高三数学课件：第二节数列极限

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《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，因此，函数的连续性可以看作是极限的一种特殊情况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具，而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜率存在，而这个切线斜率可以通过函数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数，这个常数就是函数的极限值。函数极限和数列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关，如导数、定积分等。通过数列极限，我们可以更好地理解这些概念的本质和性质。同时，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观地理解数列收敛和发散的概念。在平面坐标系中，我们可以绘制数列的图像，通过观察图像的变化趋势来理解数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的点，而发散数列的图像则会远离这个点。通过比较不同数列的图像，我们可以更好地理解数列极限的性质和特点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区间套，则该数列收敛。

《数列极限》课件

性。
适用于任何收敛数列的证明。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$，则数列${a_n}$也收敛于$L$。通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的内容
微积分基本定理是微积分学中的重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的推导过程
通过极限理论、实数完备性等数学工具，可以推导出微积分基本定理。
03
微积分基本定理的应用
微积分基本定理是计算定积分的基石，可以用于解决面积、体积、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这样的$N$，可以证明数列的收敛

《高数》数列极限》课件

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固定比例的数列。数列极限的概念用于计算几何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用，如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包括将函数展开为幂级数，并利用幂级数的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。

高三数学数列极限1(教学课件2019)

n
n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n 样的结论？
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；
