初等模型
数学建模培训讲义-建模概论与初等模型
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在 乘以转过的长度,即 右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手,认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢 谢!
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的,
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模 型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成 由假设1,f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据:
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619
第一节初等模型
第一节初等模型解决实际问题,应尽可能用简单而且初等的方法建模,方法简单而初等,容易被更多的人理解接受和采用,就更有价值。
下面举的例子,虽然不是很复杂,但告诉我们,只要仔细地观察生活,你就会发现,在我们周围处处存在着可用数学解决的问题。
一、代数法建模[例8.1.1] 椅子问题在我们周围的日常生活中,到处都会遇到数学问题,就看我们是否留心观察和善于联想,比如有这样一个问题(你或许认为这个问题与数学毫不相干):4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上,4条腿能否一定同时着地?模型假设:(1)椅子的四条腿一样长,4脚的连线是正方形。
(2)地面是数学上的光滑曲面,即沿任意方向,切面能连续移动。
建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量,并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。
假定椅子中心不动,4条腿着地点视为几何学上的点,用A、B、C、D表示,将AC、BD连线看作x轴、y轴,建立如图8.1.1所示的坐标系。
引入坐标系后,将几何问题代数化,即用代数方法去研究这个几何问题。
图8.1.1人们习惯于,当一次放不平稳椅子时,总是转动一下椅子(这里假定椅子中心不动),因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转。
设为对角线AC转动后与初始位置x轴夹角,如果定义距离为椅脚到地面的竖直长度。
则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零,由于椅子位于不同位置,椅脚与地面距离不同,因而这个距离为的函数,设──A、C两脚与地面距离之和;──B、D两脚与地面距离之和。
因地面光滑,显然,连续,而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”,即对任意的,,总有一个为零,有。
不失一般性,设于是椅子问题抽象成如下数学问题:假设:,是的连续函数,且对任意,。
求证:存在,使得。
证明:令,则将椅子转动,对角线互换,由和,有,,从而。
而在上连续,由介值定理,必存在使得。
即。
又因对任意,从而。
即在方向上椅子四条腿能同时“着地”。
椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好实例,从中可受到一定启发,学习到一些建模技巧:转动椅子与坐标轴旋转联系起来;用一元变量表示转动位置;巧妙地将“距离”用的函数表示,而且只设两个函数,(注意椅子有4只脚!);由三点定一平面得到;利用转动并采用了介值定理使得问题解决得非常巧妙而简单。
姜启源《数学模型》第四版第二章初等模型-PPT文档资料-课件-PPT文档资料
决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用 激光的波长,和驱动光盘的机械形式.
调查和分析 数据容量 • 信道长度
• 线密度 激光波长
• 激光波长 • 驱动形式
• 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑 所携带的信息,必须精确地聚焦.
• 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑.
• 为了提高存储数据的线密度,应该使光斑尽量小, 而光斑的大小与激光波长成正比.
每一圈螺旋线上存储 同等数量的数据信息
各圈螺旋线上数据 的线密度不变
容量取决于最内圈的长 度、线密度以及总圈数
容量取决于固定的线 密度和螺旋线总长度
从光盘的容量比较,CLV优于CAV.
数据读取时间: CLV每圈转速不同,当读出磁头在内外 圈移动时,需要等待光盘加速或减速,而CAV不需要.
对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息,多用CLV; 对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息,多用CAV.
蓝色(DVD) 0.41
28,055,895 22,445
603
CD信道长度在5km以上,容量约680 MB; DVD容量在 GB量级.
影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算 .
