方波信号的傅里叶变换
方波信号的傅里叶变换_图文
(4―45)
(4―46)
(4―47)
(4―48) (4―49)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
图 3.8-2 例 3.8-2 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形
先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于
再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有
图 3.8-3 y(t)的求解
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
(a>0)
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
Байду номын сангаас
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
gτ(t)的傅里叶变换为
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
01j
1
jarctan
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t),a 0
F() f (t)e jtdt eat e jtdt
1
j
2 T
2
f (t)cos(2nft)dt
2 T
0 T
2
(1)cos(2nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2nft)dt
2 T
o 2
τ 2
t
(a )
F(j )
2
－
4
－
2
o
4
(b )
F( )
( )
－
4
－
2
o
2 4
－
4
－
2
o 2 4
－
(c)
(d )
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
对于任意一个周期信号，傅里叶变换可以将其表示成一系列正弦波的叠加形式，从而更好地理解和处理信号。
在实际应用中，有很多信号都需要进行傅里叶变换。
下面介绍一些常用信号的傅里叶变换。
1. 正弦信号正弦信号是一种最基本的周期信号，其函数形式为y=sin(wt)，其中w为角频率。
通过傅里叶变换，可以将正弦信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = A1*sin(wt) + A2*sin(2wt) + A3*sin(3wt) + …其中，An为振幅，表示第n个正弦波的幅度。
2. 方波信号方波信号是一种由周期为T的矩形波形组成的信号，其函数形式为：y(t) = sgn(sin(wt))其中，sgn表示符号函数，即当sin(wt)>0时，sgn(sin(wt))=1，否则sgn(sin(wt))=-1。
通过傅里叶变换，可以将方波信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (4/pi)*[sin(wt) + (1/3)*sin(3wt) + (1/5)*sin(5wt) + …]3. 带限信号带限信号是指信号的频率范围有限，通常是指截止频率为一定值的信号。
通过傅里叶变换，可以将带限信号表示为一组频率在一定范围内的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (1/2*pi)*Int[-w0,w0]{F(w)*e^(jwt)dw}其中，F(w)为信号的频谱，w0为信号的截止频率，Int表示积分运算。
以上三种信号只是常用信号中的一部分，实际应用中还有很多其他类型的信号需要进行傅里叶变换。
傅里叶变换不仅可以分析信号的频域特性，还可以用于信号的滤波、压缩、编码等方面，具有广泛的应用价值。
2019方波信号f(t)展开为傅里叶级数.ppt
解
F ( j ) (t )e
jt
dt 1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
1 f (t ) 2
1e d
jt
根据分配函数关于δ(t)的定义， 有
(4―47)
lim 2 arctan 0 [1] 2 ( ) 1 2 ( )
2
(4―48)
(4―49)
f (t) 1 2
F()
0 (a )
t
0 (b )
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
2 an T 2 T
T 2 T 2 0 T 2
f (t ) cos(2 nft )dt 2 ( 1) cos(2 nft )dt T
0 T 2
T 2
0
1 cos(2 nft )dt
T 2 0
2 1 [ sin(2 nft )] T 2 nf 0
2 1 [sin(2 nft )] T 2 nf
f (t) 1 e t o (a ) e－t ＞0 ) t
2
F(j )
o (b )
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f (t ) e
F ( )
0
t
方波信号的傅里叶变换课件
奇偶函数展开特点
奇函数展开
奇函数展开后只包含正弦项，不包含余弦项和直流分量。
偶函数展开
偶函数展开后只包含余弦项和直流分量，不包含正弦项。
