2020-2021学年河南省豫南九校高一上学期第一次联考数学试题 PDF版
河南省九师联盟2020-2021学年高一上学期1月联考试题 数学 PDF版含答案(付,95页)
5
10 9 8
CCC
C CC C
120
2
2
2
2
3
2
3
以此类推，
.
2
3
4
9
9
9
10
3 21
故选：D.
Cm 1
【点睛】本题关键点在于使用组合公式：
n
Cm Cm
，以达到简化运算的作用.
n
n1
y2 2 px
A(2, 2), B, C
AB, AC (x 2)2 y2 1
7. 已知抛物线
上三点
，直线
是圆
的两条切
() ( )
f (x)
,0
C.
在
4
【答案】AD 【解析】
单调递增
2
f (x) 0,
D.
在
4
单调递减
【分析】
fx ()
先证明 为周期函数，周期为 ，从而 A 正确，再利用辅助角公式可判断 B 的正误，结
合导数的符号可判断 C D 的正误．
cos 2x
f (x)
fx
R
()
【详解】 的定义域为 ，且
，
的一根为 ，
2
1
由于两根之和为 ，则该方程的另一根为 ，两根异号，合乎题意；
x
x2 ax b 0
1
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则 是方程
的一根，
由于两根之和为 ，则另一根也为 ，两根同号，不合乎题意；
2
1
x
x2 ax b 0
13
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于 的方程
的两根为 和 ，两根
同号，不合乎题意；
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)数学(理)Word版含答案
2021－2021学年上期第一次联考高二数学(理)试题(考试时间：120分钟 试卷总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1.数列{a n }为等差数列，a 2＝3，a 5＝15，那么a 11＝△ABC 中，∠ABC ＝4π，AB，BC ＝3，那么sin ∠BAC ＝A.10B.5C.10D.5 3.在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－n 11a -(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2021＝ A.12C.－1 △ABC 中，(a ＋b ＋c)(sinA ＋sinB －sinC)＝asinB ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，那么C ＝ A.3πB.23πC.34πD.56π 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3＋a 4＝6，2a 5＝9，那么S 7＝ A.352 C.492△ABC 中，A ＝2C ，那么a c 的范围是 A.(0，，2){a n }为等比数列，a n >0，且a m a m ＋1a m ＋2＝26m ，假设p ＋q ＝6，那么a p ·a q ＝789108.假设数列{a n }满足a n ＋1＝(2|sin 2n π|－1)a n ＋2n ，那么a 1＋a 2＋…＋a 8＝ △ABC的面积为4(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，那么c a的取值范围是 A.(0，2)B.(0，＋∞)D.(2，＋∞)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2asinC，a ＝1，那么△ABC 的周长取得最大值时△ABC 的面积为A.411.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的。
我国明代数学家、音乐理论家朱载填创立的十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人。
2019-2020学年河南省豫南九校高一(上)第一次联考数学试卷
（2）求满足解不等式 的 取值集合．
定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
已知函数 ．
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）判断并证明 在 上单调性；
（3）若 对任意 恒成立，求 的取值范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年河南省豫南九校高一（上）第一次联考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1.已知集合 ＝ ，则下列关系式中，正确的是（）
A. B. C. D.
2.函数 在 上的最小值为（）
A. B. C. D.
3. 的值是（）
A. B. C. D.
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）
设集合 ， ，则集合 的子集的个数为________．
函数 的最大值为________．
设函数 对 的一切实数都有 ，则 ＝________
已知函数 ，若存在 ， ，当 时， ＝ ，则 的最小值为________ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
A. ＝ B. C. ＝ D. ＝
5.已知 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则（）
A. B. C. D.
6.已知函数 ＝ ，则 的解析式是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
7.已知函数 ＝ 定义域是 ，则 ＝ 的定义域是（）
A. B. C. D.
8.已知 是定义在 上的偶函数，对任意 都有 ＝ ， ＝ ，则 的值为（）
《精编》河南省豫南九校高三数学第一次联考 文 新人教A版.doc
河南豫南九校2021——2021学年高三第一次联考文科数学试题考试时间：120分钟 试卷总分值：150分参考公式：考试结束后，将答题卡交回。
如果事件A 、B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕如果事件A 、B 相互独立，那么P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C kn P k(1－P)n －k〔k=0,1,2…,n 〕第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1．设全集I 是实数集R, 23{|4}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集 〔如以下列图〕， 那么阴影局部所表示的集合为〔 〕A.{}2x x < B.{}21x x -≤< C.{}22x x -≤≤ D.{}12x x <≤2．i 为虚数单位，复数121iz i+=-，那么复数z 在复平面内的对应点位于 〔 〕3．命题p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则〔 〕A ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈≥B ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈≥C ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈>D ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈>4. 函数34x y =的图象是〔 〕5．在32()3610f x x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程为 〔 〕A ．3110x y +-=B ．360x y -+=球的外表积公式S=42R π其中R 表示球的半径 球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径C ．3110x y --=D ．3110x y --=6．以下四个命题中，其中正确的个数为〔 〕①命题“假设224x x ==则〞的逆否命题； ②“4a π=〞是“sin 21a =〞的充分不必要条件③命题“假设q ≤1，那么x 2＋2x ＋q ＝0有实根〞的否命题；④假设p q p q p q ∧∨为假，为真；则、有且仅有一个是真命题； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．以下函数中既是奇函数又在区间]1,1[-上单调递减的是〔 〕A ．x y sin =B ．1+-=x yC ．x x y +-=22lnD ．)22(21xx y -+= 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+-=)1()1(16)23()(x ax a x a x f x 在),(+∞-∞内单调递减，那么实数a 的取值范围是 〔 〕A . )1,32(B . )32,0( C. )32,83[ D. )1,83[9．a b 、都是正实数， 函数2x y ae b =+的图象过〔0,1〕点，那么11a b+的最小值是〔 〕A．3+ B．3- C ．4 D ．2 10．函数()sin()cos(f x x x θθ=+++）的导函数为/()f x ，假设/()()()g x f x f x =+ 对任意实数x ，都有()()g x g x =-)那么θ可以是 〔 〕A.6πB.4πC.2πD.π11．假设关于x20mx -=有两个不相等的实数解，那么实数m 的取值范围是 〔 〕A ．3(,)4-∞-B ．33(,)(,)44-∞-+∞C ．3(,1]4 D ．3[1,)4-- 12．现定义一种运算;⊗当m 、n 都是正偶数或都是正奇数时，;m n m n ⊗=+当m n 、中一个为正奇数另一个为正偶数时，,m n mn ⊗=那么集合{}(,)|16,,M a b a b a N b N **=⊗=∈∈中的元素个数是〔 〕A ．22B ．20C ．17D ．15 二、填空题〔本大题共4小题，每题5分共20分。
2020-2021学年河南省九师联盟高一(上)联考数学试卷
