第22章 达朗贝尔原理
理论力学 动力学 达朗贝尔原理

l
ω
C
FT B FAy
A
mg FAx
B
x FI
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
∑MA = 0
FAx + FΙ − FT = 0 FAy − mg = 0
α
A
l 2 FT l cos α − FΙ l cos α − mg sin α = 0 3 2
本周作业
《练习册》第45~46页 达朗贝尔原理(1)
习题1 轴承处不产生附加动约束力:是指惯性力系自成一个平 衡力系 习题4 求角加速度:以A点为基点分析B点
《练习册》第47~48页
习题2:支承A处光滑 习题4 动力学综合应用
达朗贝尔原理(2)
今天交作业:碰撞共1张作业纸,班级 编号在101及以后的双号请直接交给我。
FI2
mg
A
ω
FAx
FAy
∑F
x
=0
0 FBx + FAx + FI1 − FI2 =
∑F
3个“平衡方程”未知量: 3个约束反力
= 0 FAy − 2mg = 0 mLω 2 sin 2θ FAx = − FBx = h FAy = 2mg
y
13
例
均质杆AB长为l,质量为m,以匀角速 度ω 绕 z 轴转动,如图。求:杆与铅 垂线的交角 及铰链 A的反力。 解: 分析运动,杆上各点作圆 周运动,ω匀速,故只有法 向加速度 加惯性力 dm =
n n n * FR = ∑ Fi + ∑ Fi + ∑ FiI = 0 i=1 i=1 i=1
达朗伯原理

达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念,将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力,进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理(动静法)。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力;另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi=-miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题),刚体的惯性力 为面积力,组成平面力系。 对于一般问题,刚体的惯性力为体积力,组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程,动静法体现不出优点,但是虚加惯性力和惯 性力偶后,动静法可以对任意点取矩(二矩式、三矩式) 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知:m , h , , l。 求:A、D处约束反力。 解: 取 AB 杆为研究对象
达朗贝尔定理

F2
y d
dFg
F1
x
D A2d 4 π
2 0
F 0 : x
F cos F 0 d g 2
2 2 D π D 2 2 2 F A sin sin 0 A Av 2 4 2 4 π
1 2 M J ml gO O 3
1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 F ma gR C 2 1 2 M J ml gO O 3
2 1 2 M J ml gC C 12
ml 4 2 ' F ma gR C
P
B
J ml 2 由于加速度提升重物 r 而对支座 A , B 的附加压 a J ' 力等于附加动反力分别为: F B ml 1 l1 l 2 r a l1 l 2
B
例题 如图所示,匀质圆盘的半径为
r,质量为m,可绕水平轴O转动。突 然剪断绳,求圆盘的角加速度和轴
A
l1
P
B
l2
解:以整体为研究对 象,受力如图所示, 根据动静法:
惯性力为: a M g J J r F g ma
M ( F ) 0
B
M
FA
g
。
F
B
A
a
Fg
mg
P
B
F ( l l2) F A 1 gl 2 mgl 2 Pl 3 M g 0
F 0 ,
y
F F mg P F 0 A B g
14.达朗贝尔原理

FIR = − mac
16
17
二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。 直线 i : 平动, 过Mi点, FIi = −mi ai 空间惯性力系—>平面惯性力系(质量对称面) O为转轴z与质量对称平面的交点,向O点简化: 主矢: 主矩: O
FIR = −maC
M IO = ∑ mO ( FIi ) + ∑ mO ( FIi )
例3 已知: 飞轮质量为m,半径为R,以匀角速度 已知: 飞轮质量为 半径为 以匀角速度 的影响. 的影响 求:轮缘横截面的张力. 轮缘横截面的张力.
ω 定轴转动,设 定轴转动,
轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上 不考虑重力 轮辐质量不计 质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 质量均布在较薄的轮缘上
因
ϕ =ωt,得
Fy = (m + m )g + m eω cosωt 1 2 2
2
F = −m2eω2 sinωt x
M = m2gesin ωt +m2eω2hsin ωt
例6 已知:如图所示,电动绞车安装在梁上 梁的两端搁在支座上, 电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在支座上 已知:如图所示 电动绞车安装在梁上 梁的两端搁在支座上 绞车与梁共重为P.绞盘半径为 绞盘半径为R,与电机转子固结在一 绞车与梁共重为 绞盘半径为 与电机转子固结在一 转动惯量为J 质心位于O 绞车以加速度a提升质 起,转动惯量为 ,质心位于 处.绞车以加速度 提升质 转动惯量为 质心位于 绞车以加速度 量为m的重物 其它尺寸如图. 的重物,其它尺寸如图 量为 的重物 其它尺寸如图 受到的附加约束力. 求:支座A,B受到的附加约束力 支座 , 受到的附加约束力
【工程力学 课后习题及答案全解】第22章达朗贝尔原理习题解

