高等传热学课件对流换热-第2章-4

、
v
=
0 。上式化简为：
µ d 2u = dp dy2 dx
(2.4.5)
也是粘性力与压力平衡。
边界条件： y = 0,
∂u ∂y
=
0
(对称性)
y=b, u=0 2
解：
u(
y)
=
−
b2 8µ
dp dx
[1−
(
y )2] b2
(2.4.6)
umax
=
−
b2 8µ
dp dx
(2.4.7)
u
=
−
b2 12µ
u
∂T ∂x
=
a[
∂2T ∂x 2
+1 r
∂ ∂r
(r
∂T ∂r
)]
(2.4.20)
1. qw = const 情况
管壁电加热、受均匀辐射加热、以及两种水当量相当的逆流式
换热器，都属于 qw = const 的情况。
这时，
∂T ∂x
=
dT dx
=
dTw dx
=
2qw ρc puR
，
∂2T ∂x2
=0
r = 0,
∂T ∂r
=
0
⇒
c1 = 0
r = R,
T = Tw
⇒
c2
=
Tw
−
2u a
⋅
dT dx
(
3R2 16
)
得出管内流体温度分布:
T
(r
)
=
Tw
−
2π R2 a
⋅
dT dx
[3 16
+
1 16
(
r R
)4
−
1 4
(
r R
)2]
(2.4.23)
这里，Tw = Tw ( x) ，考虑管截面平均温度：
=
0
、
v
=
0
，于是有
µ d (r du) = dp r dr dr dx
(2.4.1)
即：管内简单充分发展流中，惯性力为零，粘性力与压力平衡，压力
降用以克服粘性摩擦力。
边界条件： r = R, u = 0
r = 0,
∂u ∂r
=
0
积分得出：
(壁面无滑移) (轴对称性)
u( r )
=
−
R2 4µ
dp dx
R
R
T = [∫ 2πrρc p ⋅ uT ⋅dr] [∫ 2πrρc p ⋅ u⋅dr]
0
0
将 u ，T 代入上式，可得：
T
= Tw
−
11 48
πR a
⋅ dT dx
= Tw
−
11 48
qw ⋅ d λ
(2.4.24)由hx=qw Tw −T⇒
hx
=
48 11
λ d
(2.4.25)
于是，qw = const 条件下，圆管内层流充分发展流对流换热有：
2-4 管槽内层流充分发展流换热
一、层流充分发展流的速度分布与阻力系数
1. 圆管内充分发展流
r (v)
x (u)
常物性、不可压牛顿流体在圆管内作轴对称( w = 0)稳态层流流 动。其动量方程为
ρ[u
∂u ∂x
+
v
∂∂ur ]
=
−
dp dx
+
µ r
∂ ∂r
(r
∂u ∂r
)
对简单充分发展流：
∂u ∂x
能量方程变为：
u = 2u[1−( r )2 ] R
1 d (r dT ) = 2u ⋅ dT [1− ( r )2 ] r dr dr a dx R
(2.4.21)
积分求解(两次分离变量积分)，得温度分布：
T
(r
)
=
2u a
⋅
dT dx
[
r2 4
−
r4 16R2
]+
c1
ln
r
+
c2
边界条件：
(2.4.22)
壁面摩擦系数：
Cf
=
τw ρu2
2
τ w -壁面切应力， u -截面平均流速。
管流摩擦系数：
− dp ⋅ d f = dx ρu2
2
对圆管：
τw
=
−µ
∂u ∂r
r=R
⇒
Cf
=
16 Red
或 C f ⋅ Red = 16
或
f ⋅ Red = 64，
Red
=
ud ν
即：
f = 4C f
(2.4.12)
(Tw = const) (qw = cont)
a
)2
]
=
2u[1
−
(
r R
)2
]
2. 平行平板通道内充分发展流
(2.4.3)
(2.4.3) (2.4.4)
y
z 向无限大
b
u(y)
x
常物性不可压牛顿流体、二维稳态层流流动，动量方程为：
u
∂u ∂x
+
v
∂u ∂y
=
−
1 ρ
dp dx
+
ν(
∂2u ∂x 2
+
∂2u ∂y2
)
对充分发展流：
∂u ∂x
=
0
(2.4.13)
(2.4.14) (2.4.15) (2.4.16)
对平行平板通道：
Cf
=
24 Red
⇒
或
C f ⋅ Red = 24 f ⋅ Red = 96
这里： Red
=
ude ν
， de
=
2b ，b为通道宽度。
对其它截面形状通道： C f ⋅ Red = 16⋅ C
或
f ⋅ Red = 64C f
ri
ro
如圆环形截面通道内:
u(r
)
=
−
1 4µ
dp dx
[r02
−r2
− (r02
−
ri2
)
ln(r0 ln(r0
r) ]
ri )
(2.4.11)
3. 充分发展流动的摩擦阻力系数
通常以壁面摩擦系数(Fanning 摩擦系数)或管流摩擦系数(又称
Darcy 摩擦系数，或穆迪 Moody 摩擦系数)来表征通道内的流动阻力。
Nud
=
hx ⋅ d λ
=
48 11
≈
4.36
(2.4.26)
2. Tw = const 情况
相变换热器、水当量相当的顺流式换热器属于此情况。当
Tw
=
const
，虽
∂2T ∂x 2
≠
0 ，但通常忽略轴向导热，令
∂2T ∂x 2
=
0
。再将
∂T ∂x
=
T T
− Tw − Tw
⋅
dT dx
和 u = 2u[1−( r )2 ] 代入能量方程(2.4.20)式得： R
1 r
d dr
(r
dT dr
)
=
2u a
⋅
dT dx
[1 −
(
r R
)2
]⋅
T T
− Tw − Tw
(2.4.27)
上式可通过多次迭代求解：
Nud = 3.657
(2.4.28)
对其它截面形状通道内的层流充分发展流换热，也可得出 Nud 。
如矩形
b
b a = 1时， Nud = 2.976 Nud = 3.608
[1 −
(
r R
)2]
此即
Poiseuille
分布。这里
dp dx
<
0
，且
dp dx
=
const
.
(2.4.2)
截面平均流速：
轴线上最大流速：
∫R
u = [ ρu(r)⋅ 2πr ⋅ dr]
ρπ R 2
=
−
R2 8µ
dp dx
0
umax
=
−
R2 4µ
dp dx
=
2u
u(r
)
=
umax
[1
−
(
r R
C －截面形状修正系数。
(2.4.17) (2.4.18)
二、层流充分发展流换热
以圆管为例，考虑常物性、不可压牛顿流体的二维稳态层流换
热。假定流动已充分发展，能量方程为(柱坐标系下)：
ρc p[u
∂T ∂x
+
vr
∂T ∂r
]
=
λ[
∂2T ∂x2
+
1 r
∂ ∂r
(r
∂T ∂r
)]
(2.4.19)
对充分发展流： vr = 0 ，有
dp dx
=
2 3
umax
(2.4.8)
u
=
umax
[1
−
(
y b2
)2
]
(2.4.9)
∆ 说明：
1). 上述符合抛物线分布的 Poiseuille 流动是恒定压力梯度驱动
下的流动。
2). 对平行平板间流动，另外一种情况不是恒定压力梯度驱动
流，而是剪切力驱动流，
如图：其中一壁面不动，另一壁面以恒定速度平行运动。
y
U b
x
这时： dp = 0, dx
v = 0,
∂u ∂x