基于蒙特卡罗模拟的风险价值计算

第四章 数据来源及描述
本文数据——“九鼎投资”股票（证券代码：600053.SH ）的收盘价数据（从 2016 年 4 月 27 日 9 点 35 分到 2017 年 5 月 9 日 15 点 00 分， 获取间隔为 5 分钟） ， 来自于大智慧 365 软件。数据如下表格：
time 2016/4/27 9:35 2016/4/27 9:40 „ „ 2017/5/9 14:55 2017/5/9 15:00 做时间序列图如下：
根据伊藤引理，得到：
2 dln St dt dwt 2
对其离散化得：
2 ln St t t 2
整理的：
2 rt ln St ln St t t t 2
基于蒙特卡罗模拟法的股票风险价值计算
——以“九鼎投资”为例
姓 学 专
名： 号： 业：
王
定
指导老师：
目
目
录
录 ..................................................................................................... 2 言 ....................................................................................... 3
Pr X t VaR( , t ) %
其中随机变量 X t 为金融资产或金融资产组合在风险估计期间 t 内的价值变动量。 VaR 的估算关键在于描述投资组合在评估期间收益的概率分布，常用的方法 有：历史模拟法、协方差矩阵法和蒙特卡罗模拟法。本文使用蒙特卡罗模拟法计 算 VaR。蒙特卡罗模拟法能够最大限度地将风险未来变化的各种可能情景模拟出 来， 而且不必受到历史数据在数量与质量等方面所存在的种种制约，克服了其他 方法的不足， 具有高度的灵活性、 准确性。 但是， 该方法计算量大、 计算时间长， 因此金融机构的实时处理需要强大的的硬件支持。随着计算机功能的日益提升， 这种方法越来越受到欢迎。
t 1 。另外， rt 不是自相关的。
由已知数据，可以计算得到样本 5 分钟的对数收益率均值 r 和样本 5 分钟的 对数收益率标准差 sr 。可知 r 和 sr 是 rt 的均值 和标准差 的相合估计。因此可 用下式估计 和 ：
^


=
^
sr t
^
s2 r 2 r r t 2 t 2t
第二章 风险价值 VaR
用风险价值（Value at Risk）度量风险的方法，最早由 J.P.Morgan 公司公开发 表。该方法传播开后很快得到了金融机构和学术界的认同。根据 Jorion （ 2005 ） 的定义： “VaR 是给定的置信水平和目标时段下预期的最大损失” 。换句话说，在 市场正常波动条件下，在一定概率水平 % 下，某一金融资产或金融资产组合的 VaR（ ，t ）是在未来特定一段时间 t 内的最大可能损失。可见，影响 VaR 大 小的两个参数是置信水平 1 % 和持有期 t 。其数学式表达为：
dSt St dt St dwt
这里 ( xt , t )dt = St ， ( xt , t )= St 。这一过程也称为几何布朗运动。我们对股价 的对数建立一个时间模型，令 G xt , t =ln St ，则我们有：
G 1 G 1 2G 1 1 , 0, St St t 2 St2 2 St2
,12000 ，令 rt ln St ln St 1 。由 3.3
知，股价 S t 服从一个几何布朗运动，则 rt 服从均值为 ( 2 / 2) t 、方差为 2 t 的正态分布。 对未来十天 VaR 的预测， 本文将十天也即 2400 分钟划分为 480 份， 每份间隔为 5 分钟。因此以预测间隔 5 分钟来度量数据采集的间隔五分钟，则
第一章 引 言
昆吾九鼎投资控股股份有限公司（简称九鼎投资） ，是在上海证券交易所上 市的私募股权投资与管理机构（证券代码：600053.SH） 。2017 年初，九鼎投资 因为实发业务奖金总额达到 1.7643 亿元这一传闻而上了新闻头条。 本文利用蒙特卡罗模拟法，借助伊藤过程随机模型，用 MATLAB 计算九鼎投 资股票未来 10 天的风险价值。正文部分仅显示图像、表格和结果，程序见附录
第三章 伊藤过程随机模型
本文利用伊藤过程来进行建模估算 VaR。在金融领域，通常假定资产的价格 是一个伊藤过程。伊藤过程由维纳过程到广义维纳过程推广得到的。
3.1
维纳过程
维纳过程是一个特殊的随机过程， 具有 0 漂移率以及有与时间间隔的长度成
比例的方差。假定一个连续时间随机过程 wt ，观察其与时间上的小增量 t 相 关的小变化 wt wt t wt 。如果它满足： （1） wt wt ，其中 为一个标准正态随机变量； （2） wt 与 w j 独立，对于所有的 j t 。 则称 wt 为一个维纳过程。 其中第二个条件是一个马尔可夫性， 说明在当前值 wt 的条件下， 该过程过去的任何信息 w j ( j t ) 与将来值 wt l (l 0) 是不相关的。 维纳 过程的期望的变化率为 0，而方差的变化率为 1。
其中 wt 为一个维纳过程。
3.3
伊藤过程
上述过程的漂移参数和波动率参数都不随时间变化。进一步扩展模型，允许
飘移参数 和波动率参数 2 是随机过程 xt 的函数，则我们就得到了伊藤过程 模型：
dxt ( xt , t )dt ( xt , t )dwt
G xt , t 是 xt 和 t 的可微函数， 其中 wt 为一个维纳过程。 另外， 则由伊藤ຫໍສະໝຸດ Baidu理有：