模型求解
CAV(恒定角速度)光盘
LCAV
2R1
R2 R1 d
R
2 2
2d
R1=R2/2时LCAV最大
CCAVLCAV
激光器 激光波长 (μm)
shk1, k2
hl d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 室
T T
Q2 k1
1Hale Waihona Puke 22dQ1
k1
T1 T2 d(s2)
内 T1
双层与单层窗传导的热量之比
数据建模:初等模型
2、洪德(dHondt)规则
分配办法是:把各党代表的选民数分别被1、2、3、… 除,按所有商数的大小排序,席位按此次序分配。由于A 党代表的选民数的三分之一比D党代表的选民的人数还多, 那么给A党3席、给D党0席也是合理的。
A党 199,000(1) 99,500 (4) 66,333 (5) B党 127,500(2) 63,750 42,500 C党 62,000 41,333 D党 24,750 16,500 124,000(3) 49,500
p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法
若 p1/n1> p2/n2 ,定义
p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2)
公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
比 例 加 惯 例
人数 (%) 比例 甲 乙 丙 103 51.5来自63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
“公平”分配方 衡量公平分配的数量指标 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
初等模型
如果研究对象的机理比较简单,一般用静态、线 性、确定性模型描述就能达到建模目的时,我们 基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。 通过若干实例我们能够看到,用很简单的数学方 法已经可以解决一些饶有趣味的实际问题。 需要强调的是,衡量一个模型的优劣全在于它的 应用效果,而不是采用了多么高深的数学方法。 进一步说,如果对于某个实际问题我们用初等的 方法和所谓高等的方法建立了两个模型,它们的 应用效果相差无几,那么受到人们欢迎并采用的, 一定是前者而非后者。
数学建模初等模型ppt课件
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化,可视为数学上的连续
设 曲面;
• 地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
理学院 4
模型构成
xx
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院 7
xx
2.1.2 分蛋糕问题
妹妹过生日,妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕,哥哥也想吃,妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说,你能过这一点切一刀,使得切下 的两块蛋糕面积相等,就把其中的一块送给 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了:这个问题,
11
理学院
xx
数学模型为
10
y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
0 x4
4 x 15 15 x
0.8
t 2.5
计算起来很简单。
理学院 12
xx
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
数学建模
(Mathematical Modeling)
1
xx
第二章 初等模型
理学院 2
黑
第二章 初等模型
龙
江
生活中的问题
科
技
极限、最值、积分问题的初等模型
中考数学十大模型
中考数学十大模型中考数学是学生的必修课程之一,对于许多学生来说,数学是一个困难的学科。
然而,在中考数学考试中,有一些常见的数学模型可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
下面将介绍中考数学中的十大模型。
1.几何模型:在中考数学中,几何是一个非常重要的部分。
通过几何模型,学生可以更好地理解和运用几何知识,如三角形、四边形、圆等。
几何模型可以帮助学生更好地理解空间关系和形状属性。
2.代数模型:代数是中考数学中的另一个重要部分。
通过代数模型,学生可以更好地理解和运用代数知识,如方程、不等式、函数等。
代数模型可以帮助学生更好地解决实际问题和提高数学计算能力。
3.统计模型:统计是数学中的一个重要分支,通过统计模型,学生可以更好地理解和运用统计知识,如概率、样本调查、数据分析等。
统计模型可以帮助学生更好地理解数据和做出正确的决策。
生可以更好地理解和运用函数知识,如线性函数、二次函数、指数函数等。
函数模型可以帮助学生更好地描述和分析实际问题。
5.图形模型:在中考数学中,图形是一个常见的题型,通过图形模型,学生可以更好地理解和分析各种图形,如折线图、饼状图、柱状图等。
图形模型可以帮助学生更准确地表示和比较数据。
6.初等模型:初等数学是中考数学的基础,通过初等模型,学生可以更好地掌握基本的数学运算和基本的数学概念,如加减乘除、分数、百分数等。
初等模型可以帮助学生建立数学基础,为进一步学习数学打下坚实的基础。
7.空间模型:空间是几何的重要组成部分,通过空间模型,学生可以更好地理解和运用空间知识,如平行线、垂直线、平行四边形等。
空间模型可以帮助学生更好地理解几何问题和解决实际问题。
8.时间模型:时间是统计中的重要概念,通过时间模型,学生可以更好地理解和运用时间知识,如时间单位、时间比较、时间序列等。
时间模型可以帮助学生更好地描述和分析时间数据。
生可以更好地理解和运用测量知识,如长度、面积、体积等。
测量模型可以帮助学生更准确地测量物体的大小和形状。
