2014年华约自主招生数学试题及解答(修订word版)

2014年华约自主招生数学试题
1.12345,,,,x x x x x 是正整数,任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.
2.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是1
()2
p p >,甲赢得比赛的概率是q ,求p
为多少时,q p -取得最大值.
3.函数()sin )sin()2sin (0)4
f x x x x a x b a π
=-+-+>的最大值为1,最小值为4-,求,a b 的值.
4.(1)证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=;
(2)1()(),()()F x f x G x f x -=-=,若()G x 的反函数是()F x ,证明()f x 为奇函数.
5.已知椭圆22221x y a b
+=与圆222
x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切点分别为
,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.
6.已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+.(1)若1q =,求n a ;
(2)若||1,||1p q <<,求证:数列{}n a 有界.
7.已知*,,n N x n ∈≤求证:2
(1)n x x n n e x n
--≤.
华约参考答案:
1.【解】五个数任取四个应该可以得到455C =个不同的和,现条件中只有4个不同的和,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为123454()x x x x x ++++,是4的倍数,所以这个相同的和值只可能是46,从而有123454445464647
574
x x x x x ++++++++=
=,故这五个数
分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为3p ;
若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为233(1)C p p -; 若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为2324(1)C p p -,因此
3232
334(1)(1)q p C p p C p p =+-+-,
所以32323254334(1)(1)61510q p p C p p C p p p p p p p -=+-+--=-+-,1
2
p >
; 设543()61510f p p p p p =-+-,1
2
p >,则432()3060301f p p p p '=-+-, 即432221
()306030130[(21)]30
f p p p p p p p '=-+-=-+-,
所以22221()30[(1)]30(30f p p p p p p p '=--=--
-+, 又因为1
(,1)2p ∈,所以2p p <,
故20p p --
<, 所以令()0f p '=时,
即20p p -+=,
得12p =
=
又因为1
(,1)2p ∈,
所以取12p =
,
易知当11(,22p ∈时
,1()0,(2f p p '>∈+时,()0f p '<,
所以当12p =
时,()f p 有唯一极大值,也是最大值. 3.【解】易知2221
()(cos sin )2sin sin 2sin 2
f x x x a x b x a x b =--+=--++
,令sin t x =, 则问题等价于21()22
g t t ax b =--++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为1和4-.
①当对称轴1t a =-≤-,即1a ≥时,则()g t 在[1,1]-上递减,则
1
(1)21,21(1)242
g a b g a b ⎧
-=+-=⎪⎪⎨
⎪=-+-=-⎪⎩,解得5,41
a b ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
②当对称轴10a -<-<,即01a <<时,则2
1()121(1)24
2g a a b g a b ⎧-=++=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩
,
消去b 得2240a a +-=,
解得1(0,1)a =-,舍去.
综上①②可知,5
,14
a b ==-为所求.
4.【解】(1)证明:由反函数定义可知(())y f g x =的反函数为(())x f g y =,故
11()((()))()f x f f g y g y --==,从而111(())(())g f x g g y y ---==, 所以11(())y g f x --=为(())y f g x =的反函数. (2)由()G x 的反函数是()F x ,故1(())(())G F x G G x x -==,
则()((())),f x f G F x =又因为1()()G x f x -=,所以1(())(())G F x f F x -=-,
代入得1()((())),((()))()()f x f G F x f f F x F x f x -==-=-=--,所以()f x 为奇函数. 5.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其
方程为2
(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b b
x y a θθ
==, 于是33
1||||2|sin 2|EOF E F b b S x x a a
θ∆=⋅=
≥,
当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 6.【解】(1)当1q =时,1n n n a a np +-=,则11(1)(2)n n n a a n p n ---=-≥ 由累加法得112211(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥,
即23123(1)(2)n n a p p p n p n -=++++-≥ (1)
①当1p =时,(1)
;2
n n n a -=
当1n =时,10a =也适合; ②当1p ≠时,232(1)n n pa p p n p =+++- (2)
由(1)-(2)得231(1)n n n n a pa p p p p n p --=+++
+--,
所以112
(1)
(1)(1)11(1)n n
n n n p p n p n p np p p
a p p -+-----+-==--,当1n =时,10a =也适合;
于是12(1)
1
2
(1)1
(1)n n
n n n p a n p np p p p +-⎧=⎪⎪=⎨--+⎪≠⎪-⎩
.
(2)由1||||||||||||n n n n n n n a np qa np qa n p a +=+≤+≤+,所以1||||||n n n a a n p +-≤,
于是11||||1)||(2)n n n a a n p n ---≤(-≥ 由累加法得112211(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥
故12
1
2
(1)||||||
||||2||(1)||(1||)n n n n n p n p p a p p n p p +---+≤++
+-=-, 而1(1)||||(1)||||||0n n n n n p n p n p n p p +--≤--=-<, 于是当2n ≥时,有2
||
||(1||)n p a p <-,显然10a =也成立.
于是n a 有上界.
7.【证明】原不等式等价于2
((1))x
n n
x n x n e n
-≤-⋅.
当2
x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立;
当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,
从而22222((1))((1)(1))(1)(1)x
n
n n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n
-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-,即证.。