04
方波信号的傅里叶级数展开
奇偶方波信号展开过程
奇偶性判断
首先要判断方波信号是奇函数还是偶函数，或者是非奇非偶函数。奇函数和偶函数具有不 同的傅里叶级数展开形式。
周期
方波信号的周期是指信号重复出现的最小时间间隔，用T 表示，单位为秒（s）。
频率
方波信号的频率是指单位时间内信号重复出现的次数，用 f表示，单位为赫兹（Hz），与周期互为倒数关系，即 f=1/T。
占空比
方波信号的占空比是指在一个周期内高电平持续时间与周 期之比，通常用百分比表示。占空比越大，高电平持续时 间越长，反之则越短。
方波信号分类
单极性方波
单极性方波信号的高电平为正值，低 电平为零。这种信号通常用于数字电 路中，表示二进制数的“0”和 “1”。
双极性方波
双极性方波信号的高电平和低电平分 别为正负两个值，且绝对值相等。这 种信号通常用于模拟电路中，可以表 示交流信号的正负变化。
03
傅里叶级数展开原理
三角函数系正交性
号在各个频率上的分量。
线性性质
若信号在时域中满足线性叠加 原理，则其傅里叶变换在频域
中也满足线性叠加原理。
时移性质
信号在时域中的时移对应于其 傅里叶变换在频域中的相移。
频移性质
信号在时域中的频率变化对应 于其傅里叶变换在频域中的位
置变化。
常见函数傅里叶变换对
正弦函数与余弦函数
方波信号f(t)展开为傅里叶级数
[(t t0)]ejt0 1 (t t0) ejt0
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
f (t) 1
F(j) 2()
o
o
(a)
(b)
图 3.4-6 直流信号f(t) (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
解 直流信号1可表示为
f(t)1
t
F(j)1ejtdt
例4―11 已知
gr(t)Sa(2)
求gτ(2t)的频谱函数 解 根据傅里叶变换的尺度变换性
质,gτ(2t)的频谱函数为
[gr(2t)]1 2Sa( 4 )
f (t) 1
0
t
22
f (2t)
1
0
t
44
F()
2π
2π
0
1 F()
22
4π
4π
0
图4.13 尺度变换
利用奇偶虚实性求频谱
例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信 号f(t)=2e-αt u(t)的频谱。
方波信号ft展开为傅里叶级数图42方波信号的傅里叶级数0t2t2t2t?t1t222tcos2ftttnt2anftdt??解我们将信号按式46分解成傅里叶级数并按式474849分别计算an及cbn00202022t2t1cos2?1cos22t12t1sin2?sin2220ttttnftdtnftdtnftnftnfnf????22020202022tsin2ft2t2t1sin2?1sin22t12t1cos2?cos2?22ttnttttbnftdtnftdtnftdtnftnftnftnf??????21nn?02464135nnn???????????222t0413151nsin2sin6sin10sin2135ttcftdtftftftfftn???????????例331306cos8
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种常用的信号分析工具，通过将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性。
以下是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：由单一频率的正弦波组成，傅里叶变换为两个脉冲，分别在正弦频率和负正弦频率处。
2. 方波信号：由多个正弦波组成，傅里叶变换为一系列频率为
奇数倍基频的正弦波。
3. 三角波信号：同样由多个正弦波组成，但相比于方波信号，
频率成倍数递增。
傅里叶变换为一系列频率为奇数倍基频的正弦波，且振幅递减。
4. 噪声信号：由多个随机频率的波形组成，傅里叶变换为连续
分布的频率成分。
通过傅里叶变换，我们可以将信号在频域上展开，进而进行滤波、频率分析等操作，为信号处理和通信系统的设计提供了有力的工具。
- 1 -。
方波信号的傅里叶变换
解
F(j) (t)ejtd t1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了 所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
f(t) 1 1ejtd
2
.
24
根据分配函数关于δ(t)的定义， 有
.
25
冲激信号δ(t)的频谱
例4―2求冲激信号δ(t)的频谱。 解 由频谱函数的定义式有
b频谱fjbto212a1o200ft高频脉冲信号ft的频谱解解图352a所示高频脉冲信号ft可以表述为门函数gt与cos0t相乘即000cos2jtjteet?例413求高频脉冲信号ptgtcos0t的频谱函数解由于高频脉冲信号的频谱函数故有0000000cos21122112222rjtjtrjtjtrrfptfgtteefgtfgtefgtefptsasa????根据频移特性有图414频移特性例例354求图355a所示梯形信号ft的频谱函数
其中
f(t)=2e-αt u(t)=fe(t)+fo(t)
fe(t) e t
fo (t)
e a t
e
a
t
t0 t0
.