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型,并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中,初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一,它假设变量之间的关系是线性的,可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系,对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时,我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系,然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析,我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂,容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题,例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制,它对问题的描述和解决方法有一定的限制性,不能很好地处理复杂的问题。
总之,初等模型是数学建模中的一种简单模型,通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用,适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时,可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)
若设k=0.05并仍设 t=4秒,则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次,取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公,式计展算开得并到令的k时→间值0+中包,含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力,时假的如结仍果设。t=4秒,扣除反
应时间后应 为3.9秒,代入 式①,求得h≈69.9米。
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb(护卫舰的路线本方模程型)虽简单,但分析
y(ta2n )xb(航母的路线方极程清)晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方, 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的,现在我们来建立一个简单 的数学模 型,研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设:大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热,传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不,同不。存在户内外的空气对
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为:
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令: ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 :
x2(y-h)2r2
解得: Ta1 2 k1(lk1kl2)d/(T k12d)T2
k1T1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 21 dT2 k1d2T 1k 1lT2 k2d
f(h)
室 外
T2
室1 0.9内
类似有
k1
T1 T2 2d
165几个初等模型
§16.5几个初等模型[学习目标]1. 能表述导弹核武器竞赛的数学模型;2. 能表述市场平衡问题的数学模型;3. 会用奇偶校验法解决铺瓷砖问题;4. 了解工厂地址选择的数学模型;5. 能表述动物体形问题的数学模型。
一、导弹核武器竞赛美国和前苏联都深感自己需要一定数量的洲际弹道导弹,以对付对方的“核讹诈”,其基本想法是当自己在遭到对方的突然袭击后能有足够的导弹幸存下来,以便给予对方以“致命打击”.为此双方展开了一场竞争,方法有:(1)努力增加自己的核武器,从数量上压倒对方.但这样作下去双方都感到负担过重.(2)引进反弹道导弹和多弹头导弹.(3)加固导弹库或建造核潜艇来保护导弹,使之不易受到攻击.究竟用什么方法为好,在对方采取不同的策略时,自己又将如何对付?为此展开了一场激烈的军备竞赛.由于核武器种类繁多,性能各异,问题比较复杂,所知信息又少。
因此下面建立一个简单的图解模型,以便帮助阐明其中某些问题.把讨论的两国称为甲方和乙方.用x,y分别表示甲方和乙方拥有的导弹数.由于x,y很大,把x和y看作实数.假设两方拥有的导弹相同,而且具有同等的防护能力.甲方为了安全,其拥有的核弹头数x要随乙方的弹头数y的增长而增长。
可以假设存在增函数f,当x>f(y)时甲方才感到安全,x=f(y)称为甲方的安全线,同样y=g(x)是乙方的安全线,即当y>g(x)时乙方才感到安全.图16-10乙方安全区甲方安全区BCA由图16-10可知甲方的安全区和乙方的安全区.二者的公共部分双方都感到安全,即军备竞赛的稳定区域(图中阴影部分).两条安全线的交点为竞争的平衡点。
问题在于当第一次打击不可能摧毁对方的假设下,这样的稳定区域存在吗?换言之,两条单调增加的曲线x=f(y)和y=g(x)相交吗?这要求证明并进而讨论,当反导弹和多弹头导弹这类武器出现时,对于平衡点A()将产生什么影响?为了证明x=f(y)和y=g(x)相交,我们采用如下方法:证明从原点出发的任一直线y=rx(r>0)必与曲线x=f(y)相交,其中x=f(y)从(,0)开始,以递增到无穷的斜率向上弯曲.Y = rxx因为不论乙方拥有的核弹头数y是甲方的多少倍(如r倍,r可以充分大),都不能一次毁灭甲方,也就是说在乙方y=rx枚核弹头的袭Y击下,甲方一枚弹头保存下来的概率p(r)仍然大于零(尽管可以很小),那么甲方只需要拥有枚弹头,就可以感到安全.正是直线y=rx和曲线x=f(y)交点的横坐标.所以y=rx与甲方安全线x=f(y)相交.如图16-11所示.同理,y=rx必与曲线y=g(x)相交.y=g(x)从 图16-11 (0,y)开始,起斜率递减到零.这样曲线x=f(y)与y=g(x)相交于A()点,这是x和y的最小稳定值.