2020-2021学年河南省九师联盟高一（上）联考数学试卷（1月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|y =√1−x},N ={y|y =2x }，则M ∩N =( )A. (0,1]B. (−∞,1]C. [0,+∞)D. [0,1]2. 直线x =1倾斜角为( )A. 0°B. 90°C. 45°D. 不存在3. 下列命题中正确的是( )A. 若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B. 若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C. 若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D. 不共线的四点可以确定一个平面4. 已知函数f(1+√x)=2x ，则f(12log √327)的值为( ) A. 8 B. 16 C. 1 D. 45. 函数f(x)=e x +2x −6的零点所在的区间是( )A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)6. 如图，边长为1的正方形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则平面图形OABC 以OA 为轴旋转--周所围成的几何体是( )A. 一个圆柱B. 一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体C. 一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体D. 两个同底的圆锥的组合体7. 已知a =(15)lg1，b =log 3√2，c =3ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. b <c <a B. b <a <c C. a <c <b D. a <b <c8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )A. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//nB. 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nC. 若点A，B到α平面的距离相等，则直线AB//αD. 若m⊥α，m//β，则α⊥β9.函数f(x)=(e x−e−x)⋅|x|的大致图象为()A. B.C. D.10.若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为2的直角三角形，则该圆锥的体积为()A. 2√2πB. 2√23π C. 2π3D. 4π311.在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，设O和O1分别为下底面和上底面正六边形的中心，G，H是线段A1D1上的动点，且GH=1(GH<A1D1)，则下列说法中正确的是()①DH与AB异面；②当G为A1O1中点时，BG与平面ADD1A1所成角取得最大值；③四面体BDGH的体积是定值；④DB//EF．A. ①③④B. ①②④C. ①②③D. ②③④12.当x∈(0,12)时，函数f(x)=log a(−4x2+log a x)的图象恒在x轴下方，则实数a的取值范围是()A. [√22,1) B. (0,√22) C. [√2,+∞) D. (0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设点A(−2,1)，B(4,−2)，C(1,1+2a)，若A，B，C三点共线，则实数a的值为______ ．14.某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为4和3的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为______ ．15.函数f(x)=2021x−1的值域为______ ．2021x+116.已知四边形ABCD为矩形，AB=2，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，若四棱锥P−ABCD外接球的表面积为16π，则四棱锥P−ABCD体积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E，M分别是BC，BB1的中点．(1)求证：A1，D，M，E四点共面；(2)已知N在棱CC1上，求四面体A1BMN的体积．18.已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c∈R)的图象过点(1,0)，且f(x−1)为偶函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的x∈[4,16]，不等式f(log4x)≤mlog4x恒成立，求m的最小值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD//AB，CD=2AB，∠ADC=90°，E，F分别为CD，PC的中点．(1)求证：平面BEF//平面PAD；(2)求证：平面BEF⊥平面PDC．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，PD⊥CD，PD=2CD，过直线AB的平面与棱PC，PD分别交于点E，F．(1)求异面直线PC与AB所成角的正切值；(2)求证：EF//CD．21.某地区为了推进节能减排、保护环境和发展经济的需要，政府计划由当地天然气公司在两个工业园区间A，B间修建天然气管道，已知两个工业园区相距120km，并且在两工业园区之间设立供气站点D(如图)，为保证两个工业园区的安全，规定站点D距两工业园区的距离均不得少于15km.已知工业园区A一边有段10km长的旧管道AC，准备改造利用，改造费用为5万元/km，其余管道都要新建，新建的费用与站点D到A，B两工业园区方向上新修建管道的长度的平方和成正比，并且当站点D距离工业园区A40km时，新建的费用为1825万元.设站点D距工业园区A 为xkm，A，B为两工业园区之间天然气管道的修建总费用为y万元．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出其定义域；(2)如何规划站点D的位置，才能使修建总费用最小？最小总费用是多少？22.图1，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC=BC=1，现将△ADC沿AC折起，得到三棱锥D−ABC(如图2)，且DA⊥BC，点E为侧棱DC的中点．(1)求证：AE⊥平面DBC；(2)求三棱锥D−AEB的体积；(3)在∠ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF//平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|y=√1−x},N={y|y=2x}，可得1−x≥0，y=2x>0，解得M={x|x≤1}，N={y|y>0}，∴M∩N={x|0<x≤1}=(0,1]，故选：A．根据根号有意义的条件和指数的性质，再根据充分必要条件的定义进行求解；此题主要考查交集的定义及其运算，涉及了指数函数的简单性质，是一道基础题；2.【答案】B【解析】解：∵直线x=1垂直于x轴，∴直线x=1的倾斜角为90°．故选：B．利用直线的性质求解．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．3.【答案】C【解析】解：在A中，从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交，但他们的交线互相垂直，故A错误；在B中从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面，故B错误；在C中不同的两条直线均垂直于同一个平面则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C正确；在D中，若四点连线构成两条异面直线，这时四点不能确定一个平面，故D错误；故选：C．可借助正方体的线面位置关系来判断即可．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，对直线与平面空间位置关系的判断，常借助几何模型来判断，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：令1+√x=t,t∈[1+∞)，则x=(t−1)2，所以f(x)=2(x−1)2,x∈[1,+∞),所以f(12log√327)=f(3)=24=16．故选：B．令1+√x=t,t∈[1+∞)，则x=(t−1)2，从而得到f(x)的解析式，再计算f(12log√327)的值．本题考查函数值的求法，函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f(x)=e x+2x−6是连续增函数，∵f(1)=e−4<0，f(2)=e2−2>0，可得f(1)f(2)<0，∴函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2)，故选：C．根据函数零点的判定定理进行判断即可．本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题．6.【答案】C【解析】解：由直观图O′A′B′C′画出原图OABC，如下图所示；因为O′B′=√2，所以OB=2√2,OA=1，所以平面图形OABC以OA为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱(里面挖去一个圆锥)．故选：C．由直观图画出原图形，结合旋转体的结构特征，即可得出平面图形旋转后所围成几何体的形状．本题考查了平面图形的直观图与旋转体的结构特征应用问题，是基础题．【解析】解：由a =(15)lg1，b =log 3√2，c =3ln2， 得a =(15)ln1=(15)0=1,b =log 3√2<1,c >1，所以b <a <c ．故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】D【解析】解：由α//β，m ⊂α，n ⊂β，得m//n 或m 与n 异面，故A 错误；若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n 或m 与n 相交或m 与n 异面，相交或异面时也不一定垂直，故B 错误；若点A ，B 到α平面的距离相等，AB 可能与α平行，也可能与平面a 相交，故C 错误； 若m//β，过m 作平面与β相交，交线为n ，则m//n ，又m ⊥α，所以n ⊥α，得α⊥β，故D 正确．故选：D ．由面面平行的定义及空间中两直线的位置关系判断A ；由面面垂直的性质判断B ；由点到面的距离及线面关系判断C ；由线面平行的性质及面面垂直的判定判断D ．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：因为f(−x)=(e −x −e x )⋅|−x|=−(e x −e −x )⋅|x|=−f(x)， 所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，只有选项A 符合题意．故选：A ．判断函数的奇偶性即可．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．【解析】解：由题意，得该圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为45°，易得圆锥高和底面半径均为√2，则所求圆锥的体积为V=13π×(√2)2×√2=2√2π3．故选：B．由已知可得圆锥的母线长及母线与底面所成角，进一步求得圆锥的底面半径与高，则圆锥的体积可求．本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：结合题意，对于①.因为AB∩平面ADD1A1=A，B∉平面ADD1A1，所以DH与AB异面．①正确；对于②，当G为A1O1中点时，可证BG⊥A1D1，点G到点B的距离取得最小值，此时，BG与平面ADD1A1所成角取得最大值，②正确；对于③，因为△DGH的面积为定值，而点B到平面DGH的距离也是定值，因而其体积为定值，故③正确；对于④，显然DB//EA，④错误．故选：C．①由于AB∩平面ADD1A1=A，B∉平面ADD1A1，所以DH与AB异面；②由于当G为A1O1中点时，可证BG⊥A1D1，点G到点B的距离取得最小值，此时，BG与平面ADD1A1所成角取得最大值，即可判断正误；③由于△DGH的面积为定值，而点B到平面DGH的距离也是定值，因而其体积为定值；④显然DB//EA，即可判断正误．本题考查六棱柱的几何特征，直线与平面所成角，几何体的体积的求法，直线与平面所成角的判断，考查逻辑推理以及计算能力．12.【答案】A【解析】解：根据题意知f(x)=log a(−4x2+log a x)<0对任意x∈(0,12)恒成立，当a>1时，对任意x∈(0,12),−4x2+log a x<0不满足题意；当0<a<1时，可得−4x2+log a x>1对任意x∈(0,12)恒成立，即log a x>4x2+1，x∈(0,12)结合单调性可知，只需log a12≥2,a≥√22，又0<a<1，∴√22≤a<1，即a的取值范围是[√22,1)．