数学公理化方法的意义和作用

数学公理化方法的意义和作用

2008-9-27 16:06:49

——摘自《徐利治谈数学哲学》

公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，可以说，它对各门现代数学都有极其深刻的影响．即使在数学教学中，公理化方法也是一个十分重要的方法．

所谓公理化方法(或公理方法)，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学理论构造成为演绎系统的一种方法．所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系而并非人们自由意志的随意创造．

众所周知，Hilbert l899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作．该书在问世后的二三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大．Hilbert的几何公理系统实际上是在前人的一一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改．直到1930年出第七版时，还作了最后修改．这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程是可以包含着一些发展阶段的．

谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下四点：

(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用．凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便．

(2)公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创

(3)数学公理化方法在科学方法论上有示范作用．这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如，20世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力学的公理化，而物理学家亦把相对论表述为公理化形式……

(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构的和谐性确实符合美学上的要求，因而为数学活动中贯彻审美原则提供了范例

数学公理化方法

2007-09-19 23:30

§2 数学公理化方法

公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用，它对于各门现代数学都有极其深刻的影响．公理化方法是数学研究的一种基本方法，即使在数学教学中，也是一个十分重要的方法．

一、公理化方法的意义和作用

所谓公理化方法，就是由尽可能少的不加定义的原始概念(基本概念)和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发，运用逻辑规则推导出其余命题或定理，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法．

公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会科学部门，并在其中起着重要作用．

1．数学公理化方法具有分析、总结数学知识的作用．当一门科学积累了相当丰富的经验知识，需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识的时候，公理化方法便是一种有效的手段．如近代数学中的群论，便经历了一个公理化的过程．当人们分别研究了许多具体的群结构以后，发现了它们具有基本的共同属性，就用一个满足一定条件的公理集合来定义群，形成一个群的公理系统，并在这个系统上展开群的理论，推导出一系列定理．

2．公理化方法作为数学研究的一个基本方法，不但对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用．例如在代数方面，由于公理化方法的应用，在群论、域论、理想论等理论部门形成了一系列新的概念，建立了一系列新的联系并导致了一系列深远的结果；在几何方面，由于对平行公设的研究导致了非欧几何的创立．因此，公理化方法也是在理论上探索事物发展规律，作出新的发现和预见的一种重要方法．

3．公理化方法本身又成为科学研究的对象．介乎于逻辑学和数学之间的边缘学科——数理逻辑，用数学方法研究思维过程中的逻辑规律，也系统地研究数学中的逻辑方法．因此，数学中的公理方法是数理逻辑所研究的一个重要内容．由于数理逻辑是用数学方法研究推理过程的，它对公理化方法进行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精确化的方向发展，一方面把人的某些思维形式，特别是逻辑推理形式加以公理化，符号化．这种研究使数学工作者增进了使用逻辑方法的自觉性．

4．数学公理化方法在科学方法论上具有示范作用．任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也决不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系．公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用．例如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》巨著中，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；本世纪40年代波兰的巴拿赫完成了理论力学的公理化；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系．狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理．爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”．这些就是爱因斯坦运用公理化方法，创立的狭义相对论完整理论体系的精髓．

二、公理化方法的产生和发展

公理化方法主要是从数学(主要是几何学)和逻辑学的发展中产生的．一般认为公理化方法的历史发展大致可划分为产生、完善和形式化三个阶段．

1．公理化方法的产生．

公理化方法发展的第一阶段是由亚里斯多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统．

亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．

公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示．例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念．前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域．按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学．这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性．因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范．

2．公理化方法的发展．

《几何原本》虽然开创了数学公理化方法的先河，然而它的公理系统还有许多不够完善的地方，其主要表现在以下几个方面：(1)有些定义使用了一些还未确定涵义的概念；(2)有些定义是多余的；(3)有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理来证明或代替．这些问题成为后来许多数学家研究的课题，并通过这些问题的研究，使公理化方法不断完善，并促进了数学科学的发展．

第五公设(即平行公设)内容复杂，陈述累赘，缺乏象其它公设和公理那样的说服力，并不自明．因此，它能否正确地反映空间形式的性质，引起了古代学者们的怀疑．从古希腊时代到公元18世纪，人们通过不同的途径和方法对这一问题进行了大量的研究工作，其中萨克里( Saccheri，1667—1733)和兰勃特

( Lambert，1728-1777)等人考虑了两个可能的与平行公设相反的假设，试图证明出平行公设，但是他们的努力均归于失败．然而，在这些失败中却引出了一串与第五公设相等价的新命题和定理，即非欧几何的公理和定理，它预示了一种新的几何体系可能产生．

19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基

(Лобачевский1792-1856)产生了与前人完全不同的信念：首先，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