下面我们要讨论,如果某一方使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段,两条安全曲线和稳定点A()将如何变化呢?如果甲方由于使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段,则它的导弹更不容易遭受突然袭击,这将使甲方任一枚导弹逃脱突然袭击的概率p(r)增大,所以曲线f(y)向左移动,在图16-10中用虚线表示.点不变,此时曲线的形状稍有改变.为了保持稳定,双方只需要更少的导弹,稳定点为B.如果甲方用某种设施,例如反弹道导弹来防护它的城市,这时乙方要对甲方进行致命的打击,就需要比更多的导弹,于是g(x)向上移动.在图16-10中用“ ”线表示.我们可以看出,要保持稳定,双方都需要更多的导弹,稳定点为C.图16-12BAyxx=f(y)如果使用多弹头导弹,此时情况将变得更加复杂.例如,甲方将它的每枚导弹的单弹头改装为N个弹头,那么它所需要的能逃脱偷袭的导弹数可以更少些(需要的数大约是).这样x=f(y)就向左移动。
数学模型
边际收入
边际支出
表示:最大利润在边际收入等于边际支出时达到。 表示:最大利润在边际收入等于边际支出时达到。
II.简单的优化模型 II.简单的优化模型
如果假设需求函数为 f(p)=a-bp f(p)=a并假定成本q 并假定成本q与产量无关 I(p)(p-q)(a则利润函数 U(p) = I(p)-c(p) = (p-q)(a-bp) 运用微积分, U(p)最大的最优价格 为 最大的最优价格p* 运用微积分,使U(p)最大的最优价格p*为
γ B ( n1 , n 2 ) =
p 2 / n 2 − p1 / n1 p1 / n1
γ A ( n1 , n 2 ) =
p1 / n1 − p 2 / n 2 p 2 / n2
为对B的不公平度。 为对B的不公平度。 尽量地小! ∴分配原则是使 γ A 和 γ B 尽量地小!
确定分配方案
设A,B两方已分别占有n1席和n2席,讨论当增加1个席位 A,B两方已分别占有 席和n 两方已分别占有n 讨论当增加1 应该分配给A还是B 不公平。 时,应该分配给A还是B。假设 p1/n1>p2/n2, 对A不公平。 会出现三种情况: 会出现三种情况: p1/(n1+1) > p2/n2, 即A方增加1席时对A仍不公平, 方增加1席时对A仍不公平, ① 所以这增加的1席应该给A 所以这增加的1席应该给A方; p1/(n1+1) < p2/n2,即A方增加1席时,对B不公平,此 方增加1席时, 不公平, ② 时
I.初等模型 I.初等模型
Q1最大,这一席应该分给甲,即 最大,这一席应该分给甲, n1=11, n2=6, n3=3。 =3。
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案:10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少?
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23
《初等模型》课件
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法,如交叉验证、Bootstrap等,以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果,评估模型的性能,如准确率、误差率等,以便进一步优化和完善 模型。
REPORT
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ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前,首先需要 明确研究的目的和目标,以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的,选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性,能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三:决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合;
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项:决策树模型容易过拟合,因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度,例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外,决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂,需要根据实际情况进行调整和优化。
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SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
数学建模_初等模型
1805年,英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中,尼尔 森担任英国统帅,他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰,而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验,若两军相遇,一方损失兵力大约是对方兵力的10%。 如果按照这一公式计算,显然人多势众的法军将获胜,而且在 第11次遭遇战中全歼英军,如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在,取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002,解得平衡 点(O,T)=(150,200)或(0,0)【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态,处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大,这个数量受哪些因素影响,当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时,平衡状态会发 生什么变化?