习题 22-10 图
— 101 —
FIn = mrω 2 = 3.061× 0.1333 × 0.3 =0.122N FIτ = 0 (α = 0 )
轴承 A 的约束反力 FAx = 0.122 N( ∑ Fx = 0 ) FAy = 30 N ( ∑ Fy = 0 )
(2)求 B 截面弯矩 考虑 BD 段受力,只有惯性力 d FI ,在 y 方向分量对 B 截面弯矩有贡献。 微段质量: γ = 100 N/m
22-3 图示为作平面运动的刚休的质量对称平面,其角速度为 ω ,角加速度为α ,质量 为 m ,对通过平面上任一点 A(非质心 C)、且垂直于对称平面的轴的转动惯量为 J A 。若将 刚体的惯性力向该点简化,试分析图示的结果的正确性。
ω
α
FIC
θ
MIC a
dC
FIR A
习题 22-3 图
(a)
解:惯心力系向质心简化结果如图 a: FIC = ma M IC = −JCα
dm = γ dx g
d FI = d m
x2
+ 0.22 ω 2
=
γ 0.3
h
d FI y = d FI cosθ
x 2 + 0.22 d x
= 0.3 ⋅ 100 ⋅ 0.2
x2 + 0.22 d x
9.8 x2 + 0.22
= 0.3× 0.2 ×100 d x = 6 d x
9.8
9.8
∫ ∫ M A =
=
0
,只有加速度
aτ O
惯性力 FI = maOτ
∑ FI = 0 , mg sin 30o − maOτ = 0
aOτ
理论力学达朗贝尔原理与动静法教学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

例题
于是可写出汽车旳动态平衡方程
M B 0 , RQh Gc N A(b c) 0 (1) M A 0 , RQh Gb NB (b c) 0 (2)
由式(1)和(2)解得
NA
M
(gc ah) bc
NB
M (gb ah) bc
RQ C
h FB
B
G
c
NB
a
b
A
NA
例题
列车在水平轨道上行驶,车厢内悬挂一单摆,当车厢向右作
达朗贝尔原理与动静法
目录
达朗贝尔原理 惯性力系旳简化 动静法应用举例 定轴转动刚体对轴承旳动压力
引言
引进惯性力旳概念,将动力学系统旳二阶运动量 表达为惯性力,进而应用静力学措施研究动力学 问题 —— 达朗贝尔原理。
达朗贝尔原理为处理非自由质点系旳动力学问题 提供了有别于动力学普遍定理旳另外一类方 法。
● 主矩
合力偶旳力偶矩即为惯 性力系旳主矩,其大小等于 刚体对经过质心旳转动轴旳 转动惯量与角加速度旳乘积, 方向与角加速度方向相反。
M CQ ICz
MCQ
RQ
C
ri
mi
a
n ir
aC
a
ir
ε
aC
常见惯性力旳主失和主矩
综上所述:
1、刚体作平动 向质心简化
● 主矢 RQ= (-miai ) =-MaC
匀加速运动时,单摆左偏角度 ,相对于车厢静止。求车厢
旳加速度 a 。
例题
解: 选单摆旳摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tan
重力 达朗贝尔原理

