立体几何(1)教师版

立体几何（1）
一．基础训练
1．下列命题中，正确序号是
①经过不同的三点有且只有一个平面②分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 ③垂直于同一个平面的两条直线是平行直线④垂直于同一个平面的两个平面平行
2. 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的
3. 设棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /中，M 为AA /的中点，则直线CM 和D /D 所成的角的余弦值为 ．
4. 对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：
其中正确的命题的个数是
5. 如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在 平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ， 连PD ，那么图中直角三角形的个数 个
6. OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______. 二．典型例题
例1. 已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）C 1O ∥面11AB D ；（2 ）1A C ⊥面11AB D ．
β
αβαγαβγβααααα⊥⊂⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则若
则若则若
则若
,,)4(,//,,)3(//,,)2(,,,//)1(m m n n m m n n m m α
P
B
A C
D
x
′
D 1
O
D
B
C 1
B 1
A 1
C
D 图乙
D
B C E 例2. 如图，正三棱柱ABC--111C B A 中（地面是正三角形，侧棱垂直于地面），D 是BC 的中点，AB = a .
（1） 求证：111C B D A
（2） 判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论
例3. 如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点.
现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PDE ； （Ⅲ）在PA 上找一点G ，使得FG ∥平面PDE.
A
B
C C 1
B 1
A 1
D
例4．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点． （1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．
三 .课后作业 (一).填空题
1．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为
2. 直线AB 、AD ⊂α，直线CB 、CD ⊂β，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线EH∩直线FG=M ，则点M 在 上
3. 已知1111A B C D A B C D -是棱长为a 的正方体，求：
（1）异面直线1A A 与B C 所成的角为（ ） （2）求异面直线1B C 与A C 所成的角（ ）
4. 点p 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的 心
5. 如果O A ‖11O A ， O B ‖11O B ，那么A O B ∠与111A O B ∠（ ）
6. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m ⊥n
②α⊥β
③n ⊥β
④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．
命题： _________________________.
B 1
D 1
A
B C
D A 1
C 1
C
A
D
(二) 解答题
1. 如图，在多面体ABCDE 中，⊥AE 面ABC ，BD ∥AE ，且BD BC AB AC ===2=，
1=AE ，F 为CD 中点． （1）求证：EF// 平面ABC ；（2）求证：⊥EF 平面BCD
2. 如图, P A ⊥矩形A B C D 所在平面, ,M N 分别是A B 和P C 的中点．
(1)求证: //M N 平面;P A D (2)求证:;M N C D ⊥ (3)若45P D A ∠=
, 求证:M N ⊥平面.P C D
3. 如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点.
求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； （Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD.
4. 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，90B A D ∠=
，AD ∥BC, AB=BC=2, AD=4,
PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 成30
角，E 是PD 的中点.
（1） 点H 在AC 上且EH ⊥AC ，求E H
的坐标；
（2） 求AE 与平面PCD 所成角的余弦值；
A B C E D F A
B C D
M
N
P
E B
C
答案 基础训练
1. ③
2. 2
3. 1/3
4. 1个
5. 8个
6.37 典型例题
例1. 提示：连接A 1C 1交B 1D 1与点O 1。

例2. (1) 略证:由A 1A ⊥BC,AD ⊥BC,得BC ⊥平面A 1AD,从而BC ⊥A 1D,又BC ∥B 1C 1,所以A 1D ⊥BC.
(2)平行. 略证:设A 1C 与C 1A 交于点O,连接OD,通过证OD 是△A 1CB 的中位线,得出OD ∥A 1B, 从而A 1B ⊥平面A 1CD.
例3. 解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥AD, PA ⊥AB, AB ⋂AD ＝A ，所以PA ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）证明：因为BC ＝PB ＝2CD, A 是PB 的中点，所以ABCD 是矩形，
又E 为BC 边的中点，所以AE ⊥ED.
又由PA ⊥平面ABCD, 得PA ⊥ED, 且PA ⋂AE ＝A, 所以ED ⊥平面
PAE ，
而ED ⊂平面PDE ，故平面PAE ⊥平面PDE.
（Ⅲ）过点F 作FH ∥ED 交AD 于H ，再过H 作GH ∥PD 交PA 于G , 连结FG .
由FH ∥ED, ED ⊂平面PED, 得FH ∥平面PED ； 由GH ∥PD ，PD ⊂平面PED ，得GH ∥平面PED ，
又FH ⋂GH ＝H ，所以平面FHG ∥平面PED.所以FG ∥平面PDE. 再分别取AD 、PA 的中点M 、N ，连结BM 、MN ，
易知H 是AM 的中点，G 是AN 的中点，
从而当点G 满足AG ＝4
1AP 时，有FG ∥平面PDE.
例4 .（1）证明：连结1DD ， 在三棱锥111ABC A B C -中，
1,D D 分别是11,BC B C 的中点， 1111//,B D BD B D BD ∴=，
∴四边形11BB D D 为平行四边形，
1111//,BB DD BB DD ∴= 1111//,AA BB AA BB = 1111//,AA DD AA DD ∴=
∴四边形11AA D D 为平行四边形，11//A D AD ∴，
11A D ⊄ 面1AB D ，AD ⊂ 面1AB D ， 11//A D ∴面1AB D 。

课后作业 一.填空题
1. 1个
2.BD
3. (1) 90︒ (2) 60︒
4.垂心
5. 相等或互补
6. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,. 二.解答题
1. 取BC 的中点M ，连接AM 、FM ，根据已知结合平面几何知识易证.
2. 证明： (1)取P D 的中点E , 连E N . 由E N
1,2
C D A M
12C D
得E N A M , A M N E ∴是平行四边形, //M N A E ∴.
又A E ⊂平面,P A D M N ⊄平面,P A D //M N ∴平面.P A D
(2)P A ⊥ 平面,A C ,P A A B ∴⊥ 又,A B A D ⊥ A B ∴⊥平面,P A D 又//,A B C D C D ∴⊥平面,P A D 则,C D A E ⊥ 再由//M N A E 得：.M N C D ⊥ (3)在等腰Rt △PAD 中, E 是P D 的中点, A E P D ∴⊥, 由//,M N A E
,M N P D ∴⊥ 又由,,M N C D P D C D D ⊥= 得M N ⊥平面.P C D
3. 证明：（Ⅰ）∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线 ∴ EF ∥AD
又∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD, ∴直线EF ∥面ACD
（Ⅱ）∵AD ⊥BD, EF ∥AD, ∴EF ⊥BD, ∵CB ＝CD, F 是BD 的中点,
∴CF ⊥BD
又EF ⋂CF ＝F, ∴BD ⊥面ECF, ∵BD ⊂面BCD, ∴面EFC ⊥面BCD
4. 解(1) 以AB,AD,AP 分别为x,y,z 轴，建立如图所示的坐标系。

则由条件知，(0,0,0),(2,2,0),(0,4,0)A C D 而：
PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 成30
角
∴4
P A =
, ∴2(0,E
∴(2,2,0)A C
=
设(,,0)H m m ， ∴(,2,E H m m =-- 由EH ⊥AC 得，22(2)00
m m +-+=，解得 1.m =
∴所求
(1,1,E H =--
-- （2
）由上得，2(0,2,A E =
而4
(0,P ，
∴(2,2,P C =- , (0,4,P D =-
记平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =
，则4220x y +-=
且4
40y z -=
解得,x y z == 取n =
则
co s ,A E n <>==
，
设AE 与平面PCD 所成角为θ
，则sin θ=
5。