4函数展开成幂级数练习题没有做

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函数展开成幂级数题目

6.3 函数展开成幂级数一、填空题：1.函数xe xf =)(的Maclaurin 级数为xe ＝ .解： +++++=!!212n x x x e nx， ),(+∞-∞∈x . 2.函数x x f +=11)(在00=x 处的幂级数为x+11＝ . 解：+-++-+-=+n n x x x x x)1(11132， )1,1(-∈x . 3.函数x x f arctan )(=展成x 的幂级数为=x arctan .解： ++-+++-=+12)1(5131arctan 1253n x x x x x n n ]1,1[-∈x . 二、求xx f -=41)(在20=x 处的幂级数展开式. 解：因为∑∞=-=--=--=-=0)22(21221121)2(2141)(n nx x x x x f ，且122<-x ，得40<<x ，而当40==x x 或时，上面级数都发散. 所以，n n n x x f )2(21)(01-=∑∞=+，40<<x .三、将22)(x x xx f --=在00=x 处展开成幂级数，并求其收敛域. 解：21131_1131)2211(31)2)(1(2)(2x x x x x x x xx x x f +⋅-⋅=+--=+-=--=，因为∑∞==-011n n x x ， 11<<-x ； ∑∞=-=+02)1(211n n n nx x ， 121<<-x，即22<<-x ；根据幂级数运算性质有∑∑∑∞=∞=∞=--=-⋅-⋅=+⋅--⋅=000]2)1(1[312)1(3131211311131)(n n n n n n nn n n x x x x x x f ，所以，∑∞=--=--02]2)1(1[312n nn n x x x x ，11<<-x . 四、将x x f cos )(=展开成3π+x 的幂级数.解：因为)3sin(23)3cos(21]3)3cos[()(ππππ+++=-+=x x x x f ∑∑∞=+∞=++-++-=1202)!12()3()1(23)!2()3()1(21n n n n nn n x n x ππ，)(+∞<<-∞x .所以，)(,)!12()3()1(23)!2()3()1(21cos 0122+∞<<-∞++-++-=∑∑∞=∞=+x n x n x x n n n n nn ππ.五、将函数)21ln(2x x y --=展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间. 解：)21ln()1ln()21)(1ln()21ln(2x x x x x x y -++=-+=--=∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞=---=--+-=11111112)1()2()1()1(n n n n n n n nn n n n x n x n x n x n)21,21[ ,2)1(11-∈--=∑∞=-x x n n n n n .六、将幂级数∑∞=-----1122212)!12()1(n n n n x n 的和函数展开为1-x 的幂级数. 解：2sin 2)2()!12()1(22)!12()1(1121112221x x n x n n n n n n n n =--=--∑∑∞=--∞=---，所以，和函数为),(,2sin2)(+∞-∞∈=x xx S ； 21sin 21cos 21cos 21sin ]21)1(21sin[2sin ⋅-+⋅-=+-=x x x x∑∑∞=∞=+--+-+-=02012)21()!2()1(21sin )21()!12()1(21cos n n n n n n x n x n ，所以，∑∑∞=∞=-+--+-+-=00212122)1()!2(2)1(21sin )1()!12(2)1(21cos 2sin 2n n n n n n n n x n x n x ,)(+∞<<-∞x .。

幂级数的展开式

n= 0
f ( x ) = a 0 + a1 ( x x 0 ) + + a n ( x x 0 ) +
n
逐项求导任意次,得逐项求导任意次得
′( x ) = a1 + 2a 2 ( x x0 ) + + na n ( x x0 ) n1 + f f ( n ) ( x ) = n! a n + ( n + 1)n 3 2a n+1 ( x x0 ) +
令 x = x0 , 即得 1 (n) an = f ( x0 ) n!
(n = 0,1,2, 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n 泰勒级数. ∑ n! ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n=0 (n) ∞ f ( 0) n 麦克劳林级数. ∑0 n! x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. n=
第四节函数的幂级数展开式
一,泰勒级数
上节告诉我们: 上节告诉我们: 幂级数在其收敛域内有一个和函数, 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
n→∞
证明必要性设f ( x )能展开为泰勒级数 ,