故选：A．根据题意可知f(x)=log a(−4x2+log a x)<0对任意x∈(0,12)恒成立，a>1时，显然不合题意；0<a<1时，可得出log a x>4x2+1,x∈(0,12)，然后根据y=log a x和y=4x2+1的单调性即可得出log a12≥2，从而解出a的范围即可．本题考查了对数函数和二次函数的单调性，根据函数的单调性求函数在闭区间上的最值的方法，分类讨论的思想，考查了计算和推理能力，属于中档题．13.【答案】−34【解析】【分析】本题主要考查三点共线的性质，属于基础题．由题意利用三点共线得−2−14−(−2)=1+2a−11−(−2)，，求得a的值．【解答】解：∵点A(−2,1)，B(4,−2)，C(1,1+2a)，且点A，B，C三点共线，∴−2−14−(−2)=1+2a−11−(−2)，解得a=−34，故答案为：−34．14.【答案】4π或94π【解析】解：设底面半径为r，当底面圆周长为4时，2πr=4，解得r=2π，所以底面圆的面积为πr2=π⋅(2π)2=4π；当底面圆周长为3时，2πr =3，解得r =32π， 所以底面圆的面积为πr 2=π⋅(32π)2=94π；所以底面圆的面积为4π或94π．故答案为：4π或94π．讨论底面圆周长为4和3时，分别求出底面圆的半径和面积．本题考查了圆柱的侧面展开图应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 15.【答案】(−1,1)【解析】解：f(x)=2021x −12021x +1=2021x +1−22021x +1=1−22021x +1， ∵2021x >0,0<22021x +1<2， ∴−1<1−22021x +1<1，∴f(x)的值域为：(−1,1)．故答案为：(−1,1)．分离常数即可得出f(x)=1−22021x +1，然后根据2021x >0即可得出f(x)的值域． 本题考查了函数的值域的定义及求法，分离常数法的运用，指数函数的值域，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题． 16.【答案】4【解析】解：如图，连接AC ，BD ，取AD 的中点E ，设AC ∩BD =O ，分别过E 作平面PAD 的垂线，过O 作平面ABCD 的垂线，两垂线的交点即为外接球球心，得球心为O ，由四棱锥P −ABCD 外接球的表面积为16π，得到其半径为2，则AC =4，设BC =x ，则4+x 2=16,x =2√3．在Rt △PAD 中，PE =12AD =√3．当PE ⊥AD 时，四棱锥P −ABCD 的高最大，体积取得最大值，且最大值为13×2×2√3×√3=4．故答案为：4．由题意画出图形，可知矩形ABCD 的中心为四棱锥外接球的球心，由已知求出四棱锥外接球的半径，得到矩形对角线长，进一步求出另一边长，再求出P 到底面距离，即可求解四棱锥P −ABCD 体积的最大值．本题考查多面体的外接球，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)证明：连接A 1D ，B 1C ，∵A 1B 1//DC 且A 1B 1=DC ，∴四边形A 1B 1CD 是平行四边形，∴A 1D//B 1C ，又∵E ，M 分别为BC ，BB 1中点，∴ME//B 1C ，∴ME//A 1D ，∴A 1，D ，M ，E 四点共面．(2)由题意，得△BMN 的面积S △BMN =12×BM ×BC =12×2×4=4，由题意得A 1B 1⊥平面BMN ，且A 1B 1=4，∴四面体A 1BMN 的体积V =13×4×4=163．【解析】(1)连接A 1D ，B 1C ，推导出四边形A 1B 1CD 是平行四边形，从而A 1D//B 1C ，由中位线定理得ME//B 1C ，从而ME//A 1D ，由此能证明A 1，D ，M ，E 四点共面．(2)求出△BMN 的面积，推导出A 1B 1⊥平面BMN ，且A 1B 1=4，由此能求出四面体A 1BMN 的体积．本题考查四点共面的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：(1)因为f(x)=2x 2+bx +c 为二次函数，且f(x −1)为偶函数， 可得f(−x −1)=f(x −1)，所以f(x)的图象的对称轴方程为x =−1，又f(x)的图象过点(1,0)，故{−b4=−12+b +c =0， 解得{b =4c =−6， 所以f(x)=2x 2+4x −6；(2)令t =log 4x ，由x∈[4,16]，则t∈[1,2]，不等式f(log4x)≤mlog4x，即2(log4x)2+4log4x−6≤mlog4x，+4在[1,2]上恒成立，可得m≥2t−6t+4在[1,2]上单调递增，因为函数y=2t−6t+4=5，即为最大值，易得当t=2时，y=2t−6t故m的取值范围是[5,+∞)，所以实数m的最小值为5．【解析】(1)由偶函数的定义，可得f(x)的图象关于直线x=−1对称，由二次函数的对称轴方程和f(1)=0，解得b，c，可得f(x)的解析式；(2)令t=log4x，由对数函数的单调性可得t的范围，再由参数分离和函数的单调性，结合不等式恒成立思想可得所求最小值．本题考查二次函数的解析式的求法，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵AB//CD，CD=2AB，E是CD的中点，∴AB//DE，且AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD//BE，∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE//平面PAD，∵E和F分别是CD，PC的中点，∴EF//PD，∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF//平面PAD，∵EF∩BE=E，BE，EF⊂平面BEF，∴平面BEF//平面PAD，(2)∵∠ADC=90°，∴AD⊥CD，又BE//AD，∴BE⊥CD．由PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，得到PA⊥CD，又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，∵PD//EF，∴CD⊥EF，∵BE∩EF=E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PDC，∴平面BEF⊥平面PDC．【解析】(1)由题意证明四边形ABED为平行四边形，得出BE//平面PAD，再证明EF//PD，得出EF//平面PAD，从而证明平面BEF//平面PAD；(2)由已知可得CD⊥BE，然后证明CD⊥EF，又BE∩EF=E，可得CD⊥面BEF，从而证明平面BEF⊥平面PCD．本题主要考查面面平行与面面垂直的判定，考查了推理与证明能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：∵AB//CD，∴∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角．∵PD⊥CD，PD=2CD，∴tan∠PCD=PDCD=2，又∠PCD∈(0°,90°]，∴异面直线PC与AB所成角的正切值为2．(2)证明：∵AB//CD，又CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，∴AB//平面PCD．又由题意，得平面ABEF∩平面PCD=EF，AB⊂平面ABEF，∴AB//EF，∴EF//CD．【解析】(1)由AB//CD，可得∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角，由PD⊥CD，PD=2CD即可求解；(2)利用线面平行的判断定理可得AB//平面PCD.利用线面平行的性质定理可得AB//EF，从而得证．本题主要考查异面直线及其所成的角、直线与平面平行的判定与性质定理，属于基础题．21.【答案】解：(1)∵站点D距两工业园区的距离均不得少于15km，∴{x≥15120−x≥15，解得15≤x≤105，设y=k[(x−10)2+(120−x)2]+5×10，15≤x≤105，当x=40时，y=1825+50=1875，∴k(302+802)+50=1875，解得k=14．∴y=[(x−10)2+(120−x)2+5×10]=12(x2−130x+7350)，函数的定义域为[15,105]；(2)y=12(x2−130x+7350)=12(x−65)2+1562.5，当x=65时，y min=1562.5万元．故当天然气站点D距工业园区A为65km时，修建总费用最小，最小总费用为1562.5万元．【解析】(1)由站点D距两工业园区的距离均不得少于15km列不等式组求x的范围，然后写出y关于x的关系式，由x=40时y=1875求得k，则函数解析式可求；(2)把(1)中求得的函数解析式利用配方法求最值即可．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求最值，正确理解题意是关键，是基础题．22.【答案】解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC=AC，∵E是侧棱DC的中点，∴AE⊥CD，∵AC⊥BC，AD⊥BC，且AC∩AD=A，∴BC⊥平面ACD，∵AE⊂平面ACD，∴AE⊥BC，∵BC∩CD=C，∴AE⊥平面BCD，∵AE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCD．(2)∵V E−ABC=V B−ACE，BC⊥平面ACD，∴BC是三棱锥C−ABD的高，∵BC=1，CD=√2，AE=√22，∴S△ACE=12×AE×12×CD=12×√22×12×√2=14，∴三棱锥D−AEB的体积为：V B−ACE=13×BC×S△ACE=13×1×14=112．(3)取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF，∵BC=AC，∴射线CO是∠ACB的角平分线，∵点E是CD中点，∴OE//DF，∵OE⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，∴DF//平面ABE，∵AB，FC互相平行，∴四边形ACBF是平行四边形，∴BC//AF，∵DA⊥BC，∴AF⊥AD，∵AF=AD=1，∴DF=√2．【解析】(1)推导出AE⊥CD，AC⊥BC，AD⊥BC，得到BC⊥平面ACD，又AE⊥BC，则AE⊥平面BCD，由此能证明平面ABE⊥平面BCD．(2)由V E−ABC=V B−ACE，由求出三棱锥D−AEB的体积．(3)取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF，推导出射线CO是∠ACB的角平分线，推导出OE//DF，从而DF//平面ABE，推导出BC//AF，AF⊥AD，由此能求出DF．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．。
2019-2020学年河南省豫南九校高一上学期第一次联考数学试题(解析版)
（2）进行对数式的运算即可．
【详解】
解：（1）原式 ；
（2）原式
．
【点睛】
考查分数指数幂和对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
18．已知集合 ，集合 或 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）先化简集合 ，再根据交集的概念，即可求出结果；
【答案】C
【解析】∵函数y=f(x)定义域是[−2,3]，
∴由−2⩽2x−1⩽3，
解得− ⩽x⩽2，
即函数的定义域为 ，
本题选择C选项.