3.2
广义维纳过程
在实践中，随机过程的均值和方差可以以一种更加复杂的方式随时间演变，
因此广义维纳过程将维纳过程进一步一般化， 对期望和方差赋予期望漂移参数 和波动率参数 2 。假定 xt 为一个广义维纳过程，用记号 dy 表示变量 y 的一个 微小变化。则模型为：
dxt dt dwt
或
2 ln St ln St t t t 2
3.4
几何布朗运动模型的参数估计
本文所用数据为股价 S t 在时间间隔 5 分钟上的 12000 个观测值，观测到的
价格表示为 S1 , S2 ,
, S12000 。对 t 1,
第一章 引
第二章 风险价值 VaR ............................................................................ 4 第三章 伊藤过程随机模型 .................................................................... 5 3.1 维纳过程 .................................................................................. 5 3.2 广义维纳过程 ........................................................................... 5 3.3 伊藤过程 .................................................................................. 5 3.4 几何布朗运动模型的参数估计 ............................................... 6 第四章 数据来源及描述 ........................................................................ 8 第五章 蒙特卡罗模拟法计算 10 日的 VaR ......................................... 10 5.1 计算过程 .................................................................................. 10 5.2 结果的分析 .............................................................................. 13 附 录 ................................................................................................... 14 1、主程序： ................................................................................... 14 2、自编函数 WD_MC_VaR （） ...................................................... 14
G G 1 2G 2 G dG xt , t xt , t dt xt , t dwt 2 t 2 x x x
令 S t 表示股票在时刻 t 的价格，它在 0， 上连续。我们假定 S t 服从一个特 殊的伊藤过程：
close 39.35 39.25 „ „ 36.7 36.71
计算对数收益率：
rt ln St ln St 1
对数收益率时序图为：
第五章 蒙特卡罗模拟法计算 10 日的 VaR
5.1 计算过程
第一步，为计算 “九鼎投资”的十日 VaR，建立股票价格的几何布朗运动 模型，并将预测步长设置为 5 分钟，相当于将十天（2400 分钟）划分为了 480 段。 以一段为一个计息周期， 预测十天后股票价格。 详细内容见第三章模型叙述。 第二步，确定 VaR 计算的股票初始价格，也即 2017 年 5 月 9 日的股价， S 0 等于 36.3830 元，并借助于股票价格的 5 分钟历史数据估计出参数 μ 与 σ，具体 做法见 3.4。 第三步，利用 MATLAB 中的函数 rnorm()生成 1 个标准正态随机数，带入模 型得到资产价格未来变化的一个样本轨道，并计算该轨道的十天后股票价格。 第四步，将第三步重复 1000 次，相当于产生了 1000 个随机数，模拟了资产 价格未来变化的 1000 条样本轨道，从而可以得到 1000 个十天后的股票价格。可 以重复更多次，不过这就会耗费大量时间来运算，因此本文设置为 1000 次。模 拟次数越多， 也就越能将风险未来变化的各种可能情景更全面的模拟出来，但同 时模拟次数也不是无上限的多就会产生更好的效果。 这里作图展示了三条蒙特卡 罗模拟的路径，见本节末。 第五步，由上面步骤得到“九鼎投资”股票价格在十天后的变化分布。本文 做出了其散点图与排序后的散点图，见本节末。本文设置的置信度为 95%，因此 选则该置信度下的价格。它与股票初始价格 S 0 的差的绝对值就是“九鼎投资” 的十日 VaR。这一步基本历史模拟法相同。程序运算结果为：
VaR = 0.3344
本节所做图像如下：
3 条 MC 模拟的路径图：
1000 次模拟的十天后股票价格散点图：
排序后的 1000 次模拟的十天后股票价格散点图：