初等模型

排列组合及其他模型
旅游景点的选择模型
家住成都的小张准备暑假带孩子到北京及附近城市去
旅游，成都某旅行社开辟了以下两条旅游线路
线路一
北京、北戴河、天津
线路二
北京、沈阳、哈尔滨
另外，旅行社还告知小张，他也可以在两条线路中任选
一个或多个城市旅游。
（1）若北京是小张必选的旅游城市，则他有多少种选 择方式。 （2）若从成都到北京必须在西安转机，从成都到西安 有 2 个航班，从西安到北京有3 个航班，问小张从成都 到北京共有多少种航班安排方式？
二、模型的分析与建立
由以上分析可知，当 x 24 时按实际人数购买门
票；当24 x 40 时选择按 40 人团体票 6 折优惠购
买门票；当 x 40 时选择团体票 6 折优惠购买门
票。参观团实际需要支付的门票费用模型如下：
5x y 120
60% 5x
0 x 24 24 x 40
0.4724x 0.2295y,0 x y 60,
Z
0.4724x 0.4724x
0.2295 y 0.2295 y
(x y 0.08
60) 0.08,60 40 0.11(x y
x y 100, 100),100 x
y
150,
0.4724x 0.2295y 0.08 40 0.11 50 0.16(x y 150),150 x y
这里 x=200.y=100，因为 x+y=300>150，所以将 x=200， y=100 代入电费模型中的第 4 个，得 Z=150.13 元。 建议：由于夜间电价不到白天电价的一半，所以居民应 尽可能地在 23:00~次日 7:00 时段用电，如一些耗电较 高的电热水器等可设置在夜间工作。另外，由于用电 越高，电价越高，所以，倡议居民养成节约用电的好 习惯。
一、模型假设与变量说明
1、假设一个参观团可以购买参观团人数的 门票数；
2、设参观团有x人，实际购买门票费为y 元，按x人购买x张门票费用为z元。
二、模型的分析与建立
若按参观团实际人数购门票，门票费用模型为：
z
5x 60%
x 40 x 40
在实际购买门票时，当x接近40人时，通过粗略 分析可知，按实际人数购买门票的费用可能高 于按40人购买团体票打折门票的费用。
二、模型的分析与建立
事实上，按40人（团体票）购买享受6折优惠 的总门票费用为60%*5*40=120元，而这一 门票总费用相当于只购买了24人的门票。因
此当 24 x 40时，按40人购买团体打折票
的费用低于按实际人数购买门票的费用；当
0 x 24时，按实际人数购买门票的费用
低于120元，可以按实际人数购买门票。
二、模型的分析、建立与求解
同理，在线路2中，小张也有4种选法。 综上分析：利用加法原理,共有4+4=8种 选择。（其中线路1和线路2中只选择北 京一个城市旅游，可看做有重复，结果 为7也对）。
出版社给作者的报酬 y（单位：元）为版税与稿酬和。
出版社 A 给作者的报酬为
y1
6%np,0 n 3000, 8%(n 3000) p 2(n
3000)
6% 3000 p, n
3000
即
y1
6%np,0 8%np
n 3000, 2n 60 p 6000, n
3000
出版社 B 给作者的报酬为： 0,0 n 4000,
合理化的用电建议。
一、模型假设与变量说明
1、电表能准确地显示每户居民各时段的月 用电量，且无公摊；
2、假设收费标准按月执行； 3、设Z为“一户一表”居民的月电量，居民
一个月内在时段7:00~23:00期间的用电 量为x，时段23:00~次日7:00的用电量 为y。
二、模型的分析建立与求解
居民的月用电量应为在时段 7:00~23:00 的用电量 x 与 在时段 23:00！次日 7:00 的用电量 y 的总和，当总用 电量超过 60kwh 而未超过 100kwh 时，超过 60kwh 部分的电量，居民需支付额外电费，以此类推。模型 如下：
8%np 2n 60 p 6000 10%np 3n 400 p 12000
解之，得
n
6000 340 2% p 1
p
4000
于是，得以下结果
（1）
当销量
n
6000 340 2% p 1
p
