最优捕鱼策略

模型的分析
模型的矩阵形式
x(t+ 1) Lx(t),x(0) x 0
其中
b0 x 0 (t ) p0 x1 (t ) x(t) ,L ... ... x100 (t ) 0
利用Leslie矩阵模型递推得
b1...b99 b100 0 ...0 0 ... ... ... 0...p99 0
2 )模型建立
设xk(t)为第t年年龄为k的人口数量,k=0,1,2,...,100,(忽略百岁 以上的人口)。记 bk 是k岁人口的年生育率； pk=1-dk 是k岁人口的年存活率， dk为k岁人口的年死亡率。
根据人口发展变化的特点：时间和年龄同步增长得模型如下：
x 0 (t+ 1) k 0 bk x k (t)/2
100
x k+1 (t+ 1) pk x k (t),k=0,1...99 x j (0) x j0 ,k=0,1...100
根据人的生理特征和人口学中的习惯,育龄区间一般 取为15岁至49岁,即当k<15或k>49时,bk=0。 此模型称为Leslie模型 利用此模型递推计算，就可以得到每年各年龄组的人 口数。
(a)如果 0 < 1, lim x(t) 0
t 100 t
(b)如果 0 > 1, lim x k (t)
k=0
(c)如果 0 =1, lim x(t) c0 v0
t
我们希望(c)发生，这可以通过适当的计划生育政策来实现。
预测与控制
1 三种模型预测比较( 见书p210） 2控制 调节生育率bi 考虑Leslie模型，设bi(i=0,1,…100)是1982年的 生育率。 给他们乘以一个常数r, 使得Leslie矩阵 的主特征值为1。求得
种群生态学模型
用数学模型去定量或定性地描述人口、 生物种群等一些不易量化的复杂现象的变 化规律, 并将较抽象的数学概念与一些生 态意义结合起来。
一 人口数量的变化规律
1. Malthus模型 模型假设 记 x(t) 为t时刻该国家或地区的人口总数, 1) 忽略迁移对人口变化的影响, 2) 假设人口变化与出生率与死亡率有关，且每一 个社会成员的死亡与生育水平相同, 人口的出 生率与死亡率之差与人口总数成正比, B-D=rx, 这个比例常数r称为自然增长率,
1 dx f1 (x)+g1 (y) x dt 1 dy f 2 (x)+g 2 (y) y dt
伏特拉模型 假设函数 f1(x),f(x),g1(ｙ),g2(ｙ)都是线性的.
dx x(a1 +b1x+c1 y) dt dy y (a2 +b 2 x+c 2 y) dt
1) 互惠共存型: 每一种群的存在,都对对方有利,对对方的数量增长起促进作用,这 时c１≥０，b2≥０． (2) 捕食与被捕食型: 种群y以种群x为食物来源(或相反),这时种群x的存在对种群y的 增长有利,而种群y的存在对种群x不利.因而c1≤0,b2≥0． (3) 相互竞争型: 两种群或者互相残杀,或者竞争同一食物资源,各自的存在对对 方的增长都是不利的,因而ｃ1≤０，ｂ2≤０．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性分析
相互竞争型:
dx x(a1 b1 x c1 y ) dt dy y (a2 b2 x c2 y ) dt
2 r b0 p0b1 p0 p1b2 ...p0 p1...p99b100
二 多种群模型
研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群 数量的变化规律.
1 两种群模型
用x(t),y(t)分别表示两种群在t时刻的数量或密度, 考察x(t),y(t)各自的相对增长率,两种群模型常用的 形式是
其中r称为内禀增长率， k为环境容纳量。
Logistic模型的解为： k x(t)= k 1+( 1)e r (t t 0 ) x0 结论 x(t ) k 1. lim t 人口总数趋于其环境容纳量。 2. 当x(t) > k时,人口的数量将减少; 当x(t) < k时,人口的数量将增加。
2 Logistic模型 当人口的数量特别大时，每个社会成员之 间为生存的食物、空间和自然资源的竞争就不 能忽略。必须在模型中增加一个竞争项， 从统计学的观点来看，社会成员在单位时 间内相遇的概率与x^2成比例，故选取竞争项为 x^2。 于是， Malthus模型修改为Logistic模型
dx x2 r (x) x(t 0 )=x 0 dt k
3 Leslie模型(具年龄结构的模型)
前述模型的不足 (1) 仅有人口总数，不能满足需要； (2) 没有考虑到社会成员之间的个体差异,即不同年龄、 不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。
1) 模型假设
同一年龄的人有相同的死亡机会和生育能力。 这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数,而 且能够预测老年人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息。
x(t) Lt x0
解的渐近性态
L是一个非负矩阵，它有主特征值0和特征向量v0。 设L的特征值和特征向量为： 0, v0; 1, v1; … 100, v100; 如果所有的特征值是单根时, 将x0表示为: x0 =c0v0+ c1 v1+ … + c100 v100; 则 x(t)=Ltx0 =c0t0v0+ c1 t1v1+ … + c100 t100v100 = t0 (c0v0+ c1 t1 / t0 v1+ … + c100 t 100 / t0 v100 ) 由上式得
模型建立与求解
考虑t时刻到t+Δt时刻人口的变化
x(t+Δ t)-x(t)=(B-D)Δ t =r x(t)Δt
得
dx (t ) rx (t ), x(t 0) x 0 dt
其解为：
Malthus模型
x(t ) x0er (t t0 )
结论 当r>0时,人口将以指数规律增长。 当r<0时,人口将以指数规律减少。 当r=0时,人口将将保持常数。