c 0 ;333⑵求a b c的值.abc2bx 亠 cx 亠 a 二 2cx ax0有公共根.【题型】 解答【解析】 ⑴设上述三个方程的公共根为ax 。
第05讲 一元二次方程的特殊解法(解析版)-初中数学暑假自学课讲义(9年级人教版)
第05讲一元二次方程的特殊解法【人教版】·模块一用换元法解一元二次方程·模块二含绝对值的一元二次方程的解法·模块三配方法的应用·模块四课后作业【例1】已知2+22+2+2−15=0，求2+2的值．【答案】3【分析】先用换元法令2+2=o>0)，再解关于的一元二次方程即可．【详解】解：令2+2=o>0)，则原等式可化为：o+2)−15=0，解得：1=3,2=−5，∵>0，∴=3，即2+2=3．2+2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意2+2为非负数是本题的关键．【例2】已知2+B−=0的解是1=1，2=−4，则方程2+32+2+3−=0的解是（）A．1=−1，2=−3.5B．1=1，2=−3.5C．1=−1，2=3.5D．1=1，2=3.5【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得2+3=1，2+3=−4，解这两个一元一次方程即得方程2+32+2+3−=0的解．【详解】解：令2+3=，∵方程2+B−=0的解是1=1，2=−4，∴方程2+B−=0的解是1=1，2=−4，∴对于方程方程2+32+2+3−=0而言，2+3=1或2+3=−4，解得=−1或=−3.5，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程2+ 32+32+3−4=0中的2+3当作一个整体，则此方程与B²+3−4=0毫无二致．【例3】阅读下面的材料：解方程4−72+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2=，则4=2，∴原方程可化为2−7+12=0，解得1=3，2=4，当=3时，2=3，=±3，当=4时，2=4，=±2．∴原方程有四个根是1=3，2=−3，3=2，4=−2．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：(2+p2−5(2+p+4=0；(2)已知实数，满足(2+2+2的值．【答案】(1)1=2=3=4=(2)5【分析】（1）设=2+，则2−5+4=0，整理，得(−1)(−4)=0，解关于的一元二次方程，然后解关于的一元二次方程即可求解；（2）设=2+2，则2−3−10=0，整理，得(−5)(+2)=0，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设=2+，则2−5+4=0，整理，得(−1)(−4)=0，解得1=1，2=4，当2+=1即2+−1=0时，解得=；当2+=4即2+−4=0时，解得=；∴原方程的解为1=−1+52，2=−1−52，3=4=（2）设=2+2，则2−3−10=0，整理，得(−5)(+2)=0，解得1=5，2=−2(舍去)，2+2=5．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【变式1】若实数x满足22+2−52+1=3，那么2−4r1=__________．【答案】−23【分析】先将原方程化为2+−5r1=3，再令=+1，进一步将原方程化为2−5=3，解方程求出的值，即可得到+1=52，即可求出原式的值．【详解】解：∵22+2−52+1=3∴2+−5+1=3令=+1，则原方程为2−5=3，整理得：22−3−5=0解得：1=52，2=−1（不符合题意，舍去）∴+1=52∴2−4+1=1−4+1=152−4=−23故答案为：−23【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法．【变式2】若关于的一元二次方程B2+B−3=0（≠0）有一个根为=5，则方程−12+B−3=必有一根为______．【答案】=6【分析】把−12+B−3=化为o−1)2+−1−3=0,再结合题意得到−1= 5,解出即可．【详解】解：∵−12+B−3=，∴o−1)2+−1−3=0．令−1=，则B2+B−3=0,∵方程B2+B−3=0（≠0）有一个根为=5，∴方程B2+B−3=0有一根为=5，∴o−1)2+−1−3=0有一根为−1=5，∴−1=5,∴=6.故答案为：=6.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．【变式3】阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2–3|x|+2=0．解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0．解得：y1=1，y2=2．当y=1时，|x|=1，∴x=±1；当y=2时，|x|=2，∴x=±2．∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x4–10x2+9=0．(2)解方程：r12–22r1=1．(3)若实数x满足x2+12–3x–3=2，求x+1的值．【答案】(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–12；(3)x+1=4．【分析】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得a的值，再求x的值即可；（2）设r12=m，则原方程可化为m–2=1，即m2–m–2=0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x+1=y，则原方程可化为y2–3y–4=0，解方程求得y 的值，即可求得x+1的值．【详解】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，即（a–1）（a–9）=0，解得：a=1或a=9，当a=1时，x2=1，∴x=±1；当a=9时，x2=9，∴x=±3；（2）设r12=m，则原方程可化为m–2=1，即m2–m–2=0，∴（m+1）（m–2）=0，解得：m=–1或m=2，当m=–1时，r12=–1，即x2+x+1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解；当m=2时，r12=2，即2x2–x–1=0，解得：x=1或x=–12，经检验x=1和x=–12都是原分式方程的解；（3）设x+1=y，则原方程可化为：y2–2–3y=2，即y2–3y–4=0，∴（y+1）（y–4）=0，解得：y=–1或y=4，即x+1=–1（方程无解，舍去）或x+1=4，故x+1=4．