达朗贝尔原理是求解约束系统动力学问题的一个普遍原理,它是关于变换的著名定理。
该定理断言:每个有不动点的空间第一种合同变换是一个空间旋转。
该原理阐明,对于任意物理系统,所有惯性力或施加的外力,经过符合约束条件的虚位移,所作的虚功的总和等于零。
或者说,作用于一个物体的外力与动力的反作用之和等于零。
具体来说,如果一个质点受到主动力F、约束力FN以及虚构的惯性力FI=-ma的作用,那么这些力在质点运动的任一时刻都会构成平衡力系,即F+FN+FI=0。
而对于质点系,如果在每个质点上都加上虚构的惯性力FIi=-miai,则质系中每个质点均处于平衡,即Fi+FNi+FIi=0(i=1,2,…,n)。
达朗贝尔原理的提出,为分析力学的创立打下了基础。
它使得一些力学问题的分析得以简化,尤其是通过将动力学问题转化为静力学问题来处理,使得问题更加直观和易于解决。
达朗贝尔原理

m1 m2 m1l 2
例题
第14章 达朗贝尔原理
例 题4
例题5
第14章 达朗贝尔原理
FI αF
ω
FN
mg
球磨机是一种破碎机械,在鼓室中装进物 料和钢球,如图所示。当鼓室绕水平轴转动时, 钢球被鼓室携带到一定高度,此后脱离壳壁而 沿抛物线轨迹落下,最后与物料碰撞以达到破 碎的目的。如已知鼓室的转速为n rpm,直径为 D。设钢球与壳壁间无滑动,试求最外层钢球的 脱离角α 。
MB 0
FI
C
h
mg
FB B c
b
FNB
FI h mgc FNA (b c) 0
a MA 0
FI h mgb FNB (b c) 0
A
FNA
FNA
m(gc ah) bc
FNB
m(gb ah) bc
第三节
刚体惯性力系的简化
刚体作平动
FI -miai -mac
F1I m1a
F2I m2a
M I Jo
mo 0
m1gr m1ar m2ar m2gr Jo 0
a m1 m2 g m1 m2 m
mr2 a r
力学小魔术
一根重为F的均质杆简支于A,B支座上,支座的反力 分别为F/2。如果突然将支座B撤去,显然在重力矩 作用下AB杆将绕A点顺时针转动而掉下。现在,允 许在AB杆上采取一些措施,但不能对系统施加绕A 点的外力矩,使得在支座B撤去后,AB杆仍能维持 水平而不掉下。你能做到吗?
J B 2
1 2
FP g
v2
QS
理论力学经典课件达朗伯原理

该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ,后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出,在一个动力学系统 中,对于任何一个质点,其受到的合 外力等于零,即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时,只需要 考虑主动力,而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中,物体的加速度与 作用力成正比,与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律,可以建立物 体运动的动力学方程,描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中,为了保持牛顿运 动定律的形式不变,引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出,在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下,单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析,可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理,可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中,达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析,可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用,特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律,例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外,达朗伯原理还可以应用于工程学领域,例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理,我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为,从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
达朗贝尔原理

质点系的达朗贝尔原理
Fi+FNi+Fgi = 0 ( i = 1、2、…、n )
一.若质点系中有n个质点,对每个质点皆有:
这就是质点系的达朗伯原理。(在任一瞬时,每个
质点上的主动力、约束反力与假想的惯性力皆构成形
式上的平衡力系)。
二.把主动力系、约束反力系与假想的惯性力系简化 成各自的主矢FFR 、FNR 、FgR ,与主矩MFO 、MNO 、 MgO。由力系等效理论,可知整个力系的主矢、主矩 为零,即:
F gx m , x F g m dv dt , F gy m , y F gn m v F gz m z
2
二.质点的达朗贝尔原理
质点m受主动力F,约束反 力FN 作用,由质点动力学 基本方程: ma = F+FN, 但注意到: Fg =-ma (并 不作用在m上!)
因此可以形式上写成: F+FN+Fg = 0 质点的达朗贝尔原理。(在任一瞬时,作用在
质点上的主动力、约束反力与假想的惯性力在形 式上组成一个平衡力系。)
三.动静法
达朗贝尔原理用平衡方程的形式写出动力学 方程,这使求解动力学问题可以借用静力学的方 法——动静法(动力学问题的“静力学”解法) 。
§14-2
和一个力偶 MgC=-JCa 。
l 特例: i. 平动部分是匀速直线运动,即:ac=0时,惯 性力系合成为一个力偶Mg=-JCa。
ii. 转动部分是匀速转动,即 a = 0时,惯性力 系合成为一个过质心的力 FgR =-Mac 。 iii.平动、转动皆为匀速时(如:圆轮在直线轨 道上的匀速纯滚动),ac=a = 0 , 惯性力系 自成平衡。
三.消除附加动反力的条件
工程力学 第22章 达朗贝尔原理