47
Fe()
et
ejt
0
e(j)tdt
0
e(j)tdt 222
Fo()
0
e(j)tdt
0
e(j)tdt
1 1
j j
j222
F()Fe()Fo()222 j222
.
33
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
Sgn(
t)
1
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，从而可以将一个时域信号转换到频域上，这样就可以更好地分析信号的频率成分和特性。
傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt。
其中，f(t)表示原始函数，F(ω)表示傅里叶变换后的函数，e^(-iωt)表示复指数函数，ω表示频率。
傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来解释。
假设有一个周期性的方波信号，我们可以通过傅里叶变换将其分解成一系列的正弦函数。
这些正弦函数的频率是原始信号的基频的整数倍，而且每个正弦函数的振幅和相位可以通过傅里叶变换的结果来确定。
这样，我们就可以清楚地了解信号的频率成分和特性。
傅里叶变换有两种形式，一种是连续傅里叶变换，适用于连续信号；另一种是离散傅里叶变换，适用于离散信号。
在实际应用中，我们通常会用到离散傅里叶变换，因为大部分信号都是以离散的形式存在的。
傅里叶变换的原理虽然看起来比较复杂，但是在实际应用中却非常有用。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频率成分，从而可以实现信号的滤波、压缩、编码等操作。
在图像处理领域，傅里叶变换也被广泛应用，可以实现图像的去噪、增强、压缩等功能。
除了分析信号的频率成分外，傅里叶变换还可以用于求解微分方程和积分方程。
通过将微分方程或积分方程进行傅里叶变换，可以将其转化成代数方程，从而更容易求解。
总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
通过傅里叶变换，我们可以更好地分析信号的频率成分和特性，实现信号的滤波、压缩、编码等操作，同时还可以用于求解微分方程和积分方程。
因此，掌握傅里叶变换的原理和应用是非常重要的。
方波信号的傅里叶变换课件
傅里叶变换定义
将时间域的信号转换为频域的表示，通过将信号拆分为不同频率 的正弦波和余弦波的叠加。
方波信号的频谱计算
通过对方波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱，即各个频率分 量的幅度和相位。
频谱分析
通过分析方波信号的频谱，可以了解该信号在不同频率下的表现和 特征。
方波信号的频域分析
频域分析方法
在频域中，通过观察信号的频谱，可以分析信号的频率成分、能 量分布以及频率变化规律等信息。
方波信号的频域特性
方波信号在频域中表现出较为突出的离散性，即主要集中在某些 特定的频率分量上。
频域分析的应用
通过频域分析，可以对方波信号进行滤波、调制和解调等操作， 实现信号处理和通信系统的应用。
方波信号的逆变换结果
01
02
03
逆变换的概念
将经过傅里叶变换得到的 频域表示重新变换回时间 域，恢复原始信号的过程 。
时移性质
若f(t)是函数，则f(t+a)的 傅里叶变换为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
若f(t)是函数，则f(at)的傅 里叶变换为|a|F(|a|ω)。
对偶性
若f(-t)=f*(t)，则 F(ω)=F*(-ω)。
帕斯瓦尔定理
f(t)的能量等于其傅里叶变 换在无穷大频率域上的积 分。
离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）
方波信号的傅里叶变 换课件
目录
• 方波信号简介 • 傅里叶变换基础 • 方波信号的傅里叶变换 • 方波信号的傅里叶逆变换 • 方波信号的傅里叶变换实例
01
方波信号简介
方波信号的定义
方波信号是一种常见的周期信号，其在一个周期内取值 为+1或-1，且在半个周期内从+1跳变到-1或从-1跳变 到+1。
傅里叶变换 正弦波 分解 方波
傅里叶变换正弦波分解方波傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，可以将一个信号分解成不同频率的正弦波的叠加。
而其中一种特殊的信号，方波，可以通过傅里叶变换来进行分解和理解。
正弦波是一个周期性的波形，具有不同的频率和振幅。
傅里叶变换可以将任意一个周期性的信号分解成多个正弦波。
这是因为正弦波具有唯一的频率，可以表示任意周期性信号的一个重要组成部分。
通过傅里叶变换，我们可以知道一个信号包含哪些频率的正弦波，以及每个正弦波的振幅。
方波是一种非常特殊的波形，它在每个周期内都有两个不同的振幅值。
在傅里叶变换中，方波可以看作是多个正弦波的叠加。
具体地说，一个方波信号可以拆解成一个基频为f的正弦波和其奇数倍频的正弦波的叠加。
这是因为方波信号的周期性导致其可以用不同频率的正弦波分解。