8．已知 是定义在 上的偶函数，对任意 都有 ，且 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据 的奇偶性，与 ，得到 ；再由 确定函数 的周期，从而可求出结果.
∴函数 的定义域为R，关于原点对称．
∵ ，
∴函数 为奇函数．
（3）函数 在定义域上为增函数．证明如下：
设 ，且 ，
则 ，
∵y＝2x在 上是增函数，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 在定义域内是增函数．
（3）∵ ，
∴ ．
∵函数 是奇函数，
∴ ．
又函数 在定义域内是增函数，
∴ 对任意 1恒成立，
∴ 对任意t 1恒成立．
【详解】
因为对任意对 当 时，满足 ，
所以当 时， 单调递减；
又 为偶函数，所以 关于直线 对称，
因此， 时， 单调递增；
因为不等式 可化为 ，
又 ，
所以只需 ，解得 .
故选A
【点睛】
本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.
2019-2020学年人教A版河南省豫南九校高一第一学期(上)第一次联考数学试卷 含解析
2019-2020学年高一（上）第一次联考数学试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合M＝{0，1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M2．函数在[2，3]上的最小值为（）A．B．C．D．23．lg+lg的值是（）A．2 B．1 C．D．﹣4．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y＝（）x B．y＝C．y＝﹣x3D．y＝﹣x2+3 5．已知a＝2，b＝（）0，c＝25，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b6．已知函数f（x+1）＝3x+2，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x+1 C．f（x）＝3x﹣1 D．f（x）＝3x+4 7．已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4] C．D．[﹣5，5]8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+3）＝f（x），f（﹣1）＝4，则f（2020）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．函数f（x）＝a x﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 10．设函数f（x）＝x2+x+a（a＞0）满足f（m）＜0，则f（m+1）的符号是（）A．f（m+1）≥0 B．f（m+1）≤0 C．f（m+1）＞0 D．f（m+1）＜011．若函数f（x）＝+x3是奇函数，则常数t等于（）A．﹣1 B．﹣e C．0 D．12．已知函数y＝f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，且对任意对x1，x2当x1＜x2≤2时，满足，则关于a的不等式f（2﹣a+3）＜f（2a+2）的解集为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，）D．（，1）二、填空题（共4小题）13．设集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1}，则集合A∪B的子集的个数为．14．函数的最大值为．15．设函数f（x）对x≠0的一切实数都有，则f（2019）＝16．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）＝f（x2），则x1f（x1）﹣f（x2）的最小值为．三、解答题17．计算下列各式：（1）（0.027）+（）﹣（）0.5（2）lg25+lg8+lg5•lg20+（lg2）218．已知集合A＝{x|≤2x≤32}，集合B＝{x|x＜﹣2或x＞2}．（1）求A∩B；（2）若C＝{x|x≤a﹣1}，且A⊆C，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）＝定义域为R，（1）求a的取值范围；（2）若函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值之积为1，求实数a的值．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab）；②对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）；③f（）＝1．（1）求f（1）和f（）的值；（2）求满足解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的x取值集合．21．定义在[﹣4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝+（a∈R）．（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；（2）若存在x∈[﹣2，﹣1]，使得不等式f（x）≤﹣成立，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x）＝．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上单调性；（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＜0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）1．已知集合M＝{0，1}，则下列关系式中，正确的是（）A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M【分析】通过集合，元素的关系，排除法可得．解：A错，集合与集合之间不能用属于符号；B错，集合与集合之间不能用属于符号；D错，元素与集合不能用包含关系，C对．故选：C．2．函数在[2，3]上的最小值为（）A．B．C．D．2【分析】根据题目给出的x的范围，求出x﹣1的范围，取倒数后可得函数f（x）的值域，则最小值可求，也可借助于函数的单调性求最小值．解：法一：∵2≤x≤3，∴1≤x﹣1≤2，则，所以，函数在[2，3]上的最小值为．故选A．法二：函数的图象是把函数f（x）＝的图象向右平移一个单位得到的，图象如图，所以函数在[2，3]上为减函数，所以，函数在[2，3]上的最小值为．故选：A．3．lg+lg的值是（）A．2 B．1 C．D．﹣【分析】由对数的运算性质即可求得．解：lg+lg＝lg＝lg＝lg10＝1故选：B．4．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y＝（）x B．y＝C．y＝﹣x3D．y＝﹣x2+3 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．解：A．函数是非奇非偶函数，不满足条件．B．函数是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．C．函数f（x）是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件．D．函数是偶函数，不满足条件．故选：C．5．已知a＝2，b＝（）0，c＝25，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 【分析】根据指数运算性质，逐一分析，即可得到大小关系．解：a＝＝，2＜a＜3；b＝1；c＝，0＜c＜1，∴a＞b＞c故选：A．6．已知函数f（x+1）＝3x+2，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x+1 C．f（x）＝3x﹣1 D．f（x）＝3x+4 【分析】换元法整体代入求解．解：设t＝x+1，∵函数f（x+1）＝3x+2＝3（x+1）﹣1∴函数f（t）＝3t﹣1，即函数f（x）＝3x﹣1故选：C．7．已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4] C．D．[﹣5，5]【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．解：∵函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，∴由﹣2≤2x﹣1≤3，解得﹣≤x≤2，即函数的定义域为[﹣，2]，故选：C．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+3）＝f（x），f（﹣1）＝4，则f（2020）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据题意，由f（x+3）＝f（x）分析可得f（2020）＝f（1+673×3）＝f（1），进而结合函数的奇偶性分析可得答案．解：根据题意，f（x）满足对任意x∈R都有f（x+3）＝f（x），则函数f（x）是周期为3的周期函数，则f（2020）＝f（1+673×3）＝f（1），又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝4；则f（2020）＝f（1）＝f（﹣1）＝4；故选：C．9．函数f（x）＝a x﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 【分析】根据函数的图象，确定函数的单调性，求出a的范围，结合指数函数的图象，推出b的范围，确定选项．解：由图象得函数是减函数，∴0＜a＜1．又分析得，图象是由y＝a x的图象向左平移所得，∴﹣b＞0，即b＜0．从而D正确．故选：D．10．设函数f（x）＝x2+x+a（a＞0）满足f（m）＜0，则f（m+1）的符号是（）A．f（m+1）≥0 B．f（m+1）≤0 C．f（m+1）＞0 D．f（m+1）＜0 【分析】由于f（0）＝f（﹣1）＝a＞0，f（m）＜0，可得﹣1＜m＜0，于是0＜m+1＜1．因为，所以当x时，函数f（x）单调递增，利用二次函数的图象与性质可得f（m+1）＞f（0）＞0＞f（m）．解：∵f（0）＝f（﹣1）＝a＞0，f（m）＜0，∴﹣1＜m＜0，∴0＜m+1＜1，∵，∴当x时，函数f（x）单调递增，∴可得f（m+1）＞f（0）＞0＞f（m）．