高中数学球与几何体的切接问题
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高三一轮复习专题讲解
课题 球与几何体的切接问题
1
考情分析
球是空间几何体中一个特殊的旋转体， 近年来高考题常把球与其它几何体相结合， 对内切、外接问题进行考查.多以选择题、 填空题的形式出现，涉及的几何体多种多样， 对空间想象能力的要求较高，以至于很多学 生感到迷茫， 本节课我们就对这些问题进 行探究，为大家解惑。
8
.o
14
解题方法
课堂小结
解题思想
间 接 法
直 接 法
谢谢指导
构公 造式 法法
化 归 思 想
15
正方体的内切、外接球
.r
a
16
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
Βιβλιοθήκη Baidu
A1
C
gO
C1
外接球的直径等于正方体的体对角线。
17
2
学习目标
1.认识球的结构特征; 2.了解球的表面积和体积的计算公式； 3.掌握常见多面体的外接球和内切球半径的求法
3
考题重现
1 （06年广东）若棱长为3的正方体的顶点都
在同一球面上，则该球的表面积为27π.
2.（07年天津）一个长方体的各顶点均在同 一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别
为1,2,3，则此球的表面积为14π .
BAD 90,ABC 90 50 则该球的表面积为______
P
D A
.C
O1
B
D
.
C
O1
A
B
10
例3.如图所示，已知正四棱锥S－ABCD中，
底面边长为a，侧棱长为 2 a，求它的外接球的体积．
S
Ao
E B
D C
11
例 4.（03全国）一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为（ A ）
= 2
2
2
__________________.
__________________
V=S • R (a2 b2 c2) • R
3
3
5
例1.(1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC =900
AB= 3 ,BC=1,CC1=2 3 , 则它的外接球的表面积为
____,体积为_____
B
C
A
直棱柱 2R=4
S=16π
B1
长方体 V=32π/3
C1
A1
6
例2.如图三棱锥P-ABC中，PA⊥底面
ABC,PA=1，AB= 2，AC=BC=1。
三棱锥
P
直棱柱
A
C
长方体
B
7
例2．如下图，棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC, PA=2，
AB=AC=BC = 3 ，则它的外接球的表面积为______,
A. 3π B. 4π
C. 3 π3
D. 6π
D
A
C
B
12
【变式】四面体 A-BCD中，三组对棱长分别相等且依次是
13 , 2 5 , 5 ,则其外接球半径是_____．
13
【达标检测】--------(2008宁夏、海南15 ) 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底．已知 该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体 积为 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为_____
体积为______.
P
A B
C
8
引申拓展 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠APC=∠ACP7， BC=16，AB=4 ，cos∠ABC= 7 则三棱柱P-ABC4
外接球的半径为_____
P
A C
B
9
【变式】四棱锥P—ABCD内接于球，
若 PA⊥底面ABCD, BC=3，CD=4，PA=5，
4
1.正（长）方体与球：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.求下列球的直径
a （1）球内切于正方体 2R=______；
（2）球外接于正方体 a3 2R=______；
（3）长方体的长、宽、高分别为a、b、c则它的外接
S (a b c ) 2 2 2
2R= a b c 球的直径
课题 球与几何体的切接问题
1
考情分析
球是空间几何体中一个特殊的旋转体， 近年来高考题常把球与其它几何体相结合， 对内切、外接问题进行考查.多以选择题、 填空题的形式出现，涉及的几何体多种多样， 对空间想象能力的要求较高，以至于很多学 生感到迷茫， 本节课我们就对这些问题进 行探究，为大家解惑。
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解题方法
课堂小结
解题思想
间 接 法
直 接 法
谢谢指导
构公 造式 法法
化 归 思 想
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正方体的内切、外接球
.r
a
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正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
Βιβλιοθήκη Baidu
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C
gO
C1
外接球的直径等于正方体的体对角线。
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学习目标
1.认识球的结构特征; 2.了解球的表面积和体积的计算公式； 3.掌握常见多面体的外接球和内切球半径的求法
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考题重现
1 （06年广东）若棱长为3的正方体的顶点都
在同一球面上，则该球的表面积为27π.
2.（07年天津）一个长方体的各顶点均在同 一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别
为1,2,3，则此球的表面积为14π .
BAD 90,ABC 90 50 则该球的表面积为______
P
D A
.C
O1
B
D
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C
O1
A
B
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例3.如图所示，已知正四棱锥S－ABCD中，
底面边长为a，侧棱长为 2 a，求它的外接球的体积．
S
Ao
E B
D C
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例 4.（03全国）一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为（ A ）
= 2
2
2
__________________.
__________________
V=S • R (a2 b2 c2) • R
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例1.(1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC =900
AB= 3 ,BC=1,CC1=2 3 , 则它的外接球的表面积为
____,体积为_____
B
C
A
直棱柱 2R=4
S=16π
B1
长方体 V=32π/3
C1
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例2.如图三棱锥P-ABC中，PA⊥底面
ABC,PA=1，AB= 2，AC=BC=1。
三棱锥
P
直棱柱
A
C
长方体
B
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例2．如下图，棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC, PA=2，
AB=AC=BC = 3 ，则它的外接球的表面积为______,
A. 3π B. 4π
C. 3 π3
D. 6π
D
A
C
B
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【变式】四面体 A-BCD中，三组对棱长分别相等且依次是
13 , 2 5 , 5 ,则其外接球半径是_____．
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【达标检测】--------(2008宁夏、海南15 ) 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底．已知 该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体 积为 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为_____
体积为______.
P
A B
C
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引申拓展 已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠APC=∠ACP7， BC=16，AB=4 ，cos∠ABC= 7 则三棱柱P-ABC4
外接球的半径为_____
P
A C
B
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【变式】四棱锥P—ABCD内接于球，
若 PA⊥底面ABCD, BC=3，CD=4，PA=5，
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1.正（长）方体与球：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.求下列球的直径
a （1）球内切于正方体 2R=______；
（2）球外接于正方体 a3 2R=______；
（3）长方体的长、宽、高分别为a、b、c则它的外接
S (a b c ) 2 2 2
2R= a b c 球的直径