【点睛】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【变式4】转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：2＋3－2+3−2=0．【答案】x1＝1，x2＝－4【分析】利用题中给出的方法设2+3=y，把方程转化为含y的一元二次方程，求出y的值，再求解无理方程，求出x的值．【详解】解：设2+3＝y，则x2＋3x=y2，原方程可化为：y2－y－2＝0，∴y1＝－1，y2＝2，∵2+3＝y≥0，∴y1＝－1舍去，∴2+3＝2，∴x2＋3x＝4，∴x2＋3x－4＝0，∴x1＝1，x2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．【例1】阅读下面的材料，并完成相应的任务．材料：解含绝对值的方程：2−5−6=0．解：分两种情况：（1）当≥0时，原方程可化为：2−5−6=0，解得1=6，2=−1（舍去）；（2）当<0时，原方程可化为：2+5−6=0，解得1=−6，2=1（舍去）．综上所述：原方程的解是1=6，2=−6．任务：请参照上述方法解方程：2−−2=0．【答案】1=2，2=−2【分析】分两种情况讨论∶当≥0时，当<0时，即可求解．【详解】解：分两种情况讨论（1）当≥0时，原方程可化为2−−2=0解得：1=2，2=−1（舍去）；（2）当<0时，原方程可化为2+−2=0解得：1=−2，2=1（舍去）；∴综上所述，原方程的根是1=2，2=−2．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【例2】阅读题例，解答下题：例：解方程：2−|U−2=0．解：将含有绝对值符号的方程中的绝对值去掉，就分情况考虑：（1）当≥0，2−−2=0，解得1=−1（不合题意，舍去），2=2；（2）当<0，2+−2=0，解得1=1（不合题意，舍去），2=−2．综上所述，原方程的解是=2或=−2．依照上例解法，解方程2+2|+2|−4=0．【答案】1=0，2=−2【分析】根据例题中的解题方法对+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当+2≥0，即≥−2时，方程变形得：2+2(+2)−4=0∴2+2=0∴o+2)=0∴1=0，2=−2；②当+2<0，即x<−2时，方程变形得：x2−2(x+2)−4=0∴x2−2x−8=0∴(x+2)(x−4)=0∴x1=−2（舍去），x2=4（舍去）∴综上所述，原方程的解是1=0或2=−2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．【变式1】阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程2-3-10=0．解分两种情况（1）当x≥0时，原方程化为W-3t10=0，解得1=5，2=-2（舍去）（2）当x<0时，原方程化为2+3t10=0，解得1=-5，2=2（舍去）综上所述，原方程的解是1=5，2=-5．问题：仿照上面的方法，解方程2-22r3+9=0．【答案】1=1,2=3【分析】仿照例题，分p-32与I-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2r1≥0，即p-32时，原方程可化为：2-2(2r3)+9=0整理得：2-4r3=0解得：1=1,2=3当2r1<0，即I-32时，原方程可化为：2+2(2r3)+9=0整理得2+4r15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：1=1,2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．【例1】已知=2−，=−2为任意实数，则−的值()A．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出−=−12+1>0，即可求解．【详解】解：∵=2−，=−2∴−=2−−−2=2−2+2=−12+1>0∴−的值大于0，故选：A．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【例2】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：=2−2B+22−2+2，利用配方法求的最小值，解：2−2B+22−2+2=2−2B+2+2−2+1+1=−2+−12+1∵−2≥0,−12≥0，∴当==1时，有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：2−23+______．(2)若=142+2−1，求的最小值．(3)已知2+22+2−2B−2+4+5=0，则++的值为______．【答案】(1)19(2)−5(3)0【分析】（1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；（2）提取系数14后，再加一次项系数一半的平方16，并减去16，配成完全平方式，利用偶次方的非负性可知的最小值；（3）拆项后配成三个完全平方式，利用偶次方的非负性可得−=0，−1=0，+2=0，据此求出、、的值，即可求解．【详解】（1）解：2−2⋅⋅13+=2−23+19=−，故答案为：19；（2）解：=142+2−12+8+16−16−1=+42−5+42≥0，∵∴当=−4时，有最小值−5；（3）解：∵2+22+2−2B−2+4+5=0，∴2−2B+2+2−2+1+2+4+4=0，∴−2+−12++22=0，∵−2≥0，−12≥0，+22≥0，∴−=0，−1=0，+2=0，∴==1，=−2，∴++=1+1−2=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式是解题的关键．【例3】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式2−2+3进行配方．解：2−2+3=2−2+1+2=2−2+1+2=−12+2．我们定义：一个整数能表示成2+2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12．