第22章 达朗贝尔原理

Βιβλιοθήκη Baidut Ii t i i
F = m a = mi riω
F = m a = mi riα
2
O
ω α
ri i FIit FIin
该惯性力系对转轴O的主矩为
M IO = ∑ M O ( FIin ) + ∑ M O ( FIit )
M IO = ∑ M O ( F ) + ∑ M O ( F )
n Ii t Ii
Fi + FNi + Fgi = 0
(i = 1，....n) 2
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 质点系中每个质点上作用的主动力、 质点系中每个质点上作用的主动力 它的惯性力在形式上组成平衡力系。 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理。
把作用在第i个质点上的所有力分为外 把作用在第 个质点上的所有力分为外 (e) (i) 力为F 内力为F 力为 i , 内力为 i ，则有
达朗贝尔在天文学上的另 一个主要研究是关于地球 形状和自传的理论。 形状和自传的理论。达朗 贝尔发现了流体自转时平 衡形式的一般结果， 衡形式的一般结果，1749 年，达朗贝尔发表了关于 春分点、 春分点、岁差和章动的论 文，为天体力学的形成和 发展奠定了基础。 发展奠定了基础
§22-1 惯性力的概念
B l D 30° A
h＝1m a
解：以杆为研究对象, 受力如图。 以杆为研究对象 受力如图。
B
杆作平移
l D 30°
FIR = mac = ma = 600 N
∑ M A (F ) = 0 l l l l l l mg cos 30 FD FI sin 30 = 0 2 2 2
h＝1m a
A
达朗贝尔(1717-1783)是法国著名的物 达朗贝尔(1717-1783)是法国著名的物 (1717 理学家、数学家和天文学家， 理学家、数学家和天文学家，一生研 究了大量课题， 究了大量课题，完成了涉及多个科学 领域的论文和专著. 领域的论文和专著. 达朗贝尔的科学成就: 达朗贝尔的科学成就: 数学是达朗贝尔研究的主要课题， 数学是达朗贝尔研究的主要课题， 他是数学分析的主要开拓者和奠 基人。 基人。 达朗贝尔为极限作了较好的定义， 达朗贝尔为极限作了较好的定义， 但他没有把这种表达公式化。 但他没有把这种表达公式化。但 他是当时几乎唯一一位把微分看 成是函数极限的数学家。 成是函数极限的数学家。
MIO O
由于FIin 通过O点, 则有 ΣMO( FIin )= 0
ω α
ri i FIit FIin
M IIO = ∑ M O ( FIitt ) = ∑i FIitit ri MO M O ( Ii Ii ) = I FI ri O = ∑ i α = mr = ∑(mriααri = ∑(∑i i 2 )α α ) α
MIO = JOα
点简化： 向O点简化： 点简化
MIO O
F IR = maC
M IO = J Oα
ω α
ri i FIR
定轴转动刚体的惯性力系, 可以简化为通 过转轴O的一个惯性力FIR 和一个惯性力 O F 偶MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其 质心加速度大小的乘积, 方向与质心加速 度的方向相反，作用线通过转轴；力偶 MIO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其 角加速度大小的乘积, 转向与角加速度的 转向相反。
∑
∑M
O
Fi (e) + ∑ Fgi = 0
(Fi ) + ∑ M O ( Fgi ) = 0
(e)
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
§22－3
刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题， 需要对质点系内每个质点加上各自的惯性力，这些 惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。 用静力学力系简化理论，求惯性力系的主矢和主矩。 以FgR表示惯性力系的主矢。
FgR = ∑ Fgi = ∑ mi a i
= mac
此式表明：无论刚体作什么运动, 惯性力系的 主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速度的方向相反。
由静力学中任意力系简化理论知，主矢的 大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般 与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定 轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。
现在讨论三种特殊情况： 1. 当转轴通过质心C时
F IR = maC = 0 M IO = J Oα
2. 当刚体作匀速转动时, α＝0, 若转轴不过质心
M IO
F IR
F IR = maC
M IO = J Oα = 0
3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时。
F IR = maC = 0
Fi + Fi + Fgi = 0 (i =1 2.... ) ， n
(e) (i)
质点系中每个质点上作用的外力、 质点系中每个质点上作用的外力、内力和它的惯性力 在形式上组成平衡力系。 在形式上组成平衡力系。就是质点系的达朗贝尔原理 由静力学知， 由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件 是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零， 是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
∑
O
Fi ( e ) + ∑ Fi ( i ) + ∑ Fgi = 0
(e) i
∑M (F
) + ∑MO(Fi ) + ∑MO(Fgi) = 0
(i)
∑
Fi (e) + ∑ Fi (i ) + ∑ Fgi = 0
(e) i
∑M (F
O
) + ∑MO(Fi ) + ∑MO(Fgi) = 0
(i)
因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共 线, 因此有ΣFi(i) = 0和ΣMO(Fi(i)) = 0, 于是的有
第22章 达朗贝尔原理 (动静法）
前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决质点系动力学问题提供了另 一种新的普遍的方法。这种方法的特点是： 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的问题, 因此这种方法又叫动静法。由于静力 学研究平衡问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