最后英军战胜了法军,而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年,英军在战役A和战役B中战胜法军,但法军没有增 援C,而是选择了撤退,大约有13艘战舰退回法国海港。
点评:数学建模以解决某现实问题为目的,从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型,数学建模必须反映现 实,既然是一种模型,它就不是现实问题的全部复制,常常会 忽略一些次要因素,作一些必要的简化,但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4:老鹰仍然成为胜利者, 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比,两个种群的 初始数量相同,可以说是站在同 一条起跑线上。但是,老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利,而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
第四讲(一)初等模型-公平的席位分配-实物交换PPT课件
若rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),则这席位应给A,反之给B
10
当rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),该席给A
根据rA,rB的定义
p22
p12
n2 (n2 1) n1(n1 1)
该席给A,否则该席给B
M1
p3(x3,y3)
将所有与p1, p2无差别的点连接 起来,得到一条无差别曲线MN,
y2
.p2
N1
N
0
x1
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度,
比MN各点满意度更高的点如p3,在另一条无差别曲线M1N1
上。于是形成一族无差别曲线(无数条)。
16
y
甲的无差别曲线族记作
设A,B分别有n1, n2席,若增加1席, 问应分给A?还是B?
9
不妨设初始时 p1 / n1 p2 / n2, 即对A不公平,分下列几种情况
1)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,则这席位应给A
2)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,应计算rB (n1 1, n2 ) 3)若 p1 / n1 p2 /(n2 +1),应计算rA (n1, n2 1)
第四讲 初等模型
一、公平的席位问题 二、实物交换
1
一、公平的席位分配
席位分配是日常生活中经常遇到的问题,在企业、公 司、学校、政府部门都能应用该模型解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会 等的具体座位。假设说,有一个公司要召集所有的部门开 一个员工会议,在公司的会议厅里只能坐40个人,而公 司总共有10个部门,10个部门总共有498个人,而每个部 门的人数都不尽相同。如果你是会议的策划人,你要合理 的分配会议厅的40个座位,既要保证每个部门都有人参 加,最关键的就是要对10个部门都公平,保证10个部门 对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建 模的方法来解决。
初等模型-数学模型
几何模型
01
02
03
平面几何
平面几何是几何模型的基 础,通过点、线、面等基 本元素描述实际问题,如 三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间 中物体形状和位置关系的 数学模型,如长方体、球 体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转 化为代数问题的数学模型, 通过代数方法解决几何问 题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能 ,可以提高决策的科学性和准确性。通过 数学模型的建立和应用,可以解决实际问 题,推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广,提高其在社 会、经济、科技等领域的认知度和影响力 。同时,加强国际交流与合作,推动数学 模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程, 解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势, 可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风 险和回报,帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物 流和运输,降低成本并提高效率。
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02
03
04
解析法
通过数学公式推导求解,适用 于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解,适用于大 多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解,适用于难 以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解,适用于难 以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据 进行验证,确保模型的准确性。
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排列组合及其他模型
旅游景点的选择模型
家住成都的小张准备暑假带孩子到北京及附近城市去
旅游,成都某旅行社开辟了以下两条旅游线路
线路一
北京、北戴河、天津
线路二
北京、沈阳、哈尔滨
另外,旅行社还告知小张,他也可以在两条线路中任选
一个或多个城市旅游。
(1)若北京是小张必选的旅游城市,则他有多少种选 择方式。 (2)若从成都到北京必须在西安转机,从成都到西安 有 2 个航班,从西安到北京有3 个航班,问小张从成都 到北京共有多少种航班安排方式?
出版社的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的版权。A出版 社给作者的稿酬为:前3000册提供6%的版 税;超过3000册部分支付8%的版税另加每 本2元的稿酬。B出版社给作者的稿酬为: 前4000册不支付版税,但超过4000部分将支 付10%的版税另加每本3元的稿酬。请问作者 应选择哪一家出版社?
