线性规划问题解的基本性质和几何意义

§4线性规划问题解的基本性质
1、凸集定义：设C是n维欧氏空间En的一个集合，若C中的任意两点x(1),x(2) 的连线上的一切点x仍在C中，则称C为凸集。 即：若任意两点x(1),x(2) ∈C，存在0≤λ≤1 使得x=λx(1)+(1- λ)x(2) ∈ C,则称Ｃ 为凸集. x=λx(1)+(1- λ)x(2)∈ C称为x(1),x(2)的凸组合。 凸集 非凸集
定理4 线性规划问题（ＬＰ）的可行解集
Ｄ＝｛Ｘ｜ＡＸ＝ｂ，X>=0}来自百度文库
是凸集。 定理5 线性规划问题的可行解集 D中的点x 是顶点( 极点 )的充分必要条件是： x是基础 可行解。(极点与基可行解的等价性定理)
定理1:(LP)的可行解 是基可行解的充要条 X 件是它的非基变量所对应的列向量线性无关。
推论 1:(LP) 的满足约束方程组的任意一个解 ___ 是基本解的充要条件是它的非零分量所对应的 X 列向量线性无关。
___
定理2: 若(LP)有可行解，则它必有基可行解。
定理3:若(LP)有最优解，则一定存在一个基 可行解是它的最优解。
表3-1
x2
7
D 6 5 C E 4 3 2 1 O B l3 F
l1
l2
G 0 1 2 3 4 5 6
图3-1
A 7 8 9
10
x1
由此例可以看出：（ 1 ）线性规划问题的 每个基本解是原问题两个边界约束方程交点， （2）每个基本可行解对应于可行域的顶点。
3.2 解的基本性质
§3线性规划问题的基本性质
3.1解的基本概念
定义4 在(LP)的一个基可行解中，如果它 的所有的基变量都取正值（即非零分量恰为 m个),则称它是非退化的解；反之，如果有的 基变量也取零值，则称它是退化的解。一个 (LP), 如果它的所有基可行解都是非退化的， 就称该问题是非退化的，否则就称它是退化 的。