再如，=2+2B+22=+2+2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数”；并判断40是否为“完美数”；(2)【问题解决】若二次三项式2−6+13（x是整数）是“完美数”，可配方成−2+（m，n为常数），则B的值为；(3)【问题探究】已知“完美数”2+2−2+4+5（x，y是整数）的值为0，则+的值为；(4)【问题探究】已知=2+42+8−12+（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值．(5)【问题拓展】已知实数x，y满足−2+3+−5=0，求+的最小值．【答案】(1)4（答案不唯一），是(2)12(3)−1(4)25(5)4【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（3）配方后根据非负数的性质可得和的值，进行计算即可；（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；（5）将−2+3+−5=0变形为+=2−2+5，然后再配方即可求解．【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为4＝22+02；40是“完美数”，理由：因为40=62+22．故答案为：4（答案不唯一），是；（2）∵2−6+13=2−6+9+4=−32+4∴=3，=4，∴B=12故答案为：12；（3）∵2+2−2+4+5=−12++22=0∴=1，=−2，∴+=−1故答案为：−1；（4）=2+42+8−12+=+42+2−32+−25由题意得：−25=0，∴=25；（5）∵−2+3+−5=0∴+=2−2+5=−12+4≥4；∴当=1时，+的最小值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．【变式1】若=2+2+2+4+2021，则p的最小值是（）A．2021B．2015C．2016D．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【详解】解：=2+2+2+4+2021=2+2+1+2+4+4+2016=2+2+1+2+4+4+2016=+12++22+2016，∵+12≥0，+22≥0，∴p的最小值为2016，故选：C．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．【变式2】已知点os p在一次函数=2−1图象上，则2++3的最小值为______．【答案】1【分析】将点os p代入一次函数解析式得出，=2−1，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点os p在一次函数=2−1图象上，∴=2−1∴2++3=2+2−1+3=2+2+1+1=+12+1≥1故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式3】“2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：2+4+5=2+4+4+1=+22+1，∵+22≥0，∴+22+1≥1，∴2+4+5≥1．即：2+4+5的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：(1)求代数式2−4+6最值；(2)已知2−4+2+2+5=0，求+的值；(3)比较代数式2−1与2−3的大小．【答案】(1)有最小值2(2)+=1(3)2−1>2−3【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：2−4+6=2−4+4+2=−22+2故当−2=0，即=2时，代数式2−4+6最小值为2；（2）∵2−4+2+2+5=0，则2−4+4+2+2+1=0，∴−22++12=0，即−2=0，+1=0，∴=2，=−1，∴+=2−1=1；（3）2−1−2−3=2−2+2=−12+1，∵−12≥0，∴−12+1>0，∴2−1>2−3．【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．1．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：（1）例：解方程2−|U−2=0．解：当O0时，原方程可化为2−−2=0．解得：1=2，2=−1（不合题意，舍去）当<0时，原方程可化为2+−2=0．解得：1=−2，2=1（不合题意，舍去）∴原方程的解是1=2，2=−2．（2）请参照上例例题的解法，解方程2−−|−1|−1=0．【答案】1=2，2=−2【分析】仿照第（1）题的解题过程，分两种情况：当−1⩾0时，当−1<0时，分别进行计算即可解答．【详解】解：当−1⩾0时，即O1时，原方程可化为：2−−(−1)−1=0，整理得：2−2=0，解得：1=0（不合题意，舍去），2=2；当−1<0时，即<1时，原方程可化为：2−+(−1)−1=0，整理得：2−2=0，解得：1=2（不合题意，舍去），2=−2；∴原方程的解是1=2，2=−2．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元二次方程﹣因式分解法，理解例（1）的解法是解题的关键．2．阅读下面材料：为解方程(2−1)2−5(2−1)+4=0，我们可以将(2−1)看作一个整体，然后设2−1=，那么原方程可化为2−5+4=0，解得1=1，2=4．当=1时，2−1=1，∴2=2，=±2；当=4时，2−1=4，∴2=5，=±5．故原方程的解为：1=2，2=−2，3=5，4=−5．上述解方程的方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：4+32−4=0；(2)已知实数m满足(1−22+4p(32−6+5)=2，求2−2的值．【答案】(1)1=1，2=−1(2)2−2的值是13【分析】（1）设2=，那么原方程可化为2+3−4=0，继而因式分解法解一元二次方程，即可求解．（2）原方程化为1−2(2−2p3(2−2p+5=2，设2−2=，那么原方程可化为(1−2p(3+5)=2，解关于的一元二次方程，进而再根据一元二次方程根的判别式取舍的值即可求解．【详解】（1）4+32−4=0，设2=，那么原方程可化为2+3−4=0，解得：1=−4，2=1，当=−4时，2=−4，因为不论x为何值，2不能为负数，所以此方程无解；当=1时，2=1，解得：x=±1，所以原方程的解为：1=1，2=−1；（2）1−22+432−6+5=2，1−2(2−2p3(2−2p+5=2，设2−2=，那么原方程可化为(1−2p(3+5)=2，62+7−3=0，(3−1)(2+3)=0，解得：1=13,2=−32，当=13时，2−2=13，当=−32时，2−2=−32，整理得：22−4+3=0，Δ=（−4）2−4×2×3=16−24=−8<0，此时方程无解，综合上述：2−2的值是13．