一、模型的假设与变量说明
1、假设该书的定价是固定的,与选择的 出版社无关。
2、假设该书的销售量是固定的,即选择 哪家出版社对销售量没有影响;
3、假设出版社的稿酬均按销售数量计; 4、设作者选择A,B两家出版社所得的报
酬分别为y1,y2(单位:元),销售量 为n册,书的定价为p元/本。
二、模型的分析与建立
多元函数模型
在实际建模中,有时由于情况复杂,影 响决策变量的因素有多个,这时可以根 据需要建立多元函数模型。
居民电费模型
在中国有些地区,由于电力紧张,政府鼓励“错峰”用电, 四川省电网居民生活电价表(单位:元/kwh)规定“一户 一表”居民生活用电收费标准如下:
(1)月用电量在60kwh及以下部分,每日7:00~23:00期间 用电,每千瓦时0.4724元;23:00~次日7:00期间用电, 每千瓦时0.2295元。
二、模型的分析与建立
事实上,按40人(团体票)购买享受6折优惠 的总门票费用为60%*5*40=120元,而这一 门票总费用相当于只购买了24人的门票。因
此当 24 x 40时,按40人购买团体打折票
的费用低于按实际人数购买门票的费用;当
0 x 24时,按实际人数购买门票的费用
低于120元,可以按实际人数购买门票。
一、模型假设与变量说明
1、假设一个参观团可以购买参观团人数的 门票数;
2、设参观团有x人,实际购买门票费为y 元,按x人购买x张门票费用为z元。
二、模型的分析与建立
若按参观团实际人数购门票,门票费用模型为:
z
5x 60%
x 40 x 40
在实际购买门票时,当x接近40人时,通过粗略 分析可知,按实际人数购买门票的费用可能高 于按40人购买团体票打折门票的费用。
8%np 2n 60 p 6000 10%np 3n 400 p 12000
解之,得
n
6000 340 2% p 1
p
4000
于是,得以下结果
(1)
当销量
n
6000 340 2% p 1
p
时,选择
A
出版社;
(2)
当销量
n
6000 340 2% p 1
p
时,选择
A、B
出版社所
得的报酬相同,此时,作者可以在 A、B 两家
0.4724x 0.2295y,0 x y 60,
Z
0.4724x 0.4724x
0.2295 y 0.2295 y
(x y 0.08
60) 0.08,60 40 0.11(x y
x y 100, 100),100 x
y
150,
0.4724x 0.2295y 0.08 40 0.11 50 0.16(x y 150),150 x y
即
0.4724x 0.2295y,0 x y 60,
Z
0.4724x 0.4724x
0.2295 y 0.2295 y
(x y 60) 0.08,60 x y 100, 3.2 0.11(x y 100),100 x y 150,
0.4724x 0.2295y 8.7 0.16(x y 150),150 x y
(2)月用电量在61kwh至100kwh部分,每千瓦时提高标 准0.08元。
(3)月用电量在100kwh至150kwh部分,每千瓦时提高标 准0.11元。
(4)月用电量在150kwh及以上部分,每千瓦时提高 标准0.16元。
根据以上规定,建立该地区“一户一表”居民用电量与 电费之间的函数关系模型,若某户居民6月份的用电 量为:7:00~23:00期间用了200kwh,23:00~次 日7:00期间用了100kwh,请计算这户居民6月份应 该缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一个
入银行,没有闲置; 4、设老人的年收入为I(万元),购买公司的债
券的金额为x万元,则存入银行的金额为100-x 万元,公司债券的年回报率为r1,银行存款的年 回报率为r2。
二、模型的分析、建立与求解
问题( 1)
刘艳红老人的年收入 I(单位:万元)为购买公司债
券的红利收入 xr1 与银 行存款的利息收入 (100 x)r2 之
“薄利多销”、“量大从优”是一个重要的营销手段。一方 面它给顾客带来实惠,另一方面它增加了商家的销售 量。如何确定优惠方案,或打折方案也是一门学问。合 理的优惠方案会刺激消费,大大地增加消费量。达到增 加商家利润的目的,在制定优惠方案时,首先要考虑商 品的属性,是耐用品还是易耗品,是生活必需品还是奢 侈品,不同属性的商品价格对潜在的购买力的影响是不 一样,从而对商品销售的影响也不尽相同。一般来说, 耐用品和奢侈品的价格对市场销售量的影响要弱一些。