通过傅里叶变换分解方波信号，我们可以得到其包含的不同频率的正弦波，并且可以知道每个正弦波的振幅。
这种分解和分析的方法非常有意义。
首先，我们可以了解方波信号的频率组成成分，进一步理解信号的特性和波动规律。
其次，我们可以根据每个正弦波的振幅来合成原始的方波信号。
这种合成是通过将不同频率的正弦波按照其振幅进行叠加而实现的。
通过合成，我们可以得到与原始方波信号非常相似的近似信号。
这种信号合成的方法在通信、音频处理和图像处理等领域中非常实用。
在实际应用中，傅里叶变换和方波信号的分解是非常有指导意义的。
首先，当我们需要分析一个信号的频率特性时，可以通过傅里叶变换将其分解成不同频率的正弦波，从而获得有关信号频率特性的重要信息。
其次，当我们需要合成一个复杂的周期性信号时，可以根据傅里叶变换的结果，通过合成不同频率和振幅的正弦波来重建原始信号。
这种技术在信号处理、音频合成和图像合成等领域中得到了广泛应用。
综上所述，傅里叶变换是一个非常有用的工具，可以将一个信号拆解成不同频率的正弦波。
方波信号作为一种特殊的周期性信号，可以通过傅里叶变换来进行分解和合成。
通过这种分解和合成的方法，我们可以了解信号的频率特性，并且可以进行信号的重建和合成。
python 傅里叶变换 方波
python 傅里叶变换方波Python作为一种高级编程语言，自然有其强大的数学计算能力。
尤其在信号处理方面，Python有丰富的库和函数，其中就包括傅里叶变换。
本文将结合Python代码，讲述如何通过傅里叶变换分析方波信号。
首先，需要明确什么是傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的技术。
它能够将信号分解成许多不同频率的正弦波，并且确定每个正弦波所具有的振幅和相位。
傅里叶变换可应用于许多领域，如音频处理、图像处理、通信等。
方波是一种在时间上呈现出周期性的信号，通常被用于模拟数字信号。
我们可以使用Python中的Matplotlib库来生成一段方波信号。
具体代码如下：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltt = np.linspace(0, 1, 500, endpoint=False)sq_wave = -1 * np.ones_like(t)sq_wave[t < 0.5] = 1plt.plot(t, sq_wave)plt.ylim(-2, 2)plt.xlabel("时间（秒）")plt.ylabel("幅值")plt.title("方波信号")plt.show()```执行代码后，会显示一张方波信号的图像。
该图展示了以时间为横轴，以幅值为纵轴的信号波形。
此处的方波信号周期为1秒，幅值从-1变为1，再从1变为-1。
下一步，我们需要对方波信号进行傅里叶变换。
Python提供了多种傅里叶变换的工具。
在此，我们使用SciPy库下的fft函数。
具体代码如下：```pythonfrom scipy.fft import fftY = fft(sq_wave)plt.plot(np.abs(Y))plt.title("傅里叶变换频谱")plt.ylabel("振幅")plt.show()```运行代码后，会生成一个傅里叶变换的频域图像。
方波 傅里叶变换代码
方波傅里叶变换代码方波信号是一种具有周期性的信号，在数学上可以用傅里叶级数来表示。
傅里叶变换则是将一个周期信号分解成若干个正弦波的和，从而可以更好地理解和处理信号。
在本文中，我们将探讨如何使用Python 代码进行方波的傅里叶变换。
步骤1：导入必要的库我们需要导入 numpy、matplotlib 和 scipy 库，numpy 用于数学计算，matplotlib 用于绘图，scipy 中包含傅里叶变换函数。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.fft import fft步骤2：生成方波信号我们使用 numpy 库生成一个周期为2π 的方波信号，并设置其幅度为 1。
x = np.linspace(0, 6*np.pi, 1001) # 生成从 0 到6π 的1001 个数据点y = np.sign(np.sin(x)) # 生成方波信号，幅度为 1步骤3：绘制方波信号我们使用 matplotlib 库将生成的方波信号绘制出来，以便更好地理解和观察信号的形态。
plt.plot(x, y)plt.xlabel('t')plt.ylabel('f(t)')plt.title('Square Wave')plt.show()步骤4：进行傅里叶变换我们使用 scipy 库中的 fft() 函数对生成的方波信号进行傅里叶变换。
Y = fft(y)步骤5：计算频域信息由于傅里叶变换得到的结果是复数，我们需要进行幅度谱运算，即将结果的实部和虚部平方相加再开方，得到每个频率分量的幅度。
同时，我们还需要计算出每个频率分量对应的频率。
N = len(Y)amp = np.abs(Y) / N * 2 # 幅度谱运算freq = np.arange(N) * 2*np.pi / N # 计算频率步骤6：绘制频率域信息我们使用 matplotlib 库将计算得到的幅度和频率绘制出来，以便更加直观地了解原始信号中的频率成分。