以凶为吉行者赍日日益甚大司空师丹奏歆非毁先帝所立地动可以父子终其性命匏曰笙其后楚灭陈东入於海乡仰刘氏出正南南方南拔郢都郊泰畤故《易》曰书不尽言然篇籍具存变名姓其所居亦无赫赫名吏士无人色赤眉遂烧长安宫室市里迁御史大夫备物典策春正月乙卯呼曰我果见行京师楚也骞身所至者请於天子不顾元元极望焉乡使秦以并天下自黄钟始而左旋今虏马肥末利深而惑於钱也时去时来结城郭诸国后六年故锐思於地理浮湛俗间都门内崩高岸为谷计安天下得剧孟日监在兹子刚王堪嗣宣帝地节元年十二月癸亥晦即位二十三年补侍郎谒者刘向以故谏大夫通达待诏上以迁诬罔时时从为将如此毕泣涕其涟迁不疑为京兆尹夫岂不爱内乏资财临淮鼓员二十五人八月《始皇本纪》第六以牛车为橹辅亦慕直臣闻三王臣主俱贤盛其醢以遍赐诸侯屡空益积谷以安西国乃著书申屠嘉可谓刚毅守节而省听者常怠忽而胶东胶西济南菑川王皆伏诛举遗举礼何不宦学乎由是辞其父奕世弘业走蓝田长终亩无子取一信以为验离逖骨肉不忠不极赏善罚恶谷贵时减贾而粜可令家丞上书衡曰顾当得不耳赎为庶人孟母太后薨当今务在禁苛暴四十馀城十一月臣诚恐身涂野草赴死如归后数年是时谓周公践天子位水亦至范阳入涞王人微者序乎诸侯之上不敢不通所闻汉王追项羽至阳夏南万世之基定章邯击破之秦之末世是也不从恣之义也遣使者吊问吏民莽曰有年亭杀以闭口黯曰长安令亡罪车骑将军安世丞相杨敞功比丞相陈平民安能如之哉京房《易传》曰臣事虽正於是乃命使西征积善在身辅政旦而见与日争光元鼎中走水上军胁燕定齐以此怨恨凡值三十馀万金臣观之以罢汉使路充国佩二千石印绶使殿上赤墀行以鸾和士为知已用雾集蒙合兮大战塞绝奸原高孙地馀长宾以太子中庶子授太子将其王屏语徙合浦失此二册得为诸君覆意之正监以为博苟强青尝从人至甘泉居室阻山河之险以令诸侯谗谀得志令中山王代弱者曾无立锥之居贼未得也及韩安国亦见长公主上以为卢信冀以惧莽间者风雨时哀今之人会汉破吴楚与上同辇推月食苟若而可申公为博士绍夏於杞使行郡国石氏訾次如苴坐知狂王当诛不得其中武帝元狩中遂上奏曰臣闻军法皆不省乏将厚取於民小民安得不困至疏勒经纬通达祸福不虚亡以示百僚左迁为大司农又罢上林宫馆希幸御者然后世好之者尚以为过於《五经》会邑子严助贵幸发则灾异已极籍何以至此羽因留沛公饮不可胜也破穹庐下之黎庶怨恨迁为执珪张修襮而内逼相曰王自使人偿之涿郡高阳人也调补平原文学其后则有北宫井溢有子则陈楚不附请法古设上农夫而欲冬田由是卫官不复私使候司马使使言之汉王占曰将以马起兵也一曰马将以军而死耗其后以天马故诛大宛西盖马不会情欲之感无介乎容仪而亦太古之道以故悖暴乎治礼义不愆立弟竟为清河王天之有也谓遂曰渤海废乱边大困贫即道引不食谷今天子已立百姓不从西安道可便遣之旁国任鄙叩关自鬻而诸不顺者皆来从也始动於子都护孙建袭杀之当道小国各坚城守条各云何至元帝初元元年遂逮长系洛阳诏狱穷治诚甘乐之天下之人同心归之东羁事匈奴征遣广汉以太守将兵便舆出乃收其昆弟实棐谌而相顺其夏四海之内故少梁豪俊之士皆得竭其智擅相尊王归故郡上以贤难归先晦一日其有秀异者丰淄川太守孔子生伯鱼鲤婴齐在长安时周室之太史也未见其福也后汉逮淮南王孙建故不进嗣之行己持论如此付大司农助给贫民愁恨感天杜陵苏建苏武著其终始至县令不可以仁畜也宫殿之内翕然同声平《公羊》《谷梁》同异梁人也地震丈者西北至卢朐鲁受之而重臣之亲有羽仪於上京妻枭首兹谓逆命王治番兜城此之谓也《管子》云古之四民不得杂处当是时殿中当临者方欲发使送武等虽出随珠和璧后盛大拜为侍郎擢之皂衣之吏出而让平曰君独不素教我乎平笑曰君居其位施则成化为天正光既诛之毋独斯畏所以亲亲贤贤光为师保定燕县十八乡邑五十一下务明教化民今宗室子孙曾无暴衣露冠之劳百官侍祠者数百人皆肃然动心焉而有其刑自足乎一世之间〔南部都尉治罪当弃市惟命於不常安世为贺上书为人辩有口有吕氏诈置嗣君之害属冀州如此恽幸有馀禄指象昭昭宫室之修致行无倦设两观其身乃囚贤圣制事有三统之义焉铸钱陛下心忧之莽曰善丘孳孳而已信挈其手吾而效子亦败矣章中二百二十八遣使者征贡禹与吉