高中数学必修内容复习15-复数

高中数学选修容复习（15）---复数
一、选择题：
A. 3i
B. 3i C 3i
D 2i
2 .设 a, b R 且 b
0，若复数（a bi ）3是实数，则（
)
A. b 2
3a 2
B. a 2
3b 2
C b 2 9a 2
D 2 c,
2
a 9b
3.设 a R ,且(a i ）2i 为正实数，
则
a (
)
A. 2
B. 1
C 0
D
1
4.在复平面，复数 z sin 2 i cos2对应的点位丁（）
A.第一象限
B.第二象限
C. 第三象阪 !
D. 第四象限
5、若复数（a 2 3a 2） （a 1）i 是纯虚数，则实数a 的值为（
)
A.1
B.2
C.1 或 2
D.-1
6、已知0 a 2 ,
复数z 的实部为 a ，虚部为1 ,则
z 的取值围是（
A. (1,5)
B. (1,3)
C. (1,四
D. (1而
7、i 是虚数单位， ■ 3 •- i i 1 / X
..()
i 1
A.
1
B. 1
C.
i
D.
i
1
1
8、复数 --
1
2.的虚部是（）
A.1i
B.
1
C. 1. _i
D.
1 5
5
5
5
1.已知复数 z 与(z
（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
3）2 18i 均是纯虚数，WJ z （ ）
12、虚数（x — 2） + yi 其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1
是（
）
A - 3 .3_
A
[— T' T]
C. [— d3 , V3 ]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
............... 1 i
13 .右将复数J 表小为a bi （a,b R,i 是虚数单位）的形式，则
1 i
a b .
14、 方程x 2+|x|=0在复数集的解集是 15、 复数 z 满足（1+2i ） z =4+3 i,那么 z=.
16、 若z 是实系数方程x 2 2x p 0的一个虚根，且z 2，则p .
三、角牟答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
9、设z 的共钥复数是z ,若z z 4, z z 8 ,则一等亍
z
1
( ) A. i
B.
i
C. 1
D. i
10、复数 1 i i 2 i 3 川 i 2006 ()
A 、 0
B 、 1
C 、i
D 、1
11、如果复数 z 满足|z-1|+|z+1|=2，那么|z-1-i|的最小值是 A. 2
B. 1
C. 2
D. 不存在
时，y 的取值围
x
B .[
号0) U ((0彳
D. [- V3 , 0) U (0, V3 ]
17 .已知复数z满足z z =4，且|z+1+】3i|=4，求复数z.
18 .求复数z,使它同时满足:
(1) |z-4|=|z-4i| ;
14 z —、，，
(2) z+ -------- 是实数.
z 1
19 .满足z+5是实数，且z+3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在，若z 存在，求出虚数z;若不存在，请说明理由.
1
2°.已知集合A={z||z-2| < 2}, B=y=b ‘ 水A, " R}.
(1) 若An B=①，求b的取值围；
(2) 若An B=B,求b的值.
1 、一 3 一
21、已知复数z i、Z2《两足|z i|=|z2|= 1,且z i + z2=2 ~2 i.求z i、Z2 的值.
22、设z是虚数,w= z+ —是实数，且一1 < 3<2. z
(1)求|z|的值及z的实部的取值围;
(2) 设u=-—，求证：u为纯虚数;
1 z
(3) 求w— u2的最小值.
高中数学选修容复习(15)一复数
参考答案
1、B 解：设z bi(b R且b 0),则(z 3)2I8i (bi 3)2I8i
9 b2 (18 6b)i ,故9 b20且18 6b 0, . . b 3 ,即z 3 ,故选B.
2、A 解：(a bi)3 a33a2bi 3ab2b3i (a3 3ab2) (3a2b b3)i ,因是实
数且b 0,所以3a2b b30 b23a2
3、D.解：a i 2i a22ai 1 i 2a a2 1 i 0,a 1；
4、D.解：因sin 2 0,cos 2 0所以z sin2 i cos2对应的点在第四象限，
5、B解：由a2 3a 2 0得a 1或2,且a 1 0得a 1 a 2 (纯虚数一定要
使虚部不为0)
6、C 解：z Ja21，而0 a 2,即 1 a2 1 5 , 1 z <5
7、A 解：i i 1 i(i1)I选A.
i 1 i 1 i 1
8、B解：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。

