§4-2 简谐振动的合成 (2)

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两简谐振动为
x A cos( t )
y B cos( t )
（ 1）
（ 2）
5
x cost cos sint sin （ 3） 改写为 A y （ 4） cos t cos sin t sin B 以cos乘以(3)式，cos乘以(4)式，再两式相减得 x y cos cos sin t sin( ) （ 5） A B 以sin乘以(3)式，sin乘以(4)式后两式相减得
*二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两谐振动分别为 x1 A1 cos(1t 1 ) x2 A2 cos(2t 2 ) 合振动 x x1 x2 A1 cos(1t 1 ) A2 cos(2t 2 ) 合振动不再是谐振动，
y
ω1
A1
y A
由矢量图得 而
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A2
φ2
A1 sin 1 A2 sin 2 arc tan A1 cos 1 A2 cos 2
φ
A1 x1 x x
1
O
x2
φ1
讨论：1. 2 1 2kπ k 0,1,2,
-A O
-B A y -A O -A
A
x
合振动沿顺时针方向进行；
β = /2 时，
合振动沿逆时针方向进行。
若A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。
A x
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3. 如果()不为上述数 值，那么合振动的轨迹 为处于边长分别为2A(x 方向)和2B(y方向)的矩 形范围内的任意确定的 椭圆。
两个分振动的频率相差 较大，但有简单的整数比 关系，这样的合振动曲线 称为利萨如图形。 不同频率的垂直振动运动的合成。
合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
x1 A cos(1t )
2 1
x2 A cos(2t )
合振动为 x x1 x2 A cos(1t ) A cos( 2t )
§4-2 简谐振动的合成
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的谐振动 x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) 合振动
x x1 x2 A1 cos(t 1 ) A2 cos(t 2 )
x A cos(t ) （仍为同频率谐振动）
而是一种复杂振动
矢量图解法（如图） 由矢量图得合振动的振幅为
ω2
A
A2 ω 1 A 1
A
O
x
A2
ω2
A A12 A2 2 2 A1 A2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
3
由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异
而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。
x y sin sin cos t sin( ) （6） A B (5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin ( ) 2 2 A B AB 6
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（β－α）。 讨论： 1. 0 或 时 x y 2 B ( ) 0 即 y x A B A 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。
A A1 A2
A
合振幅最大，振动加强
2.
A 1
A2
2 1 (2k 1)π k 0,1,2,
A A1 A2
A2
合振幅减小，振动减弱
3.
A
A1
A2 A A1
2
一般情况下为任意值
2 1 π
A1 A2 A A1 A2
2 A cos(
2 1
2
t )cos(
2 1
2
t )
4
拍频的振幅为
2 A cos(
2 1
2
t)
振幅的周期为 T π(
拍频为 1 2 1 2 1 T 2 拍的振动曲线如右图
2 2π ) 2 1 2 1
*三、两个互相垂直的简谐振动的合成
y
B b -A
a
o
-B
A x
0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A； 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。
合振动的振幅
C A2 B2
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2. 当 时 2
x2 A
2

y2 B
2
1
B
y
合振动的轨迹是以坐标轴为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主轴的正椭圆，如右图所示。
β = /2 时，