故选：C．11．若函数f（x）＝+x3是奇函数，则常数t等于（）A．﹣1 B．﹣e C．0 D．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）的解析式，由奇偶性的定义可得f（﹣x）+f（x）＝2t﹣（﹣）＝2t+2＝0，解可得t的值，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝+x3＝t﹣+x3，则f（﹣x）＝t﹣+（﹣x）3＝t+﹣x3，若f（x）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝2t﹣（﹣）＝2t+2＝0，解可得t＝﹣1；故选：A．12．已知函数y＝f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，且对任意对x1，x2当x1＜x2≤2时，满足，则关于a的不等式f（2﹣a+3）＜f（2a+2）的解集为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，）D．（，1）【分析】根据题意得函数f（x）在在（﹣∞，2）上，f（x）单调递减，在（2，+∞）上，f（x）单调递增，因为log＝，所以＝＝a，关于a的不等式f（2﹣a+3）＜f（2a+2），所以f（3）＜f（2a+2），所以3＜2a+2，即可解出答案．解：∵f（x+2）为偶函数，∴f（x+2）关于y轴对称，则f（x）关于x＝2对称，∵对任意对x1，x2当x1＜x2≤2时，满足，∴在（﹣∞，2）上，f（x）单调递减，在（2，+∞）上，f（x）单调递增，因为log＝，所以＝＝a，关于a的不等式f（2﹣a+3）＜f（2a+2）即为f（a﹣a+3）＜f（2a+2），所以f（3）＜f（2a+2），所以3＜2a+2，解得a＞0．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13．设集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1}，则集合A∪B的子集的个数为8 ．【分析】求出集合A中方程的解确定出A，求出A与B的并集，找出并集子集的个数即可．解：由集合A中的方程得：x＝0或2，即A＝{0，2}，∵B＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2}，则A∪B的子集的个数为23＝8个，故答案为：814．函数的最大值为．【分析】由f（x）＝﹣x＝﹣（﹣）2+，可得函数的最大值．解：f（x）＝﹣x＝﹣（﹣）2+，当＝时，即x＝，f（x）取的最大值，最大值为，故答案为：15．设函数f（x）对x≠0的一切实数都有，则f（2019）＝﹣2017 【分析】由题意得，由此能求出f（2019）的值．解：∵函数f（x）对x≠0的一切实数都有，∴，解得f（1）＝4037，f（2019）＝﹣2017．故答案为：﹣2017．16．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）＝f（x2），则x1f（x1）﹣f（x2）的最小值为﹣．【分析】由题意可得，f（x1）＝f（x2）＝，代入后结合二次函数的性质可求．解：由0≤x1＜x2＜2时，f（x1）＝f（x2）＝，∴，∴，则x1f（x1）﹣f（x2）＝，＝，结合二次函数的性质可知，当x1＝时，上式取得最小值故答案为：﹣三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算下列各式：（1）（0.027）+（）﹣（）0.5（2）lg25+lg8+lg5•lg20+（lg2）2【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；（2）进行对数式的运算即可．解：（1）原式＝；（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+lg2•lg5+（lg5）2+lg2•lg5+（lg2）2＝2+lg5•（lg2+lg5）+lg2•（lg5+lg2）＝2+lg5+lg2＝2+1＝3．18．已知集合A＝{x|≤2x≤32}，集合B＝{x|x＜﹣2或x＞2}．（1）求A∩B；（2）若C＝{x|x≤a﹣1}，且A⊆C，求实数a的取值范围．【分析】（1）可以求出A＝{x|﹣1≤x≤5}，然后进行交集的运算即可；（2）根据A⊆C即可得出a﹣1≥5，解出a的范围即可．解：（1）∵A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x＜﹣2或x＞2}，∴A∩B＝（2，5]；（2）∵A⊆C，且C＝{x|x≤a﹣1}，∴a﹣1≥5，解得a≥6，∴实数a的取值范围为[6，+∞）．19．已知函数f（x）＝定义域为R，（1）求a的取值范围；（2）若函数f（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值之积为1，求实数a的值．【分析】本题第（1）题令g（x）＝ax2+2ax+1，则函数f（x）＝定义域为R转化为g（x）≥0对x∈R恒成立时a的取值范围问题，将参数a进行分类讨论，根据△进行判别即可得到a的取值范围；第（2）题在第（1）题的基础上先找到g（x）在[﹣2，1]上的最大值与最小值，然后再代入f（x）进行运算即可得到实数a的值．解：（1）由题意，令g（x）＝ax2+2ax+1，∵函数f（x）＝定义域为R，∴g（x）≥0对x∈R恒成立，①当a＝0时，g（x）＝1＞0恒成立，满足题意；②当a＞0时，△＝4a2﹣4a≤0，解得0＜a≤1，③当a＜0时，很明显不满足题意．综上所述，可知：a的取值范围为：[0，1]．（2）由（1）知，0≤a≤1，g（x）＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2+1﹣a，①当a＝0时，g（x）＝1，此时满足题意；②当0＜a≤1时，g（x）min＝g（﹣1）＝1﹣a，g（x）max＝g（1）＝3a+1，此时，f（x）max•f（x）min＝•＝1，解得a＝．∴实数a的值为0或．20．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab）；②对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）；③f（）＝1．（1）求f（1）和f（）的值；（2）求满足解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的x取值集合．【分析】（1）赋值法求解．给x，y分别赋值为1，再赋值为；（2）赋值法，再结合函数的单调性求解．解：（1）∵对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）＝f（ab），∴令a＝b＝1，得f（1）+f（1）＝f（1），∴f（1）＝0，令a＝b＝，得f（）+f（）＝f（），∵f（）＝1，∴f（）＝2．（2）∵f（）＝1，f（1）＝0，得f（1）＝f（）+f（2），∴f（2）＝﹣1，则f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣2，∴f（﹣x）+f（3﹣x）＝f[x（x﹣3）]≥f（4），∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），∴f（x）为（0，+∞）上的减函数，∴﹣x＞0，3﹣x＞0，x（x﹣3）≤4，解得﹣1≤x＜0，∴原不等式解集为[﹣1，0）．21．定义在[﹣4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝+（a∈R）．（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；（2）若存在x∈[﹣2，﹣1]，使得不等式f（x）≤﹣成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出a，设x∈[0，4]，﹣x∈[﹣4，0]，易求f（﹣x），根据奇函数性质可得f（x）与f（﹣x）的关系；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．解：（1）f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴f（0）＝1+a＝0，∴a＝﹣1，∵，设x∈[0，4]，∴﹣x∈[﹣4，0]，∴，∴x∈[0，4]时，f（x）＝3x﹣4x（2）∵x∈[﹣2，﹣1]，，即即，x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，∵2x＞0，∴，∵在R上单调递减，∴x∈[﹣2，﹣1]时，的最小值为，∴m≥5．22．已知函数f（x）＝．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上单调性；（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＜0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）根据函数的关于原点对称，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），可得该函数为奇函数．（2）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．（2）由题意可得当x≥1时，f（k•3x）＜f（9x﹣3x﹣2），根据单调性求得k•3x＜9x ﹣3x﹣2，即k＜3x﹣1﹣．求得y＝3x﹣1﹣在[1，+∞）上的最小值，可得k的范围．解：（1）∵已知函数f（x）＝的定义域为R，关于原点对称，且满足f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），故该函数为奇函数．（2）设﹣∞＜x1＜x2＜+∞，∵f（x）＝＝1﹣，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝（1﹣）﹣（1﹣）＝﹣＝，由题设可得，＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＜0对任意x≥1恒成立，则当x≥1时，f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x+2）＝f（9x﹣3x﹣2），∴由（2）可得k•3x＜9x﹣3x﹣2，即k＜3x﹣1﹣．而y＝3x﹣1﹣在[1，+∞）上是增函数，故当x＝1时，函数y取得最小值为，∴k＜．。
河南省豫南九校2019_2020学年高一数学上学期第一次联考试题(含解析)