依题：
2 i 1 2i 5 5 5
9、D 解：本小题主要考查共钥复数的概念、复数的运算。

可设 z 2 bi ,由
z z 8得4 b 2
8,b
2. z z
2
z 8
2
2 2i
i.选 D.
8 10、C 解: 法一: 1 •・2・3
1 1
1 III
.2006
i 2007
1 i
1 i . i
1 i
法
11、B
二
1
:
-
・2
1 1
由
■3
i
・ n . n 1
i
i
2006
i
・n
i
1 2
. n i -
・2 1 i
3
0 ( i
n €
N*
)
14、{0, i, -i}
故 z=2+ i.
16、4解：设z a bi ,则方程的另一个根为 z a bi,且z 2
Va 2b 2 2,
由韦达定理直线z z 2a 2, a 1,
b 2 3,b
V3,所以
p z z ( 1
,3i)( 1 、.3i) 4.
17 .解：设 z=x+yi(x , y € R),则(x yi )(x yi )4，x 2 寸 4,
解得 y=。

3 ,
I x yi 1 3i | 4, (x 1)2 (y 3)2 16,
12、 B 解:
(x 2)2 y 0
原点的直线斜率，作图如下 Kv -1 如 乂 .• v 丰 0
.3 3 •••k 丰0
由对称性选B
13、 1解:
15、答案:2+I 解：由已知z
3i
4 1 2i
(4 3i)(1 2i) 4 6 (3 8)i
i , •■- a
—则k 为过圆（x — 2） 2 + y 2 = 1上点
及
x=1 , z=1+ V3i.
18 .解：设z=a+bi(a , b € R),代入(1)得a=b，贝U a=a+ai，代入(2)得
a+ai+ 14 a ai e R,贝U a2[1- 13 =0 , a=0 或a=-2 或a=3,所求复
a ai 1 (a~1p_a2
数为z=0, z=-2-2i , z=3+3i .
19.解：假设存在虚数z,则设z=a+bi(a , b € R,且b丰0), WJ
a bi R,
a bi
a 3
b 0, 5b b -------
2 2
a b
a b 3.
2 2
0, • b 丰 0, . . a b5,解出a
3, b
〈或
2
a"•.存 b
1.
在虚数Z I =-1-2i 或z2=-2-i 满足上述条件.
20 .解：由B 中元素z= 1
z〔i+b ,得
2
z1=-i(2z-2b) Z I€ A ,
|z-2|=|-i（2a-2b）-2| <2,即|z-b-i| < 1, .•集合B 是圆心在（b, 1）,半径为1的圆面，而A是圆在（2, 0）,半径为2的圆面.
(1) 若 A n B=中，则圆面 A 和圆面 B 相离，(b-2)2+1>9 ,二b<2-2 42 或
b>2+2也.
(2) 若A n B=B,二B A, (b-2) 2+1 < 1 ,二b=2 .
21、.解:由|Z I + z2|=1 ,得(z〔+z2)( z1 z2) =1 , 乂|Z I|=|Z2|=1 ,故可得Z I z2+ z1 z2=
一——— 1 一一，，一，，一
j、，
一1，所以Z I z2的头部=z1 z2的头部=—3 .乂| z z2| = 1，故z1 z2的虚部为
i 一 1 , 贝U w=a+ bi+ ------ (a
a bi
因为w 是实数，b 冬0,所以a 2 + b 2=1 , 即 |z|=1.
z z 2=-
于是z 1+z
-1± 2
驾
3
2、
^_3 2
_ , 1 z 2-z 1
( 一 2 •\
1
3
i) 2 2
3、 一i). 2
i , 所以
z 1 =
1 z 〔 ,z 2=
1
1 2 、•. 3 .
十
——i 或z 1- 2
1 2 1 2 2 3. 所以
z 2
1
2 3.
i
2
，或z
1
z 2
2 1
i 2
.解： (1) 设 z=a+bi, a 、b € R, b 丰0
22、 i , Z 2=1. 丁是 w=2a, — 1 <w=2a<2,
1 < a< 1,
2
所以 z 的实部的取值围是（一
(2)
1 a bi 1 1 a bi 2
a (1 2
b 2
2bi
""2 2
a) b
因为
1
2'
1), b 丰0,
所以 u 为纯虚数.
(3)
b 2
2a 2 (a 1)2
2a 3 2a (a 1)2 a 1 c , 2
2a 1 ——
a 1 a
2[(a 1)
土] 3.. a
1
^)i
因为a£ (—1, 1)，所以a+1 >0,
2
故w — u2>2 2 矽(a 1) ———3=4 — 3=1.
a 1
当a+1= —，即a=0时，w— u2取得最小值1.
a 1。