初等函数的幂级数展开

f (x) a1 2a2 (x x0 ) 3a3 (x x0 )2 nan (x x0 )n1 ， f (x) 2!a2 3 2a3 (x x0 ) n (n 1)an (x x0 )n2 ，
f (x) 3!a3 n (n 1)(n 2)an (x x0 )n3 ，
lim
n
Rn
(
x)
0
，其中
Rn
(
x)
为拉格朗日余项，即
Rn (x) f (x) [a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2
an (x
x0 )n ]
f n1( ) (x
(n 1)!
x0 )n1
．
1.2 函数展开成幂级数的方法
1．直接展开法
利用泰勒或麦克劳林展开式把初等函数展开成幂级数的方法称为直接展开法．用直接展开法将函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤如下．
x)
1 2(3
x)
1
4 1
பைடு நூலகம்
x 1 2
1
81
x
1 4
，
1
(1)n xn 1 x x2 x3
(1)n xn
(1 x 1) ，
1 x n0
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 2n
1
x
2
1
1
，
2
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 4n
1
x
4
1
1
，
4
1.2 函数展开成幂级数的方法
解 f (x) 的各阶导数为
f (x) m(1 x)m1 ， f (x) m(m 1)(1 x)m2 ，

无穷级数-函数展开成幂级数

二项展开式:
m
m(m − 1) 2 (1 + x) = 1 + m x + x +L 2! m (m − 1)L(m − n + 1) n + x + L ( − 1 < x < 1) n!
注 1°在 x = ± 1处收敛性与 m 的取值有关 .
2° m 为正整数时, 得二项式定理: m ( m − 1) 2 m x +L + xm (1 + x ) = 1 + mx + 2!
(1 + x )F ′( x ) = mF ( x ),
F ( 0) = 1
x ∈ (−1,1)
∫0
x
x m F ′( x ) dx = ∫ d x， 0 1+ x F ( x)
ln F ( x ) − ln F (0) = m ln(1 + x ),
∴ F ( x ) = (1 + x )m ， x ∈ ( −1,1) m(m − 1) 2 m (m −1)L(m − n + 1) n F(x) = 1+ m x + x +L + x +L n! 2!
2° 麦克劳林级数
m ( m − 1) 2 m(m − 1)L(m − n + 1) n x +L+ x +L 1 + mx + n! 2! x ∈ (−1,1) an n+1 =1 R = lim = lim n→ ∞ a n + 1 n→ ∞ m − n
3° 设和函数为 F ( x ) , − 1 < x < 1 m 下证 : F ( x ) = (1 + x ) .

函数展开成幂级数

∴f
(0) = 0, f ( 2 n+1) (0) = ( −1) n , ( n = 0,1,2,⋯)
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) x ξ ( x − x0 )n+1( 在x0与之 ). 其 Rn( x) = 中间 (n + 1)!
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
如, 例 , 当x 很时 e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x 如小 ,
x
（如下图）如下图）
y = ex
y = ex
y= x
y = ln(1 + x)
y = 1+ x
n= 0
∞
的泰勒级数, 定理 2 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数, 在U δ ( x0 ) 内收敛于 f ( x ) ⇔ 在U δ ( x0 ) 内 lim Rn ( x ) = 0 .
n→∞
证明（证明（略）
定理 3
设 f (x) 在U ( x0 ) 上有定义,∃M > 0, 对上有定义, ( n) ∀ x ∈ ( x0 − R, x0 + R),恒有 f ( x) ≤ M
n=0
存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数域内以为和函数
问题: 如果能展开如果能展开, 是什么? 问题 1.如果能展开 a n 是什么 2.展开式是否唯一展开式是否唯一? 展开式是否唯一 3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数

微积分练习题

一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的（2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点（4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小（7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为（7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积向量积一、试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量．四、已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是，其圆心坐标是，圆的半径为．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为，在xoz 面上的投影为，在面上的投影为．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示．（Ａ）、椭圆柱面（Ｂ）、椭圆曲线（Ｃ）、两个平行平面（Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是．（Ａ）、平行xoz 坐标面。

高等数学11-4函数展开成幂级数

1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )

1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性设 f ( x )能展开为泰勒级数

i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),

n0

f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n

n0

(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)

第十四章幂级数练习题(2021

第十四章幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为（）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。

展开成幂级数的方法

展开成幂级数的方法
展开成幂级数的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：
1. 泰勒级数展开：该方法适用于将一个函数展开为无穷级数的形式。

泰勒级数的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，以此类推。

使用泰勒级数展开的前提是函数在展开点附近是可导的。

2. 幂级数展开：对于某些特定函数，可以直接将其展开成幂级数的形式。

一些常见的例子包括指数函数、三角函数和对数函数。

例如，e^x的幂级数展开形式为：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin(x) 的幂级数展开形式为：
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ln(1+x) 的幂级数展开形式为：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...
根据具体的函数形式，选择合适的幂级数展开方程可以更快
地得到展开结果。