∑M
O
( FIin ) = 0
于是,刚体作定轴转动时惯性力系向点 O 简化,得到
n FIR = − m a C = −m atC + m a C
(22-6a) (22-6b)
t M IO = ∑ M ( =( − ∑ mi ri2 )α = − J Oα O FIi )
上述结果表明,有质量对称面的刚体作定轴转动,且转轴垂直于对称平面时,其惯性 力系向轴心简化的结果为对称面内的一力和一力偶。 这一力的矢量即为惯性力系的主矢, 其 大小等于刚体质量与质心加速度的乘积, 方向与质心加速度相反; 这一力偶的力偶矩即为惯 性力系的主矩, 其大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积, 方向与角加速度的方 向相反。
22-1-1 质点的达朗贝尔原理与惯性力
图 22-1 质点的惯性力与达朗贝尔原理
在惯性参考系 Oxyz 中,设一非自由质点的质量为 m,加速度为 a,在主动力 F 、约束 力 FN 作用下运动。由牛顿第二定律,有
m a = F + FN
若将上式左端的 m a 移至右端,则成为
F + FN − m a = 0
由于圆柱体纯滚动,因而有
a C = Rα
将式(b)和式 (c)代入式(a) 式,解得
(c)
aC =
2 g sin θ 3
(d)
进而求得圆柱体作纯滚动时的角加速度
α=
2g 约束力 以整体为研究对象,受力分析如图 22-6a 所示,平衡方程为
22-2-4 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
在工程构件中, 作平面运动的刚体往往都有质量对称面, 而且刚体在平行于这一平面的 平面内运动。因此,仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系,然后再作进一步简化。
达朗贝尔原理

M I 0 = ∑ ri × FIi = ∑ ri × (− mi ai ) =−
ri
(∑ m r )× a
i i
c
= − mrc × ac
向质心简化: 向质心简化:
FIR = −mac
M Ic = 0
二、平面刚体做定轴转动
mac = ∑miai
z
取转轴上任意一点O为简化中心 取转轴上任意一点 为简化中心 主矢
t i
rt FIi
rn FIi
ω α n n 2 Fi = mai = mriω I i i
x
MIx = ∑Mx ( F ) = ∑Mx ( Ft ) + ∑Mx ( Fn ) Ii Ii Ii
= ∑mi riα cosθi zi + ∑(−mi riω2 sinθi zi )
平面刚体做定轴转动 ? 如果刚体有质量对称面且该面与转轴z垂直; 如果刚体有质量对称面且该面与转轴 垂直;
(1)
∑ M (F) = 0
A
MgC2
FgC2 C2 mg B
l (FgC2 − mg) + MgC2 = 0 (2) 2
联立(1), (2)求解 联立 求解: 求解
FgC2 MgC2 C2 mg B
9g ε1 = 7l
ε2
3g = − 7l
例 题 4 均质圆柱体重为 ,半径为 ,沿倾斜平板从静止状 均质圆柱体重为W,半径为R, 态开始,自固定端O处向下作纯滚动 处向下作纯滚动。 态开始,自固定端 处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾 忽略板的重量。试求: 固定端O处的约束力 处的约束力。 角为θ ,忽略板的重量。试求: 固定端 处的约束力。
《理论力学达朗贝尔原理》教案