常见信号的傅里叶变换
常见信号的傅里叶变换信号处理领域中，傅里叶变换是一种非常重要且常见的数学工具，用来分析信号的频谱特性。
在这篇文章中，我们将介绍几种常见信号的傅里叶变换，包括方波信号、三角波信号、和正弦信号。
方波信号是一种周期性的信号，其波形呈现为由两个值交替组成的矩形波形。
对方波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱是一系列的奇次谐波分量。
这是因为方波信号的波形是对称的，只包含奇次谐波成分。
这种频谱特性在频域滤波和频率分析中具有重要意义。
三角波信号是一种周期性的信号，其波形呈现为由线性递增或递减的三角形波形。
对三角波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱是一系列的奇次和偶次谐波分量。
与方波信号不同的是，三角波信号的波形是非对称的，同时包含奇次和偶次谐波成分。
这种频谱特性在频域滤波和信号合成中也有广泛的应用。
正弦信号是一种最简单的周期性信号，其波形呈现为正弦曲线。
对正弦信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱是一个单一的谐波分量。
这是因为正弦信号的波形是最简单的周期性波形，只包含一个频率的谐波成分。
正弦信号的频谱特性在频域滤波、频率调制和解调等领域具有重要意义。
除了这三种常见信号外，还有许多其他类型的信号可以进行傅里叶变换分析，如方波信号的卷积、正弦信号的调幅调频等。
通过对信号的傅里叶变换分析，我们可以更深入地了解信号的频谱特性，进而实现信号的处理和分析。
总的来说，傅里叶变换是信号处理领域中一种非常重要的数学工具，对于分析各种类型的信号具有重要意义。
通过对常见信号的傅里叶变换分析，我们可以更好地理解信号的频谱特性，为信号处理和分析提供更加深入的理论基础。
希望本文对读者有所启发，让大家对傅里叶变换有更深入的理解和应用。
方波 傅里叶变换
方波傅里叶变换
方波是一种特殊的周期方波形，其周期为T，每个周期内的波形由一个矩形函数组成。
可以用傅里叶级数展开为：
f(t) = (4/pi) * [sin(w0t) + (1/3)sin(3w0t) + (1/5)sin(5w0t) + ...]。
其中，w0为基频，w0 = 2*pi/T。
傅里叶变换是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦信号的过程。
对于方波信号，它的频谱图是一系列的峰值，每个峰代表一个正弦或余弦信号的频率，并且峰值的高度与信号中该频率分量的相对强度成正比。
在频域中，方波信号的频谱具有奇函数性质，即其频谱图关于零点对称。
这是由于方波信号为奇函数，在傅里叶变换中只有正弦成分，没有余弦成分。
因此，它的频谱必须是奇函数。
傅里叶变换 正弦信号 到 方波信号
傅里叶变换正弦信号到方波
信号
傅里叶变换是一种在数学和工程领域广泛应用的工具，它可以将一个复杂的信号分解为一组简单的正弦波。
正弦波是一种以正弦函数形式振动的波形，而方波则是一种包含所有奇次谐波的离散时间信号。
如果我们有一个正弦波信号，我们可以通过傅里叶变换将其转换为一个方波信号。
在傅里叶变换中，正弦波可以被表示为一系列不同频率和幅值的正弦波的叠加。
对于一个方波信号，它包含所有的奇次谐波分量。
具体来说，如果我们有一个正弦波信号y(t) = sin(2πft)，其中 f 是频率，我们可以通过傅里叶变换将其转换为一个方波信号。
首先，我们将正弦波信号进行采样，得到一系列离散的数据点。
然后，我们使用傅里叶变换将这些数据点转换为一组正弦波的分量。
最后，我们将这些正弦波分量进行叠加，得到一个方波信号。
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2
2
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
g(t) 1
－τ2o
τ 2
t
(a)
F(j )
2
－4 －2 o
4
(b)
F( )
( )
－4 －2 o
2 4
－ 4
－ 45° (b)
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数
例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
f
(t
)
eat
t0
0
t0
f (t)
1 e－t ( ＞ 0)
( 0)
F( )
1
o
t
o
(a)
(b)
图 3.4-2 单边指数函数e-αt
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
f (t)
1
et
e－t ＞0)
o
t
(a)
F(j )
2
o
(b)
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f (t) e t u(t), 0
0 T
2
(1)sin(2 nft)dt 2
T
T 2 0
1 sin(2 nft)dt
2 T