时，选择
A
出版社；
（2）
当销量
n
6000 340 2% p 1
p
时，选择
A、B
出版社所
得的报酬相同，此时，作者可以在 A、B 两家
x 40
三、模型求解
当x=32时，实际需要支付的门票费 用y=120元；当x=40时，实际需要支付 的门票费用y=120元；当x=50时，实际 需要支付的门票费用y=150元。
拓展思考：
如果门票收费标准为：每人5元，20人以上 （含20人）40人以下（不含40人）的团 体票每人少1元，40人以上（含40人）的 团体票以6折优惠，请建立门票费用的函 数模型，并给出相应的购票策略。
y2 10%(n 4000) p 3(n 4000), n 4000 即
0,0 n 4000, y2 10%np 3n 400 p 12000, n 4000
三、模型求解
这里 y1, y2 均为分段函数 ， 当 n 4000 时 ， 显然 y1 y2 0 ，所以选择 A 出版社，当 n 4000 时，令 y1 y2 ，即
“薄利多销”、“量大从优”是一个重要的营销手段。一方 面它给顾客带来实惠，另一方面它增加了商家的销售 量。如何确定优惠方案，或打折方案也是一门学问。合 理的优惠方案会刺激消费，大大地增加消费量。达到增 加商家利润的目的，在制定优惠方案时，首先要考虑商 品的属性，是耐用品还是易耗品，是生活必需品还是奢 侈品，不同属性的商品价格对潜在的购买力的影响是不 一样，从而对商品销售的影响也不尽相同。一般来说， 耐用品和奢侈品的价格对市场销售量的影响要弱一些。
入银行，没有闲置； 4、设老人的年收入为I（万元），购买公司的债
券的金额为x万元，则存入银行的金额为100-x 万元，公司债券的年回报率为r1,银行存款的年 回报率为r2。
二、模型的分析、建立与求解
问题（ 1）
刘艳红老人的年收入 I（单位：万元）为购买公司债
券的红利收入 xr1 与银 行存款的利息收入 (100 x)r2 之
即
0.4724x 0.2295y,0 x y 60,
Z
0.4724x 0.4724x
0.2295 y 0.2295 y
(x y 60) 0.08,60 x y 100, 3.2 0.11(x y 100),100 x y 150,
0.4724x 0.2295y 8.7 0.16(x y 150),150 x y
出版社的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的版权。A出版 社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版 税；超过3000册部分支付8%的版税另加每 本2元的稿酬。B出版社给作者的稿酬为： 前4000册不支付版税，但超过4000部分将支 付10%的版税另加每本3元的稿酬。请问作者 应选择哪一家出版社？
和。因此建立模型如下：
I xr1 (100 x)r2 0 x 100
即
I (r1 r2 )x 100r2
将问题中的已知数据代入模型，得
I (5.5% 3%) x 100 3%
2.5% x 3(0 x 100)
问题（2） 由问题（ 1）建立的模型可以看出，老人的年收入 I 与购买公司债券的金额 x 万元有关。已知年收入I=4.5 万元，要求投资公司债券的金额 x。将年收入 4.5 万 元代入模型，得 4.5=2.5%x+3.解之，得 x=60（万元）
多元函数模型
在实际建模中，有时由于情况复杂，影 响决策变量的因素有多个，这时可以根 据需要建立多元函数模型。
居民电费模型
在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励“错峰”用电， 四川省电网居民生活电价表（单位：元/kwh）规定“一户 一表”居民生活用电收费标准如下：
（1）月用电量在60kwh及以下部分，每日7:00~23:00期间 用电，每千瓦时0.4724元；23:00~次日7:00期间用电， 每千瓦时0.2295元。
一、模型的假设与变量说明
1、线路一与线路二不能交叉，即这两条线 路是相互独立的。