《理论力学》教案
教学课题:§13.1 惯性力的概念达朗贝尔原理
选用教材:武清玺冯奇.《理论力学》
高等教育出版社
教学指标
课题:§13.1 惯性力的概念达朗贝尔原理
课型:新授课
课时:1课时
教学目标:
1.了解什么是惯性力;
2.知道惯性力的大小、方向及作用物体;
3.熟练掌握质点达朗贝尔原理的使用;
4.掌握质点系达朗贝尔原理表达式,能灵活应用。
教学内容:
本节内容主要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法—达朗贝尔原理,它是用静力学平衡的观点解决动力学问题,又称为动静法。
它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便,因此在工程中得到广泛的应用。
教学重点:质点达朗贝尔原理应用,质点系达朗贝尔原理推导及应用。
教学难点:惯性力的作用物体,质点系质点系达朗贝尔原理的应用。
教学方法与手段:知识点的推进遵从循序渐进、由表及里、有点几面的原则。
以多媒体教学为主要手段,辅以板书推导、演算,利用精炼的语言讲解,让学生通过眼、耳、大脑共同的感知,达到传授理论的目的。
讲解过程结合适当练习达到具体、直观强化理论的目的。
r
()0
-=
ma
引入惯性力表达式后,上式可改写成
u
球磨机是一种破碎机械,在鼓室中装进物料和钢球(如下图。
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F + FN + FI = 0
注:(1) 惯性力不是一个真实的力 :(1) 惯性力只是一个工具
Fg = ma
(2)质点并非处于平衡状态 , 这样做 质点并非处于平衡状态, 质点并非处于平衡状态 的目的是将动力学问题转化为静力学问 题求解。 题求解。
绕水平轴O 例 球磨机的滚筒以匀角速度ω 绕水平轴 转动, 内装钢球和需要粉碎的物料, 转动 内装钢球和需要粉碎的物料 钢球被筒 壁带到一定高度脱离筒壁, 壁带到一定高度脱离筒壁 然后沿抛物线轨 迹自由落下, 从而击碎物料, 如图。 迹自由落下 从而击碎物料 如图。设滚筒内 壁半径为r, 试用动静法 动静法求钢球的脱离角 壁半径为 试用动静法求钢球的脱离角α。
第22章 达朗贝尔原理 (动静法)
前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决质点系动力学问题提供了另 一种新的普遍的方法。这种方法的特点是: 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的问题, 因此这种方法又叫动静法。由于静力 学研究平衡问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
B D a FD
y x FI A FAy
Hale Waihona Puke FD = m( g cos 30 a sin 30 )
= 39.48 N
mg FAx
∑ Fx =Fx =FAx + FI + FID+ FD30 = 0 = 0 0 0 FAx + F sin sin 30
FAx = 619.74 N
1. 刚体作平移 1 刚体平移时,刚体内任一质 点i的加速度ai 与质心的加速 度aC相同,有ai = aC,任选 一点O为简化中心,主矩用 MgO表示,有 FI1 rC O C a1 aC i FIi ai
M gOO = ∑ ri × Fgii = ∑ r i × ( mi ai ) = ( M F
现在讨论三种特殊情况: 1. 当转轴通过质心C时
F IR = maC = 0 M IO = J Oα
2. 当刚体作匀速转动时, α=0, 若转轴不过质心
M IO
F IR
F IR = maC
M IO = J Oα = 0
3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时。
F IR = maC = 0
t Ii t i i
F = m a = mi riω
F = m a = mi riα
2
O
ω α
ri i FIit FIin
该惯性力系对转轴O的主矩为
M IO = ∑ M O ( FIin ) + ∑ M O ( FIit )
M IO = ∑ M O ( F ) + ∑ M O ( F )
n Ii t Ii
§22-2
达朗贝尔原理
一、质点的达朗贝尔原理
F + FN ma = 0
Fg = ma
F + FN + FI = 0
FI M F FN a
即:在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动 在质点运动的任一瞬时, 约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上 力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束力为FN 。由牛顿第二定律,有
ma = F + FN
将上式改写成
FI M F FN a
F + FN ma = 0
Fg = ma
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关,称其为 质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加 速度的乘积, 方向与质点加速度的方向相反。
Fi + Fi + Fgi = 0 (i =1 2.... ) , n
(e) (i)
质点系中每个质点上作用的外力、 质点系中每个质点上作用的外力、内力和它的惯性力 在形式上组成平衡力系。 在形式上组成平衡力系。就是质点系的达朗贝尔原理 由静力学知, 由静力学知,空间任意力系平衡的充分必要条件 是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零, 是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零,即
B l D 30° A
h=1m a
解:以杆为研究对象, 受力如图。 以杆为研究对象 受力如图。