请注意，展开成幂级数的方法不一定对于所有函数都适用，有些函数可能没有幂级数展开形式，或者幂级数展开的收敛区间有限。

因此，在实际应用中，需要对函数的性质和展开方法进行合理的选择。

函数展开成幂级数

函数展开成幂级数的方法
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,

第三步写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成

x

π 4

的幂级数.
解
sin x

sin

π 4

x

π 4

sin
π 4
cos

x

π 4

1 2(1
x)

1 2(3
x)

1

1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2

1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解

f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n

(1)n1 xn

10.4 函数的幂级数展开式

内具有各阶导数，则 f ( x) 在该邻域内能展开
成泰勒级数的充要条件是 f ( x) 的泰勒公式的余项满足
lim Rn ( x) 0
n
(3)
其中
1） f（n（） Rn ( x) ( x x0 )n1 (n 1)!
定理2 若 f ( x) 能展开成 x 的幂级数，则此展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同．
x ( , )
用同样的展开方法，我们可以得到另一
个重要的展开式
m
m(m 1) 2 (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x ( 1 x 1) n!
从上述讨论不难看出，直接展开法较繁，多数使用下面的间接展开方法。
1 n! 且其收敛半径为 R lim n 1 (n 1)!
考虑余项
e Rn ( x) x n1 (n 1)!
的极限，因
e lim Rn ( x) lim x n 1 n n ( n 1)!
x x lim e 0 n (n 1)!
10.4.4 小结
1. 泰勒级数
函数展开成泰勒级数的充要条件
2. 函数展开成幂级数的方法
直接展开法
间接展开法
π ( x) sin( x n ) 2
时，f ( n ) (0) (1) k ，其中 k 0 , 1, 2 ,
可得级数
1 3 1 5 1 n 1 x x x (1) x 2 n1 3! 5! (2n 1)!
其收敛半径为R . 考虑余项
1 x n 1 xn ( ) n x 6 n 0 3 6(1 ) 6 n 0 3 3 1

函数展开成幂级数11-4

§ 11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数1．函数)(x f 展开成幂级数的概念给定)(x f 能否在某区间内展开成幂级数，即是否找到一幂级数，它在某区间内收敛且和等于)(x f ．若能，就称)(x f 在该区间内能展开成幂级数。

泰勒公式()()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)()()()()()1100(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-(2)如果()f x 在点0x 的某邻域内具有各阶导数,设想(2)的项数趋向无穷而成为幂级数()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+(3)称为)(x f 的泰勒级数定理设函数)(x f 在点0x 的某一邻域()0U x 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零.即 ()()()0lim 0n x R x x U x →∞=∈.证略。

2. )(x f 的马克劳林级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x n '''=+++++注（1）若)(x f 能展开成x 的幂级数，则该展开式是唯一的，它与)(x f 的麦克劳林级数一致。

（2）反之，若)(x f 的麦克劳林级数在点0x =0的某邻域内收敛，却不一定收敛于)(x f .因此，若)(x f 在0x =0处具有各阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数虽能作出来，但该级数是否能在某个区间内收敛、是否收敛于)(x f 需进一步考察。

D函数展开成幂级数

a(a 1) (a n 1) xn n!
由于 R lim an lim n 1 1 n an1 n a n
因此对任意常数 a,
级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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机动目录上页下页返回结束
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为
F(x),1 x 1
则 F(x) 1 a x a(a 1) x2 2!
区间为
利用此题可得
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机动目录上页下页返回结束
例6. 将
展成
的幂级数.
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(
x
4
)
1 2
cos(
x
4
)
sin(x
4
)
( x
)
4
1 (x 3!
)3
4
1 (x 5!
4
)5
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2! 4!
(2下页返回结束
例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中a
为任意常数 .
解: 易求出 f (0) 1, f (0) a, f (0) a(a 1) ,
f (n) (0) a(a 1)(a 2) (a n 1) ,
于是得级数
1 ax a(a 1) x2 2!
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法
— 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法
— 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .

4函数展开成幂级数练习题没有做

例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛区间为利用此题可得
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例6. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x ) 4 4
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
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x ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
机动目录上页下页返回结束
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2 2! m(m 1) (m n 1) n x n!
0, n 2k (0) (1) k , n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
n 1 1 2n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2n 1)! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !

函数展开成幂级数-泰勒级数

函数展开成幂级数泰勒级数的概念函数展开成幂级数的方法泰勒级数的概念回顾：若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有1n +阶导数,则函数在该邻域内有泰勒公式()00000()()()()()()()!n n n fx f x f x f x x x x x R x n '=+-++-+, 其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ (ξ介于x 与0x 之间)称为拉格朗日型余项. ()()n f x P x ≈.泰勒多项式()n P x若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有任意阶导数, 则得到幂级数()000()()!n nn fx x x n ∞=-∑()20000000()()()()()()()2!!n nf x fx f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+称此幂级数为函数()f x 在点0x 处的泰勒级数.幂级数是否收敛?若幂级数收敛,其和函数是否为给定的函数)(x f ?定理设函数()f x 在点0x 的某一邻域0()U x 内具有各阶导数,则()f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内lim ()0n n R x →∞=,0()x U x ∈.证 ()f x 的n 阶泰勒公式为()()()n n f x P x R x =+, 其中()00000()()()()()()!n n n fx P x f x f x x x x x n '=+-++-, ()()()n n R x f x P x =-.()n P x 就是级数()000()()!n nn f x x x n ∞=-∑的前1n +项部分和,根据级数收敛的定义,即有()000()()()!n nn fx x x f x n ∞=-=∑,0()x U x ∈, ⇔ lim ()()n n P x f x →∞=,0()x U x ∈,⇔ lim[()()]0n n f x P x →∞-=,0()x U x ∈,⇔ lim ()0n n R x →∞=,0()x U x ∈.对于泰勒级数的几点说明:1.若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有任意阶导数,则可构造幂级数()000()()!n nn fx x x n ∞=-∑, 即使这个幂级数收敛,其和函数也不一定是函数()f x . 当且仅当lim ()0n n R x →∞=时幂级数收敛于函数()f x2.若函数()f x 在0()U x 内能展开成0x x -的幂级数, 则该级数必定是()f x 的泰勒级数.这是因为: 2010200()()()()nn f x a a x x a x x a x x =+-+-++-+,若对任意0()x U x ∈有21120300()2()3()()n n f x a a x x a x x na x x -'=+-+-+-+,22300()232()(1)()n n f x a a x x n n a x x -''=+⋅-+--+,()21020(2)!()!(1)!()()2!n n n n n f x n a n a x x a x x +++=++-+-+,将0x x =代入各式, 即有()01()!n n a f x n =,(0,1,2,)n =, 所以级数00()()n n n f x a x x ∞==-∑是()f x 的泰勒级数.函数的幂级数展开式是唯一的.在泰勒级数的表达式()000()()!n n n f x x x n ∞=-∑中, 取00x =,得 ()2(0)(0)(0)(0)2!!n n f f f f x x x n '''+++++()0(0)!n n n f x n ∞==∑, 称为函数()f x 的麦克劳林级数.则有()0(0)()!n n n f f x x n ∞==∑(||x r <), 称为函数()f x 的麦克劳林展开式. 若()f x 能在(,)r r -内展开成x 的幂级数,。

高数无穷级数初等函数的幂级展开式

n
故得 x 1， 1。
11
3. 常用的麦克劳林级数展开式
xn xn （1）e x 1 x , n! n 0 n!
x ，。
x3 x5 x 2 n 1 （2）sin x x ( 1) n1 3! 5! ( 2n 1)! x 2 n1 ( 1) n , ( 2n 1)! n 0
lim Rn ( x ) 0
n
n1

n1

n 1

x lim 0 n ( n 1)!
n1
xn xn ex 1 x , n! n 0 n!
x ，。
7
例2 将函数 f ( x ) sinx 展开成的幂级数 x 。
1
一、泰勒级数和麦克劳林级数
1. 泰勒公式（拉格朗日中值公式（往高阶）的推广）
则有 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
设f ( x )在x0的某一邻域内存在直( n 1)阶的导数，到

x dx 0 x dx 0
n x n n 0 n1 n 0 2
x

x 1， 1
n1 x x3 x n x x 1 1 2 3 n1 n1 n 0 x n 1 1n 因幂级数在 x 1 收敛， x 1 发散在， n1 n 0
2
2. 泰勒级数与麦克劳林级数
设 f ( x ) 在 x0 的某一邻域内存在任阶的导数，则意 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )

6.4 函数的幂级数展开

n
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以解

4函数展开成幂级数 练习题没有做

函数展开成幂级数题目

幂级数的展开式

初等函数的幂级数展开

无穷级数-函数展开成幂级数

函数展开成幂级数

微积分练习题

高等数学11-4函数展开成幂级数

第十四章幂级数练习题(2021

展开成幂级数的方法

函数展开成幂级数

10.4 函数的幂级数展开式

函数展开成幂级数11-4

D函数展开成幂级数

4函数展开成幂级数 练习题没有做

函数展开成幂级数-泰勒级数

高数无穷级数初等函数的幂级展开式

6.4 函数的幂级数展开

4函数展开成幂级数练习题没有做

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