4函数展开成幂级数 练习题没有做

m 1 (m 1) (m n 1) n 1 F ( x) m 1 x x 1 (n 1) ! (1 x) F ( x) mF ( x), F (0) 1 推导 x F ( x) x m 0 F ( x) d x 0 1 x d x ln F ( x) ln F (0) m ln(1 x)
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 区间为 利用此题可得
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例6. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
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x ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
1 2 n 1 x x x 1 x
(1 x 1)
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为 1 2 n n 1 x x (1) x ( 1 x 1 ) 1 x
x ( , )
n ( 1 ) ln(1 x) x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 x n 1 n 1 2 3 4 x (1, 1]
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2 n 1 x3 x5 x7 x n ( 1 ) sin x x 3! 5! 7 ! (2n 1) ! x ( , ) 2n x2 x 4 x6 x n ( 1 ) cos x 1 2 ! 4 ! 6! ( 2n) ! x ( , ) m(m 1) 2 m (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x x (1, 1) n! 当 m = –1 时 1 1 x x 2 x 3 (1) n x n , x (1, 1) 1 x
第四节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 和函数
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本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数 该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n! 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
类似可推出:
1 2 1 4 n 1 1 cos x 1 x x (1) x 2n 2! 4! ( 2n) !
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例3. 将函数
为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
把 x 换成 x 2 , 得 1 2 4 n 2n 1 x x ( 1 ) x 2 1 x
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( 1 x 1 )
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1 解: f ( x) (1) n x n ( 1 x 1 ) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 x n ( 1 ) ln(1 x) (1) n x n d x x n 1 , 1 1 x x 1 1 n 0 n 0 n 1 0
sin( (n 1) ) 2
(n 1)!
x
n 1
n
1 x 3 1 x 5 (1) n 1 1 x 2n 1 sin x x 3 ! 5! ( 2n 1) !
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1 3 1 5 1 n 1 2 n 1 sin x x x x (1) x 3! 5! (2n 1) !
F ( x) (1 x) m
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
m(m 1) 2 x (1 x) 1 m x 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
m
称为二项展开式 .
说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
f ( n ) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) , m(m 1) 2 x 于是得 级数 1 mx 2! m(m 1) (m n 1) n x n! an n 1 由于 R lim 1 lim n an 1 n m n
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
Hale Waihona Puke Baidu
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的泰勒级数 .
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1 ,1 , 对应 m 1 的二项展开式分别为 2 2
1 2 1 1 3 3 1 3 5 4 x 1 x 1 x x x 2 4 2 246 2 4 6 8 ( 1 x 1) 1 3 2 1 3 5 3 1 3 5 7 4 1 1 x x x 1 x 2 4 2 246 2 4 6 8 1 x ( 1 x 1) 1 n n 2 3 ( 1 ) x 1 x x x ( 1 x 1) 1 x
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) ( x x ) , x ( x0 ) 证明: n! 0 n 0
令 S n 1 ( x)
k 0

n

n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
e n n 1 x x e (n 1)! ( 在0与x 之间) 1 1 1 x 2 3 故 e 1 x x x x n , 2! 3! n!
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例2. 将
解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n)
1 f ( n ) (0) an n !
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
f
( n)
( x ) n ! an ;
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例7. 将
展成 x－1 的幂级数.
1 1 解: 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
x 1 2 x 1 4
2
( x 1 2 )
n
x 1 ( x 1) n ( x 1) (1) 1 2 n 2 2 2
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) 1 cos( x ) sin( x 4 4
2
) cos sin( x ) sin cos( x 4 4 4 4


1 3 1 5 ( x ) ( x ) ( x ) 4 5! 4 4 3! 1 1 2 1 3 1 ( x ) ( x ) ( x ) 2 4 2! 4 3! 4
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为 0.
n
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f ( n) ( x) e x , f ( n) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
1 8
(1)
n 0 n


1 2
n2

1 2
2n 3
( x 1) n
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( 1 x 3 )
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内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 1 2 1 n x e 1 x x x , 2! n!