14大学物理第十四章 电磁感应2

（1） 任意t时刻的磁通量 μ0 I a + b a +b μ 0 I ln ⋅ vt vtdr = Φ (t ) = ∫S BdS = ∫a 2πr 2π a μ 0 I 0 v a + b −λt = ln ⋅e ⋅t 2π a
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（2）解一：总电动势
dΦ (t ) μ 0 I 0 v a + b −λt = ln ⋅ e (λt − 1) ℰi = − dt 2π a
【解】如图建立坐标，设棒
动 生 电 动 势
I M l RB N o x x+dx v
沿x轴正向运动。 G G G 动生电动势 ℰ = ∫ (v × B ) ⋅ dl
i
t时刻
ℰi = Bl v(t )
L
x
方向：N→M，M为正 感应电流I
ε I= i
Bl v(t ) = R R
逆时针方向
3
第十四 第十四章 章
第十四 第十四章 章
G G ℰi = ∫L E i ⋅ dl ≠ 0 G dΦ d G G ∂B G = − ∫ B ⋅ dS = −∫ ⋅ dS 法拉第定律 ℰi = − S S ∂t dt dt G G G ∂B G 比较可得 ∫L Ei ⋅ dl = − ∫S ⋅ dS ∂t
涡旋电场Ei：是非静电场，具有涡旋性。
∫
G G ∫ E ⋅ dl = 0
L
L
S
G G E i ⋅ dS = 0
∫
G G Ei ⋅ dl ≠ 0
电子感应加速器的制造成功、电磁波的存 在都证实了涡旋电场的存在。
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三、感生电动势的计算
（1）若磁场分布具有对称性，可利用公式 G G G ∂B G ∫L Ei ⋅ dl = − ∫S ⋅ dS ∂t ①Ei在回路中是常量，可提到积分号外； ②B的变化∂B/∂t已知，能做出积分。 G b G 求得Ei的空间分布，感生电动势 ℰi = ∫a Ei ⋅ dl （2）由法拉第电磁感应定律，感生部分为 G dΦB (t ) ∂B (t ) G ⋅ dS = −∫ ℰi = − S dt ∂t dΦB (t ) （3）由电磁感应定律，总电动势 ℰi = − dt
总电动势
μ 0 I 0 v a + b − λt ln ⋅ e (λt − 1) ℰi =ℰ1 + ℰ2 = 2π a
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【例】 第217页
例14.6
第十四 第十四章 章
在半径为 R 的圆柱形空间 存在着均匀磁场，如图所示。 当此磁场正以 dB/dt 的速率增 大时，求（ 1 ）圆柱体内外涡 旋电场 Ei 的分布；（ 2 ）在距 感 圆心a（a>R）处有一无限长直 生 导线，求导线上的感应电动势。
n
i
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涡旋电场与静电场比较
第十四 第十四章 章
相同之处：两种电场都能对电荷施加作用力。 不同之处： G G （ 1 ）静电场由静电荷激发，是有源 E ⋅ dS ≠ 0 场。闭合曲面积分不为零。 S
∫
涡旋电场由变化的磁场激发，是无源 场，电场线闭合，闭合曲面积分为零。 （2）静电场是保守场，有势场，环 流为零，可引入电势。 涡旋电场是非保守场，无势场，环流 不为零，没有电势的概念。
第十四 第十四章 章
动 生 电 动 势
一电磁 “ 涡流 ” 制动器由一电 导率为 γ 和厚度为 τ 的圆盘组成， B 此盘绕通其中心轴旋转，且有一 ω r o τ a 2 覆 盖 面 积 为 a 的磁场 B 垂直于圆 盘，如图所示，若面积 a2 在离轴 r 处，当圆盘角速度为ω时，试求使 B 圆盘慢下来的转矩近似表示式。 v
a +b
第十四 第十四章 章
μ0 I 0 e − λ t μ0 v I 0 e − λ t a + b = −∫ v dr = − ln a a 2π G 2π r ∂B G 感生 ℰ2 = − ∫S ⋅ dS ∂t − λt − λt a + b μ λI e e μ λ v t I a+b 0 0 0 0 ln =∫ ⋅ vt d r = a 2πr 2π a
方向：以B的右旋方向为正，逆时针为正 G ∂B (t ) G 感生 ℰ2 = − ∫ ⋅ dS S ∂t
v D x
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第十四 第十四章 章 G x ∂B (t ) G ⋅ dS = ∫ Kx' ω sin ωt ⋅x' tan θ dx' 感生 ℰ2 = − ∫S 0 ∂t 1 1 3 3 3 = Kωx sin ωt tan θ = Kωv t sin ωt tan θ 3 3