B
杆作平移
l D 30°
FIR = mac = ma = 600 N
∑ M A (F ) = 0 l l l l l l mg cos 30 FD FI sin 30 = 0 2 2 2
h=1m a
A
θ
FN mg
α
O
ω
r
F : : + + cos I F ∑ Fn =n0= 0FN FNmgmg cos θF = I0= 0
rω 2 FN = mg ( cos θ ) g
显然当钢球脱离筒壁时, 显然当钢球脱离筒壁时 FN=0 , 由此可求出其脱离角α为
rω 2 α = arccos( ) g
∑
∑M
O
Fi (e) + ∑ Fgi = 0
(Fi ) + ∑ M O ( Fgi ) = 0
(e)
即:作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
§22-3
刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题, 需要对质点系内每个质点加上各自的惯性力,这些 惯性力也形成一个力系,称为惯性力系。 用静力学力系简化理论,求惯性力系的主矢和主矩。 以FgR表示惯性力系的主矢。
二、
质点系的达朗贝尔原理
个质点组成, 其中任一质点i的质 设质点系由 n 个质点组成 其中任一质点 的质 量为m 其加速度为a 把作用在此质点上的力分为 量为 i, 其加速度为 i, 把作用在此质点上的力分为 主动力F 约束力为F 主动力 i、约束力为 Ni,对这个质点上假想地加上 它的惯性力F 则由质点的达朗贝尔原理, 它的惯性力 gi=-miai , 则由质点的达朗贝尔原理 有
他一生对力学也作了大量研究。 他一生对力学也作了大量研究。达朗 贝尔是十八世纪为牛顿力学体系的建 立作出卓越贡献的科学家之一。 立作出卓越贡献的科学家之一。
《动力学》是达朗贝尔最伟大的物理学著 动力学》 在这部书里,他提出了三大运动定律, 作。在这部书里,他提出了三大运动定律, 第一运动定律是给出几何证明的惯性定律; 第一运动定律是给出几何证明的惯性定律; 第二定律是力的分析的平行四边形法则的 数学证明; 数学证明;第三定律是用动量守恒来表示 的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理, 的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理, 它与牛顿第二定律相似, 它与牛顿第二定律相似,但它的发展在于 可以把动力学问题转化为静力学问题处理, 可以把动力学问题转化为静力学问题处理, 还可以用平面静力的方法分析刚体的平面 运动, 运动,这一原理使一些力学问题的分析简 单化,而且为分析力学的创立打下了基础。 单化,而且为分析力学的创立打下了基础。
Fi + FNi + Fgi = 0
(i = 1,....n) 2
即:质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 质点系中每个质点上作用的主动力、 质点系中每个质点上作用的主动力 它的惯性力在形式上组成平衡力系。 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理。
把作用在第i个质点上的所有力分为外 把作用在第 个质点上的所有力分为外 (e) (i) 力为F 内力为F 力为 i , 内力为 i ,则有
MIO = JOα
点简化: 向O点简化: 点简化
MIO O
F IR = maC
M IO = J Oα
ω α
ri i FIR
定轴转动刚体的惯性力系, 可以简化为通 过转轴O的一个惯性力FIR 和一个惯性力 O F 偶MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其 质心加速度大小的乘积, 方向与质心加速 度的方向相反,作用线通过转轴;力偶 MIO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其 角加速度大小的乘积, 转向与角加速度的 转向相反。
FgR = ∑ Fgi = ∑ mi a i
= mac
此式表明:无论刚体作什么运动, 惯性力系的 主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速度的方向相反。
由静力学中任意力系简化理论知,主矢的 大小和方向与简化中心的位置无关,主矩一般 与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定 轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。
ω
r O
M
θ
α
解:以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。 以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象 受力如图。 钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 其加速度为 aτ = 0
a n = rω 2 FI = mrω 2
FI M F
惯性力F 惯性力 I的大小为 假想地加上惯性力
M IO = J Oα = 0
3. 刚体作平面运动 平面运动的刚体有质量对称平面, 且平行于此平面运动。当刚体作平 面运动时,其上各质点的惯性力组 成的空间力系,可简化为在质量对 称平面内的平面力系。
MIC FIR
ω α
C aC
设质心的加速度为aC,绕质心转动的角速度为ω,角 加速度为α,此时惯性力系向质心C简化
Frii F i r × r mi ami ai ( ∑ mi m)ri a CaC = mmrC × aC ( ri i × × = rC × a C i) =
mi ri ) a
若选质心C为简化中心,主矩以MgC 表示,则rC=0,有 1 向质心 简化: 简化:
a1 aC Fgi i ai
FIR = maC MIC = JCα