河南省豫南九校2019-2020学年高一数学上学期第一次联考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{0,1}M =，则下列关系式中，正确的是（ ） A. {0}M ∈B. {0}M ∉C. 0M ∈D.0M ⊆【答案】C 【解析】分析：根据选项由元素与集合关系即可求解.详解:由题可知：元素与集合只有属于与不属于关系，集合与集合之间有包含关系，所以可得0M ∈正确，故选C.点睛：考查集合与元素，集合与集合之间的关系，属于基础题.2.函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A. 2B.12 C.13D. －12【答案】B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值12，选B.3.lg 的值是（）A. 2B. 1C.12D. 12-【答案】B【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可直接得出结果.【详解】1==. 故选B【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记运算性质即可，属于基础题型.4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 1y x=C. 3y x =-D.23y x =-+【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，排除AD ，再根据单调性，即可得出结果.【详解】对于A ，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx 显然不是奇函数，排除A ；对于B ，1y x=时，11=--x x 时，奇函数，但1122>-，因此在定义域内，不是减函数，排除B ；对于C ， 3y x =-时，33()--=x x ，满足奇函数定义，所以3y x =-是奇函数；令3()f x x =-，x ∈R ，任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()2233221112122122112123()()()24⎡⎤⎛⎫-=-+=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x f x f x x x x x x x x x x x x ，因为12x x <，所以210x x ->，221123024⎛⎫++> ⎪⎝⎭x x x ，因此12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故3()f x x =-在x ∈R 上单调递减；故C 正确；对于D ，23y x =-+时，22()33--+=-+x x ，所以23y x =-+为偶函数，排除D故选C【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定解析式，熟记函数奇偶性与单调性的定义即可，属于常考题型.5.已知432a =，013b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325c -=，则（）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D.c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，先确定a ，b ，c 的大致范围，即可得出结果.【详解】因为413222=>=a ，0113⎛⎫== ⎪⎝⎭b ，13251-==<c ， 所以a b c >>. 故选A【点睛】本题主要考查比较指数幂的大小，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.6.已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A. ()31f x x =-B. ()31f x x =+C. ()32f x x =+D.()34f x x =+【答案】A 【解析】由于()()1311f x x +=+-，所以()31f x x =-.7.已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）A. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,4-C. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. []5,5-【答案】C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有()()3f x f x +=，且()14f -=，则()2020f 的值为（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的奇偶性，与()14f -=，得到()14f =；再由()()3f x f x +=确定函数()f x 的周期，从而可求出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且()14f -=， 所以()11()4=-=f f ；又对任意x ∈R 都有()()3f x f x +=， 所以函数()f x 是以3为周期的函数，因此()2020(16733)(1)(1)4=+⨯==-=f f f f . 故选C【点睛】本题主要考查由函数的周期性与奇偶性求函数值，熟记函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.9.函数()x bf x a-=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是A. 01,0a b <<>B. 1,0a b ><C. 01,0a b <<<D.1,0a b >>【答案】C 【解析】【详解】试题分析：∵由函数图象单调递减得：底数a 满足0＜a ＜1，又x=0时，0＜y ＜1，∴a -b ＜a 0，∴结合指数函数的单调性可知，-b ＞0，b ＜0，故答案选 C ． 考点：本试题主要考查了指数函数的图象与性质的运用。
2020-2021学年河南省豫南九校高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年河南省豫南九校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1. 直线l 1：2x +4y −3=0与直线l 2：2x +4y +7=0之间的距离是( )A. 2√55B. 4√55C. √5D. 2√52. 圆x 2+y 2+4x −2y +2=0截x 轴所得弦的长度等于( )A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 23. 已知函数f(x)=x 2−2x +3在闭区间[0,m]上的值域是[2,3]，则实数m 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. [0,2]C. (−∞,−2]D. [1,2]4. 已知m ，n ，l 为两两不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m//n ，n//l ，l//α，则m//αB. 若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βC. 若m ⊥l ，l ⊥β，则m//βD. 若m ⊥α，m//n ，α//β，则n ⊥β5. 若p =log 56×log 67×log 78×log 89×log 910，则( )A. p ∈(0,1)B. p =1C. p ∈(1,2)D. p =26. 过点A(−1,1)的直线l 的倾斜角是直线l 1：√3x −y +1=0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是()A. √3x −y +√3+1=0B. √3x +y +√3−1=0C. √3x −3y +√3+3=0D. √3x +3y +√3−3=07. 方程k(x +1)=√4−(x −2)2有两个相异实根，则k 的取值范围为( )A. [0,2√55)B. (0,2√55)C. (0,√55)D. [0,√55]8. 如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A. 15B. 16C. 503D. 5339.已知⊙M：x2+y2+2x+2y−2=0，直线l：2x+y−2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，则四边形PAMB面积的最小值为()A. 1B. 2C. √5D. 2√510.若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)−g(x)=e x，其中e≈2.718，则有()A. g(−2)<g(−1)<f(0)B. g(−2)<f(0)<g(−1)C. f(0)<g(−1)<g(−2)D. g(−1)<f(0)<g(−2)11.如图，已知四棱锥S−ABCD的底面是等腰梯形，AB//DC，且SA⊥平面ABCD，若AD=DC=BC=1，AB=SA=2，则四棱锥S−ABCD的外接球的体积为()A. 8πB. 8√2π3C. 8√2πD. 2√2π3二、不定项选择题（本大题共1小题，共5.0分）12.下面给出的几个关系中正确的是()A. {⌀}⊆{a,b}B. {(a,b)}⊆{a，b}C. {b,a}⊆{a,b}D. ⌀⊆{0}三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不论m为何实数，直线x−my−1+2m=0恒过一个定点，则这个定点的坐标为______．14.设函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)，若f(x1x2……x2021)=1010，则f(x12)+f(x22)+⋅⋅⋅+f(x20212)=______ ．15.如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD为该圆柱的轴截面，F为AB⏜的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，EF所成的角的余弦值为______ ．16.