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．3．阅读材料，解答问题．解方程：(4−1)2−10(4−1)+24=0．解：把4t1视为一个整体，设4−1=，则原方程可化为2-10r24=0．解得1=6，2=4．∴4−1=6或4−1=4．∴1=74，2=54．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）4−2−6=0;（2）(2−2p2−52+10−6=0．【答案】（1）1=3，2=-3；（2）1=1+7，2=1-7，3=4=1【分析】（1）仿照材料的方法，设2=，则原方程可化为2− −6=0，进而解方程即可求解；（2）仿照材料的方法，设2-2J，则原方程可化为2−5−6=0，进而解方程即可求解；【详解】解：（1）设2=，则原方程可化为2− −6=0，整理得(−3)(+2)=0，解得1=3，2=-2．当J3时，即2=3，∴=±3;当J-2时，2=-2无解．∴原方程的解为1=3，2=-3．（2）设2-2J，则原方程可化为2−5−6=0，整理得t6r1=0，解得1=6，2=-1．当J6时，即2−2=6，解得1=1+7，2=1−7;当J-1时，即2-2J-1，解得3=4=1．综上所述，原方程的解为1=1+7，2=1-7，3=4=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．4．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：2-3|U-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为2-3t10=0解得1=5,2=-2（舍去）；②当x<0时，原方程化为2+3t10=0，解得3=-5,4=2（舍去）．综上所述，原方程的解是1=5,2=-5．请参照上述方法解方程2-|r1|-1=0．【答案】1=2,2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当r1≥0，即p-1时，原方程化为2-r1-1=0，解得1=2,2=-1；②当r1<0，即I-1时，原方程化为2+r1-1=0，解得3=0（舍去），4=-1（舍去）．综上所述，原方程的解是1=2,2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．5．阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程2+bx+c＝0变形为2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出4﹣3x+2020的值是______．(2)解方程4−52+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2＝y，那么4=2，于是原方程可变为2−5+4=0（1），解得1＝1，2＝4．当y＝1时，2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根1=1,2=−1,3=2,4=−2．请你用（2）中的方法求出方程(2+p2−22−2=8的实数解．【答案】(1)2022(2)1=2=【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案；（2）根据换元法即可求解．（1）解：∵2﹣x﹣1＝0，∴2＝x+1，∴4﹣3x+2020＝(+1)2−3+2020＝2﹣x+2021＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案为：2022；（2）解：设2+x＝y，那么(2+p2=2，于是原方程可变为2−2−8=0，解得1＝﹣2，2＝4．当y＝﹣2时，2+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程无解；当y＝4时，2+x﹣4＝0，∴x∴原方程有两个根：x1x2【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键．6．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：2−6−22−6−8=0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设2−6=（t≥0），则有2−6=2，原方程可化为：2−2−8=0，【续解】【答案】1=8，2=−2【分析】按照题目思路，用因式分解法解2−2−8=0，求出t，再代入2−6=2，解出x，即可求解．【详解】解：+2−4=0，t+2=0或t﹣4=0，∴1=−2（依据≥0，此根舍去），2=4，当t=4时，2−6=2=42=16，则2−6−16=0，配方得−32=25，解得1=8，2=−2，经检验，原方程的解为1=8，2=−2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，题中涉及换元的思想．注意，原方程涉及二次根式，故所得的解，必须要代入原方程检验．7．阅读与理解：阅读材料：像+−1=3这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程．解法如下：移项：−1=3−H；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x2.解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5检验所得到的两个根，只有是原无理方程的根．理解应用：解无理方程=2．【答案】＝2；x＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解；理解应用：先移项得到−2=一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根．【详解】解：阅读材料：经检验＝2是原方程的解；故答案为：＝2；理解应用：移项：−2=1+1，两边平方：2−4+4=解得1=54，2=3，经检验原无理方程的根为＝3．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．