练习
第十四 第十四章 章
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【例】 如 图 所 示 ， 有 一 弯 成 θ 角 的 金 属 架
COD 放在磁场中，磁感应强度 B 的方向垂直于 金属架所在的平面。一导体杆 MN 垂直于 OD 边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与 MN垂直。设t=0时，x=0。求下列两种情况下框 架内的感应电动势ℰi。 （1）磁场分布均匀，且B不随时间改变； （2）非均匀的交变磁场B=Kxcosωt。（10分）
第十四 第十四章 章
电 动 势
【解】（1）t时刻，MN
y
的位置x=vt，ΔMON的面积 v 1 2 1 22 D x θ S = x tan θ = v t tan θ 2 2 O x N 1 2 1 22 磁通量 Φ (t ) = BS = x B tan θ = v t B tan θ 2 2
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总电动势：ℰi = ℰAB +ℰBC >0 方向：由A端指向C端，C端电势高。
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第十四章 章 【例】 两平行导线水平放置在磁感应强度 第十四
为 B 的垂直向下均匀磁场中。导线间距 l ，其 上有一质量为m的可自由滑动金属棒MN，导 线左侧接有电阻R，其他电阻不计。设棒以速 度v0开始向右运动，求t时刻棒的速度。
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二、涡旋电场的性质
第十四 第十四章 章
（ 1）涡旋电场可在任意有变化磁场的空间出 现，并不依赖于空间是否有导体、电荷存在。 （2）有导体时，出现感应电动势、感应电流。 （3）涡旋电场是有旋场、非保守场，无源场、 G 无势场。 G G ∂B G ⋅ dS （4）涡旋电场的方向： ∫L Ei ⋅ dl = − ∫S ∂t dB L 方向与环绕面 S 法线 n 成右旋 dt 关系，Ei与dB/dt的方向成左螺旋关 系。当 Ei 与 L 的环绕方向一致时， L dB/dt与环绕面法线n的方向相反。 E
【解】圆盘转动时，沿径
r
a
向长度为 a 的线段切割磁力 a o 线，产生的感应电动势为 ℰi = v Ba = rω aB 方向：径向指向o
τ
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第十四 第十四章 章
小方块导体沿径向方向的电阻为
l 1 a 1 R=ρ = = S γ aτ γτ
r o a
B
a
τ
忽略外回路电阻 感应电流 安培力
G F=∫
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（2）解二：计算任意t时刻的磁通量
第十四 第十四章 章
dΦ = BdS = Kx' cos ωt tan θ dx'
2
Φ (t ) = K cos ωt tan θ ∫ x' dx' y
2 0
x
MC B dS v D x N
1 = K ( vt ) 3 cos ωt tan θ 3
总电动势
O
θBiblioteka Baidu
I 流I，旁边有一共面金属细 dl C 折线 ABC ， AB=BC=l ，正 r v 以速度 v 垂直于长直导线 A α 匀速运动。如图，当线的 B l A 端点离导线距离为 l 时， r o 动 求金属折线的电动势。
生 电 【解】建立坐标，在r处取线元dl，方向沿ABC G G G 动 势 线元电动势 dℰi = (v × B ) ⋅ dl = vB cos(90° − α )dl
∂B 由题意 = − Kx' ω sin ωt ∂t 在x′处，取dS=x′tanθdx′
总电动势
3 2
y
MC B dS v D x N
O
θ
x′
x
1 3 3 = − K v t cos ω t tan θ + K ω v t sin ωt tan θ ℰ i = ℰ 1+ ℰ 2 3
方向： ℰi >0时，逆时针；ℰi<0时，顺时针
B
M C
dΦ (t ) 2 tB tan θ 方向 = − = − v 感应电动势 ℰi dt G G G 2 或 ℰi = ∫ (v × B ) ⋅ dl = − vLB = − v tB tan θ
L
第十四 第十四章 章
方向：以B的右旋为L正 向，dl与v×B的方向相反
y
MC
B
εi