若函数f(x)={1−a2x2+x−54(x<1)log a x(x≥1)在R上恒有成立f(x2)−f(x1)x2−x1>0(x1≠x2)，则实数a的取值范围______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积．18.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1,4)，B(−2,−1)，C(2,3)．(Ⅰ)在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；(Ⅱ)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；(Ⅲ)求△ABC的面积．19.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(13)x−1．(1)求函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；(2)若不等式f(2−5x)<f(2x2−mx+20)对x∈[2,4]恒成立，求m的取值范围．20.如图，多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=2，AE=3，DE=√5，EF=√2，cos∠CDE=√55，且EF//BD．(1)证明：平面ABCD⊥平面EDC；(2)求三棱锥A−EFC的体积．21.已知函数f(x)=log a x,g(x)=2log a(72−x)(a>0且a≠1)，定义域均为[12,3]．(1)当a>1时，f(x)的最小值与g(x)的最小值的和为−2，求实数a的值；(2)设函数ℎ(x)=f(x)+12g(x)，定义域为[12,3]．①若ℎ(x)min=−2，求实数a的值；,3]，总能找到一个实数x2∈②设函数φ(x)=log2(x−1)−3，定义域为[3,+∞).若对于任意的x1∈[12[3,+∞)，使得φ(x2)=ℎ(x1)成立，求实数a的取值范围．22.已知圆C过点R(2,0)、S(4,−2)，且圆心C在直线2x−y−8=0上．(1)求圆C的方程；(2)若点P在圆C上，点A(6,0)，M为AP的中点，O为坐标原点，求tan∠MOA的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，直线l1：2x+4y−3=0与直线l2：2x+4y+7=0，=√5，则直线l1与直线l2之间的距离d=√4+16故选：C．根据题意，由平行线间距离公式直接计算可得答案．本题考查平行线间的距离计算，注意平行线间距离公式即可，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：令y=0，则圆的方程转换为x2+4x+2=0，所以x1+x2=−4，x1x2=2，所以AB|=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=2√2．故选：A．首先令y=0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．本题考查的知识要点：直线圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】D【解析】解：作出函数f(x)的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f(x)=x2−2x+3在闭区间[0,m]上的值域是[2,3]，则实数m的取值范围是[1,2]．故选：D．本题利用数形结合法解决，作出函数f(x)的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f(x)=x2−2x+3在闭区间[0,m]上的值域是[2,3]，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于基础题．【解析】解：A，若m//n，n//l，l//α，则m//α或m⊂α，故A错误；B，若α⊥β，m⊂α，可能m与β平行，故B错误；C，若m⊥l，l⊥β，则m//β或m⊂β，故C错误；D，由m⊥α，m//n，得n⊥α，又α//β，得n⊥β.故D正确．故选：D．利用直线与平面平行的性质判断A；直线与平面可能平行，可判断B；直线与平面垂直的判断定理判断C；直线与平面平行与垂直的判定，判断D．本题考查命题的真假的判定，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，以及计算能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：p=log56×log67×log78×log89×log910=lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7×lg10lg9=log510，而log55<log510<log525，所以p∈(1,2)，故选：C．利用对数换底公式求出p=log510，由此能求出结果．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：因为k1=tanα=√3，α=60°，所以k=tan120°=−√3，所以直线l的方程是：y−1=−√3(x+1)，即√3x+y+√3−1=0．故选：B．根据已知条件求得直线l的斜率，利用点斜式写出直线l的方程即可．本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．【解析】解：y =√4−(x −2)2，即(x −2)2+y 2=4(y >0)，直线y =k(x +1)过定点(−1,0)，画出图象，如图所示：当直线与半圆相切时，AB =3，AC =2，BC =√AB 2−AC 2=√5．此时斜率为2√55，根据图象知k ∈[0,2√55)．故选：A ．利用直线与圆的位置关系，通过数形结合转化求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题、解决问题的能力，以及转化思想的应用，是中档题． 8.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知中的三视图，可知该几何体是一个以四边形为底面的四棱锥，其高为5，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以四边形为底面的四棱锥O −ABCD ，如图所示，其中OB⊥底面ABCD，CD⊥AD，CD=2，AD=4，OB=5，过点C作EC//AD交AB于E，则四边形AECD为梯形，且CE=3，在△CBE中，边CE上的高为2，底面面积S为梯形和三角形面积之和．S梯形=12×(4+3)×2=7，S三角形=12×3×2=3．∴底面面积S=10．该几何体的体积V=13×10×5=503．故选：C．9.【答案】B【解析】解：由⊙M：x2+y2+2x+2y−2=0，得(x+1)2+(y+1)2=4，所以圆心M(−1,−1)，半径r=2，四边形PAMB面积S=2S△PAM=2×12×PA×AM=2PA，又PA=√PM2−AM2=√PM2−4，所以当PM最短时，四边形PAMB面积最小，此时|PM|=|2×(−1)+(−1)−2|√22+12=√5，所以S min=2√(√5)2−4=2．故选：B．根据圆的方程求出圆心和半径，然后得到四边形PAMB面积为2PA，利用切线长公式可知，当PM最短时，四边形PAMB面积最小，求解即可得到答案．本题考查了圆的方程的应用，涉及了直线与圆位置关系的应用、切线长公式的应用、点到直线距离公式的运用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据已知条件，f(0)=1；f(1)−g(−1)=e−1①；f(2)−g(−2)=e−2②；f(1)+g(−1)=e③；f(2)+g(−2)=e2④；∴③−①得，2g(−1)=e−e−1，g(−1)=12(e−e−1)；同理可得g(−2)=12(e2−e−2)；∵e≈2.718；∴g(−2)>g(−1)>1；即f(0)<g(−1)<g(−2)．故选C．由已知条件即可得到f(1)−g(−1)=e−1，f(2)−g(−2)=e−2，f(1)+g(−1)=e，f(2)+g(−2)=e2，根据这四个式子即可解出g(−1)=12(e−e−1)，g(−2)=12(e2−e−2)，并且f(0)=1，所以由e≈2.718即可比较g(−1)，g(−2)，f(0)的大小关系．考查偶函数、奇函数的定义，以及奇函数g(x)在原点有定义时g(0)=0，并且想着求出g(−1)，g(−2)是求解本题的关键．11.【答案】B【解析】解：过点A，B，C，D作球O的截面如图1，设AB的中点为O1，连接O1C，O1D，则CD//O1A，且CD=O1A，所以四边形ADCO1是平行四边形，所以O1C=1，同理O1D=1，所以O1A=O1B=O1C=O1D，所以O1到等腰梯形ABCD各个顶点的距离都相等，过点S，A，B作球O的截面，如图2，设BS的中点为O，连接O1O，OA，则O1O//SA，所以O1O⊥平面ABCD，所以OA=OB=OC=OD，又SA⊥AB，所以OA=OS，所以点O是四棱锥S−ABCD外接球的球心，在Rt△SAB中，AB=SA=2，所以OA=12BS=√2，所以四棱锥S−ABCD的外接球的体积：43π×(√2)3=8√2π3，故选：B．过点A，B，C，D作球O的截面如图1，设AB的中点为O1，连接O1C，O1D，O1到等腰梯形ABCD各个顶点的距离都相等，过点S，A，B作球O的截面，如图2，设BS的中点为O，连接O1O，OA，说明点O是四棱锥S−ABCD外接球的球心，求解半径，然后求解体积．本题考查几何体的外接球的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】CD【解析】解：A选项，{⌀}中有元素⌀，{a,b}中有元素a、b，{⌀}不包含于{a,b}，A错，B选项，{(a,b)}中有元素(a,b)，{a,b}中有元素a、b，{(a,b)}不包含于{a,b}，B错，C选项，∵{b,a}={a,b}，∴{b,a}⊆{a,b}，C对，D选项，⌀是任意集合的子集，D对，故选：CD．根据集合间的包含关系的定义对应各个选项逐个判断即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了学生对定义的理解能力，属于基础题．13.【答案】(1,2)【解析】解：直线x−my−1+2m=0，即x−1+m(2−y)=0，令y=2，求得x=1，可得它恒过一个定点(1,2)，故答案为：(1,2)．先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得这个定点的坐标．