8．阅读下列材料：为解方程4−2−6=0可将方程变形为22−2−6=0然后设2=，则22=2，原方程化为2−−6=0①，解①得1=−2，2=3．当1=−2时，2=−2无意义，舍去；当2=3时，2=3，解得=±3；∴原方程的解为1=3，2=−3；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）2−22−52+10+6=0；（2）32+15+22+5+1=2．【答案】（1）1=1+3，2=1−3，3=3，4=−1；（2）1=0，2=−5．【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令=2−2，即原方程=2−5+6=0，求解即可．（2）同理，令2+5+1=，即原方程=32+2−5=0，求解即可．【详解】（1）设=2−2，得：2−5+6=0，解得：1=2，2=3．当1=2时，2−2=2，解得：=1±3，当2=3时，2−2=3，解得：=3，−1．∴原方程的解为1=1+3，2=1−3，3=3，4=−1．（2）设2+5+1=，则方程可变成32+2−5=0，∴(3+5)(−1)=0，1=−53，2=1．当1=−53时，2+5+1=−53，所以无解．当2=1时，2+5+1=1，∴2+5=0，∴1=0，2=−5．经检验1=0，2=−5是原方程的解．【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．9．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如B2+B+o≠0)的多项式变形为o+p2+的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式B2+B+o≠0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．例如：对于2+6+8．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式2+6+8有最小值？最小值是多少？解：（1）原式=2+6+8+1−1=2+6+9−1=(+3)2−1=[(+3)+1][(+3)−1]=(+4)(+2)．（2）由（1）得：2+6+8=(+3)2−1，∵(+3)2≥0，∴(+3)2−1≥−1，∴当=−3时，代数式2+6+8有最小值，最小值是−1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)用配方法因式分解：2+2−8；(2)试说明不论为何值，代数式−2+4−5恒为负数；(3)若已知(+p(−p=14(+p2且≠0，求K的值．【答案】(1)(+4)(−2)(2)见解析(3)2【分析】（1）根据题干信息，利用配方法分解因式即可；（2）先利用配方法将−2+4−5变形为−(−2)2−1，根据二次方的非负性，求出−2+4−5的值恒为负数；（3）先将(+p(−p=14(+p2变形为(2−+p2=0，得出2−+=0，即可求出K=2．【详解】（1）解：2+2−8=2+2+1−9=(+1)2−9=(+1+3)(+1−3)=(+4)(−2)．（2）解：∵−2+4−5=−(2−4+4)−1=−(−2)2−1，∵−22≥0，∴−−22≤0，∴−−22−1≤−1<0∴不论为何值，代数式−2+4−5恒为负数．（3）解：∵(+p(−p=14(+p2，∴B−2+B−B=14(2+2B+2)，∴4B−42+4B−4B=2+2B+2，∴(42−4B+2)+2(2−p+2=0，∴(2−p2+2(2−p+2=0，∴(2−+p2=0，∴2−+=0，∴2=−，∵≠0，∴K=2．【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式2±2B+ 2=±2．10．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：2+6+8．解：原式=2+6+9−1=+32−1=+3−1+3+1=+2+4②求2+6+11的最小值．解：原式=2+6+9+2=+32+2．∵+32≥0，∴+32+2≥2，即2+6+11的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：2+4+____________．(2)因式分解：2−12+32．(3)求42+4+3的最小值．(4)用配方法因式分解：4+4．【答案】(1)4(2)−4−8(3)2(4)2+2+22−2+2【分析】（1）由2+4+___=2+2⋅×2+22,从而可得答案；（2）由2−12+32=2−2⋅×6+62−62+32化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；（3）由42+4+3=22+2×2⋅1+12−12+3化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．（4）由4+4=22+2⋅2⋅2+22−2⋅2⋅2化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；【详解】（1）∵2+4+4=+22,故答案为：4（2）2−12+32=2−2⋅×6+62−62+32=−62−22=−6+2−6−2=−4−8（3）42+4+3=22+2×2b1+12−12+3=2+12+2∵2+12≥0,∴2+12+2≥2,∴42+4+3的最小值是2（4）4+4=22+2⋅2⋅2+22−2⋅2⋅2=2+22−22=2+2+22−2+2【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，解题的关键是掌握用配方法分解因式．11．已知实数、满足−2=8，则代数式2−32+−14的最小值是_____．【答案】58【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据≥8，即可求解．【详解】∵−2=8，∴2=−8，≥8，则2−32+−14=2−3−8+−14=2−3+24+−14=2−2+10=−12+9∵≥8∴当=8时取得最小值，最小值为8−12+9≥58，故答案为：58．【点睛】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非负数的性质.。
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
一元二次方程的整数整数解(含答案)-
一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