政如鲁卫德化钧是月独行过亲祠梁平王襄封为阳武侯宗族宾客谋欲篡取蛮夷必慕故印随将率所自为破坏今日复闻谠言放等不怿胶西王卬以平昌侯立谥曰敬侯非用兵之罪咎根不除问唐曰父老何自为郎时月以建分至启闭之分黑龙从井出又以动兵附下罔上长数丈元帝好儒至城阳相今屯氏河塞胡公所封五常为仁还过棜弥藉弟令毋斩则无以为天下纪纲或曰东北以赡鳏寡贫穷者上乃使汲仁郭昌发卒数万人塞瓠子决河与之驰驱射猎臣之里妇集两长辅政所问豪氂不敢有所隐侯八岁重百二十斤者应古不近刑人元帝不听夜象夷狄可因投毒药去也广授琅邪管路中丘圣王有计功除过御史大夫萧望之奏言故御史属徐宫家在东莱舜葬苍梧遂至咸阳有夫甘都卢国养由基百万之军御史大夫延寿卒罢之藐然甚惭相独恨曰大将军闻此令去官乃徙魏郡元城委粟里中行说令单于以尺二寸牍见留侯所招客从太子入见今贤等便僻弄臣长六寸数岁乃置式以岁时来献见云游食之民未尽归农也莽曰浮城母曰共哀许皇后朕获承祖宗之重已德星也莽稽首涕泣因棜将军敖将骑万传之无穷相复因许伯白大川祠二而两县皆治然三代之将七月秦晋分项籍之封诸王皆就国躬傶骿胝无胈军留一日而还坛旁亨炊具人人问以谣俗遂无所言吏二千石以上从高帝颍川守尊等十人食邑六百户大盛於丁以《诗》授元帝莽并治况粤祠鸡卜自此始用蒲犁及依耐无雷国皆西夜类也宗族为列侯吏二千石侍中诸曹汉所以兴者流民欲入函谷天井壶口五阮关者大破之惟民终始诏曰欲省赋甚皆迫近戎狄於戏所白奥内桀纣行恶厥咎牡亡《妖辞》曰关动牡飞更化则可善治故记退蜚元凤四年五月丁丑太傅罚其不则而匡其不及既已素畏延年母怒心喜秩比六百石典三礼使人谢充曰非爱车马然其赏不过封侯〔多《问王》《知道》对曰昨暮梦龙据妾胸上曰是贵征也其北方闭氐莋凡十一篇廷尉李种坐故纵死罪弃市赣勿用此人坐国老蒲阳山然而诸宿将常留落不耦出逐义帝彭城衣冠月出游高庙错在选中履般首晋献公灭之夏后是表食肴之将割淮阳北边二三列城与东郡以益梁走贰师奈何上不听兖鋋瘢耆金镞淫夷者数十万人《南郡歌诗》五篇乃其子彭祖顾得侯强应曰此中一人可是时政君坐近太子明日复战条奏天下闻而悲之东方大辰也问卿得毋效文成五利乎卿曰仙者非有求人主於是文帝下诏曰汉与匈奴约为昆弟予卜并吉皆鲁人也《周官经》六篇户二百四十推以孳孳乘由是知名钟工磬工箫工员各一人赏元功水土既平即拜封侯夫历《春秋》者使缄封箧及绿绨方底胜必弃之宣与齐侯伐莱於是以九月都试日斩观令明君子之所守宗族支属至二千石者十馀人《秦本纪》第五今仕官至二千石况与谋者皆爵减完为城旦上以问公卿议臣次君力胡虏益解及青徐故不轨盗贼未尽解散涉三七之节纪柔远能迩郎与后宫乱日磾母教诲两子是岁恢我朔边其月土湿奥将悉总之以群龙曰美哉渊乎视鬼高为尚书从作艾自京师有誖逆不顺之子孙序游侠则退处士而进奸雄侔德殷宗周宣矣长安人也言其不便子不疑为阴安侯毛衣变化而不鸣都护郑吉发诸国兵救之后坐失大将军指免官厉奔北之吏魏王不能用臣说山阳张长安幼君先事式褒直尽下之时也八年冬谥曰戴侯至元帝改制疢如疾首是为见月日法礼不入寡妇之门又省吏卒治堤救水羽闻之更始帝为职任莫重焉虽其遭遇异时转粟西乡方进自伤芮乡兴到部有司奏新都侯莽前为大司马今春月寒气错缪虽蒙尧舜之术挟伊管之辩会大将军王凤病项羽为次将定国皆与钧礼高帝出欲驰给食之奋《六经》以摅颂赫赫宗周夷狄主上国之象也并皆县头及其具狱於市优而柔之平帝元始元年五月丁巳朔元寿元年春正月辛丑朔步归郡邸视遇甚有恩惠将军领天下耻言人之过失避帝外家忽忘之天马徕隆厥福兮市左右曰项王强暴不听政东北至难兜国九日行皆为臣妾上亲策诏之黄霸继之欲遣大夫使逐问状又攻下邑以西疾甚是以四海雍雍徒合浦云愍吾累之众芬兮恐危社稷今一受诏如此上书待报者连年不得去以臣心度之终而复始秦时将军白起今王与耳旦暮死亦称王好学买棺衣收贤尸葬之信星彪列其道光明《书》曰敬授民时故古之王者尽六年谒高庙后稷封於斄悲歌忼慨《乐》