本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．14.【答案】2020【解析】解：∵f(x 1x 2⋅⋅⋅x 2021)=1010，∴log a (x 1x 2⋅⋅⋅x 2021)=1010，∴f(x 12)+f(x 22)+⋅⋅⋅+f(x 20212)=log a (x 12)+log a (x 22)+⋅⋅⋅+log a (x 20212)=f(x 12x 22x 32⋅⋅⋅x 20212)=2log a (x 1x 2…x 2021)=2020．故答案为：2020．利用已知条件得到log a (x 1x 2⋅⋅⋅x 2021)=1010，将f(x 12)+f(x 22)+⋅⋅⋅+f(x 20212)表示出来，利用对数的运算性质进行求解即可．本题考查了函数求值问题，主要考查了对数的运算性质，解题的关键是整体代换的运用，属于中档题．15.【答案】√63 【解析】解：设底面圆心为O ， ∵E 为母线BC 的中点，∴连接OE ，则OE//AC ，∵F 为AB⏜的中点， ∴OF ⊥AB ，则OF ⊥平面ABCD ，则△FOE 是直角三角形，则∠OEF 是异面直线AC ，EF 所成的角，∵圆柱的体积为16π，∴设半径为R ，则高BC =2R ，则πR 2⋅2R =16π，得R 3=8，得R =2，则OB =BE =2，OF =2，则OE =2√2，EF =√4+8=√12，则cos∠OEF =OE EF =√2√12=√6=√63． 故答案为：√63． 连接OE ，OF ，根据异面直线所成角的定义进行转化求解即可．本题主要考查空间异面直线所成角的求解，结合定义转化为平面角，结合三角形的边角关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．16.【答案】(1,2]【解析】解：根据题意，若f(x)在R 上恒有成立f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0(x 1≠x 2)， 则f(x)在R 上为增函数， 又由函数f(x)={1−a 2x 2+x −54(x <1)log a x(x ≥1)，则有{a >11a−1≤11−a 2+1−54≤0， 解可得：1<a ≤2，即a 的取值范围为(1,2]；故答案为：(1,2]．根据题意，由函数的单调性可得f(x)在R 上为增函数，结合函数的解析式可得关于a 的不等式组，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数单调性的定义，属于基础题．17.【答案】解：如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，则C 1E//O 1O ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高，由题意知∠C 1CO =45°，∵正四棱台两底面边长分别为3和9，∴CE =CO −EO =CO −C 1O 1=√22×(9−3)=3√2， 又EF =CE ⋅sin45°=3√2×√22=3， ∴斜高C 1F =√C 1E 2+EF 2=√(3√2)2+32=3√3，∴S 侧=12×(3+9)×3√3×4=72√3．【解析】由已知求解三角形可得正四棱台的斜高，再由梯形面积公式求解．本题考查正四棱台侧面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：(1)设AC 边的中点为M ，则M(12,72)，∴直线BM 斜率k =72+112+2=95，∴直线BM 的方程为y +1=95(x +2)，化为一般式可得9x −5y +13=0，∴AC 边中线所在直线的方程为：9x −5y +13=0(2)设点D 坐标为(x,y)，由已知得M 为线段BD 中点，∴有{−2+x 2= 12−1+y 2=72，解得{x =3y =8，∴D(3,8)， ∵B(−2,−1)，C(2,3)∴|BC|=√(−2−2)2+(−1−3)2=4√2；(3)由B(−2,−1)，C(2,3)可得直线BC 的方程为x −y +1=0，∴点A 到直线BC 的距离d =|−1−4+1|√2=2√2， ∴△ABC 的面积S =12×4√2×2√2=8．【解析】(1)易得AC 边的中点M(12,72)，可得直线BM 斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；(2)设点D 坐标为(x,y)，有{−2+x2= 12−1+y2=72，解方程组可得D(3,8)，由距离公式可得BC ；(3)易得直线BC 的方程为x −y +1=0，可得点A 到直线BC 的距离d =2√2，由三角形的面积公式可得． 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及距离公式和三角形的面积，属中档题．19.【答案】解：(1)当x <0时，−x >0，f(−x)=(13)−x −1=3x −1，又f(x)是奇函数，f(−x)=−f(x)，故f(x)=−3x +1；当x =0时，f(0)=0，满足x >0的解析式．故f(x)={(13)x −1,x ≥0−3x +1,x <0．则函数f(x)的图象的为：(2)由(1)可知f(x)在R 上单调递减，故f(2−5x)<f(2x 2−mx +20)等价于2−5x >2x 2−mx +20，分离变量得m>2(x+9x )+5对x∈[2,4]恒成立，只需要m>[2(x+9x)+5]max，令g(x)=2(x+9x)+5，由对勾函数的单调性可知，g(x)在[2,3]上为减函数，在[3,4]上为增函数，又g(2)=18，g(4)=352．∴g(x)max=18．则m>18，故m取值范围为(18,+∞)．【解析】(1)分类讨论，当x<0时，f(−x)=3x−1，又f(x)是奇函数，f(−x)=−f(x)，求出f(x)，当x=0时，f(0)=0，满足x>0的解析式，综合即可得到函数f(x)的解析式；(2)由(1)可知f(x)在R上单调递减，故f(2−5x)<f(2x2−mx+20)等价于2−5x>2x2−mx+20，然后分离变量即可求出m的取值范围．本题考查了函数奇偶性的性质，考查了函数的单调性及恒成立问题，是中档题．20.【答案】(1)证明：∵AB=2，AE=3，DE=√5，由勾股定理得：AD⊥DE．又正方形ABCD中，AD⊥DC，且DE∩DC=D，∴AD⊥平面EDC，又∵AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EDC；(2)解：由已知cos∠CDE=√55，连接AC交BD于G．作OG⊥CD于O，则OD=DE⋅cos∠EDC=1，OE=2．又由(1)知平面ABCD⊥平面EDC，面ABCD∩平面EDC=CD，OE⊂平面EDC，得OE⊥平面ABCD．由EF//BD，EF=√2，知四边形DEFG为平行四边形，即DE//FG，而V A−EFC=V E−AFC，进而V A−EFC=V E−AFC=V D−AFC=V F−ADC，又由EF//BD，V F−ADC=V E−ADC=13×12×2×2×2=43．∴三棱锥A−EFC的体积为43．【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．(1)由已知结合勾股定理得：AD ⊥DE ，又正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，由线面垂直的判定可得AD ⊥平面EDC ，进一步得到平面ABCD ⊥平面EDC ；(2)由已知cos∠CDE =√55，连接AC 交BD 于G ，作OG ⊥CD 于O ，可得OD =DE ⋅cos∠EDC =1，OE =2，由(1)结合面面垂直的性质得OE ⊥平面ABCD.然后利用等体积法可得三棱锥A −EFC 的体积．21.【答案】解：(1)由f(12)+g(3)=−2，即log a 12+2log a (72−3)=−2，即3log a 12=−2，解得a =2√2．(2)ℎ(x)=log a (−x 2+72x),x ∈[12,3]． ①−x 2+72x =−(x −74)2∈[32,4916]， 当a >1时，ℎ(x)min =log a 32=−2⇒a 不存在；当0<a <1时，ℎ(x)min =log a 4916=−2⇒a =47，综上，实数a 的值为47．②由题知，在区间[12,3]上，函数ℎ(x)的值域是ϕ(x)值域的子集，易得ϕ(x)的值域为[−2,+∞)．当a >1时，ℎ(x)的值域为[log a 32,log a 4916]，应有log a 32≥−2⇒a >1时均符合，当0<a <1时，ℎ(x)的值域为[log a 4916,log a 32]，应有log a 4916≥−2⇒0<a ≤47，综上，实数a 的取值范围为(0,47]∪(1,+∞)．【解析】(1)分别求出两个函数的最小值，利用其和为−2建立方程，即可求出实数a 的值；(2)①求出函数ℎ(x)的解析式，按参数a 的取值范围分类判断出函数的单调性，求出函数的最值，令其等于−2，解方程得出参数a 的值；②根据题意，判断出在区间[12,3]上，函数ℎ(x)的值域是ϕ(x)值域的子集，根据子集的定义转化出参数a 的不等式，即可得出参数a 的取值范围．本题考查函数的最值及基本初等函数的性质，复合函数单调性的判断，涉及到的知识方法较多，难度较大，本题考查了转化的思想，方程的思想，考查全面，质量较高．22.【答案】解：(1)设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 则有{−D +E 2−8=0,4+2D +F =0,20+4D −2E +F =0.解得{D =−8,E =0,F =12.．∴圆C 的方程为：x 2+y 2−8x +12=0．(2)由(1)知C ：(x −4)2+y 2=4，设P(x 0,y 0)，M(x,y)，则{6+x 02=x 0+y 02=y ，{x 0=2x −6y 0=2y， 又P 在圆C ：(x −4)2+y 2=4上，∴(x 0−4)2+y 02=4，∴(2x −10)2+(2y)2=4，M 的轨迹方程为(x −5)2+y 2=1．如图，当OM 与(x −5)2+y 2=1相切时，tan∠MOA 取最大值，此时OM =√25−1=2√6，所以tan∠MOA =12√6=√612．【解析】(1)设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，利用待定系数法确定圆C 的方程；(2)由题意设出P 的坐标，利用中点坐标公式和圆的方程得到点M 的轨迹方程，数形结合易知当OM 与(x −5)2+y 2=1相切时，tan∠MOA 取最大值．本题考查的是圆的一般方程，考查了轨迹方程的求法，利用代入法求圆的方程，训练了中点坐标公式的应用，是中档题．。