2、只在旅行社提供的线路中考虑。 3、在西安转机到北京的航班可以考虑不在
同一天。
二、模型的分析、建立与求解
问题1 在线路一中，选择方法有 只考虑一个城市：1 考虑二个城市：3选2-1 考虑三个城市：3选3 共1+2+1=4种选法。
初等模型
预备知识：
初等数学的代数、三角、几何、平面解 析几何和排列组合知识
学习目标：
掌握数学建模的基本方法与步骤； 掌握建立初等模型的方法
学习内容
一、一元函数模型 二、多元函数模型 三、排列组合及其它模型
一元函数模型
理财模型
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的 房屋搬进敬老院。有人向她建议将1百万用去 投资，并将投资回报支付各种保险。经过再三 考虑，她决定用其中的一部分去购买公司债 券，剩余部分存入银行。公司的债券的年回报 率是5.5%，银行的存款年利率是3%。
所以如果刘艳红老人希望获得 45000 元的年收 入，则至少要购入 60 万元的公司债券。
如今，理财已走进千家万户，在花样繁多的理财 产品（如公司债券、银行理财产品、股票、基 金、银行利息、保险、房地产等）中，有的风险 大，投资时间长，收入高；有的风险小，投资时 间短，收入低……如果不考虑投资风险，投资时 间等因素，且预期收益明确，就可以利用初等数 学的方法，建立初等模型，通过计算和比较，在 这些理财产品中做出明智选择，以确保预期收 益。
（2）月用电量在61kwh至100kwh部分，每千瓦源自文库提高标 准0.08元。
（3）月用电量在100kwh至150kwh部分，每千瓦时提高标 准0.11元。
（4）月用电量在150kwh及以上部分，每千瓦时提高 标准0.16元。
根据以上规定，建立该地区“一户一表”居民用电量与 电费之间的函数关系模型，若某户居民6月份的用电 量为：7:00~23:00期间用了200kwh，23:00~次 日7:00期间用了100kwh，请计算这户居民6月份应 该缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一个
拓展思考
1、 请你给出当地 电费 、 水费 、 天然气费 等 的 函数模型 ， 并给出 合 理的使用建议 。
2、 请根据 你的调查 确定 一个家庭 （ 按人口算 ） 水 、 电 、 天然气 的 最低月用量 ， 你有更好的价格方案吗 ？
中国人口众多 ，各种资源十分匮乏 ，因此 ，政府提出了 “ 建立节约型 社会 ” 的口号 。水 、电 、气 、粮食 等 式 每个家庭 的 必需品 ，每个家庭 浪费一点 ，全国浪费的数字惊人 。因此 ，有必要了解 每个家庭 的基本 用量 ，制定合理 的 收费方案 ，保障居民 的 基本生活 需要 ，限制铺张浪 费。
出版社之间任选一家；
（3）
当销量
n
6000 340 2% p 1
p
时，选择
B
出版社。
拓展思考：
1、如果出版社C提供7%的版税，问作者又 该如何做出选择？
2、如果出版社D提供版权费10万元，问作 者又该如何选择？
3、请分析书的定价对作者选择出版社有何 影响？
案例多选：
【参观购票策略模型】某展览馆为鼓励 团体消费，门票收费标准为：每人5 元，40人以上（含40人）的团体票6折优 惠。试建立门票费用模型，简单分析购 票策略，并分别计算当有32名、40 名、50名学生入馆参观时需要支付的门 票费。
一、模型的假设与变量说明
1、假设该书的定价是固定的，与选择的 出版社无关。
2、假设该书的销售量是固定的，即选择 哪家出版社对销售量没有影响；
3、假设出版社的稿酬均按销售数量计； 4、设作者选择A,B两家出版社所得的报
酬分别为y1,y2（单位：元），销售量 为n册，书的定价为p元/本。
二、模型的分析与建立
（1）假设老人购买了x万元的公司债券，试建立 她的年收入模型。
（2）如果她希望获得45000元的年收入，则她至 少要购买多少公司债券。
一、模型假设与变量说明
1、假设不考虑投资公司债券的风险； 2、假设公司债券的红利与银行的力学系都是按
年支付，且利率固定； 3、假设老人将1百万全部用去购买公司债券或存