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+ 的值是( )
A ．
127 B ． C ． D ．
第五讲 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它 将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备 受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数错误!设 = k 2 )，通过穷举， 逼近求解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知 识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
【例题求解】
【例 1】若关于 x 的方程 (6 - k )(9 - k )x 2 - (117 -15k )x + 54 = 0 的解都是整数，则符合条件的整
数是的值有 个．
思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、 二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．
注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论．
【例 2】 已知 a 、 b 为质数且是方程 x 2 - 13x + c = 0 的根，那么 b a a b 125 123 121 22 22 22 22 思路点拨 由韦达定理 a 、 b 的关系式，结合整数性质求出 a 、 b 、 c 的值．
【例 3】 试确定一切有理数 r ，使得关于 x 的方程 rx 2 + (r + 2)x + r -1 = 0 有根且只有整数根．
思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当 r ≠ 0 时，由根与系数关系得到关 于 r 的两个等式，消去 r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．
【例4】
当 m 为整数时，关于 x 的方程 (2m -1) x 2 - (2m + 1) x + 1 = 0 是否有有理根?如果有， 求出 m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨
整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设 △= (2m + 1) 2 - 4(2m -1) = 4m 2 - 4m + 5 = (2m -1) 2 + 4 = n 2 ( n 为整数)解不定方程，讨论 m 的
存在性．
注：一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠△0)而言，方程的根为整数必为有理数，而=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．
【例5】若关于x的方程ax2-2(a-3)x+(a-13)=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．
思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程．
学历训练
1．已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有．2．已知方程x2-1999x+m=0有两个质数解，则m＝．
3．给出四个命题：①整系数方程ax2+b x+c=0(a≠△0)中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+b x+c=0(a≠△0)中，若方程有有理数根，则为完全平方数；
③无理数系数方程ax2+b x+c=0(a≠0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+b x+c=0没有有理数根，其中真命题是．
4．已知关于x的一元二次方程x2+(2a-1)x+a2=0(a为整数)的两个实数根是x
1、x，
2
则x-x=．
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5．设rn为整数，且4<m<40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．(山西省竞赛题)
6．已知方程ax2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(a≠0)至少有一个整数根，求a的值．7．求使关于x的方程kx2+(k+1)x+k-1=0的根都是整数的k值．
8．当n为正整数时，关于x的方程2x2-8nx+10x-n2+35n-76=0的两根均为质数，试解此方程．
9．设关于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值．
10．试求所有这样的正整数a，使得方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解．
11．已知p为质数，使二次方程x2-2p x+p2-5p-1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．
12．已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根x、x及x'、x'，且
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x x>0，x'x'>0．
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(1)求证：x<0,x<0，x'<0,x'<0；
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(2)求证：b-1≤c≤b+1；
(3)求b、c所有可能的值．
13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2-2x-m+1=0的根(m为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．
参考答案。