1 [ cos(2 nft)] 2 nft
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
4
n
n 2, 4,6, n 1,3,5,
c 2
T
T
2 T
2
f (t)dt 0
从频谱函数的定义式出发
(4―42)
பைடு நூலகம்
F ( ) 0 eat e jtdt 0 eat e jtdt 1 1
j j
2 2
2
(4―43)
f (t) 1
0
t
(a)
F ()
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
gr
(t)
1
0
t
2
t
2
gτ(t)的傅里叶变换为
[gr (t)]
2 2
e jtdt sin( / 2) / 2
Sa(x) sin(x) x
[
gr
(t
)]
Sa
(
2
)
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
A1 3
A2 2
1 0 1 10 2 20
A3 0.4 3 45
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n
45°
45°
30° 30°
20°
15° 10°
o
2
3
4
5
6
(b)
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
f(t)
F(j )
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t), a 0
F ( ) f (t)e jtdt eat e jtdt
1
j
0
(4―40) (4―41)
F ( )
1
12
－ 0
(a)
argF()
2
4
－ 0
－
4
－
2
(b)
图4.7 单边指数信号及其频谱
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里
叶级数展开式。据
f
(t)
A0 2
n1
An cos(nt n )
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2
－
2
o 2 4
－
(c)
(d)
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
g(t)
F()
1
－ 2/
2/
－/ 2 0 / 2
t
(a)
0
(b)
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
f (t) cos(2 nft)dt
2
T
0 T
2
(1) cos(2 nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2 nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2 nft)dt
2 T
f (t) 4 [sin 2 ft 1 sin 6 ft 1 sin10 f 1 sin 2 ft ]
3
5
n
n 1,3,5,
振幅谱和相位谱例题
例 3.3-1 f (t) 1 3cos(t 10) 2 cos(2t 20)
0.4 cos(3t 45) 0.8cos(6t 30),
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F ( j ) f (t)e jtdt ete jtdt
e( j )t
( j )
0
1
j
1
j arctan
e
a
a2 2
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
f(t) 1
e－t ＞0)
X( )
1
o
t
－ et
o
－1 (a)
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
－
1
(b)
解 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
eat
eat
t0
(a>0)
t0
F ( j ) 0 eate jtdt ete jtdt
0
1
j
1
j
j
a2
|Fn|
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45°
45°
30° 30°
20°
15° 10°
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o
2 3 4 5 6
－ 10° － 15°
－ 30°
－ 20°
－ 30°
－ 45°
f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t)
1
－T T
0T T
2T
t
2
－1 2
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,
并按式(4 及c。
―
7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,
bn
an
2 T
T
2 T
2