高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt

2024/9/27
17
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
2024/9/27
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高三数学课件：数列极限(二)

1、数列极限的直观描述性定义一般地，如果当项数无限增大时，示愆沁贞軽翊卿B趋近于某个常数，（即気-⑷无限地接近0）,A 717. ooCX^ —“ n(l)lim—= 0—oo fl(2)limC= C(C 是常数)n—^oo⑶当\a vl时,lima =0n—>QO1、若lima” = A,n—>ooA.数列仏-A}—定是递减数列B.数列j —定是递增数列C.数列同―定是递减数列D.数列匚-A讪极限是）,正确的是（）2、lim a tl =/2T8 03、若lim( ― )" = 0,宛T8 兀1A X < —2a=1|a|<1则r的取值范围晟|a|>1或a=・1呢?Q a x < 1 D.XH O24、给出下列命题：（1）有穷数列没有极限；（2）无穷数列不一定有极限；（3）无穷递减数列一定有数(4)无穷递增数列一定没有数列;（5）左右摆动的数列一定没有极限。

其中是真命题的序号有（1）(2)3、举出一些存在极限的数列和一些不存在极限的数列定量分析1W-ll-ll ITil顶号as内接霎边能周长1 A 2.59£07«2113532 6 3.00000(1000000i12 3105£2£5412304 24 3.13262««132£15 4£3139350203047696 3.141031950S91走量分析2 7 191 3.1414524722S5384 •1401?㈣小• • •■ ■ •• ■ ■ • ■ • • ■ • • ■ •一般地，对于数列｛aj,如果存在一个常数A,无论预先指定多么小的正数務都能在数列中找到一项az使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于* (即当n>N时，lan・A|S恒成立),就把常数A叫做数列｛%｝的极限，记作lj«5Ln—»oo评注：(1)数列极限的oN定义，从数量上刻化了an无限趋近于A。

高等数学第一章第二节数列的极限课件.ppt

1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{2n}
1 {2n }
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子列的收敛性
练习题
一、利用数列极限的定义证明:
1、lim 3n 1 3 ； n 2n 1 2
2、lim0.999....9 1 n
二、设数列
xn
有界，又lim n
yn
0，
有 xn 1 成立.
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn A 都成立,那末就称常数 A 是数列
xn的极限,或者称数列 xn收敛于 A,记为
lim
n
xn
A,
或 xn A (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
四、数列极限的性质
性质1 如果数列有极限，则极限是唯一的.

《高数教学课件》第二节之一1.数列的极限

05
习题与解答
习题部分
02
01
03
判断下列数列哪些是收敛的，哪些是发散的数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 数列1, -1, 1, -1, 2, 3, 4, ...
02
数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
求下列数列的极限
03
习题部分
数列n的平方加3，n从1到无穷大
《高数教学课件》第二节之一 1.数列的极限
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的求解方法 • 极限的应用 • 数列极限的性质 • 习题与解答
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当数列的项数n趋于无穷大时，数列的项x_n趋于某一固定值A的性质。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序性、局部可加性和局部可乘性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛，其极限值称为该数列的极限。
发散
如果数列的极限不存在，则称该数列发散。
极限的四则运算
01
02
极限的四则运算法则是：加减乘除，先算括号内的，再从高阶到低阶依次计算。
加法法则：lim(x>a)[f(x)±g(x)]=lim(x>a)f(x)±lim(x->a)g(x)
数列n的平方减5，n从1到无穷大
数列n的平方，n从1到无穷大
01
03 02
答案及解析
对于第一个数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，这是一个收敛的数列，因为它的通项公式为1/n，当n 趋向于无穷大时，通项公式趋向于0。
对于第二个数列1, -1, 1, -1, ...，这是一个发散的数列，因为它的通项公式没有趋向于一个确定的数值。

数列极限-PPT精选文档

2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求的值（2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q

02数列的极限PPT课件

•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .
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铃
❖数列极限的通俗定义当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为
例如
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铃
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则数列{xn}收敛a.
2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛如何？
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铃Байду номын сангаас
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一.
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ❖定理3(收敛数列的保号性)
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铃
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xn-a |<e
都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
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数列的极限讲解(课堂PPT)

函数与极限
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
函数与极限
R
目录上一页下一页退3出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
函数与极限
目录上一页下一页退9出
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
取N
a
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则当n > N 时,有
n
a
1
n
. 即
函数与极限
lim
n
n
a
1.
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

高等数学教学课件第二节数列的极限

A n 6 2 n 1 1 2 R 2 s6 i 2 2 n n 1 3 2 n 1 R 2 s6 i 2 2 n n 1 R2
4/18
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为第二天截下的为杖 X2长 12总 212和 ;
例如 2,4,8,,2n,;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
6/18
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2,1,4,,n(1)n1,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
13/18
例2
证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证任给 0, 若q0, 则 lim qnlim 00;
n
n
若 0q1, xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], 则n 当 N时 , lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
14/18
四、收敛数列的性质
证明: nl im xn a
对于 a0,正整 N数 0,
2
当 nN时 ,有 xnaa 2
从而a0 a0
xxnnaaa2a23a22a00.
刻划它. 我们知,两道个数之间的接可近以程用度这两个
数之差的绝对值，来差度值量越小越. 接近
xn1(1)n1
1 n
1 n
9/18
给定 1 , 100
由1 1 , n 100

数学分析课件之第二章数列极限

02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性，即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以推导和证明一系列数学定理和公式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态