所以如果刘艳红老人希望获得 45000 元的年收 入,则至少要购入 60 万元的公司债券。
如今,理财已走进千家万户,在花样繁多的理财 产品(如公司债券、银行理财产品、股票、基 金、银行利息、保险、房地产等)中,有的风险 大,投资时间长,收入高;有的风险小,投资时 间短,收入低……如果不考虑投资风险,投资时 间等因素,且预期收益明确,就可以利用初等数 学的方法,建立初等模型,通过计算和比较,在 这些理财产品中做出明智选择,以确保预期收 益。
合理化的用电建议。
一、模型假设与变量说明
1、电表能准确地显示每户居民各时段的月 用电量,且无公摊;
2、假设收费标准按月执行; 3、设Z为“一户一表”居民的月电量,居民
一个月内在时段7:00~23:00期间的用电 量为x,时段23:00~次日7:00的用电量 为y。
二、模型的分析建立与求解
居民的月用电量应为在时段 7:00~23:00 的用电量 x 与 在时段 23:00!次日 7:00 的用电量 y 的总和,当总用 电量超过 60kwh 而未超过 100kwh 时,超过 60kwh 部分的电量,居民需支付额外电费,以此类推。模型 如下:
这里 x=200.y=100,因为 x+y=300>150,所以将 x=200, y=100 代入电费模型中的第 4 个,得 Z=150.13 元。 建议:由于夜间电价不到白天电价的一半,所以居民应 尽可能地在 23:00~次日 7:00 时段用电,如一些耗电较 高的电热水器等可设置在夜间工作。另外,由于用电 越高,电价越高,所以,倡议居民养成节约用电的好 习惯。
出版社之间任选一家;
(3)
当销量
n
6000 340 2% p 1
p
时,选择
B
出版社。
拓展思考:
1、如果出版社C提供7%的版税,问作者又 该如何做出选择?
2、如果出版社D提供版权费10万元,问作 者又该如何选择?
3、请分析书的定价对作者选择出版社有何 影响?
案例多选:
【参观购票策略模型】某展览馆为鼓励 团体消费,门票收费标准为:每人5 元,40人以上(含40人)的团体票6折优 惠。试建立门票费用模型,简单分析购 票策略,并分别计算当有32名、40 名、50名学生入馆参观时需要支付的门 票费。
y2 10%(n 4000) p 3(n 4000), n 4000 即
0,0 n 4000, y2 10%np 3n 400 p 12000, n 4000
三、模型求解
这里 y1, y2 均为分段函数 , 当 n 4000 时 , 显然 y1 y2 0 ,所以选择 A 出版社,当 n 4000 时,令 y1 y2 ,即
二、模型的分析、建立与求解
同理,在线路2中,小张也有4种选法。 综上分析:利用加法原理,共有4+4=8种 选择。(其中线路1和线路2中只选择北 京一个城市旅游,可看做有重复,结果 为7也对)。
x 40
三、模型求解
当x=32时,实际需要支付的门票费 用y=120元;当x=40时,实际需要支付 的门票费用y=120元;当x=50时,实际 需要支付的门票费用y=150元。
拓展思考:
如果门票收费标准为:每人5元,20人以上 (含20人)40人以下(不含40人)的团 体票每人少1元,40人以上(含40人)的 团体票以6折优惠,请建立门票费用的函 数模型,并给出相应的购票策略。
初等模型
预备知识:
初等数学的代数、三角、几何、平面解 析几何和排列组合知识
学习目标:
掌握数学建模的基本方法与步骤; 掌握建立初等模型的方法
学习内容
一、一元函数模型 二、多元函数模型 三、排列组合及其它模型
一元函数模型
理财模型
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的 房屋搬进敬老院。有人向她建议将1百万用去 投资,并将投资回报支付各种保险。经过再三 考虑,她决定用其中的一部分去购买公司债 券,剩余部分存入银行。公司的债券的年回报 率是5.5%,银行的存款年利率是3%。
拓展思考
1、 请你给出当地 电费 、 水费 、 天然气费 等 的 函数模型 , 并给出 合 理的使用建议 。