动点问题(习题)含讲义

A
E B FC A
BC A
BC
2. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ A=90 °，AB =6 ，AC =8 ， D，E 分别为 边 AC
，BC 的中点．点 P 从点 A 出发，沿折线 AD -DE- EB 以每秒 3 个单位长 度的速度向点 B 匀速运动；点 Q 也从点 A 出发，沿射线 AB 以每秒 2 个单位长度的速度运动， 当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动 ． 设 （ 1）当点 P 到达点 B 时，求 t 的值． 点 （2）设△BPQ 的面积为 S，当点 Q 在线段 AB 上运动时， 求出S 与t 之 间的函数关系式． P （ 3）是否存在 t 值，使 PQ∥DB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 ， 说明理由． Q
? 例题示范
动点问题（习题）
例1：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90 °，AD=3 cm ， DC=15 cm
，BC=24 cm ．点 P 从A 点出发，沿 A→D→ C 的方向 以 1 cm/s 的速度
匀速运动，同时点 Q 从C 点出发，沿 C→
B 的方向以 2 cm/s 的速度匀速运动．当其中一点到达终点时， 另一点也
Q
P
BC AD
BC
? 思考小结
表达线段长是动点问题解题过程中重要环节之一． 段长时思考方向如下： ①利用 s= vt ，用动点走过的路程来表达；
表达线
②利用动点所走路程和线段长组合，来表达新线段长；
③和角度结合在一起，利用相似或三角函数来表达．
【参考答案】
? 课前预习
动点问题（讲义）
按要求完成下列题目： 4
A 运 动 的 时 间 为
t BE C
秒 （
A
BE C A
BE C
3. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC，∠B=90 °，AD =6 cm ， AB=8 cm
，BC=14 cm. 动点 P，Q 都从点 C 出发，点P 沿C→ B 的方向做匀速运动， 点 Q 沿C→ D→ A 的方向做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也 随之停止运动．
另一个点也随之停止运动．
设点 D， E 运动的时间为 t 秒（ t ，过点 D 作DF ⊥ BC 于点 F，连接 DE， EF．
（ 1）求证： AE= DF ．
（2）四边形 AEFD 能成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值； 如果不能，
请说明理由．
（ 3）当 t 为何值时，△ DEF 为直角三角形？请说明理由．
（0 < t ≤3 ）
综上：
S=
?2 9
t + 27 2
（3 ≤t ≤12 ）
（ 2）当 0 ＜ t ≤3 时，
15 t
S=
，为一次函数，
2
15 ∵k= ＞ 0， S 随 t 的增大而增大，
2
45
∴当 t =3 时， S 最大，为
．
2
当 3 ＜ t ≤12 时，
ì15 t
?t 2 ?
S = t 2 - 9 t + 27 ，为二次函数 ，2
∵a=1 ＞0 ， ∴图象开口向上，
9 = ， 3＜ t ≤12 ， 4
∴当 t =12 时， S 最大，为 117 ． 综上：当 t =12 时， S 最大，最大值为 117 cm 2 ． （ 3） 0＜ t ≤3 ①当∠APQ=90 °时，
AP D
B 此时， AP = EQ，即 t =3-2 t ， ∴t =1 ． ②当∠PAQ=90 °时， EQ C
3 AP D
15
BQ C
24 ② 分析运动状态，分段、定范围．
△APQ 的面积 S
3s
(1/s) P : A
D
(2/s) Q : C 15 s
C
12 s B
总时间： 0 ≤t ≤12 ，分为两段： 0 ≤t ≤3 ， 3＜ t ≤12 ． ③ 分析几何特征，表达，设计方案求解．
第 1 问，结合分段，画出对应的图形后，表达对应图形的底和高，根据公式建等 式．（当 t =0 时，三角形不存在；所以 t ≠0 ）第 2 问，借助第 1 问的面积 表达式来求解． 第 3 问，由于直角所在角不确定，分类后，画出对应图形，表达，分析不变特 征，设计方案求解．
随之停止运动．
（
1运
）动（ 2）当 t 为何值时，△ APQ 的面积最大？最大值是多少？
连的（3）△APQ 能成为直角三角形吗？如果能，直接写出 t 的值； 如果不能， 接时请说明理由．
间
A为
AP D
P
，tΒιβλιοθήκη A，求 S 与t 之间的函数关系式．
Q
，
B QC
P
Q
，
【思路分析】 ① 研究基本图形，标注信息．
【过程示范】 解：（ 1 ）当 0＜ t ≤3 时，
AP D
B QC 1
S = ′t ′15 15 t
= 22 当 3 ＜ t ≤12 时，
A D
P
B QC
1
1
1
S = ′15 ′(3 + 2 t ) - ′3 ′(t - 3) - ′2 t ′(18 -
t) 2 2 2
= t 2 - 9 t + 27 2
b 又∵-
2a
A PD
B QC 此时， CQ = AD ，即 2 t =3 ，
3 ∴t = ．
2
3＜ t ≤12 ①当∠APQ=90 °时，
AD P
B QC 易证∠APD= ∠PQC， ∴△APD ∽△PQC，
∴t =6 或 t =9 ． ②当∠PAQ=90 °时，
A D P
B QEC 易证∠PAD= ∠QAE，
（ 1）求 CD 的长；
（ 2 ）若点 P 以1 cm/s 的速度运动，点 Q 以 2 2 cm/s 的速度运 动 ，（3）若点 P 的速度仍是 1 cm/s ，点 Q 的速度为 a cm/s ，要使在运动过 连程中出现 PQ ∥DC，请直接写出 a 的取值范围． 接
AD
B
Q
，
P
BP
C
Q
，
AD
设
△
B
∴△PAD ∽△QAE，
? 巩固练习
1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠B=90 °，BC= 5
，∠C=30 °．点 D
从点 C 出发，沿 CA 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动
，同时点 E 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒 1 个单位长度的速度向点
B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，
如图，直线 y = - x + 4 和 x 轴， y 轴的交点分别为点 B，点 C， 3 点A 的坐标是 (-2 ，0) ．动点 M 以每秒 3 个单位长度的速度从点 O 出 发沿 O- B- O 方向运动，同时动点 N 以每秒 1 个单位长度的速度从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动 ．设点 M 运动 t 秒时，△MON 的面积为 S．求 S 与t 的函数关系式 ． 要求：