ω
r O
M
θ
α
解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。 以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象 受力如图。 钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 钢球未脱离筒壁前, 作圆周运动, 其加速度为 aτ = 0
a n = rω 2 FI = mrω 2
FI M F
惯性力F 惯性力 I的大小为 假想地加上惯性力
FIR = maC MIC = JCα
如图所示, 均质杆AB的质量 的质量m＝ 例 如图所示 均质杆 的质量 ＝40 kg, 长l 点以铰链连接于小车上。 ＝4 m, A点以铰链连接于小车上。不计摩擦 点以铰链连接于小车上 不计摩擦, 当小车以加速度a＝ 15 m/s2 向左运动时， 用 当小车以加速度 ＝ 向左运动时 ， 动静法求D处和铰 处的约束反力。 处和铰A处的约束反力 动静法求 处和铰 处的约束反力。
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma = F + FN
将上式改写成
FI M F FN a
F + FN ma = 0
Fg = ma
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为 质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加 速度的乘积, 方向与质点加速度的方向相反。
§22-2
达朗贝尔原理
一、质点的达朗贝尔原理
F + FN ma = 0
Fg = ma
F + FN + FI = 0
FI M F FN a
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动 在质点运动的任一瞬时, 约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上 力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。 的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
二、
质点系的达朗贝尔原理
个质点组成, 其中任一质点i的质 设质点系由 n 个质点组成 其中任一质点 的质 量为m 其加速度为a 把作用在此质点上的力分为 量为 i, 其加速度为 i, 把作用在此质点上的力分为 主动力F 约束力为F 主动力 i、约束力为 Ni，对这个质点上假想地加上 它的惯性力F 则由质点的达朗贝尔原理, 它的惯性力 gi＝-miai , 则由质点的达朗贝尔原理 有
F + FN + FI = 0
注：（1) 惯性力不是一个真实的力 ：（1) 惯性力只是一个工具
Fg = ma
(2)质点并非处于平衡状态 ， 这样做 质点并非处于平衡状态， 质点并非处于平衡状态 的目的是将动力学问题转化为静力学问 题求解。 题求解。
绕水平轴O 例 球磨机的滚筒以匀角速度ω 绕水平轴 转动, 内装钢球和需要粉碎的物料, 转动 内装钢球和需要粉碎的物料 钢球被筒 壁带到一定高度脱离筒壁, 壁带到一定高度脱离筒壁 然后沿抛物线轨 迹自由落下, 从而击碎物料, 如图。 迹自由落下 从而击碎物料 如图。设滚筒内 壁半径为r, 试用动静法 动静法求钢球的脱离角 壁半径为 试用动静法求钢球的脱离角α。
他一生对力学也作了大量研究。 他一生对力学也作了大量研究。达朗 贝尔是十八世纪为牛顿力学体系的建 立作出卓越贡献的科学家之一。 立作出卓越贡献的科学家之一。
《动力学》是达朗贝尔最伟大的物理学著 动力学》 在这部书里，他提出了三大运动定律， 作。在这部书里，他提出了三大运动定律， 第一运动定律是给出几何证明的惯性定律； 第一运动定律是给出几何证明的惯性定律； 第二定律是力的分析的平行四边形法则的 数学证明； 数学证明；第三定律是用动量守恒来表示 的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理， 的平衡定律。书中还提出了达朗贝尔原理， 它与牛顿第二定律相似， 它与牛顿第二定律相似，但它的发展在于 可以把动力学问题转化为静力学问题处理， 可以把动力学问题转化为静力学问题处理， 还可以用平面静力的方法分析刚体的平面 运动， 运动，这一原理使一些力学问题的分析简 单化，而且为分析力学的创立打下了基础。 单化，而且为分析力学的创立打下了基础。
B D a FD
y x FI A FAy
FD = m( g cos 30 a sin 30 )
= 39.48 N
mg FAx
∑ Fx =Fx =FAx + FI + FID+ FD30 = 0 = 0 0 0 FAx + F sin sin 30
FAx = 619.74 N
M IC = 0
FgR
Fg1 rC O
C
F IR = maC
平移刚体的惯性力系可以简化为 通过质心的合力, 其大小等于刚 体的质量与加速度的乘积,合力 的方向与加速度方向相反。
2. 刚体定轴转动 具有质量对称面且绕垂直于质量 对称面的轴转动的刚体。 其上任一点的惯性力的分量的 大小为
n Ii n i i
θ
FN mg
α
O
ω
r
F : : + + cos I F ∑ Fn =n0= 0FN FNmgmg cos θF = I0= 0
rω 2 FN = mg ( cos θ ) g
显然当钢球脱离筒壁时, 显然当钢球脱离筒壁时 FN＝0 , 由此可求出其脱离角α为
rω 2 α = arccos( ) g
Frii F i r × r mi ami ai ( ∑ mi m)ri a CaC = mmrC × aC ( ri i × × = rC × a C i) =
mi ri ) a
若选质心C为简化中心，主矩以MgC 表示，则rC＝0，有 1 向质心 简化： 简化：
a1 aC Fgi i ai
M IO = J Oα = 0
3. 刚体作平面运动 平面运动的刚体有质量对称平面， 且平行于此平面运动。当刚体作平 面运动时，其上各质点的惯性力组 成的空间力系，可简化为在质量对 称平面内的平面力系。
MIC FIR
ω α
C aC
设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速度为ω，角 加速度为α，此时惯性力系向质心C简化
1. 刚体作平移 1 刚体平移时，刚体内任一质 点i的加速度ai 与质心的加速 度aC相同，有ai ＝ aC，任选 一点O为简化中心，主矩用 MgO表示，有 FI1 rC O C a1 aC i FIi ai
M gOO = ∑ ri × Fgii = ∑ r i × ( mi ai ) = ( M F