L θ （ 2 ） 解一 ：分别计算动 O N 生和感生。t时刻： x 动生 G G G 3 2 = − v Bx tan θ = − K v t cos ωt tan θ ℰ1 = ∫L (v × B ) ⋅ dl
x′
x
dΦ (t ) 1 33 3 2 = − Kv t cos ωt tan θ + Kv t ω sin ωt tan θ ℰi = − dt 3
方向：若ℰi>0，则方向与B方向成右旋方向，为 逆时针方向。若ℰi<0，则方向为顺时针方向。
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I(t)=I0e−λt（式中I0、λ为常量，t为时间），一 带滑动边的矩形线框与长直导线平行共面， 两者相距a。矩形线框的滑动边与长直导线垂 直，它的长度为 b ，并且以匀速 v （方向平行 长直导线）滑动。若忽略线框中的自感电动 电 势，并设开始时滑动边与对边重合，试求： 动 （ 1 ）任意 t 时刻通过线 势 a I(t) 框回路的磁通量Φ (t)； b （ 2 ）任意 t 时刻在线框 v 回路内的感应电动势 vt ℰi，并讨论ℰi的方向。
【例】 长直导线通有电
第十四 第十四章 章
v×B的方向向上，⊥AB，ℰAB= 0 v×B的方向与BC夹角（90°-α）
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第十四 第十四章 章
取r为积分变量，变量代换为
μ0 I B= 2πr
2 l + l cos α
dr dl = cos α
μ0 I v sin α dr ⋅ ℰBC=∫dℰBC = ∫2l 2π cos α r μ0 I v tan α 2l + l cos α = ln 2π 2l
dB >0 dt Ei < 0
Ei Ei R B Ei L Ei
方向：由题知 则
r
表示Ei的实际方向与所设 方向相反，即与回路L绕行方 向相反，为逆时针方向。
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r>R
因磁场集中在圆柱体内，所以在半径 R 以外磁场变化的面积分为零，故有：
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【例】 如图，真空中一长直导线通有电流
第十四 第十四章 章
第十四 第十四章 章
【解】t时刻滑动边移过
距离为vt，取如图面元dS= vtdr，法线方向与B成右旋 μ 0 I (t ) r处磁场 B = 2πr
a b vt r v I(t)
t时刻面元中的磁通量为
G G dΦ = B ⋅ dS = Bvtdr
电 动 势
r R
L
a B
【解】（1）由
涡旋电场Ei公式 取半径为r的同轴圆周为积分回路L，设顺 时针为绕行正向， n 与 B 同向，由对称性， L 上Ei处处相等。
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G G G ∂B G ∫L Ei ⋅ dl = − ∫S ⋅ dS ∂t
r < R 设Ei的方向与L方向一至
第十四 第十四章 章
G G G ∂B G ∫L Ei ⋅ dl = − ∫S ⋅ dS ∂t r dB dB 2 Ei = − Ei ⋅ 2πr = − ⋅ πr 2 dt dt
ε I= i
L
= Barωγτ R G G I dl × B
I
F
大小： F = IaB 对转轴力矩的大小
方向：阻止转动
G G 2 2 2 M = r × F = rIaB = B a r ωγτ
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§14.3 感生电动势 涡旋电场 一、感生电动势
导线在磁场中运动，非静电力是洛伦兹 力，那么磁场变化时非静电力又是什么？ Maxwell 假设：变化的磁场在其周围激发一 种电场，称为感生电场或涡旋电场。
第十四 第十四章 章
方向
当 t < λ 时，ℰi <0 ，与环 路方向（顺时针）相反 ， 或由楞次定律，为 逆时针 方向。 当t >
1
1
a b
I(t)
B
vt
v
λ
时， ℰi >0，为顺时针方向。
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（2）解二：分别计算动生和感生电动势 动生 ℰ1 = ∫L
G G G (v × B ) ⋅ dl （dl方向为顺时针）
安培力
B l v(t ) F = IBl = R
2 2
方向向左，沿x轴负向。 牛顿定律 运动方程 积分 得
dv B 2l 2 v(t ) − = ma = m R dt dv Bl t ∫v0 = − ∫0 dt mR v
v 2 2
v = v0 e
B 2l 2 − t mR
4
【例】
第241页
14.14题